高一数学不等式部分经典习题及答案

3.不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则,abcd（若，则），但异向不等式不可以相加；同acbd,abcdacbd向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若0,0abcdacbd，则）；0,0abcdabcd3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则0ab或；nnabnnab4．若，，则；若，，则。如0abab11ab0abab11ab（1）对于实数中，给出下列命题：cba,,①；②；22,bcacba则若babcac则若,22③；④；22,0bababa则若baba11,0则若⑤；⑥；baabba则若,0baba则若,0⑦；⑧，则。bcbacabac则若,011,abab若0,0ab其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，则的取值范围是______11xy13xy3xy（答：）；137xy（3）已知，且则的取值范围是______cba,0cbaac（答：）12,2二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设，比较的大小0,10taa且21loglog21ttaa和（答：当时，（时取等号）；当时，1a11loglog22aatt1t01a（时取等号））；11loglog22aatt1t（2）设，，，试比较的大小2a12paa2422aaqqp,（答：）；pq（3）比较1+与的大小3logx)10(2log2xxx且（答：当或时，1+＞；当时，1+01x43x3logx2log2x413x3logx＜；当时，1+＝）2log2x43x3logx2log2x三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。（1）下列命题中正确的是A、的最小值是2B、1yxx的最小值是22232xyxC、的最大值是423(0)yxxx243D、的最小值是423(0)yxxx243（答：C）；（2）若，则的最小值是______21xy24xy（答：）；22（3）正数满足，则的最小值为______,xy21xyyx11（答：）；3224.常用不等式有：（1）(根据目标不等式2222211abababab左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，（当且仅222abcabbcca当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度abc0,0abmbbmaam问题）。如果正数、满足，则的取值范围是_________ab3baabab（答：）9,五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1nnnnnnnnn11111121kkkkkkkkk（1）已知，求证：；cba222222cabcabaccbba(2)已知，求证：；Rcba,,)(222222cbaabcaccbba（3）已知，且，求证：；,,,abxyR11,xyabxyxayb(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：；lglglglglglg222abbccaabc（5）已知，求证：；Rcba,,2222abbc22()caabcabc(6)若，求证：；*nN2(1)1(1)nn21nn(7)已知，求证：；||||ab||||||||||||abababab（8）求证：。2221111223n六．一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若axb0abxa0abxa,则当时，；当时，。如0a0bxR0bx已知关于的不等式的解集为，则关x0)32()(baxba)31,(于的不等式的解集为_______x0)2()3(abxba（答：）{|3}xx七．一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和00时的解集你会正确表示吗？设,是方程的0a12,xx20axbxc两实根，且，则其解集如下表：12xx20axbxc20axbxc20axbxc20axbxc0或1{|xxx2}xx或1{|xxx2}xx12{|}xxxx12{|}xxxx0{|}2bxxaR{|}2bxxa0RR如解关于的不等式：。x01)1(2xaax（答：当时，；当时，或；当时，0a1x0a1x1xa01a；当时，；当时，）11xa1ax1a11xa八．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()fx的符号变化规律，写出不等式的解集。（1）解不等式。2(1)(2)0xx（答：或）；{|1xx2}x（2）不等式的解集是____2(2)230xxx（答：或）；{|3xx1}x（3）设函数、的定义域都是R，且的解集为()fx()gx()0fx，的解集为，则不等式的解集为{|12}xx()0gx()()0fxgx______（答：）；(,1)[2,)（4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个x0922axx的值至少满足不等式中的一个，则实数x08603422xxxx和a的取值范围是______.（答：）81[7,)8九．不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。（1）解不等式25123xxx（答：）(1,1)(2,3)（2）关于的不等式的解集为，求关于的不等式x0bax),1(x的解集。02xbax（答：）.),2()1,(十．绝对值不等式的解法：1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|xx（答：）；xR（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；解不等式|||1|3xx（答：）(,1)(2,)（4）两边平方：若不等式对恒成立，则实数的取值范围为|32||2|xxaxRa______。（答：）4{}3十一．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如（1）若，则的取值范围是__________2log13aa（答：或）；1a203a（2）解不等式2()1axxaRax（答：时，；时，或；时，0a{|x0}x0a1{|xxa0}x0a或）1{|0}xxa0}x提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于的不等式的解集为，则x0bax)1,(不等式的解集为__________（答：（－1,2））02baxx十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）（1).恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上AxfDDminfxA若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上BxfDDmaxfxB如（1）设实数满足，当时，的取值范围,xy22(1)1xy0xycc是______（答：）；21,（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范axx34xa围_____（答：）；1a（3）若不等式对满足的所有都成立，则的)1(122xmx2mmx取值范围_____（答：（,））；712312（4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数nann1)1(2)1(n的取值范围是_____a（答：）；3[2,)2（5）若不等式对的所有实数都成立，求22210xmxm01xx的取值范围.m（答：）12m（2).能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间DxAxf上；DmaxfxA若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间DxBxf上的.如DminfxB已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数axx34R的取值范围____a（答：）1a（3).恰成立问题若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的AxfDAxf解集为；D若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的BxfDBxf解集为.D十三．对于方程有实数解的问题。首先要讨论02cbxax最高次项系数是否为0，其次若，则一定有a0a。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含042acb有参数时，你是否注意到同样的情形？（1）对一切恒成立，则的取值范围222210axaxRxa是_______（答：）；(1,2]（2）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中x()fxkkDD为的值域)，特别地，若在内有两个不等的实根满足等式()fx[0,]2，则实数的范围是_______.cos23sin21xxkk（答：）[0,1)十四．一元二次方程根的分布理论。方程在上有两根、在上有两根、在2()0(0)fxaxbxca),(k(,)mn和上各有一根的充要条件分别是什么？),(k),(k（、、）。根的分0()02fkbka0()0()02fmfnbman()0fk布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数],[nm0)(xf解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再),(nm令和检查端点的情况．nxmx如实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1220xaxb且小于2，则的取值范围是_________12ab（答：（，1））41十五．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式20axbxc的解集的端点值，也是二次函数的20(0)axbxc2yaxbxc图象与轴的交点的横坐标。x（1）不等式的解集是，则=__________32xax(4,)ba（答：）；18（2）若关于的不等式的解集为，其x02cbxax),(),(nmy(a>0)Okx1x2x中，则关于的不等式的解集为________0nmx02abxcx（答：）；),1()1,(nm（3）不等式对恒成立，则实数的取值范围23210xbx[1,2]xb是_______（答：）。