旋转型相似三角形应用的分析方法

旋转型相似三角形应用的分析方法∠BAD=∠CAE，∠ACB=∠AED=>△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE=>AB•AE=AC•AD在几何问题中，出现了由一点发出的四条两两交成等角的成比例线段时，就要应用旋转型相似三角形进行证明，找相似三角形的方法是将由这个公共端点发出的四条两两交成等角的成比例线段两两组成相似三角形，也就是将成比例的四条线段的端点两两连结得到相似三角形，且可以得到两对旋转型相似三角形。由于由同一点发出的四条线段，总有顺序关系，而1、4和2、3组成的三角形是不相似的，所以必定是两种可能：即1、2和3、4组成相似三角形；1、3和2、4组成相似三角形，也就相应地得到这两对同时出现的旋转型相似三角形。在几何问题中，出现了由一点发出的四条两两交成等角的成比例线段会出现一种特殊情况，就是其中的两条相乘线段重叠在角平分线上时，仍然要应用旋转型相似三角形进行证明，找相似三角形的方法也仍然是将由这个公共端点发出的四条两两交成等角的成比例线段两两组成相似三角形。例1，已知：⊙O与⊙O'相交于A、B，⊙O的弦AC交⊙O'于D，⊙O'的弦AE交⊙O于F，连结BC、BD、BE、BF．求证：BC•BE=BD•BF分析1：本题要证明的结论BC•BE=BD•BF是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现这是由同一点B发出的四条成比例线段，同时通过观察可以判断它们是两两交成等角的，从而可应用旋转型相似三角形进行证明，根据由B发出的四条成比例线段BC、BD、BF、BE两两组成相似三角形的方法，如选取BC、BD组成△BCD，那么BF、BE就应组成△BFE，如选取BC、BD组成△BCD，那么BF、BE就应组成△BFE，问题也就成为应证△BCD和△BFE相似，由条件A、C、B、F四点共圆，且A、F、E成一直线，所以∠BCD=∠BFE，根据同样的道理，由A、D、B、E四点共圆，A、D、C成一直线，又可得∠BDC=∠BEF，所以△BCD和△BFE相似就可以证明，分析就可以完成。分析2：如选取BC、BF组成△BCF，那么BD、BE就应组成△BDE，但现在图形中这两个三角形都还未出现，所但现在图形中这两个三角形都还未出现，所以应先将这两个三角形添完整，也就是连结CF、DE，问题也就成为应证△BCF和△BDE相似，由于∠BFC是⊙O的一个圆周角，所以就可以应用或添加圆周角的基本图形进行证明，现在图形中∠BFC所对的弧BC所对的另一个圆周角尚未出现，所以应先将这个圆周角添上，也就是连结AB，于是由条件给出的A、C、B、F四点共圆，就可得∠BFC=∠BAC，又因为A、D、B、E四点共圆，又可得∠BAD=∠BED，所以∠BFC=∠BED，根据同样的道理，由A、C、B、F四点共圆，可得∠BCF=∠BAF，由A、D、B、E四点共圆，可得∠BDE=∠BAE，所以∠BCF=∠BDE，所以△BCF和△BDE相似就可以证明，分析就可以完成例2，已知：△ABC内接于⊙O，AD⊥BC垂足是D，AE是⊙O的直径．求证：AB•AC=AD•AE分析1：本题要证明的结论AB•AC=AD•AE，是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现这是由同一点A发出的四条成比例线段，同时通过观察可以判断它们是两两交成等角的，从而可添加旋转型相似三角形进行证明，从而可添加旋转型相似三角形进行证明，添加的方法是将由A发出的四条成比例线段AB、AC、AD、AE两两组成相似三角形，如选取AC、AD组成△ACD，那么AE、AB就应组成△AEB，于是连结BE，问题就成为应证△ABE和△ADC相似，由条件AE是⊙O的直径，B是半圆上的一点，所以应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质，可得∠ABE=90°，而由条件AD是△ABC的高，又可得∠ADC=90°，所以∠ABE=∠ADC=90°，又因为∠AEB和∠ACD是同弧所对的圆周角，当然相等，所以△ABE和△ADC相似就可以证明，分析就可以完成。分析2：如选择AB、AD组成△ABD，那么AE、AC就应组成△AEC，于是连结CE，问题就成为应证△ABD和△AEC相似，由条件AE是⊙O的直径，C是半圆上的一点，所以应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质，可得∠ACE=90°，而由条件AD是△ABC的高，又可得∠ADB=90°，所以∠ADB=∠ACE=90°，又因为∠ABD和∠AEC是同弧所对的圆周角，当然相等，所以△ABD和△AEC相似就可以证明，分析就可以完成。