2021考研高等数学17堂课 武忠祥教授专题4 无穷小量阶的比较 1.无穷小量的概念 若函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零，则称f(x)为x→x0（或x→∞）时的无穷小量. 2.无穷小的比较 设limα(x)=0,limβ(x)=0，且β(x)≠0.α(x)（1）高阶：若lim=0；记为α(x)=ο(β(x));β(x)α(x)（2）低阶：若lim=∞；β(x)α(x)（3）同阶：若lim=C≠0；β(x)α(x)（4）等价：若lim=1；记为α(x)~β(x);β(x)α(x)（5）无穷小的阶:若lim=C≠0，则称α(x)是β(x)的k阶无穷小.[β(x)]k0由无穷小量阶的定义可知，比较两个无穷小阶的问题就是求型极限，所以，常用的00
方法
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就是求型极限的常用三种方法01）洛必达法则（求导定阶）若当x→0时f(x)是无穷小量，且f′(x)是x的k(k≥0)阶无穷小，则f(x)是x→0时的k+1阶无穷小量.2)等价无穷小代换若当x→0时f(x)是无穷小量，且f(x)~Axk(A≠0,k>0),则f(x)是x→01时的k阶无穷小量.3）泰勒公式这里常见的有三类问题一. 无穷小阶的比较及阶的确定 sinx【例1】（1993年1，3）设f(x)=sin(t2)dt，g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)∫0是g(x)的（）.（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小（B）【解1】【解2】xtsinx2【例2】设f(x)=dttln(1+u2)du,，g(x)=(1−cost)dt，则当x→0时，f(x)∫0∫0∫0是g(x)的（）.（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小（D）4xxxx【解】f′(x)=xln(1+u2)du=xln(1+u2)du～xu2du=(4阶)∫0∫0∫03则f(x)为5阶.g(x)为2(2+1)=6阶.f(x)sin2x【例3】设f(x)是满足lim=1的连续函数，且当x→0时f(t)dt是x的nx→01−cosx∫0阶无穷小，则n=______.[6]【解1】【解2】2【解3】【例4】当x→0时，1−cos(sinx)+αln(1+x2)是x的多少阶无穷小？（α为参数）【解】1−cos(sinx)+αln(1+x2)sin2xsin4x4=1−[1−++ο(x4)+α[x2−+ο(x4)]2!4!2sin2xsin4x4=−+ο(x4)+α[x2−+ο(x4)]24!21−cos(sinx)+αln(1+x2)1lim=+α,x→0x221若α≠−,则1−cos(sinx)+αln(1+x2)是x的2阶无穷小.21若α=−,则21−cos(sinx)+αln(1+x2)limx→0x41sin2x−x211=lim−+2x→0x44!41[sinx+x][sinx−x]11=lim−+2x→0x44!41111=−−+=≠064!424则1−cos(sinx)+αln(1+x2)是x的4阶无穷小.二. 无穷小按阶排序或求最高（低）阶无穷小 33+【例1】（2016年2）设α1=x(cosx−1),α2=xln(1+x),α3=x+1−1.当x→0时，以上3个无穷小量从低阶到高阶的排序是（A）α1,α2,α3.（B）α2,α3,α1.（C）α2,α1,α3.（D）α3,α2,α1.【解】当x→0时31α=x(cosx−1)～−x212115+3236α2=xln(1+x)～x=x1α=3x+1−1.～x33则以上3个无穷小量从低阶到高阶的排序是α2,α3,α1,故选（B）.162345sinxxsinxx【例2】设α1=1+x−1−x,α2=(1+tanx)−1,α3=e−e,α4,1−cosx2则当x→0时，以上4个无穷小量从低阶到高阶的排序是（A）α1,α2,α3,α4.（B）α2,α3,α1,α4.（C）α2,α1,α3,α4.（D）α3,α4,α1,α2.（D）【例3】（2020年1,2）当x→0+时，下列无穷小量中最高阶的是（）.x2xA.(et−1)dtB.ln(1+t3)dt∫0∫0sinx1−cosxC.sint2dtD.sin3tdt∫0∫0【例4】当x→0时，下列无穷小中最低阶的是()x2（A)ln(1+x2)−23(ex−1)2,（B)x−sinx+t2etdt∫0x−ln(x+1+x2)（C)x−sinxcosxcos2x（D)（A）x4三. 确定无穷小阶的比较问题中的参数 【例1】（2001年2）设当x→0时(1−cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而2xsinxn是比(ex−1)高阶的无穷小，则正整数n等于（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.【解】当x→0时1(1−cosx)ln(1+x2)～x42xsinxn～xn+12ex−1～x2由题设可知2
