二元函数的全微分 二元函数的极值
教学目的：会求二元函数的全微分；掌握求二元函数的极值的方法；了解全微分在近似计算上的应用
教学重点：二元函数的全微分的定义；判断二元函数是否有极值的定理
教学难点：二元函数的全微分的定义；二元函数的极值求法
一、 全微分的定义
在实际问题中，有时还需要研究二元函数改变量的近似值。先看一个实例：
例1 边长分别为
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的矩形，当边长分别增加时，求面积的改变量（如图所示）。
解：矩形的面积为，则 =
上式右边第一部分表示
图中带有斜线的两块小长方形面积之和，
它与的之差仅为一块带有双斜线的面
积，当很小时，就有
我们称为面积的微分。
下面我们引入全微分的定义。
定义 设二元函数在点取得改变量
（1）
如果，其中与无关，仅与有关，是当
INCLUDEPICTURE "http://net.wspc.edu.cn/gg/jingpinkecheng/jiaoan/5.files/image040.gif" \* MERGEFORMATINET 时比高阶的无穷小，则称函数在点处可微，并称是函数在点的全微分，记作，即
（2）
如果函数在区域上各点处都可微，则称函数在区域上可微。
下面讨论函数可微的必要条件和充要条件，并确定式（2）中的系数A、B。
定理1 如果函数在点处可微，则在点P处的偏导数存在，且 （3）
事实上，由定义在点处可微，有
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当时（此时）上式即为
上式两边同除以，当时取极限，得
这就
证明
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了偏导数存在，且
同样可得
自变量的改变量又叫做自变量的微分，即，故二元函数在点处的全微分可写成
对于一元函数，在某点处可微与在该点处可导等价。但对于二元函数，尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处可微。
自然会提出这样的问题：在什么条件下，二元函数一定可微。
定理2 （充分条件）如果二元函数的两个一阶偏导数，在点处连续，则二元函数在点处可微。
若二元函数在区域E（可以是开区域，也可以是闭区域或半开半闭区域）上每一点处都可微，则称二元函数在区域E上可微。
例2 求二元函数的全微分。
例3 求二元函数在（2，1）处的全微分。
二、 全微分在近似计算上的应用
我们知道，二元函数在点处可微，则函数的全改变量与全微分之差是个高阶无穷小，有近似公式
或写成
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例4 计算的近似值。（1.04）
三、 二元函数的极值
1、二元函数的极值的定义
定义 设函数在点及附近有定义，对于该点附近任一个异于点的点。
（1）如果，则在点处有极大值。
（2）如果，则在点处有极小值。
极大值和极小值统称为极值。使函数取得极值的点叫做极值点。
如在点处有极小值，且为零；在点处不存在极值。
定理1 （极值的必要条件）设函数在点的偏导数存在，则函数在点处取得极值的必要条件是
使同时成立的点叫做函数的驻点。
具有偏导数的函数，其极值点必定是驻点，但是函数的驻点不一定是极值点。如。但怎样的驻点一定是极值点呢？
2、二元函数的极值的判别法
定理2 （极值的充要条件）设函数在点及附近有连续二阶导数，且点是函数的驻点。令
，，，
则（1）当时，函数在点处有极值，且当时，有极小值；当时，有极大值。
（2）当时，函数在点处没有极值。
（3）当时，函数在点处可能有极值，也可能没有极值。
例5 求函数的极值。
3、条件极值
在实际问题中，经常会遇到所要求极值的函数中的自变量受到某些附加条件的限制，如表面积为定长的长方形，体积最大的长、宽、高的确定，就是对自变量有附加条件的极值问题，这类极值问题叫做条件极值，其附加条件叫做约束条件。
下面介绍求条件极值的一种方法—拉格朗日乘数法。
函数在约束条件下求极值的步骤：
（1）作拉格朗日辅助函数，其中是待定常数。
（2）求辅助函数的一阶偏导数，令其为零并与联立，即
由此方程组解出、、，所得的点就是在约束条件下
的可能极值点。
（3）结合问题的实际意义确定极值点和极值。
下面介绍最值问题的实例：
例6 某公司准备用2万元通过电视或报纸登广告宣传新产品，根据经验，销售金额与广告费用之间的关系有
式中—分别为电视广告费，登报广告费和销售金额（单位：万元）。
试问当电视广告费和登报广告费分别为多少万元时，公司才可达到最大的销售金额。
（约束条件为）
四、 作业题：
Ｐ：Ｔ（２、４、６）；Ｔ
Ｐ：Ｔ（１、３）；Ｔ
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