例3，已知：⊙O与⊙O'相交于A、B，过B作直线交⊙O于C、交⊙O'于D，连结AO、AC、AO'、AD，求证：AO•AD=AC•AO'分析1：本题要证明的结论AO•AD=AC•AO'，是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现这是由同一点A发出的四条成比例线段，同时通过观察可以判断它们是两两交成等角的，从而可应用旋转型相似三角形进行证明，根据由A发出的四条成比例线段AO、AD、AC、AO'两两组成相似三角形的方法，如选择AO、AO'组成△AOO'，那么AC、AD就应组成△ACD，但现在图形中△AOO'还未出现，所以应先将这个三角形添完整，也就是连结OO'，问题也就成为应证△AOO'和△ACD相似，于是首先考虑证明∠AOO'=∠ACD，由于OO'是相交两圆的连心线，所以就想到要应用相交两圆的性质，也就是连心线垂直平分公共弦的性质进行证明，但现在图形中公共弦尚未出现，所以应先将公共弦添上，也就是连结AB，就可得OO'垂直平分AB，OO'平分弧AB，于是由∠AOO'是⊙O的一个圆心角，可得∠AOO'的度数=1/2（☉O的）弧AB的度数，而由∠ACB是⊙O的一个圆周角，也可得∠ACB的度数=1/2（☉O的）弧AB的度数，所以∠AOO'=∠ACD，根据同样的道理，又可得∠AO'O=∠ADC，所以△AOO'和△ACD相似就可以证明，分析就可以完成。例4，已知：四边形ABCD内接于⊙O，E是⊙O上的一点，EF⊥AB垂足是F，EG⊥BC垂足是G，EH⊥CD垂足是H，EI⊥AD垂足是I．求证：EG•EI=EF•EH所以应首先描图，搞清楚它们之间的位置关系，经过描图可以发现这是由一点E发出的四条成比例线段，从而可通过添加旋转型相似三角形进行证明，分析1：本要题要证明的结论EG•EI=EF•EH是线段之间的比例关系，所以应首先描图，搞清楚它们之间的位置关系，经过描图可以发现这是由一点E发出的四条成比例线段，从而可通过添加旋转型相似三角形进行证明，添加的方法是将这四条线段两两组成相似三角形，若考虑将EF、EG和EI、EH分别组成三角形，则连结FG、IH，然后应证△EFG∽△EIH，由条件∠EFB=∠EGB=90°，所以可应用圆周角或圆内接四边形的基本图形的性质进行证明，也就是可得E、F、B、G四点共圆，于是连结BE后，可得∠EFG=∠EBG，根据同样的道理，由∠EID=∠EHD=90°，得E、I、D、H四点共圆，连结ED后，可得∠EIH=∠EDH，这样要证明这一对三角形相似，首先就可以证∠EFG=∠EIH，也就转化为要证∠EBG=∠EDH，由于条件给出B、E、C、D四点共圆，所以这两个角相等就可以证明，根据类似的方法，由E、F、B、G四点共圆，可得∠EGF=∠EBF，由E、I、D、H四点共圆，可得∠EHI=∠EDI，而由A、B、E、D四点共圆和F、B、A共线，又可得∠EBF=∠EDA，所以∠EGF=∠EHI，从而就可证明△EFG∽△EIH，分析就可以完成。分析2：若考虑将EF和EI、EG和EH分别组成三角形，则连结FI、GH，就应证△EFI∽△EGH，而由∠EFA=∠EIA=90°，可得E、I、A、F四点共圆，∠EIF=∠EAF，∠EAI=∠EFI，再由∠EGC=∠EHC=90°，又可得E、H、C、G四点共圆，∠EHG=∠ECG，∠EGH=∠ECH，而由A、B、E、C四点共圆，又可得∠BAE=∠BCE，所以∠EIF=∠EHG，而由A、E、C、D四点共圆，D、C、H成一直线，又可得∠ECH=∠EAD，从而可得∠EFI=∠EGH，所以△EFI∽△EGH就可以证明。例5，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，CD是∠ACB的角平分线．求证：BC=CD+AD分析1：本题要证的结论BC=CD+AD，是一条线段等于两条线段的和，所以可根据线段和差关系的定义来进行分析，所以想到在和线段BC上截取线段等于CD，证明留下来的线段和AD相等，也就是在线段BC上截取CE=CD，然后应证BE=AD，这样就出现了CE和CD是两条具有公共端点C的相等线段，所以它们可以组成一个等腰三角形，现在这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以应将底边添上，也就是连结DE，就可得∠CDE=∠CED，由条件AB=AC，∠A=100°，应用等腰三角形的性质可得，而CD是∠ACB的角平分线，所以，于是就有，从而就得到∠CED=2∠ABC，而由B、E、C成一直线，又有∠CED是△EBD的外角，由此就得△EBD是等腰三角形，BE=DE，这样问题就成为应证DE=AD，由于条件中给出CD是∠ACB的角平分线，所以∠BCD和∠ACD这两个相等的角就是关于CD成轴对称的，从而就可以添加轴对称型全等三角形进行证明，添加的方法是将三角形沿对称轴翻折过去，所以将△ACD沿CD翻折过去，则由∠BCD