云南师范大学量子力学期末试题及答案ABC

精选文档可编辑云南师范大学2011-2012学年（下）学期期末考试量子力学试卷学院专业 年级 六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件 学号姓名得分评卷人填空题（每题4分，共20分）题号一二三四总分评卷人考试方式：闭卷考试时量：120分钟试卷编A:A1、请写出德布罗意关系中粒子的频率公式2、请给出动量表象中坐标算符的表达式。3、请给出不确定度关系的表达式。4、请给出力学量平均值随时间的变化公式。5、在非简并微扰论中，体系的原Hamilton量为H?,本征函数族为｛?｝一,对应本征值为｛E?｝n0。Hamilton量在被施加微扰H?之后变为H?留H?,则能量本征函（准确到一级近似）得分评卷人简答题（共20分）精选文档可编辑.请给出关于波函数随时间发展变化的假定。（4分）.请叙述关于全同粒子的假定。（4分）.请叙述关于算符的假定。（6分）.请叙述量子力学中关于自旋的假定。（6分）得分评卷人判断题，判断下列表述的正误（每小题2分，共20分）.在单个电子穿过双缝装置的实验中确实存在规律，但是这个规律只是在电子数量很大的时候才存在。（.波函数的统计诠释其实只是一个假定。（.（x）是一维Schrodinger万程的解，则（x）也是具有相同能事本征信的解.一维无限深势阱中的粒子处于基态，则其概率分布的极大值点不出现在阱的中央处。.任何一种角动量J都遵守形如JJiJ的关系。.如果A是厄米算符，则An（n是自然数）也是厄米算符。.非定态下，任何力学量的平均值都一定随时间改变。.自旋为半奇整数倍的全同粒子体系，其波函数对于两粒子交换是对称的。.中心力场中，动量守恒而角动量不守恒。.n3的氢原子，其能级简并度为9。计算题（40分）.一维谐振子(x)处在基态，波函数为请计算该态下粒子坐标和动量的平均值(可能用到的公式：.一维无限深势阱中的粒子,0xa,(x,0)J_8(1cos—)sin—o求:.5aaa(1)任意时刻归一化的波函数(x,t);(2)任意时刻的能量平均值。(10分).{Jn为哈密顿量的本征值。有一个状态为C11C22C33,各系数模的平方之11n112233和为1,试求(1)测量能量的可能值及对应的概率；(2)测量能量的平均值？(3)在态下测量能量值，第一次测得E2,然后又对测量后得到的体系测量能量值，同样方法共测量了6次，则最后一次测得E3的概率为？(4)在态下测量力学量A的值，测得的结果是什么？(10分).设氢原子处于状态TOC\o"1-5"\h\z,i1,、,、，3,、,555,、,、（r，，）-R32（r）Y20（，）RR2I（r）Yl1（，）RR43（r）Y32（，），333求：（1）氢原子角动量平方及角动量Z分量的可能值、相应几率；（2）角动量平方及角动量Z分量的平均值。（10分）云南师范大学课程考试试卷参考答案及评分标准课程名称：量子力学考试班级：物理09级ABCD班试卷编号：A命题教师签名2012年6月12日解答及评分标准：（A卷）一、（每题4分，共20分）.请写出德布罗意关系中粒子的频率公式|vE/h.请给出动量表象中坐标算符的表达式i-p-03.请给出不确定度关系的表达式1。。AB2摩孙dRA14.请给出力学量平均值随时间的变化公式网—」[R由Idtti|5、在非简并微扰论中，体系的原Hamilton量为H?,本征函数族为｛?｝一,对应本征值为｛E：0）｝n00Hamilton量在被施加微扰H?