普通高等学校招生全国统一考试（包头市第一次模拟考试）理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足，则（）A．B．C．D．2.已知全集，，，则（）A．B．C．D．3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则该竹子最上面一节的容积为（）A．升B．升C．升D．升4.若，且，则的最小值为（）A．B．C．D．5.已知，则（）A．B．C．D．6.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．7.若双曲线：的离心率为，一条渐近线的倾斜角为，则的值（）A．大于B．等于C．小于D．不能确定，与，的具体值有关8.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．B．C．D．9.现有张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。现在规定：当牌的一面为字母时，它的另一面必须写数字.你的任务是：为检验下面的张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（）A．翻且只翻（1）（4）B．翻且只翻（2）（4）C．翻且只翻（1）（3）D．翻且只翻（2）（3）10.如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，沿，，将正方形折起，使，，重合于点，构成四面体，则在四面体中，给出下列结论：①平面；②；③平面；④；⑤平面平面.其中正确结论的序号是（）A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．②④⑤11.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知是圆的直径，是圆的弦上一动点，，，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某人随机播放甲、乙、丙、丁首歌曲中的首，则甲、乙首歌曲至少有首被播放的概率是．14.设函数，，为图象的对称轴，为的零点，且的最小正周期大于，则．15.设数列的前项和为，若，，，则．16.在平面直角坐标系中，双曲线的左支与焦点为的抛物线交于，两点.若，则该双曲线的离心率为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.18.如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.19.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布
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：生长指标值分组频数（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；（2）求这株小麦生长指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.①利用该正态分布，求；②若从试验田中抽取株小麦，记表示这株小麦中生长指标值位于区间的小麦株数，利用①的结果，求.附：.若，则，.20.已知，是椭圆：的左右两个焦点，，长轴长为，又，分别是椭圆上位于轴上方的两点，且满足.（1）求椭圆的方程；（2）求四边形的面积.21.已知函数，.（1）若时，求函数的最小值；（2）若，证明：函数有且只有一个零点；（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若时，求与的交点坐标；（2）若上的点到距离的最大值为，求.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.普通高等学校招生全国统一考试（包头市第一次模拟考试）数学（理科）参考
答案
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一、选择题1-5:ADCDB6-10:CBBAC11、12：DD二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：（1）由正弦定理，设，则.由题设条件，得，整理得.又，所以，即.（2）由余弦定理，可知，①由（1）可知，②由，再联立①②求得，，，，所以.18.解：（1）由已知得，取的中点，连接，，由为的中点知，，又，故，所以四边形为平行四边形，于是，平面，平面，所以平面.（2）取的中点，连接.由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，，，.设为平面的法向量，则，即，可取.设为平面的法向量，则，即，可取.于是，.所以二面角的正弦值为.19.解：（1）画图.（2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数和样本方差分别为，.（3）①由（1）知，从而.②由①知，一株小麦的生长指标值位于区间的概率为，依题意知，所以.20.解：（1）由题意知，，所以，.所以，椭圆的方程为.（2）设，，又，，所以，，由，得，.延长交椭圆于，因为，所以，且.所以线段为的中位线，即为线段的中点，所以.设直线的方程为，代入椭圆方程得，，即.所以，，消去，得，依题意取..21.解：（1）当时，，所以.令，得，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有最小值.（2）由，得，所以当时，，函数在上单调递减，所以当时，在上最多有一个零点.因为当时，，，所以当时，函数在上有零点.综上，当时，函数有且只有一个零点.（3）由（2）知，当时，在上最多有一个零点.因为有两个零点，所以.由，得.令，因为，，所以在上只有一个零点，设这个零点为，当时，，；当时，，；所以函数在上单调递减；在上单调递增.要使函数在上有两个零点，只需要函数的极小值，即.因为，所以，可得，又因为在上是增函数，且，所以，，由，得，所以，即.以下验证当时，函数有两个零点.当时，，，所以.因为，且，所以函数在上有一个零点.又因为（因）.且，所以在上有一个零点.所以当时，函数在内有两个零点.综上，实数的取值范围是.22.解：（1）曲线的普通方程为，当时，直线的普通方程为，由，解得，或，从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，设的参数方程为（为参数），则上的点到的距离为.当时，的最大值为，由题设得，所以，当时，的最大值为，由题设得，所以，综上，或.23.解：（1）当时，不等式等价于，①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，得；当时，①式化为，得.所以的解集为.（2）当时，，所以的解集包含，等价于时.又在上的最大值为.所以，即，得.所以的取值范围为.
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