=∠ACD，可知CA必定落在CB上，所以添加方法就是在CB上截取CF=CA，再连结DF，则由CF=CA，∠FCD=∠ACD和CD=CD，就可得△FCD≌△ACD，DF=DA，这样问题就转化成要证DE=DF，而这又是两条具有公共端点D的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形的基本图形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题，所以问题又应转化成证DE=DF的等价性质∠DEF=∠DFE，但我们已证∠DEF=80°，从而又应证∠DFE也等于80°，由于∠DFE是∠DFC的补角，而∠DFC=∠BAC=100°，所以分析可以完成。分析二：本题要证的结论BC=CD+AD，是一条线段等于两条线段的和，所以可根据线段和差关系的定义来进行分析，所以也可以将CD和AD这两条线段接起来，也就是延长CD到E，使DE=DA，那么问题就成为要证CE=CB，那么问题就成为要证CE=CB,由于这是两条具有公共端点C的相等线段，它们可组成一个等腰三角形，但现在这个等腰三角形只有两条腰，而没有底边，所以应将底边添上，分析1：本题要证的结论BC=CD+AD，是一条线段等于两条线段的和，所以可根据线段和差关系的定义来进行分析，所以想到在和线段BC上截取线段等于CD，证明留下来的线段和AD相等，也就是在线段BC上截取CE=CD，然后应证BE=AD，这样就出现了CE和CD是两条具有公共端点C的相等线段，所以它们可以组成一个等腰三角形，现在这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以应将底边添上，也就是连结DE，就可得∠CDE=∠CED，由条件AB=AC，∠A=100°，应用等腰三角形的性质可得，而CD是∠ACB的角平分线，所以，于是就有，从而就得到∠CED=2∠ABC，而由B、E、C成一直线，又有∠CED是△EBD的外角，由此就得△EBD是等腰三角形，BE=DE,这样问题就成为应证DE=AD，由于条件中给出CD是∠ACB的角平分线，所以∠BCD和∠ACD这两个相等的角就是关于CD成轴对称的，从而就可以添加轴对称型全等三角形进行证明，添加的方法是将三角形沿对称轴翻折过去，所以将△ACD沿CD翻折过去，则由∠BCD=∠ACD，可知CA必定落在CB上，所以添加方法就是在CB上截取CF=CA，再连结DF，则由CF=CA，∠FCD=∠ACD和CD=CD，就可得△FCD≌△ACD，DF=DA，这样问题就转化成要证DE=DF，而这又是两条具有公共端点D的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形的基本图形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题，所以问题又应转化成证DE=DF的等价性质∠DEF=∠DFE，但我们已证∠DEF=80°，从而又应证∠DFE也等于80°，由于∠DFE是∠DFC的补角，而∠DFC=∠BAC=100°，所以分析可以完成。分析二：本题要证的结论BC=CD+AD，是一条线段等于两条线段的和，所以可根据线段和差关系的定义来进行分析，所以也可以将CD和AD这两条线段接起来，也就是延长CD到E，使DE=DA，那么问题就成为要证CE=CB，由于这是两条具有公共端点C的相等线段，它们可组成一个等腰三角形，但现在这个等腰三角形只有两条腰，而没有底边，所以应将底边添上，于是连结BE，然后应证CE=CB的等价性质∠CEB=∠CBE，又因为AB=AC，这是两条具有公共端点A的相等线段，它们可组成一个等腰三角形，这个等腰三角形的顶角∠BAC=100°，所以∠ABC=∠ACB=40°，而CD是∠ACB的角平分线，所以∠BCD=20°，那么问题也就是要证∠CEB=80°，由于∠BCD和∠ACD这两个相等的角是关于CD成轴对称的，所以可添加轴对称型全等三角形进行证明，添加的方法是将△ACD沿CD翻折过去，则由∠BCD=∠ACD，可知CA必定落在CB上，所以添加方法就是在CB上截取CF=CA，并连结DF，即可得△ACD≌△FCD，DA=DF，∠DFC=∠DAC=100°，而B、F、C成一直线，所以∠BFD=80°，这样问题就是要证∠BED=∠BFD，而这一性质也是等价于∠EBA=∠FBA=40°，由于这两个要证明相等的角是关于BD成轴对称的，所以可应用轴对称型全等三角形进行证明，根据图形的轴对称部分，就可以找到△BDE和△BDF是一对轴对称型全等三角形，而在这两个三角形中，已经出现的条件是DE=DA=DF，DB=DB，所以还要证这两条对应边的夹角相等，即要证∠BDE=∠BDF，由条件AB、CE相交于D、可得∠BDE=∠CDA，而在△ACD中，∠CDA=180°-100°-20°=60°，而∠CDF=∠CDA，所以∠BDF=180°-2×60°=60°，所以∠BDE=∠BDF可以证明，分析也就可以完成。