应用多元统计
分析
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第六章部分习题解答.第六章聚类分析6-1证明下列结论:(1)两个距离的和所组成的函数仍是距离;(2)一个正常数乘上一个距离所组成的函数仍是距离;(3)设d为一个距离,c>0为常数,则仍是一个距离;(4)两个距离的乘积所组成的函数不一定是距离;.第六章聚类分析①②③(2)设d是距离,a>0为正常数.令d*=ad,显然有①②.第六章聚类分析③故d*=ad是一个距离.(3)设d为一个距离,c>0为常数,显然有②①.第六章聚类分析故d*是一个距离.③.第六章聚类分析.第六章聚类分析6-2试证明二值变量的相关系数为(6.2.2)式，夹角余弦为(6.2.3)式.证明：设变量Xi和Xj是二值变量，它们的n次观测值记为xti,xtj(t=1,…,n).xti,xtj的值或为0，或为1.由二值变量的列联
表
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（表6.5）可知：变量Xi取值1的观测次数为a+b,取值0的观测次数为c+d;变量Xi和Xj取值均为1的观测次数为a,取值均为0的观测次数为d等等。利用两定量变量相关系数的公式：.第六章聚类分析.第六章聚类分析故二值变量的相关系数为：(6.2.2).第六章聚类分析利用两定量变量夹角余弦的公式：其中故有.第六章聚类分析6-3下面是5个样品两两间的距离阵试用最长距离法、类平均法作系统聚类，并画出谱系聚类图.解:用最长距离法:①合并{X(1),X(4)}=CL4,并类距离D1=1..第六章聚类分析②合并{X(2),X(5)}=CL3,并类距离D2=3.③合并{CL3,CL4}=CL2,并类距离D3=8.④所有样品合并为一类CL1,并类距离D4=10..第六章聚类分析最长距离法的谱系聚类图如下:.第六章聚类分析①合并{X(1),X(4)}=CL4,并类距离D1=1.用类平均法:.第六章聚类分析②合并{X(2),X(5)}=CL3,并类距离D2=3.③合并{CL3,CL4}=CL2,并类距离D3=(165/4)1/2.④所有样品合并为一类CL1,并类距离D4=(121/2)1/2..第六章聚类分析类平均法的谱系聚类图如下:.第六章聚类分析6-4利用距离平方的递推公式来证明当γ＝0,αp≥0,αq≥0,αp+αq+β≥1时,系统聚类中的类平均法、可变类平均法、可变法、Ward法的单调性.证明：设第L次合并Gp和Gq为新类Gr后,并类距离DL＝Dpq,且必有Dpq2≤Dij2.新类Gr与其它类Gk的距离平方的递推公式,当γ＝0,αp≥0,αq≥0,αp+αq+β≥1时这表明新的距离矩阵中类间的距离均≥Dpq＝DL，故有DL＋1≥DL，即相应的聚类法有单调性..第六章聚类分析对于类平均法，因故类平均法具有单调性。对于可变类平均法，因故可变类平均法具有单调性。.第六章聚类分析对于可变法，因故可变法具有单调性。对于离差平方和法，因故离差平方和法具有单调性。.第六章聚类分析6-5试从定义直接证明最长和最短距离法的单调性.证明：先考虑最短距离法：设第L步从类间距离矩阵出发，假设故合并Gp和Gq为一新类Gr，这时第L步的并类距离:且新类Gr与其它类Gk的距离由递推公式可知设第L+1步从类间距离矩阵出发，.第六章聚类分析故第L＋1步的并类距离:即最短距离法具有单调性.类似地,可以证明最长距离法也具有单调性..第六章聚类分析6-6设A,B,C为平面上三个点,它们之间的距离为将三个点看成三个二维样品,试用此例说明中间距离法和重心法不具有单调性.解:按中间距离法,取β=-1/4,将B和C合并为一类后,并类距离D1=1,而A与新类Gr={B,C}的类间平方距离为.第六章聚类分析故中间距离法不具有单调性。按重心法,将B和C合并为一类后,并类距离D1=1,而A与新类Gr={B,C}的类间平方距离为当把A与{B，C}并为一类时，并类距离.第六章聚类分析故重心法法不具有单调性。并类过程如下：当把A与{B，C}并为一类时，并类距离ABC.第六章聚类分析解一:利用如果样品间的距离定义为欧氏距离,则有6-7试推导重心法的距离递推公式(6.3.2);.第六章聚类分析.第六章聚类分析.第六章聚类分析解二:因样品间的距离定义为欧氏距离,利用.第六章聚类分析利用.第六章聚类分析故有.第六章聚类分析6-8试推导Ward法的距离递推公式(6.3.3);解：Ward法把两类合并后增加的离差平方和看成类间的平方距离,即把类Gp和Gq的平方距离定义为利用Wr的定义:.第六章聚类分析.第六章聚类分析.第六章聚类分析(当样品间的距离定义为欧氏距离时）记Gr＝{Gp,Gq},则新类Gr与其它类Gk的平方距离为利用重心法的递推公式(6-7题已证明)可得：.第六章聚类分析.第六章聚类分析6-9设有5个样品,对每个样品考察一个指标得数据为1，2,5,7,10.试用离差平方和法求5个样品分为k类(k＝5,4,3，2,1)的分类法bk及相应的总离差平方和W(k).解：①计算样品间的欧氏平方距离阵②合并{1,2}＝CL4,并类距离D1=(0.5)1/2=0.707，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得.第六章聚类分析③合并{5,7}＝CL3,并类距离D2=(2)1/2=1.414，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得④合并{CL3,10}={5,7,10}＝CL2,并类距离D3=(32/3)1/2=3.266，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得.第六章聚类分析⑤合并{CL4,CL2}={1,2,5,7,10}＝CL1,并类距离D4=(245/6)1/2=6.39，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得⑥分类法bk及相应的总离差平方和W(k):k=5{1},{2},{5},{7},{10}W(5)=0k=4{1,2},{5},{7},{10}W(4)=0.5k=3{1,2},{5,7},{10}W(3)=2.5k=2{1,2},{5,7,10}W(2)=13.666k=1{1,2,5,7,10}W(1)=54.
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