之后变为H?H?oH?,则(0),Hnk(0)kkn匚(0)匚(0)EkEnn能量本征函数的计算公式为（准确到一级近似）简答题（共20分）.请给出关于波函数随时间发展变化的假定。（4分）微观体系状态随时间的变化由S.Eq决定:（3分）i一管H?（r,t）（1分）哈密顿算符：H?T?V?坐标空间中的S.Eq.i[t动量空间中的22—V(r)]2mS.Eq.22(p^[—V(i一)]t2mp(r,t)(P,t).请叙述关于全同粒子的假定。（4分）.全同粒子-内禀属性（如静止质量、电荷、自旋、磁矩或者寿命等等）完全一样的粒子。（1分）.粒子全同性原理：全同粒子具有不可区分性。（1分）因此，由若干全同粒子构成的量子体系中，任意交换两个粒子，不会引起体系状态的改变，（1分）即体系波函数在两个粒子交换下保持不变。（1分）.请叙述关于算符的假定。（6分）算符假定：.力学量使用相应的厄米算符来代表；（3分）.对完备的力学量完全集的本征函数族｛k｝k,展开定理成立，即任意的波函数，都可以用｛Jk来展开。（3分）.请叙述量子力学中关于自旋的假定。（6分）电子自旋角动量的假定：.在空间任意方向上，其投影都只有两个值：Sz—（2分）2.每个电子都有一个和自旋角动量相关联的内秉磁矩s，满足|1-e-（2分）|S|mc3自旋是一个力学量，对应的算符要满足角动量的基本对易关系AAASSiS（2分）三、判断题（每题4分，共20分）1、一维谐振子（x）处在基态，波函数为四、计算题（40分）请计算该态下粒子坐标和动量的平均值（可能用到的公式:解：由于|（x）|2dx1,所以波函数已经归一化（2分）x(x)x(x)dx|(x)|2xdx(2分)由于(x)是偶函数，则|(x)|2x是奇函数，利用：奇函数的积分在对称区间上结果为0,得x0(2分)px*(x)?x(x)dx(2分)利用结论：束缚本征态下，动量均值为0.px0(2分).一维无限深势阱中的粒子,0xa,(x,0)J-8-(1cos—)sin—x°求:,5aaa(1)任意时刻归一化的波函数(x,t);(2)任意时刻的能量平均值。(10分)(x,0)4-11-2(加)，已经归一化(2分)TOC\o"1-5"\h\z，5■,5由上式可得任意时刻波函数4巴1星解:(x,t)匕ieq52e(3分)任意时刻能量平均值E((x,t),F?(x,t))这里可以用代入任意时4Ei:E2(3分)55刻波函数计算，也可以用能量守恒计算.{n}n为哈密顿量的本征值。有一个状态为c11c22c33,各系数模的平方之和为1,试求(1)测量能量的可能值及对应的概率；(2)测量能量的平均值？⑶在态下测量能量值，第一次测得E2,然后又对测量后得到的体系测量能量值，同样方法共测量了6次，则最后一次测得E3的概率为？(4)在态下测量力学量式的值，测得的结果是什么？(10分)解：各系数模的平方之和为1,则波函数已经归一化。（1分）（1）所以测得能量的可能值和概率为E1,|G|2,E2,|c2|2,E3，|c3r（3分）（2）测量能量的平均值E|c1|2Ei心|2E2|c3|2E3（2分）⑶在态下测量能量值，第一次测得E2,然后又对测量后得到的体系测量能量值，同样方法共测量了6次，则最后一次测得E3的概率为0（2分）（4）在态下测量力学量A的值，测得的结果是可能值为R的全部本征值中的某一个，对应概率为用区的全部本征值展开后对应各本征态的系数模的平方。（2分）4.设氢原子处于状态，、1_，、，、・,3_，、，、、•5_，、，、(r,,)oR32(r)Y20(,)VR21(r)Y11(,)丁R43(r)Y32(,)，333求：（1）氢原子角动量平方及角动量Z分量的可能值、相应几率；（2）角动量平方及角动量Z分量的平均值。