第25讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

课前双基巩固课堂考点探究教师备用习题第四单元三角函数、解三角形第25讲　函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的实际意义;能借助图像理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图像的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念  　ωx+φ　　φ 振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)AT=　　　 　　　 　　　 x　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 ωx+φ　　　 　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　y=Asin(ωx+φ)0A0-A02.用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:　 　  2π 　 　 π 0 3.函数y=sinx的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤|φ| 常用结论1.“五点法”作图中,相邻两点的横向距离均为.2.在正弦函数图像、余弦函数图像中,相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期.3.若直线x=a为正(余)弦曲线的对称轴,则正(余)弦函数一定在x=a处取得最值.4.若函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的最大值为M,最小值为m,则A=,k=. 题组一　常识题1.[教材改编]y=2sin（x-）的振幅、频率和初相依次为　　　　　　.  [解析]由题意知A=2,f===,初相为-. 2,,-　 2.[教材改编]函数y=cosx的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍,得到的图像对应的函数解析式是　　　　　.  [解析]根据函数图像变换法则可得.　 3.[教材改编]将函数y=sinx的图像向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数y=sin（x-）的图像,则φ=　　　　.  [解析]将函数y=sinx的图像向左平移φ个单位后,得到函数y=sin(x+φ)的图像,由题意知y=sin(x-)=sin(x+),0≤φ<2π,所以φ=. 　　 4.[教材改编]函数y=cos（2x-）的周期为　　　　,单调递增区间为　　　　　　　　　.  [解析]y=cos(2x-)=sin2x,所以函数的周期T==π.由-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),故函数的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).   题组二　常错题◆索引:搞错图像应平移多少个单位;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;对可能出现的情况考虑不全面;确定不了函数解析式中φ的值.5.为了得到函数y=2sin(5x-)的图像,可以将函数y=2sin5x的图像向　　　　平移　　　　个单位.  [解析]y=2sin(5x-)=2sin5(x-),故将函数y=2sin5x的图像向右平移个单位即可得到y=2sin(5x-)的图像. 右　　　 6.若函数y=cos(ωx+)(ω∈N*)图像的一个对称中心是（,0）,则ω的最小值为　　　　.  [解析]由题意知+=kπ+(k∈Z),则ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N*,所以ωmin=2. 27.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f(+t)=f(-t),且f()=-3,则实数m=　　　　.  [解析]由f(+t)=f(-t)得,直线x=为函数f(x)的图像的对称轴,故当x=时,函数取得最大值或最小值,即-2+m=-3或2+m=-3,解得m=-1或m=-5. -1或-5　8.电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I=Msin(ωt+φ)(M>0,ω>0,0<φ<)的部分图像如图3-23-1所示,则当t=s时,电流强度是　　　　A.  [解析]由图像知M=10,周期T满足=-=,∴ω==100π,∴I=10sin(100πt+φ).∵函数图像过点(,10),∴100π×+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z,0<φ<,∴φ=,∴I=10sin(100πt+).∴当t=s时,I=-5A. -5　探究点一　正(余)弦型函数的图像变换例1(1)[2020·马鞍山三模]将函数f(x)=2sin(x+)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图像,则(　　)A.g(x)=2sinxB.g(x)=2sin(x+)C.g(x)=2sin(2x-)D.g(x)=2sin(2x+) [思路点拨]先求出将函数f(x)=2sin(x+)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图像对应的函数解析式,再求将所得图像向左平移个单位得到的图像对应的函数解析式; B探究点一　正(余)弦型函数的图像变换例1(1)[2020·马鞍山三模]将函数f(x)=2sin(x+)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图像,则(　　)A.g(x)=2sinxB.g(x)=2sin(x+)C.g(x)=2sin(2x-)D.g(x)=2sin(2x+) [解析]将函数f(x)=2sin(x+)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin(x+)的图像,再将所得图像向左平移个单位,得到函数y=g(x)=2sin[(x+)+]=2sin(x+)的图像.