2018年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题答案(改卷版)-2018.5.19

2018 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 第 1页（共 6 页） 8 2 1 2  2 16 11 27  216 ),0(  2018 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷答案 一 、填空 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （本大题共 8 小题，每小题 10 分，共 80 分.） 1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5． ； 6． ； 7． ； 8． . 1. 设i为虚数单位， a和b为正整数，且 ( )(2 ) 2 b a     i i i i ，则 a b+ = ▲ . 解析：由题意得 22 22 5 2 5 12 )2()12(        bbaa 24)5)(5(  abab . 因为 ab 5 和 ab 5 为奇偶性相同的整数，所以     25 125 ab ab 或     45 65 ab ab . 解得 1a ， 7b ，故 8 ba . 2. 设 a RÎ . 若 0x > 时均有 2( 5)( 1) 0x ax ax+ - - ³ 成立，则 a = ▲ . 解析：当 0a 时，显然不能使原不等式对任意的 0x 恒成立，因此 0a .注意到 52  axxy 的 开口向上，所以必然要求 .0a 对于方程 052  axx ，设其两根为 1x ， 2x ，且 21 xx  . 易知 01 x ， 02 x .令 ax 1 3  .由 0x 时，原不等式恒成立，可知 32 xx  ，故 a aa 1 2 202  ，解得 2 1a . 3. 设点Q在 ABC△ 所在平面a内，点 P在平面a外. 若对任意的实数 x和 y， AP xAB yAC PQ    - - ³ ，则向量 PQ与 BC所成的角q = ▲ . 解析：设 AM xAB yAC   ，则点M 也在平面 内， MP AP AM PQ      ，故 PQ 平面 ， 所以向量 PQ  与 BC  所成的角为 2  ． 2018 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷答案 第 2页（共 6 页） C E BA 1A 1C 1B F D 1A 1C A B C D F E 4. 某个含有三个实数的集合既可表示为 , , 0 b b a    ，也可以表示为 , , 1a a b ， 则 2018 2018a b 的值为 ▲ . 解析：由题意可知 0a . 由集合相等可以得到 0 ba ，从而得到 1 a b ，因此 1a ，且 1b . 所以 21)1( 2018201820182018  ba . 5. 设 1 sin cos 2 x x  ，则 3 3sin cosx x  ▲ . 解析：由 1 sin cos 2  x x ，可得 11 2sin cos 4  x x ，故 3sin cos 8  x x ， 从而 3 3sin cos x x 2 2 1 3 11(sin cos )(sin cos sin cos ) (1 ) 2 8 16      x x x x x x . 6. 如图，在正三棱柱 1 1 1A BC ABC- 中， 2AB = ， 1 2 3A A = ，D， F 分别 是棱 AB， 1AA 的中点， E为棱 AC 上的动点，则 DEF△ 周长的最小值为 ▲ . 解析：由正三棱柱 1 1 1A BC ABC- 可得 1AA ^底面 ABC， 所以 1AA AB^ ， 1AA AC^ ．在 Rt ADF△ 中， 2 2( 3) 1 2DF = + = ． 如图（1）（2）所示，把底面 ABC与侧面 1 1ACC A 在同一个平面内展开， （第六题图） 只有当D， E，F 三点在同一条直线上时，DE EF+ 取得最小值． 在 ADE△ 中， 60 90 150DAE   Ð = + = ，由余弦定理可得： 2 2( 3) 1 2 3 cos150 7DE = + - ´ = ． 所以 DEF△ 周长的最小值为 7 2+ ． 图（1） 图（2） 7. 把16本相同的书全部分给 4个学生，每个学生至少有一本书且所得书的数量互不相同， 则不同的分配方法种数为 ▲ .（用数字作答） 解析：因为将16分解成4个互不相同的正整数的和有9种不同的方式： 16 1 2 3 10    ，16 1 2 4 9    ，16 1 2 5 8    ， 16 1 2 6 7    ，16 1 3 4 8    ， 16 1 3 5 7    ， 16 1 4 5 6    ，16 2 3 4 7    ， 16 2 3 5 6    ． 所以，符合条件的不同分配方法有 449 216A  种． 1A 1C A B C D F E 2018 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷答案 第 3页（共 6 页） 8. 若定义在 R上的函数 ( )f x 满足 ( ) 2 ( ) 4 0f x f x¢ - - > ， (0) 1f = - ，则不等式 2( ) 2xf x e> - 的解为 ▲ . 解析：构造函数 )2)(()( 2   xfexg x ，则 1)0( g ．由 0]4)(2)([)( 2   xfxfexg x 可知 )(xg 在 ),(  内单调递增，从而有 01)(  xxg ．故 02)( 2  xexf x ． 二、 解答题（本大题共 4 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤.） 9.（本小题满分 15 分）设 2nna = ， n N +Î ，数列{ }nb 满足 1 2 1 1 2 12nn n n n b a b a b a-+ + + = - - ， 求数列{ }n na b× 的前 n项和. 解：由 1 2a = 及 1 1 12 12b a = - - ，可得 4 1 1 b ．·······································································5 分 当 2n 时，由已知条件有 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1, 2 2 2 2 2 2 1. 2 n n n n n n n n n n b b b n b b b b     - - - - - - ì -× + × + + × = - -ïïíï × + × + + × + × = - -ïî ① ② ①式两边同时乘以2，可得 12222 21 1 21   nbbb nnnn  ． ③ 由②、③可求得， 4 n bn  ．······················································································ 10 分 于是， nnn n ba 2 4  ．