（10分）135解：（1）角动量平万的可能值为6,2,12,相应概率为-,-,-；角动量z分999135TOC\o"1-5"\h\z重的可能值为0,,2相应及率为-,-,-。（4分）999（2）L21623225122HYPERLINK\l"bookmark13"\o"CurrentDocument"999HYPERLINK\l"bookmark11"\o"CurrentDocument"_135Lz0一（）一2-（6分）999云南师范大学20IL20I2学年1下｝学期期末考试量子力学试卷学院专业年策学号姓名5、在非简并微扰论中，体系的原Hamilt皿量*H,本征函数族为M%，），对（准确应本征信为口，汽产田皿31量在玻施加撒拉H-之后变为田二为十日、则能量本征值的计算公式为到二级近似）♦,简答庶〔共加分）1请分别给5坐标和动量表象中薛定港方程的具体形式.14分）2.什么是粒子全同性原理？（4分）3,请给出所学过的求力学量平均值使用的公式016分）4.请叙述量子力学中关于自旋的假定.(6分)得分评卷入三*判断题,判断下列表述的lE误•「每小题2分.共即分)TOC\o"1-5"\h\zL在单个电子穿过双绳装置的实验中，确实发生丁干涉现象：前屋一个电子封已和自已发生了干涉.()2.波函数的统讨母.择其实只是一个假定.()立一维规W势场电即夕⑴无奇点的粒子.势函螂5)二/-冷且处在束嶂态,则在能量本征态卜，野的平均值一定力0()J.一维无限深势阱中的粒子处于基态，RJ耳概率分充的极大，直点不上皿在阱的中央处口()5.不是所有角动至都遵守形如？,7日方的关耒.c)6,对干一个厄米算存，法落为零的态就是它的本■征志.()，如果哈囱顿量不显含时间।则求任一时刻能量邛均值时,只需求E时刻的能量平何值即为所求上()S.白族为:整数溶的全句粒工体系其波函数时上两粒尚交换是反对祢的“<)9.中心力场中，就量和角就量都守恒.()10一乜―6的氢原子，其能级管谯:为1，(J得分评褶人四、计算题00分）kA)L一堆漕提了（一6•万”〕处在外态，波函蜥勿（式）=J竞%《-0,J-请计算液态下粒子坐标和劲量的平均里〔可能用到的公式；—kC6分）44试卷奏考答案及评分标准课程名稗：量子力学考试班级：物理8或3BCD班试卷编号；E命题教师签名W12任6月煜日解答及评分标准：（B卷）一.，《母题」分，其9分）1.请写山德布罗意美京中粒子的波氏公式匹巫二请给出动量表象中势能算符的表达式校3.请给出不确定度关系的表达式必1.守恒量具有的性质是平均值和否可能值出现概窟不阻时间改变.3在非喻并微扰论中，钵系的原Hamilton量为瓦，本征函数族为｛/町乙，对域本征值为｛蹙｝:4若H常皿］划】量在被播加儆忧后之后变为力—友+厅，相应的能量本征值为跖=吸+K（准确到一级近似八二、简答题C共”分）1.请分别给出坐标和动量表象中薛定谡方程的具体形式。（4分）坐标表象：沙幽迫=[_上二眄广©0分）建Irn动员表象；访"妇皿£}刎声㈤a分）w上吊搔1什么是粒子全同性意理？s分）全同粒子具有不可区分性.a分）因此，由若干全同粒子构成的量子悻系中」任意交换两个粒子，不会引起体系状态的改变，n分猖口・体系波函数在沟个粒子交换下保持不变。a分）3请给出所学过的求力学啻平均佰便用的公式+（6分）A={i/f.A⑺=\4/7A4a巩3分〕4，匀Q/邛3分）3EJ.请叙述量子力学中关1’自旋的假定.