故选B. B(2)[2020·湖南雅礼中学月考]要得到函数y=cos(2x-)的图像,可把函数y=sin(2x+)的图像(　　)A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位 [思路点拨]利用诱导公式,函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律即可求解.[解析]由于cos(2x-)=sin(2x-+)=sin(2x++)=sin[2(x+)+],故要得到函数y=cos(2x-)的图像,可把函数y=sin(2x+)的图像向左平移个单位.故选D. D[总结反思]由y=sinx的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位;而先伸缩再平移,平移的量是(ω>0)个单位.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值. 变式题(1)(多选题)要得到函数y=sin(2x-)的图像,只需将函数y=sinx的图像经过下列两次变换,则下列变换正确的是(　　)A.先将函数y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将所得图像向右平移个单位B.先将函数y=sinx的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像向右平移个单位C.先将函数y=sinx的图像向右平移个单位,再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)D.先将函数y=sinx的图像向右平移个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) AD[解析]要得到函数y=sin(2x-)的图像,有两种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 .方法一:先将y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin2x的图像,再将所得图像向右平移个单位,可得函数y=sin(2x-)的图像.方法二:先将y=sinx的图像向右平移个单位,得到函数y=sin(x-)的图像,再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),可得函数y=sin(2x-)的图像.故选AD. (2)将函数y=sin(6x+)的图像上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位,得到的图像的一个对称中心是(　　)A.(,0)B.(,0)C.(,0)D.(,0) [解析]将函数y=sin(6x+)的图像上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的3倍,得到y=sin(2x+)的图像,再将所得图像向右平移个单位,得到y=sin[2(x-)+]=sin2x的图像.将x=代入y=sin2x,得y=0,所以所得图像的一个对称中心是(,0),故选A. A(3)[2020·西安二模]将函数f(x)=sin（2x-）的图像向左平移a(a>0)个单位,得到函数g(x)=cos2x的图像,则a的最小值为(　　)A.B.C.D. [解析]由题意知,将f(x)=sin(2x-)的图像向左平移a(a>0)个单位,得到函数g(x)=sin[2(x+a)-]=sin(2x+2a-)的图像,又g(x)=cos2x=sin(2x+),所以2a-=+2kπ(k∈Z),当k=0时,a取得最小值.故选B.  探究点二　正(余)弦型函数的图像与解析式例2(1)[2020·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=cos(ωx+)在[-π,π]的图像大致如图3-23-2所示,则f(x)的最小正周期为(　　)A.B.C.D. [思路点拨]将点(-,0)代入函数的解析式可求得ω,结合函数图像可以得到函数的周期的取值范围,从而解得k的取值范围,进而得到函数f(x)的周期; C探究点二　正(余)弦型函数的图像与解析式例2(1)[2020·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=cos(ωx+)在[-π,π]的图像大致如图3-23-2所示,则f(x)的最小正周期为(　　)A.B.C.D. [解析]∵点(-,0)在函数f(x)的图像上,∴cos[ω×(-)+]=0,∴-ω+=-+2kπ(k∈Z),∴ω=-k(k∈Z),∴f(x)的最小正周期T==(k∈Z).由图可知<T<,得<<(k∈Z),解得-<k<或<k<(k∈Z),故k=0,则f(x)的最小正周期为.故选C. C(2)若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图像如图3-23-3所示,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　.  [思路点拨]由函数的图像的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式.[解析]由题意及图知A=2,周期T满足=+=,∴T=π,即=π,∴ω=2.∵f(x)的图像过最高点(,2),∴2=2sin(2×+φ),得φ=+2kπ,k∈Z,∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin(2x+). f(x)=2sin(2x+) [总结反思]根据三角函数图像求解析式,重在对A,ω,φ的理解,主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图像的最高点或最低点的坐标代入.②五点法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.变式题(1)[2020·德阳模拟]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π).若函数y=|f(x)|的图像如图3-23-4所示,则(　　)A.f(x)=2sin(4x+)B.f(x)=2sin(4x-)C.f(x)=2sin(x-)D.f(x)=2sin(x+) [解析]由题图知A=2,由于函数y=|f(x)|的周期为函数y=f(x)的周期的一半,设函数y=f(x)的周期为T,根据函数y=|f(x)|的图像可得T=-=,解得T=,所以ω=4.因为当x=时,=2,所以4×+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z),又|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=2sin(4x+).