4机器人运动学和动力学1．对一给定的操作机，已知杆件几何参数和关节角矢量其中n是自由度数，求操作机末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态。2．已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态可满足同样的条件？4.１建立机器人连杆坐标系4.1.1连杆参数和关节参数一．连杆描述连杆i-1是由关节轴线i-1和i的公法线长度ai-1和夹角αi-1所规定的。ai-1：连杆i-1的长度αi-1：连杆i-1的扭角,指向从轴线i-1绕公法线转至轴线i例
题
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二.连杆连接的描述中间连杆两条公法线ai-1与ai之间的距离di称为这两条连杆之间的偏置；ai-1与ai之间的夹角θi又称为两条连杆之间的关节角。di和θi都带正负号。连杆长度ai-1恒为正，扭角αi-1可正可负首、末连杆对于运动链两端，按习惯约定：若关节1为转动关节，则θ1是可变的,称为关节变量,规定θ1=0为连杆1的零位.习惯约定d1=0.若关节1为移动关节，则d1是可变的,称为关节变量,规定d1=0为连杆1的零位.习惯约定θ1=0.上面约定对于关节6同样适用。4.1.2连杆坐标系、齐次矩阵
表
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示法一.连杆坐标系与基座固接的坐标系记为{0},与连杆i固接的坐标系记为｛i｝.二.连杆坐标系规定的连杆参数根据所设定的连杆坐标系,相应的连杆参数定义如下:三.齐次矩阵表示法(D-H表示法)连杆坐标系{i}相对于{i-1}的变换称为连杆变换。连杆变换可以看成是坐标系{i}经四个子变换得到的。因为这四个变换都是相对于动坐标系描述的，按“从左到右”的原则，得：4.2机器人运动学方程表示机器人操作机或机械手每个杆件(连杆)在空间相对于绝对坐标系或相对于机座坐标系的位置及方向的方程称为机器人运动学方程它是n个关节变量的函数，表示末端连杆坐标系{n}相对于基坐标系{0}的描述，根据各关节位置传感器的输出，得到各关节变量的的值，即可求出上式称为运动学方程手爪坐标系Z轴－接近矢量aY轴－方位矢量oX轴－法向矢量nn=o×a手爪的方位由旋转矩阵R所规定手爪的位姿由四个矢量{n，o，a，p｝来描述，记为4.2.1运动学方程的建立把各个连杆变换矩阵相乘,便得到PUMA560的手臂变换矩阵:它是关节变量的函数.最后,求出六个连杆之积:为了校核所得结果的正确性，计算当手臂变换矩阵的值，计算结果为：4.2.2运动学方程反解PUMA560运动方程（4.5）(4.5)两边(4.6)今矩阵方程（4.6）两端的元素（2，4）对应相等,得:（4.7）再令矩阵方程（4·6）两端的元素（1，4）和（3，4）分别对应相等，得两方程：(4.10)式(4.7)与(4.10)的平方和为:(4.11)用三角变换求θ3(4.5)(4.12)令(4.12)两边元素(1.3)和(3.3)分别对应相等:将式（4.5）求逆解时注意运用以下方法1.等号两端的矩阵中对应元素相等2.利用矩阵方程进行递推3.利用三角方程等技巧进行置换4.对增根的处理要获得显式解,只有满足下列两个充分条件之一(Piepe准则)1.三个相邻关节的轴交于一点2.三个相邻关节的轴相互平行4.2.3运动学反解的讨论1.无解:机器人无法达到的空间2.单解:机器人可达空间,手部唯一地只有一个方向可达3.重解:机器人灵活工作空间,手部有两个或两个以上方位达到的空间机器人在存在重解的情况下,应选其中最满意的一组解:1.行程最短,大关节少动,小关节多动2.功率最省3.受力最好4.回避障碍反解数目与连杆长度非零的数目之间关系4.3机器人的雅可比矩阵(Jacobian)研究操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可比）,也用来表示两空间之间力的传递关系。关节空间—所有关节矢量q构成的空间操作空间—末端手爪的位姿Χ在直角坐标空间中的描述.4.3.1雅可比矩阵的定义操作速度与关节速度的线性变换，可以看成是从关节空间向操作空间运动速度的传动比。操作臂的运动方程代表操作空间与关节空间之间的位移关系例1.图中平面二杆件操作机,其末端执行器的空间位置(x,y)与关节变量（θ1θ2）的关系如下。例2.如图所示，为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以1m/s的速度运动，求相应的关节速度得到与末端速度相应的关节速度反解为:4.3.2雅可比矩阵的应用1.速度的变换2.微分运动3.误差分析4.刚度和变形5.奇异形位和灵活度6.力雅可比机器人与外界环境相互作用时,在接触处要产生力f和力矩n,统称为末端广义力矢量在静止状态下，广义操作力矢量F应与各关节的驱动力（或力矩）相平衡。n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量称为关节力矢量利用虚功原理，可以导出关节力矢量τ与相应的广义操作力矢量F之间的关系。令各关节的虚位移为；末端执行器相应的虚位移为D。所谓虚位移，是满足机械系统几何约束的无限小位移。虚功:力在虚位移上的功各关节所作的虚功之和与末端执行器所作的虚功应该相等(总的虚功为零),即雅可比矩阵J（q）既可当成是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微分运动转换的线性关系，即把代入得4.4机器人动力学4.4.1概述1.从控制理论的观点看,机器人是一种极其复杂的动力学耦合系统.2.动力学方程是指作用于机器人各机构的力、力矩（广义力）与其位置、速度、加速度关系的方程式。3.动力学问题分为两类问题:正问题:根据关节驱动力矩或力,计算操作臂的运动（关节位移、速度和加速度）逆问题：已知轨迹运动对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节驱动力矩或力4.4.2动力学方程介绍4.4.3机器人动力学正问题机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力矩作用下的动态响应.其主要
内容
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是如何建立机器人手臂的动力学方程.建立机器人手臂的动力学方程的方法有牛顿-欧拉法和拉格朗日法等.1.牛顿-欧拉方程在考虑速度与加速度影响的情况下，作用在机器人手臂杆i上的力和力矩如图所示。根据力、力矩平衡原理(4.13)(4.14)式(4.13)为牛顿方程,(4.14)为欧拉方程.其中Ii为杆i绕其质心的惯性张量：—惯性力—惯性力矩—陀螺力矩可以解出表示关节位移与关节力间关系的机器人封闭动力学方程:此方程右边首项为惯性力项，第2项来源于哥氏力和离心力，第3项为重力项。例3.如图给出的机械臂，分别求出牛顿－欧拉运动方程和用关节变量和关节力矩表示的封闭动态方程.2.拉格朗日方程拉格朗日函数为广义坐标，在研究机器人动力学中为关节变量；T、U分别代表机器人手臂的动能和势能。机器人的拉格朗日方程为为对应广义坐标的广义力。
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