国家集训队2006论文集周戈林周戈林

2006年全国信息学冬令营讲座 浅谈类比思想 长沙市长郡中学周戈林 【目录】 摘要 2 关键字 2 正文 2 引言 2 常见的类比模式 3 具体事物类比抽象模型 3 相似算法之间的类比 6 图形类比数式 8 总结 10 感谢 10 参考文献 10 附录 11 【摘要】 信息学是一门变幻莫测的艺术，它包含着海量的知识点。我们不能奢求掌握所有的知识，只能在已有知识的基础上，尽可能的把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。类比思想，就是一种非常优秀的转化方法。本文尝试诠释一些常用的类比模式。 【关键字】 类比思想 模型 算法 理性认识 【正文】 一、引言： 类比是最有创造力的一种思维方法。它关注两个对象在某些方面的相同或相似，从而推测它们在其它方面也可能存在相同或相似之处。举例来说，我们在小学 一年级 小学一年级数学20以内加减练习题小学一年级数学20以内练习题小学一年级上册语文教学计划人教版一年级上册语文教学计划新人教版一年级上册语文教学计划 学到正确的握铅笔方法是“笔杆放在拇指、食指和中指的三个指梢之间。食指在前，拇指在左后，中指在右下，食指应较拇指低些，手指尖应距笔尖约3厘米。笔杆与作业本保持六十度的倾斜，掌心虚圆，指关节略弯曲”。学会了握铅笔，那么在三年级也可以用类似的方法使用钢笔书写。概括一下，这次握笔类比的形式为： 对象A具有性质P、Q； 对象A’具有性质P’（P与P’类似）； 对象A’可能具有性质Q’（Q与Q’类似）。 拿握笔来说，铅笔（对象A）笔杆比较细（性质P），所以我们采用上述“笔杆放在三个指梢之间”的方法握笔（性质Q）；而钢笔（对象A’）笔杆也比较细（性质P’），所以我们采用同样的方法握笔（性质Q’）。很幸运，这次类比是正确的，我们成功地学会了写字。 但有些时候就没那么幸运了，譬如说，当面对一支毛笔时，以上的握笔方法写出的字就会产生相当的幽默效果。为什么我们的握笔方法面对毛笔失败了呢？这是因为毛笔是软笔，并且笔杆粗细不同，因此类比失败了。正确的握毛笔方法是用拇指和食指捏住笔的上端，用中指和无名指活动笔的下端，小指随无名指自然活动。概括这次握笔方法的转换，就是： 对象A具有性质P、Q和关系R； 对象A’具有性质P’； 对象A’具有性质Q’和关系R’。 具体到握毛笔这个例子，铅笔（对象A）是笔（性质P），并且是硬笔（关系R），需要用三根手指托笔（性质Q）。而毛笔同样是笔（性质P’），但却是软笔（关系R’），只需要两根手指夹笔（性质Q’）。这种类比形式考虑到了性质之间的关系，因此准确性提高了。 总结一下对握笔的研究：第一次握笔类比关键在于铅笔和钢笔恰好都是硬笔，因此其成功具有偶然性，它是基于直观上的感性认识，称之为简单类比；第二次握笔类比注意到铅笔与毛笔的不同点，其成功带有某种必然性，它是基于逻辑上的理性认识，称之为科学类比。在信息学竞赛中需要的类比，往往是科学类比。 下文将试图论述一些常见的类比模式：具体事物类比抽象模型；相似算法之间的类比；图形类比数式。 二、常见的类比模式： 2.1具体事物类比抽象模型： 这是一种最常见的类比。现实事物不是严格的数学模型，在研究它们的过程中必须根据需要提炼相应的数学模型，否则便失去了建模的意义。在建模中要联想具体事物的固有属性和抽象模型的独有特点，才能恰如其分地建立模型和解决问题。 举例来说：研究地球的公转可以把地球看成质点，这是因为相对于公转半径来说地球半径极其微小，可以忽略。但是研究地球的自转时又不能忽略地球半径，这是因为地球半径比起质点来又远远大得多了。 从下面这个例子也可以看到，建模的角度不同，效果便截然不同。 例一：山顶问题 · 题目描述 奶牛成群、土地众多的FJ有一个地形狭长的农场，农场被分成了n块土地，n不超过1000。这些土地位于一条直线上，并从左到右编号为1至n。每块土地的面积都相同，但是高度不一定相同。每块土地都拥有一个海拔高度值，这个值不超过1000000。如果一段相同高度土地的两边都比它低或者是农场的边界，那么这段土地将被称之为“山顶”。FJ希望通过搬走泥土来降低某些土地的海拔高度，使“山顶”的数目不超过k，其中1≤k≤25。在这一前提下，FJ希望搬运的泥土体积最小，也就是所有的土地减少的高度和最小。 · 解法分析 题目中要求了一个很奇怪的“削平山顶”的任务。一个或几个“山顶”往往由一个“山脊”支撑。值得注意的是，“山顶”被削平后有可能会使“山脊”变成“山顶”。 