故选A. A(2)[2020·安徽淮北二模]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)满足f(x+)=-f(x),若把函数f(x)的图像向左平移个单位后得到的图像对应的函数为偶函数,则函数f(x)的解析式为(　　)A.f(x)=sin(x+)B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(4x+)D.f(x)=sin(2x-) [解析]由f(x+)=-f(x),得f(x+π)=-f(x+)=f(x),所以f(x)的周期为π,得=π,所以ω=2.f(x)的图像向左平移个单位后得到的图像对应的函数为y=sin(2x++φ),且为偶函数,所以π+φ=kπ+,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin(2x-).故选D. D[思路点拨]利用辅助角公式将函数f(x)的解析式化简为f(x)=2sin(ωx+),由题可知,周期T=π,从而求得ω的值和f(x)的解析式,再根据正弦函数的单调性即可得解; 例3(1)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x1,x2为函数f(x)的两个极值点,若|x1-x2|的最小值为,则(　　)A.f(x)在[-,]上单调递减B.f(x)在[-,]上单调递增C.f(x)在[-,]上单调递减D.f(x)在[-,]上单调递增 B探究点三　正(余)弦型函数图像与性质的应用[解析]函数f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+),由题意可知=,∴T=π,即=π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+).令2x+∈[2kπ-,2kπ+],k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,当k=0时,可得函数f(x)的一个单调递增区间为[-π,],故B正确,A错误; 例3(1)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x1,x2为函数f(x)的两个极值点,若|x1-x2|的最小值为,则(　　)A.f(x)在[-,]上单调递减B.f(x)在[-,]上单调递增C.f(x)在[-,]上单调递减D.f(x)在[-,]上单调递增 B探究点三　正(余)弦型函数图像与性质的应用令2x+∈[2kπ+,2kπ+],k∈Z,得函数f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z,故f(x)在[-,]上不单调,故C,D错误.故选B. 例3(1)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x1,x2为函数f(x)的两个极值点,若|x1-x2|的最小值为,则(　　)A.f(x)在[-,]上单调递减B.f(x)在[-,]上单调递增C.f(x)在[-,]上单调递减D.f(x)在[-,]上单调递增 B探究点三　正(余)弦型函数图像与性质的应用(2)[2020·运城一模]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若f()=,f()=0,且f(x)在(0,π)上是单调的,则下列说法正确的是(　　)A.ω=B.f(-)=C.函数f(x)在[-π,-]上单调递减D.函数f(x)的图像关于点(,0)对称 [思路点拨]因为f(x)在(0,π)上是单调的,所以f(x)的周期大于等于2π,所以f()=,f()=0对应的点的横坐标在一个周期内,且相差,由此可求出ω,进一步求出φ的值.然后逐项判断.[解析]因为f(x)在(0,π)上是单调的,所以f(x)的周期大于或等于2π,因为f()=,f()=0,所以=-=,得T=3π,所以ω=,故A中说法错误; B(2)[2020·运城一模]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若f()=,f()=0,且f(x)在(0,π)上是单调的,则下列说法正确的是(　　)A.ω=B.f(-)=C.函数f(x)在[-π,-]上单调递减D.函数f(x)的图像关于点(,0)对称 f(x)=2sin(x+φ),由f()=0得×+φ=kπ,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z,又因为0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=2sin（x+）,所以f(-)=2sin=2sin(+)=,故B正确;当x∈[-π,-]时,+∈[0,],因为y=sinx在[0,]上单调递增,所以f(x)在[-π,-]上单调递增,故C错误;因为f()=2sin=-2≠0,故D错误.故选B. B[总结反思]三角函数图像与性质综合问题的求解思路:(1)将函数整理成y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)或y=Acos(ωx+φ)+B(ω>0)的形式;(2)把ωx+φ看成一个整体;(3)借助正弦函数y=sinx或y=cosx的图像与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.变式题[2020·杭州三模]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ<)的部分图像如图3-23-5所示.(1)求函数f(x)的解析式; 解:(1)由图像可知=-=,∴T=π,ω==2.∵函数的图像经过点(0,1)和(,0),∴∴∵A>0,0<φ<,∴φ=,A=2,∴函数的解析式为f(x)=2sin(2x+). 变式题[2020·杭州三模]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ<)的部分图像如图3-23-5所示.(2)求函数g(x)=f(x-)-f(x+)在[,]上的取值范围. 解:(2)由(1)可知f(x-)=2sin[2(x-)+]=2sin2x,f(x+)=2sin[2(x+)+]=2sin(2x+),∴g(x)=f(x-)-f(x+)=2[sin2x-sin(2x+)]=2sin(2x-).∵x∈[,],∴2x-∈[,],∴sin(2x-)∈[,1],∴函数g(x)在[,]上的取值范围为[1,2]. 探究点四　三角函数模型的简单应用　　　　　　　　　　　　　　　　　例4[2020·杭州模拟]如图3-23-6,某公园摩天轮的半径为40m,圆心O距地面的高度为50m,摩天轮逆时针匀速转动,每3min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.