例6，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，CD是∠ACB的角平分线．E是△ABC内的一点，∠EAB=∠EBA=10°，联结DE，求：∠EDB的度数分析：本题条件中给出△ABC是顶角为100°的等腰三角形，就可以想到要应用等腰三角形和等腰三角形中的重要线段的基本图形的性质进行证明应用等腰三角形的性质，可知它的三个角都知道，也就是两个底角相等且等于40°，由于给出的是等腰三角形顶角的条件，所以可应用等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明，但现在只有等腰三角形而没有这条重要线段，所以可将这条重要线段添上，也就是作∠BAC的角平分线交BC于F，就可得AF是BC的垂直平分线，∠BAF=∠CAF=50°而已经证明∠ABF=40°，而条件又给出∠EAB=∠EBA=10°，就出现了∠BAF=50°=40°+10°，这样就出现了一个角等于两个角的和，所以可根据角的和的定义进行分析，也就是可将这两个角拼到一起，也就是在∠ABF的外侧作一个10°角（限于篇幅，对于根据角的和差关系的定义将两个角拼到一起将会出现的多种可能情况，以及进行比较和作出选择的讨论，就不展开了），于是以BC为边、B为顶点在△ABC外作∠ABG=10°，但这个角一作出，就出现了∠ABG和∠FAB是位于线段AB的两端且和AB交成都是50°的角，所以可组成一个等腰三角形的基本图形，这个等腰三角形是由两条腰所在的直线相交得到的，现在还没有相交，所以应延长到相交，也就是作∠CBG=10°交AF的延长线于G，就可得GA=GB，∠AGB=80°，由于已证AF是BC的垂直平分线，所以又可应用一次等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明，但现在只有等腰三角形底边和一条腰，所以应将另一条腰添上，也就是联结CG，可得GB=GC=GA，∠AGC=80°，∠BCG=∠CBG=10°，又因为条件还给出CD是∠ACB的角平分线，所以∠ACD=∠BCD=20°，也就可得∠GCD=30°，我们已经证明∠AGC=80°，它和已知的20°角的差是一个特殊角60°，这又是两个角的和差关系，所以可再应用一次角的和差关系的定义，在∠AGC的内部作∠AGH=60°,则留下来的部分，即∠CGH就等于20°，那么这条边GH应作到哪里呢？由于∠AGH是一个60°的特殊角，所以就应作到与GA相等，这样就出现了GH、GA是两条具有公共端点的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形的基本图形，现在这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以应将底边添上，也就是联结AH，首先可得△AGH是等腰三角形，又因为∠AGH=60°,所以这个三角形不仅是等腰三角形，而且是等边三角形，所以∠AHG=60°,而已经证明∠GCD=30°，所以∠AHG=2∠GCD，这样就出现了两个角之间的倍半关系，所以可以根据角的倍半关系的定义来进行分析，于是作∠AHG的角平分线交CD于I，就可得∠GHI=30°,所以∠GCI=∠GHI=30°,而这两个角相等一出现，就可以应用圆周角或者也就是圆内接四边形的基本图形的性质进行证明，也就是由∠GCI=∠GHI=30°,可得G、C、H、I四点共圆，应用圆周角或者也就是圆内接四边形的基本图形的性质，联结CH、IG后，可进一步推得∠HGI=∠HCI，而由GH=GA=GC，∠CGH=∠AGC-∠AGH=80°-60°=20°，所以可得∠GCH=∠GHC=80°，所以∠HCI=∠GCH-∠GCI=80°-30°=50°，所以∠HGI=∠HCI=50°，并可推得∠AGI=∠AGH-∠HGI=60°-50°=10°，又因为在作了∠AHG的角平分线HI后，就出现了两个相等的角是关于HI成轴对称的，所以可应用轴对称星全等三角形进行证明，根据图形的轴对称部分，联结AI后，就可得△HAI和△HGI是一对轴对称型全等三角形，所以AI=IG，△IAG也是一个底角为10°的等腰三角形，所以△IAG和△EAB就是一对旋转型相似三角形，由于旋转型相似三角形一定是两对（等价的）同时出现，所以通过由公共端点A发出的四条成比例线段两两组成旋转型相似三角形的方法，就可以找到这另一对相似三角形应是△AIE和△AGB，于是，联结IE，所以∠DIE=∠AIE-∠AID=80°-60°=20°，再由IE=IA=ID，可得△IED是顶角为20°的等腰三角形，所以∠IDE=80°，也就可以求得∠BDE=180°-60°-80°=40°，分析也就可以完成。