10.2 事件的相互独立性激趣诱思
知识点
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拨知识点一、两个事件相互独立对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.名师点析(1)如果A与B相互独立,那么A与也都相互独立.(2)必然事件Ω、不可能事件⌀都与任意事件相互独立.因为必然事件Ω总会发生,不会受任何事件是否发生的影响,不可能事件⌀总不会发生,也不受任何事件是否发生的影响.当然,它们也不影响其他事件是否发生.(3)对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立.探究一探究二探究三素养形成当堂检测相互独立事件同时发生的概率例3某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.分析把所求事件分解成几个独立事件或互斥事件.激趣诱思知识点拨微思考分别抛掷两枚质地均匀的硬币,事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”.你觉得事件A发生与否会影响事件B的发生吗?P(A),P(B)与P(AB)有怎样的关系?激趣诱思知识点拨微练习若事件A与B相互独立,则下面的事件不相互独立的是( )
答案
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:A激趣诱思知识点拨知识点二、两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式若A,B是两个相互独立事件,则有P(AB)=P(A)P(B)成立.名师点析(1)三个事件A,B,C两两互斥,则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立.但三个事件A,B,C两两独立时,等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.(2)A,B,C相互独立的充要条件是:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A),P(ABC)=P(A)P(B)·P(C),4个条件每个都必不可少.激趣诱思知识点拨微思考如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点,你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么?提示:可以推测这枚骰子的质地不均匀,并且很有可能是标有6点的那面比较重,使得出现1点的概率最大,才会连续10次都出现1点.激趣诱思知识点拨微练习若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)=,则P(EF)的值等于( ) 答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,记A=“第一次摸的白球”,B=“第二次摸的白球”,则A与B( )A.互斥 B.相互独立C.对立 D.不相互独立答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:记事件A
表
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示“从甲袋中摸出一个红球”,事件B表示“从乙袋中摸出一个红球”,事件C表示“从甲、乙两袋中各摸一个球,恰好摸出一个红球”,事件D表示“至少摸出一个红球”.激趣诱思知识点拨问题一:“常言道,三个臭皮匠能抵诸葛亮.”怎样从数学上来解释呢?将问题具体化:假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88,三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.6、0.5、0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗?问题二:2010年1月26日上午,NBA常规赛进行了一场焦点之战——勒布朗·詹姆斯领衔的克利夫兰骑士在客场挑战由韦德率领的迈阿密热火.比赛非常激烈,直到终场前3.1秒比分打成90平,热火队犯规,詹姆斯获两次罚篮机会,已知詹姆斯的罚篮命中率为77.6%,问骑士队此时获胜的概率是多少?探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2甲、乙两人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为(1)2人都译不出密码的概率;(2)恰有1人译出密码的概率;(3)至多有1人译出密码的概率;(4)至少有1人译出密码的概率.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟求相互独立事件同时发生的概率时,可运用公式P(AB)=P(A)P(B).在解决问题时,要搞清事件是否独立,把复杂事件分解为若干简单事件来处理,同时还要注意运用对立事件把问题简单化.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为( )A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:分别记这段时间内开关JA,JB,JC能够闭合为事件A,B,C.由题意知,这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响.根据相互独立事件概率的乘法公式,得这段时间内3个开关都不能闭合的概率探究一探究二探究三素养形成当堂检测
方法
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点睛概率问题中的数学
思想
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(1)正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+P()=1)简化问题,是求解概率问题最常用的方法.(2)化繁为简.将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已知事件之间的关系.弄清“所求事件”是分几类(考虑加法公式,转化为互斥事件)还是分几步(考虑乘法公式,转化为相互独立事件).(3)方程思想.利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程(组),通过解方程(组)使问题获解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为( )A.1-a-b B.1-abC.(1-a)(1-b) D.1-(1-a)(1-b)解析:设A表示“第一道工序的产品为正品”,B表示“第二道工序的产品为正品”,且P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b).答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.答案:0.98
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