(1)已知在时刻t(min)时P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h(ω>0,|φ|<π),求当t=2006min时,P距离地面的高度;(2)当距离地面的高度在(50+20)m以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈的过程中有多少时间可以看到公园的全貌? [思路点拨](1)由已知可得,函数f(t)的振幅A等于摩天轮的半径,即A=40,周期T=3,即ω=,h=50,零时刻时,摩天轮上的点P在最低点处,可知初相φ=-,这样便可求得f(t)的解析式,从而求得当t=2006min时,P距离地面的高度;(2)从最低处开始到达高度为(50+20)m处时刚好看不到公园的全貌,经过最高点再下降至高度为(50+20)m处时又刚好看不到公园的全貌,求得两次的时间差即为转一圈的过程中能看到公园的全貌的时间. 解:(1)依题意,A=40,h=50,T=3,则ω=,∴f(t)=40sin(t+φ)+50,由f(0)=10,得40sinφ+50=10,又|φ|<π,∴φ=-,∴f(t)=40sin(t-)+50(t≥0),∴f(2006)=40sin(×2006-)+50=70.故当t=2006min时,P距离地面的高度为70m.(2)由(1)知f(t)=40sin(t-)+50=50-40cost(t≥0),令f(t)>50+20,则-40cost>20,∴cost<-,∴2kπ+<t<2kπ+,k∈N,∴3k+<t<3k+,k∈N.∵3k+-(3k+)==0.5,∴转一圈的过程中有0.5min的时间可以看到公园的全貌. [总结反思]三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键:(1)已知函数解析式(模型),利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.(2)函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是利用三角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量,如周期、振幅、初相等,然后建立模型.变式题桂花是安徽合肥的市花,是城市形象的重要标志,每年农历八月,安徽合肥的桂花遍地开放,它的最适生长气温是15~30℃.若安徽合肥某地农历八月的一天从4~16时的温度变化近似满足函数f(x)=Asin(x-)+B(A>0),当x∈[4,16]时,最高温度为30℃,最低温度为10℃.(1)求函数f(x)的解析式; 解:(1)因为f(x)=Asin(x-)+B(A>0),所以当x=6时函数取得最小值,当x=14时函数取得最大值,所以-A+B=10,A+B=30,解得A=10,B=20,所以f(x)=10sin(x-)+20. 变式题桂花是安徽合肥的市花,是城市形象的重要标志,每年农历八月,安徽合肥的桂花遍地开放,它的最适生长气温是15~30℃.若安徽合肥某地农历八月的一天从4~16时的温度变化近似满足函数f(x)=Asin(x-)+B(A>0),当x∈[4,16]时,最高温度为30℃,最低温度为10℃.(2)求桂花在这天的4~16时内最适合生长的时长. 解:(2)令10sin(x-)+20≥15,得sin(x-)≥-,因为x∈[4,16],所以解不等式得≤x≤16,故桂花在这天的4~16时内最适合生长的时长为16-=(小时). 【备选理由】例1考查由图像求解析式、函数的性质等基础知识;例2考查伸缩、平移变换以及三角函数的性质;例3考查三角函数模型的简单应用.例1[配合例2使用][2020·安徽蚌埠二模]已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图像如图所示,且f(x)在x=x0处取得最小值,则|x0|的最小值为(　　)A.B.C.D. [解析]由题可知A=2,T=×(-)=2π,所以ω==1,则f(x)=2cos(x+φ).因为f()=2cos(+φ)=2,所以+φ=2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2cos(x-).因为f(x)在x=x0处取得最小值,所以x0-=π+2kπ,k∈Z,则x0=+2kπ,k∈Z,当k=-1时,|x0|有最小值,故选D. D例2[配合例1、例3使用](多选题)[2020·湖南长郡中学月考]将函数y=sin2x的图像向左平移个单位,再将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)的图像,对于函数y=f(x)有以下四个判断,其中正确的是(　　)A.函数的解析式为f(x)=2sin(2x+)B.函数图像关于点(,0)对称C.函数在[0,]上是增函数D.若函数y=f(x)+a在[0,]上的最小值为,则a=2 BD[解析]将函数y=sin2x的图像向左平移个单位得到y=sin[2(x+)]=sin(2x+)的图像,然后将所得图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到f(x)=2sin(2x+)的图像,所以A不正确.f（）=2sin(2×+)=2sinπ=0,所以函数f(x)的图像关于点(,0)对称,所以B正确.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z,当k=0时,得到函数的一个单调递增区间为[-,],所以C不正确.y=f(x)+a=2sin(2x+)+a,当0≤x≤时,≤2x+≤,故-≤sin(2x+)≤1,所以当2x+=,即x=时,函数y=f(x)+a取得最小值,其最小值为2sin+a=-+a=,所以a=2,所以D正确.故选BD. 例3[配合例4使用]为了研究钟表的秒针运动与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖的位置为P(x,y).若初始位置为P0(,),当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)A.y=sin(t+)B.y=sin(-t-)C.y=sin(-t+)D.y=sin(-t-) [解析] 因为函数的周期T=60,所以初相ω==.因为|OP0|=1,所以振幅A=1,故可设函数的解析式为y=sin(-t+φ)(顺时针走动为负方向),其中|φ|<.因为初始位置为P0(,),所以当t=0时,y=,所以sinφ=,又|φ|<,所以φ=,所以函数解析式为y=sin(-t+).故选C. C