第三章函数《数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点》教学设计第2课时教学目标认真阅读论文示例，学写数学建模论文．教学重难点教学重点：数学建模论文的书写．教学难点：数学建模论文的书写．课前准备PPT课件．教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第126~129，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，在本节课的学习过程中回答问题预设的答案：（1）本节将要研究数学建模论文示例：国民收入、消费与投资的关活动．（2）起点是数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点．目标是参考数学建模论文示例，以“决定苹果的最佳出售时间点”为题，将“建模过程描述与介绍”中的有关内容整理成一篇数学建模论文．重点是提升数学建模、数学运算、数据分析等素养．设计意图：通过阅读课本，让学生明晰本节课的学习目标，初步搭建学习内容的框架．二、探索新知1．复习引入：问题1：数学建模及其过程是什么？预设的答案：数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容．问题2：如何将数学建模的成果介绍给别人？预设的答案：在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式．2．数学建模论文的主题结构一般来说，数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定例如，如图所示都可以是数学建模论文的主题结构．当然，数学建模论文中还可以根据需要增加作者、摘要、参考文献、附录等信息．需要提醒的是，对于一些综合性比较大的问题而言，数学建模的过程中需要做的事情比较多，比如数据收集与整理、模型试算、对比不同的模型、将结果以可视化方式显示、资料整理与论文撰写等，因此数学建模的过程中，往往采用分工合作的方式进行．一般来说，一个数学建模小组由3－5人组成．理想的小组中，既要有数学基础扎实的同学，也要有能熟练使用计算机的同学，还要有写作表达能力强的同学．三、初步应用数学建模论文示例：国民收入、消费与投资的关系师生活动：让学生自行阅读，给出如下提示：（1）给出合理假设是数学建模过程中非常重要的一步，给出的假设不同，建立的数学模型可能完全不同，而且模型的复杂程度一般会有较大差别；（2）在讨论收入与消费的关系和收入与投资的关系时，都使用了消元的思想，前者消去了投资这个变量，后者消去了消费这个变量．1．发现问题、提出问题在政府文件中，我们经常可以看到有关经济增长与投资、消费的内容．例如，《国务院关于促进创业投资持续健康发展的若干意见》（国发〔2016]53号）指出：“近年来，我国创业投资快速发展，不仅拓宽了创业企业投融资渠道、促进了经济结构调整和产业转型升级，增强了经济发展新动能，也提高了直接融资比重、拉动了民间投资服务实体经济，激发了创业创新、促进了就业增长．”2016年11月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发[2016]85号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能．”习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者经济发展，通常指的是收入增加．那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？2．分析问题、建立模型要用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系，实际上是要研究国民收入（简称为收入，用Y表示）、国民投资（简称为投资，用l表示）、国民消费（简称为消费，用C表示）之间的关系．为了简单起见，可以做出以下假设：（1）收入、投资、消费都用同一单位来衡量，为了方便，以下均省略单位；（2）收入只用于投资和消费；（3）消费可以分为两部分，一部分为基本消费（用C0表示），另一部分与收入成正比，比例系数为a．值得注意的是，以上假设都是合理的．例如一个家庭的收入，一般而言，不是用于投资（比如储蓄、购买理财产品等），就是用于消费（比如家庭成员的生活支出等）；一个家庭的消费，一部分用于满足基本生活需求（比如购买食品等），而另一部分则依赖于收入的多少（比如家庭成员的旅游支出等）．由假设可知，收入、投资、消费之间的关系可描述为Y=C+I，C=C0+aY．在经济学中，这通常称为凯恩斯静态模型，因为这是英国经济学家凯恩斯最先得出的．一此经济现象，可以通过凯恩斯静态模型中量之间的关系来体现．例如，如果不存在透支消费，那就意味着消费不大于收入，即C≤Y，因此aY
总结
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：《国民收入、消费与投资的关系》这一论文，所涉及的背景看起来复杂，所描述的对象非常宏大，但实际上只用到了一次函数及其增减性的知识，这充分说明了数学知识在解决实际问题时的强大作用．掌握建模基本过程，会对实际问题进行问题分析，善于合理假设．问题分析也常称为模型准备或问题重述．由于数学模型是建立数学与实际现象之间的桥梁，因此，首要的工作是要设法用数学的语言表述实际现象．所谓问题重述是指把实际现象尽量地使用贴近数学的语言进行重新描述为此，要充分了解问题的实际背景，明确建模的目的，尽可能弄清对象的特征，并为此搜集必需的各种信息或数据．要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，并将其一一列出．至此，我们便有了一个很好的开端，而有了这个良好的开端，不仅可以决定建模方向，初步确定用哪一类模型，而且对下面的各个步骤都将产生影响．模型假设（即合理假设）是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤．根据对象的特征和建模目的，在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用精确的语言作出假设，这是建模至关重要的一步．这是因为，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难转化成数学模型，即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型．从而使建模归于失败．当然，假设作得不合理或过分简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败．一般地，作出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识，充分发挥想象力和观察判断力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素．设计意图：通过示例，让学生了解数学建模以及如何写论文．练习：参考数学建模论文示例，以“决定苹果的最佳出售时间点”为题，将“建模过程描述与介绍”中的有关内容整理成一篇数学建模论文．（提示：论文的主体结构可以不同于示例．）四、归纳小结，布置作业1．板书设计：3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点1．数学建模论文的主题结构2．数学建模论文示例：国民收入、消费与投资的关系2．总结概括：回顾本节课，你有什么收获？（1）数学建模论文的主题结构常见的有哪些？（2）能否根据数学建模论文示例学写论文？师生活动：学生总结，老师适当补充．作业：教科书教科书P130题3按照优势互补的原则，跟其他同学组成一个数学建模小组，对下面韪题目进行数学建模实践．不管是驾驶汽车还是骑自行车，当发现路况有变化需要紧急停车时，停车距离会与很多因素有关．例如，人的反应时间、车的速度、车与人的质量等都会影响停车距离．与其他同学一起分工合作，查阅有关数据或者自行设计试验收集数据，建立有关停车距离的数学模型．参考：（1）对于绝大多数学生来说，都可以接触到自行车，能够利用自行车进行试验以收集数据，因此，可以考虑建立自行车剩车时的停车距离模型；（2）虽然停车距离可能与很多因素有关（比如道路状况，天气状况等），但是为了简单起见．可以假设只与剩车前车子的行驶速率以及人的反应时间有关，如果是建立自行车剂车时的停车距离模型，还可以假设与人和车的质量之和有关；（3）可以认为停车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和，即d=d1+d2，其中反应距离是反应时间和车子速率的乘积，反应时间是指人意识到应当急刹车到实施刹车所需要的时间，借助有关物理知识，可以假设制动距离与车子速率的平方成正比；（4）如果利用自行车进行试验来收集数据，可以提醒学生请有关物理老师帮忙，例如，怎样测量刹车时的车子的速率等，另外，也特别提醒学生注意安全；（5）建模的具体细节，可参考课标附录的案例7中的有关内容．
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