第8讲、类比结构构造——类比探究（讲义）1.我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2、图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=_____BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为_________．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=23，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由．图3B'C'DDCC'B'ADαβABCABBC图4图1图22.【探索发现】如图1，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．【拓展应用】如图2，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为__________（用含a，h的代数式表示）．【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108，CDcm=60，cm4且tanBtanC，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最3大的矩形PQMN，求该矩形的面积．AAEAAEDEFPENADDBQCBCDCBDMBBCC图图（4）图1图2图（2）图3图4DABC图（4）备用图3.折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（如图1），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（如图2）．第二步，如图3，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．EADAEDADPGBCBCBCFF图1图2图3（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图4，小明画出了图3的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．ADADPBCBC图4图5（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm．对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．【问
题
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解决】（4）从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为__________cm．4.已知四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线交于点E．（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED·EA=EC·EB．3（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四5边形ABCD的面积．3（3）如图3，另一组对边AB，DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC=，CD=5，5CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）．BCAED图1BCEDA图2FCBEDA图3【参考答案】11.（1）①；②4；21（2）AD=BC，证明略；2（3）存在，“旋补中线”长为39．12.【探索发现】；21【拓展应用】ah；4【灵活应用】该矩形的面积为720；【实际应用】该矩形的面积为19442．cm3.（1）证明略；（2）先将△BPC按点B逆时针旋转某个适当角度得△BPC，再将△BPC以B为位似中1111心放大，使点C的对应点C落在边CD上，得到△BPC；1222（3）略；16（4）．54.（1）证明略；（2）四边形ABCD的面积为75183；5n25（3）AD的长为．n6
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