积分第一中值定理的逆问题及其推广
蒋平 01211063
(徐州师范大学 数学系 徐州 221116)
摘 要 本文给出了推广的积分第一中值定理的逆问题并加以
证明
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. 在此基础上,给出了二维积分中值定理逆问题的证明.
关键词 积分第一中值定理;逆问题;连续函数;可积
一. 问题的引出
文[1]讨论了积分第一中值定理的逆问题,受之启发,本文给出了推广的第一积分中值定理的逆问题的证明. 并在文[2]的基础上,本文也证明了该逆问题的二维推广形式.
为了叙述方便,下面把推广的积分第一中值定理及二重积分中值定理分别作为定理1与定理2引述如下.
定理
若函数
与
在闭区间
上连续且
在
上恒正(或恒负),则在
上至少存在一点
,使得
.
注 若本定理中的条件“
在
上连续”减弱为“
在
可积”时,定理仍然是成立的.
定理2
若函数
在闭区域D上连续,函数
在D上可积且恒正(或恒负),则存在一点
EMBED Equation.3D,使得
.
定理1的逆问题为:若函数
与
在闭区间
上连续,
在
上恒正(或恒负). 则对于
上任意一点
,必存在[
]
EMBED Equation.3 ,使得
[
], 并且
.
一般情况下,上述命题是不一定成立的. 反例如下
设
EMBED Equation.3 ,
,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . 取
,则容易推出
即
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
于是
,这便和
相矛盾.
同样的,二维积分中值定理的逆问题在一般情况下也是不能保证其是成立的. 下面给出定理1和定理2的逆定理.
二.问题的结果及证明
1.对推广的积分第一中值定理的逆问题的讨论
现把推广的积分第一中值定理的逆问题作为定理3叙述如下
定理3 若函数
在闭区间
上连续且严格单调,
在
上可积且恒正(或恒负),则对任意的
EMBED Equation.3 ,必存在
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,使得
EMBED Equation.3 ,且满足
.
证明: 函数
是严格单调的,不妨设它为严格单调递增且
EMBED Equation.3 (其他的情况证明类似). 对于
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,取
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,使得
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . 根据积分保号性可知
现设
EMBED Equation.3.
(1) 若
, 则取
=
即可.
(2) 若
,现设
EMBED Equation.3,
其中
EMBED Equation.3
则
=
EMBED Equation.3.
据定理1知, 存在
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,使得
于是
=
EMBED Equation.3=
EMBED Equation.3.
所以
.
由于函数
在
上也是连续的. 于是根据连续函数的介值性定理知,存在
EMBED Equation.3 , 使得
EMBED Equation.3
即
.
此时取
=
EMBED Equation.3即可.
(3) 若
,现设
=
,
其中
EMBED Equation.3
则
=
EMBED Equation.3.
据定理1知,存在
EMBED Equation.3[
,
],使得
则
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3=
EMBED Equation.3 .
于是
.
对于函数
,据连续函数的介值性定理知,存在
EMBED Equation.3 , 使得
即
.
此时取
=
EMBED Equation.3 即可.
注1 在该定理中,若令
,便得到文[1]所研究的结论,即
推论 函数
在闭区间
上连续且严格单调,则对任意的
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,必存在
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,使得
EMBED Equation.3 ,并满足
.
注2 在该定理中的条件“
严格单调”的条件是必不可少,否则便不能保证结论成立.对此前面已做出说明.
2.对二维积分中值定理逆问题的证明
现把二维积分中值定理的逆问题作为定理4叙述如下
定理4 若函数
在有界区域D上连续且关于
分别严格单调递增(或递减),函数
在D上连续且恒正(或恒负),则对于任意的
(其中
表
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示D的内部),存在区域
,使得
,且
.
证明:
在有界区域D上严格单调,不妨设为严格单调递增且
(
在D上严格单调递减的情况类似可证).
对任意的
,存在
的一个邻域
,暂将
固定
. 对于任意的
,据定理3,存在
,使得
EMBED Equation.3
其中
EMBED Equation.3.
这里的
在
上连续且严格单调递增,又因为
在D上连续且
>0,于是
在
上可积且恒正.
对于
与
,再次运用定理3,对任意的
,存在
,使得
.
取
EMBED Equation.3,于是
=
=
=
=
=
.
综上,定理获证.
参考文献
[1] 周友明. 第一积分中值定理的逆问题及其渐进性[J]. 大学数学,2004,20(2):121-126.
[2] 郝建丽,刘继全. 二重积分中值定理的逆命题[J]. 商丘师范学院学报,2001, 17(2):109-111.
[3] 华东师范大学数学系. 数学
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
(上册)[M]. 北京:高等教育出版社,1991. 294-295.
[4] 杨熙泉. 二重积分的第一中值定理[J]. 山东工业大学报,1995,25(4):398-400.
Inverse Problem of the First Mean Value Theorem for
Integrals And its generalization
Jiang ping 01211063
(Dept. of Math. Xuzhou Normal University, Xuzhou 221116)
Abstract In this paper, we discuss the inverse problem of the first mean value for integrals. On this base, we also prove the mean value theorem of the double integrals.
Keywords the first mean value for integrals; inverse problem; continuous function; integrable
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