从解题的一般感觉上看，这似乎是一道动态规划的题目，尝试着用动态规划来解这道题目。根据一般的状态设计方法，我们用f(i,j) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示前i块土地留j个“山顶”的需要搬走泥土的最小体积。但是光用这两个值无法完全描述出当前土地的高度，因此也无法得知它们对以后状态的影响。为了能准确表述土地的高度，我们需要记录一个描述高度的序列集合，但存储这个集合的费用是让人无法忍受的。 换一种思维看问题，不妨把整个农场180度翻转，使“山顶”朝下。以下是翻转样例得到的图形： 一块土地按照高度被剖分成了最多n个层面，每个层面按照高度被染成了不同的颜色。当然，较高的层面需要较低的层面支撑。而如果一个层面两边的层面都比它低，那么就是“山顶”。把层面看作结点，在相互支撑和被支撑的层面之间连一条边。让人惊讶的是，这是一棵有根树： 为什么会是一棵有根树呢？这一点很好解释：每个层面都只跟它支撑的层面与支撑它的层面相连。一个层面可以支撑多个层面，但是每个层面都只能被一个层面支撑，这正好与树的定义（每个结点有多个后继，但除根结点以外只有一个前趋）类似。 既然农场可以类比成一棵有根树，那么“山顶”在树中又对应着什么呢？显然“山顶”是不能支撑其它层面的，否则其它层面才是“山顶”。由于“山顶”没有“后继”层面，它就对应着树中的叶子结点。而搬走泥土相当于把结点删除，搬走泥土的体积就是删除这个结点的费用。 至此已经完全把题目类比转化成一个我们非常熟悉的问题：给定一棵有根树，每个结点有一个权值。删除某些结点，使删除后树的叶子数目不超过K，在这一前提下删除的结点权值和最小。特别的，根结点永远不算叶子。这是一个经典且基础的树形动态规划问题，可以用O(nk​​2)的算法解决，在此略去。 于是问题转化为如何高效、优美地建树。以下介绍一个算法，利用栈在O(n)时间内建树和将树转化为左儿子右兄弟形式，同时求出其拓扑序。 栈内每个元素记录着一段高度相同的连续土地，也就是一个层面。从左到右扫描整个农场，每扫描到一块新的土地就分情况处理： 1． 这块土地的高度大于栈顶层面，直接将其入栈； 2． 这块土地的高度等于栈顶层面，将栈顶层面土地块数加一； 3． 这块土地的高度小于栈顶层面，表明已经出现了一个栈顶层面支撑的层面已经扫描完毕，可以导出成为一个新的结点了，遂退栈。当前扫描的土地再与新的栈顶元素比较。 同时为了求出结点的权值与结点间的连结关系，还要分配两个额外的域记录层面的高度与支撑的结点。算法的具体实现可以参见源程序。由于每个层面只有当它支撑的层面都被处理后才会被导出，因此顶点标号是满足动态规划计算的拓扑顺序的。而每块土地都最多进栈一次，出栈一次，时间复杂度为O(n)。 整个算法的时间复杂度即为O(nk2)，对于题目中的数据范围绰绰有余。 小结 本例尤其体现了处理具体事物时模型选取的重要性。题目给出的n块土地是线性排列的，给人的第一感是建立线性的动态规划模型。但我们经过仔细分析，发现线性模型对问题的研究没有很大帮助。与此相反，我们把农场按高度剖分成层面，层面与节点类比，层面的连接关系与有根树的性质类比，关键的“山峰”正好对应了树的叶子。复杂的“移山”就变成了简单的删除节点。 2.2相似算法之间的类比： 有些算法是相似的：有的在算法思想上相似，有的在算法依据上相似，有的在算法实现上相似。因此我们可以对某些算法进行改造，利用与其它算法的相似性，扩展功能和提高效率。 类比思想在算法改造的过程中起到相当大的作用。通过类比，就可以发现算法的相似之处；通过类比，就可以分析相似点的本质；通过类比，就可以对算法进行组合应用。 例二：最小最大边问题 · 题意描述 有n个城市，p条双向道路把这些城市连接起来，一对城市之间可能有多条道路连接。FJ要找到t条从城市1到城市n的路径，不同的路径不能包含相同的道路。在这一前提条件下，FJ希望所有路径中经过的最长的道路最短。 · 解法分析 很明显这是一个关于流的问题。题目给定n个点和p条容量为1的无向边，每条边都拥有一个边权 ，要求找到一个流量至少为t的流，同时流通过的边权最大的边最小。很容易就能得到如下的朴素算法：二分枚举最长边的长度m，忽略长度超过m的边，求出此时的最大流t’。若t’ 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ： 引理1：在算法依次找到的每条增广路中，n的距离标号是单调不减的。 证明：根据最短增广路原则，算法优先扩展最短的增广路。若存在增广路Path与Path’，dist(Path)