令    n k kkn baT 1 ，则有           n k k n n k k n kT kT 1 1 1 .2 4 1 2 ,2 4 1 因此， 2 12)1( )22( 4 1 1 1     nn k kn n n nT ．·····························································15 分 2018 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷答案 第 4页（共 6 页） 10.（本小题满分 15 分）已知椭圆的中心在原点O，焦点在 x轴上，离心率为 3 2 ，且过点 2 ( 2, ) 2 . 设不过原点O的直线 l与该椭圆交于点 P和Q，且直线OP，PQ，OQ的斜率构成等比数列，求 OPQ△ 面积的取值范围． 解：设椭圆方程为 2 2 2 2 1 x y a b   ( 0)a b  ，则 2 2 3 2 2 1 1, 2 , c a a b     解之得 2 , 1. a b    故椭圆方程为 2 2 1 4 x y  ．··············································· 5 分 由题设可知直线 l的斜率存在且不为0，故可设直线 l的方程为 ( 0)y kx m m   ． 令 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，则 21 xx  且 021 xx ． 由 2 24 4 0 y kx m x y       消去 y 得 2 2 2(1 4 ) 8 4( 1) 0k x kmx m     ． 则有 2 2 2 2 2 264 16(1 4 )( 1) 16(4 1) 0k m k m k m         ，且 1 2 281 4 km x x k    ， 2 1 2 2 4( 1) 1 4 m x x k   ． 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x m       ． 由直线OP， PQ，OQ的斜率构成等比数列可得 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )y y k x x km x x m x x x x k      ，从而 2 2 2 2 8 1 4 0 k m k m     ． 由 0m  得 2 1 4 k  ， 1 2 k   ．···················································································· 10 分 由 0  及 021 xx 可知 20 2m  且 2 1m  ． 设 d 为点O到直线 l的距离， 则 2 1 22 1 1 1 2 2 1 OPQ m S d PQ k x x k    △ 2 1 2 1 2 2 2(2 ) 1 ( ) 4 2 m mm x x x x     ， ∴ OPQS△ 的取值范围为 (0,1)．······················································································15 分 2018 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷答案 第 5页（共 6 页） 11.（本小题满分 20 分）如图， O⊙ 切 AB、AC 于点B、C，过C的割线 CD AB∥ 交 O⊙ 于点D， E是 AB延长线上一点，直线CE分别交 BD和 O 于点 F 、G ．延长 BG 与CD的延长线相交于点 P．求证： A、 F 、 P三点共线． 证明：连结 AF ， FP，BC． 由弦切角性质，有 BCDBDCACBABC  ． 则 ABC△ 与 BCD△ 均为等腰三角形且相似． 因此可得 CD BC BC AB  ，于是有 2.AB CD BC  ① 又由 BDP BDC CBE     ， DBP DCG BEC     ，可知 ~BDP EBC△ △ ． 则有 BD DP BE BC  ．从而由 BDBC  可得 BC DP BE BC  ，于是 2 .BC BE DP  ② ················· 5 分 由①与②可得 DPBECDAB  ，故 .CD DP BE AB  ③ ·············································· 10 分 由CP AE∥ 可知 ~CDF EBF△ △ ，从而 DF CD FB BE  ． 联合③式，易知 . DF DP FB AB  ④ ············································································ 15 分 由CP AE∥ 可得 FBAFDP  ，从而由④式可知 ~AFB PFD△ △ ， PFDAFB  ， 故 A、 F 、 P三点共线．························································································ 20 分 A B C D E F G P 2018 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷答案 第 6页（共 6 页） 12.（本小题满分 20 分）设 1 2, , , na a a 为非负数．求证： nnnnn anaaaaaaaaaaaa 2 32133221 94   ． 证明：当 1n  时，结论显然成立．假设当 n k 时，结论对于任意 k个非负数成立．····················· 5 分 则当 1n k  时，对于任意 1k  个非负数 121 ,,,, kk aaaa  ，根据假设有 1 2 432113132 94   kkkk akaaaaaaaaa  ， 从而 1132121   kkk aaaaaaa  1 2 432121 94   kk akaaaaaa  ．·········································· 10 分 下面证明 1 2 211 2 32121 )1(44   kkk akaaakaaaaa  ． ① 由柯西不等式可得                 212322212322 2 kk akaaaaa   211443322 32   kk akaaaaaaa  ， 即      21432123212 324   kkk kaaaaakaaaa  ．·······················15 分 于是有      14321232121 324   kkk kaaaaakaaaaa  ， 故   122121232121 )1(44   kkk akaaakaaaaa  ， 从而 1 2 211 2 32121 )1(44   kkk akaaakaaaaa  ，即①式成立． 由数学归纳法可知，对任意的非负实数 1 2, , , na a a 结论均成立．·····································20 分