（6分）电子自施角幼量的假定I在空间任意方向上，麒影都只有商个值;/二土如分）工每个由于都有一个和自惟角动量相关瞌的内弟磷国凡-满足I自旋是一个力学得,乖应的算符要满足角动量的基本对易关系科将占sM§.mSq分）三.判断题（每题4分，共整分）44XX7XXX四、计算题[ax1、一维谐振子C—X<4-crJ妇在基态，凝函数先«,L请计算诬态下粒子坐标和功员的平均值（可能用到的公式：心产1=2K"口分：）•日~^D0Q解：由于幻EHc=L所以波函数已统归一化《2分一X-jMCZ网H-分'由于加丁）是偶函数，刖取，）之工是穹函数，利用：高国奴的枳分缶4林区间上结果为1）,得工=贝2分;」瓦=（向工力加工）松（2分）利用结论，束缚本征态下，动量均值为K以-岫分）2一然无限深势寺「的舒p初始时刻志为皿工川=巧阳，1+S眄⑸+C搦⑺.*，川./口）和懈（灯分别为基态，我一擞脸照和第二撒•发态本征日数3个系数璜的邛万和为L求］⑴任意时烹.归一他的波丽5工」）；出任意时刻的能量平均值。期■1Ft由已知，波函我已经归一fhQ分）⑴任意时划归一化的源数为以工4）=勺啊（工改"+白"（****U分）⑵任意时刻的能量平均值卫_|0|?葺+£产曷.+匕产%”分）求法票女珏代人任意时知波方敷求平均值，射是使用能量守恒关系从初始时刻求出.工对于某个体系.力学量巨的归一化完备本征函嬲只有2个成员，分别为巧和啊，相应地本征值为/和内.另一个力学.好的归一化完备本怔函独展亦只有&卜或后,分别为U和为相应的本征值法］和与,已知这两个本征困幽之间的美系为二5』fJ」」yi=-%+V%平i—Z肉小T七•一“与一二〔两组式子均己归一正）4343i4内二1依一不网|%=飞"一三0、»K-.3I1»■专有某态；.在谈态下泅夙力学感得知继域时测量后的系渊测显力学量小得利结果后再对测量后打系抽测量力学量乩求最后测得结果不氐的几率，任阴）解:第一次测得印波函数折缩r.f分）在为二测国可能值为向和jm分］概率分别为b陷匕，口分）一'“WJ；；。分）*■■F在上两个结果中继装训展4票求的不是与那就是叼口IL分）旃种途径得到这个线具尔向）T%5）:”0分）13%M）->的41）；或（分）最后得总概率为：916109二8$4、25252525625122」氢序于处于志¥〃「就伊）-三死3*51■•■三时-1口—彳兄171-1中,I司Cl）犷O凤⑵是否为能量的本征态？若是1笑出其.本征值"若不是，说明理由■C2?在必/,仇切中，制凭动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？（1。分」解：『1）网儿状的满足方程历,二5r国人12分）所以它是能量的本征态，本征佰为助.门分）12）因为白匕『=/匚/=1,所以波函数己经归一化.匕分）1Q朝县增动量平方的可能值有两个，12步j",知应几率分别为,-「0Q分）99云南师范大学2011-2012学年（下）学期统一考试量子力学试卷学跖肚年或学号姓Z1、w⑤与【。中（因原示量子悻系的两个不同的状态.2、微观粒子在空间:•处的劭量为1。5又两个厄米算符有共同本征函数旗，如它们一定彼此时易口4、一个体靠的力学量完全集眼法是鞋一的」1电子自旋痈动量及自旋磁柜是电子台转形成的,得分评卷入;、蔺答题（每小甩4分,其加分1L什么是简并？什么是府并度?工什么是波函数的合格条件?.什么是定态及非定态彼函数的一般表达形式？.写出天缚态非筒并微扰能量计算一级近似公式及近似计算的适用条件,土什么是泡利不相客原理”得分评老入三、,嗔空题（每题4分,共如分）1-徵观粒孑具有波粒二象性.其筮量E茄曷；体现粒孑性，波长入，陵率v体现波前性，则体现粒子性的量与体设波动性的量之间有关系是和2.