1,且>1,则1<α<2,故选（B）.α【例3】（2011年2,3）已知当x→0时，函数f(x)=3sinx−sin3x与cxk是等价无穷小，则（A）k=1,c=4.（B）k=1,c=−4.（C）k=3,c=4.（D）k=3,c=−4.【解1】(洛必达)【解2】（泰勒公式）【解3】（等价代换）5【解4】（代入法）【例4】(1996年1,2)设f(x)有连续导数,f(0)=0,f′(0)≠0,xF(x)=(x2−t2)f(t)dt,且当x→0时,F′(x)与xk为同阶无穷小,则k等于（）∫0(A)1(B)2(C)3(D)4【解1】直接法xxF(x)=x2f(t)dt−t2f(t)dt∫0∫0xxF′(x)=2xf(t)dt+x2f(x)−x2f(x)=2xf(t)dt∫∫00xf(t)dtF′(x)∫0f(x)lim=2lim=2limx→0xkx→0xk−1x→0(k−1)xk−2f′(x)=2limx→0(k−1)(k−2)xk−3f′(0)=2≠0(k=3)(k−1)(k−2)故选（C）.【解2】排除法 【例5】(2013年2,3)当x→0时,1−cosx⋅cos2x⋅cos3x与axn为等价无穷小,求n与a的值.1−cosx⋅cos2x⋅cos3x【解1】limx→0axnsinx⋅cos2x⋅cos3x+2sin2x⋅cosx⋅cos3x+3sin3x⋅cosx⋅cos2x=limx→0naxn−16sinx⋅cos2x⋅cos3x+2sin2x⋅cosx⋅cos3x+3sin3x⋅cosx⋅cos2x=lim(n=2)x→02ax1+4+97==，则a=72aa1−cosx⋅cos2x⋅cos3x【解2】1=limx→0axnx2(2x)2(3x)21−[1−+ο(x2)][1−+ο(x2)][1−+ο(x2)]=lim222x→0axnx2(2x)2(3x)2++214x=lim222=limx→0axnx→02axn则n=2,a=7.1−cosx⋅cos2x⋅cos3x【解3】1=limx→0axn(1−cosx)+cosx(1−cos2x)+cosxcos2x(1−cos3x)=limx→0axn11−cosxcosx(1−cos2x)cosxcos2x(1−cos3x)=[lim+lim+lim](n=2)ax→0x2x→0x2x→0x21122327=[++]=a222aa=7【例6】(2015年1，2,3)设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx.g(x)=kx3.若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a,b,k的值.x2x3【解1】ln(1+x)=x−++ο(x3)23x3sinx=x−+ο(x3)3!aax3则f(x)=(1+a)x+(b−)x2++ο(x3)23由于当x→0时，f(x)~kx3,则7⎧⎪1+a=0⎪a⎨b−=0⎪2a⎪=k⎩⎪311故a=−1,b=−,k=−.23【解2】1b【例7】(2020年3)已知a,b为常数，若(1+)n−e与在n→∞时是等价无穷小，求nnaa,b.11(1+)n−enln(1+)en−e【解1】1=limn=limn→∞bn→∞bnana11nln(1+)−1nln(1+)−1een−1e=lim=limnn→∞1n→∞1bb()anan1−1eln(1+t)−te1+t=lima+1=limabt→0+tbt→0+(a+1)te−t=limabt→0+(a+1)te则a=1,b=−.211nln(1+)【解2】(1+)n−e=en−en8
练习题
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1.当x→0时，下列无穷小量中最高阶的无穷小量是（）x3sinx1−cosx3（A）ln(1+t2)dt;（B）tanx−sinx;（C）sint2dt;（D）sin2tdt.∫0∫0∫02.当x→0时,下列无穷小中最高阶的是(A)1+2x−31−3x(B)x−ln(1+tanx)22arcsinx1−cost(C)e3x−cos2x(D)dt∫0t3.若ϕ(x)=x−(a+bcosx)sinx在x→0时是与x5同阶的无穷小量，则4141（A）a=且b=−;（B）a=−且b=−;33331114（C）a=且b=−;（D）a=−且b=;333325.已知x→0时,e−x−cos2x与axn是等价无穷小,求n,a.6.已知当x→0时，f(x)=ax+bsinx+sinxcosx与g(x)=kx5是等价无穷小，求a,b,k的值.练习题答案：1.(D）;2.(D);3.(A);114.a=,n=4;5.a=3,b=−4,k=.3109
浙公网安备 33021202002483