在中春二算符A的平均值口=I动量算符在初量表象中可表示为2=』在坐标表象下p='4.一雏娘性诺根子的能皴&i=,梵度为力的一雄无限热势阱中粒子的睦级En=.5,有算将％B漏足时易关盍［A*E］二七，则A*E的测不准关系为.政〔&」工］=*，复原子处在一个状恚，n=4,靠量的简并度为：1T.角加星的简并度为…8.坐标”时应本征直三的本征函数为八•度尸t其归一化可衷为（*£心＞山£=幻］=+且亚=、7_第,一：=10.力学巨耳苻应是算符，冏时近应是算符.得畀评卷入四、计算搀（每题IQ分，共40分）%-W-J_I-.一维谱樵子处在基态53-j—,计算势能的平均恒7=5,•期〜If\.氢原子处在状态甲（出河）N彳出+」21（r）Ji*8。），乘氧原子■*r乾量.角动量及角动量七分量的可能值，对度几国及它们的平均值..氢原子处在基态牛。/阡）=-^£死心求电子处在》3句的几率../1。=1°***,粒子处在亚。）=./（二―二），求⑴归一化素数出⑵厕[s/粒子处在Vp3G）=^1-"―-'忑的凡至试塞花学答案佳评分标有课程笆称；最「力学考试生级；国春.号；c命更我师签名2&10tidnH.lx：2、X；1.4,乂：S.八（每阳」小贝川分）一，伯工4分,儿2。分।L••个上征值与小上个的木征函数对应的恬况称衢井，对应^数为蔺升二1.1门变I,■I雨I域内,皮的数单值|有限、E2.定左5工力=甲/）/?『定£W＜；J=＞别/户氏.5.不能有两个或两个以上的费率于处在同一个单粒子态.」.（母即4分,其工。分）1.P=,E=CO2.jw*34Kt37-4）V4ML2,3.23—£＞嚷夕上R7日Nz桐6,%47.16、78.况：_.『)6(r-.TVf)立10纯性."密TOC\o"1-5"\h\z|]B'川.1.—70°1=一*①。|\|/I14和〔a7丁4化、2*-2*-®2,E的可能值;F：•上邑E凡丝3上方时川时；L军为；LU3/47=1^+G分j）的可能值：”；2始几率为LU,3M,7="；（3分）TOC\o"1-5"\h\z/的可造侑；。小U133相应几率为：IT3'4/=一10力+一.种=一方T分】“444"71广：J[,3所求L率为ff（——7//z*K：汨刘*十（6片）心冷=13J（4分।4.由㈤〃=1得到人=杼（5分）p3=2/*（，坤（.I）〃•=±]（5分）b381兀，一维无限獴势骈中的粒子,初始时捌态为W**期二W弼㈤gg⑸多%必⑶、的.Mh婚卜讣和脑⑶分别为基态，第一激发态和第一激发态本征酸LJ个系数■膜的平方和为L求：①任意时刻归一讹的肢豳出6；Q）任意时刻的能量平均值（14分）工对于臬个体系，力学量43归一化完备本征的数挨只有」个成员，分别为和人,相应的本征值切和巧.另一个力学文.的归一化完备本征困教族亦只稗上个成员；分别为史和品，相应的本征信.粮丸b*已知这两个本征函教族之间的关系为*34/3与A_£%+£%仍_人小十三/与（二■I两组式子均已归一他43I443t2>'a~~-\~~'h、.?i>jL5?令有某态打在浅态下测量刀学髭得知逑捶对测量后的系蛹测量力学量正得到结果后再时测量后的系统再冽量力学彭。求最后测噜结果不阳的几率。do分）._\LL4家原子处于态近八夕⑴=：久“]+工&晶-彳乙品1中，问口Qco犷（，4物是否为能量的本征态？若是，笃出苴本征值.若不是，说明理由：3在中亿仇劭中,冽角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为第少？门。分）