北师大版八年级上册数学全册教学课件

北师大版八年级上册数学全册教学课件1.1探索勾股定理（第1课时）北师大版数学八年级上册导入新知同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树带给我们神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受.你知道吗？在古老的数学王国，有一种树木它很奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！勾股树1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.素养目标2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳”的教学过程，将形与数密切联系起来.3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的应用.在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf .看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流. 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 勾股定理的探索做一做探究新知abca2,b2,c2之间关系问题1你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1探究新知ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形A中含有个小方格,即A的面积是个单位面积.同理:正方形B的面积是个单位面积.999思考1用什么办法能求出图1中A,B的面积?数格子图1探究新知分割成若干个直角边为整数的三角形（单位面积）思考2怎样求出C的面积?ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1 探究新知练一练通过对图1的学习，求出图2正方形A,B,C中面积各是多少?ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2探究新知解：正方形A的面积是4个单位面积，正方形B的面积是4个单位面积，正方形C的面积是8个单位面积.（1）观察图3、图4：（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：A的面积B的面积C的面积图3图449169？？图3图4做一做探究新知（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.图3图4探究新知“补”“割”“拼”分割为四个直角三角形和一个小正方形补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形探究新知（4） 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 填表数据图4图3探究新知A的面积B的面积C的面积图3图4491691325结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.问题2通过以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？探究新知做一做如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.　2.41.6?问题4你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？探究新知勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.abc表示为：Rt△ABC中，∠C=90°,则.在西方又称毕达哥拉斯定理探究新知勾较短的直角边称为，股较长的直角边称为，直角三角形中弦斜边称为.勾2+股2=弦2股勾弦在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股“.趣味小常识探究新知2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案.探究新知素养考点1利用勾股定理求直角三角形的边长方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.例1如果直角三角形两直角边长分别为BC=5厘米,AC=12厘米,求斜边AB的长度.abcACB解：在Rt△ABC中根据勾股定理,AC²+BC²=AB²，AC=12，BC=5所以12²+5²=AB²，所以AB²=12²+5²=169，所以AB=13厘米.答：斜边AB的长度为13厘米.探究新知巩固练习变式训练求下列图形中未知边的长度：所以x=8.解：由勾股定理得：62+x2=102,所以x2=64,1.寻求图形面积之间的关系素养考点2利用勾股定理求面积问题方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，即S3=S1+S2（S3是以斜边为基础向外作的图形的面积，S1和S2分别是以直角边基础向外所作图形的面积.例2如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S1的值为（　　）A．7B．8C．9D．10探究新知B例3如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求△ABC的面积．方法点拨：当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）构造直角三角形，然后利用勾股定理求得线段的长，进而求面积.2.求非直角三角形的面积解：作AD⊥BC于D，在等腰△ABC中，因为AB＝AC＝13，BC＝10，所以BD＝CD＝5，所以AD2＝AB2-BD2＝132-52＝144，AD=12所以S△ABC＝BC•AD＝×10×12＝60． 探究新知巩固练习如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝6，S2＝8，则S3＝　　．14变式训练连接中考1.（2018·山东省中考真题）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）A．5B．6C．7D．82.（2019•黔东南州）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为　　． A课堂检测基础巩固题ABCD1.判断题（1）△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13()（2）△ABC的a=6,b=8,则c=10()2.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,则△ABC面积为_____,斜边为上的高为______.244.8基础巩固题15cm17cm64cm²课堂检测3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为.基础巩固题4.求出图中直角三角形第三边的长度.课堂检测所以x=8.解：由勾股定理得：152+x2=172,所以x2=64,所以x=13.解：由勾股定理得：x2=32+42+152,所以x2=169,基础巩固题5.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.ADBC34课堂检测解：因为∠ACB=90°，AC=3，BC=4，所以AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根据三角形面积公式，AC×BC=AB×CD.  所以CD=. 能力提升题如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3,则S1、S2、S3的关系是（）S1+S2=S3B.S12+S22=S32C.S1+S2>S3D.S1+S2<S3A课堂检测拓广探索题（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二期末）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第2个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第3个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2018个等腰直角三角形的斜边长是___________． 课堂检测勾股定理的探索如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2利用勾股定理进行计算课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习1.1探索勾股定理(第2课时)北师大版数学八年级上册1.上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？2.如何验证勾股定理呢？导入新知据不完全统计，验证的方法有400多种，你想得到自己的方法吗？1.掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题．2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.素养目标问题思考分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.知识点1勾股定理的证明探究新知割小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？你能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来吗？探究新知ABCD补a+b大正方形ABCD的面积可以表示为：或者___________可得等式方法一探究新知(a+b)2你能用右图验证勾股定理吗？验证了勾股定理探究新知=c2S正方形C所以a2+b2=c2.S正方形C小正方形ABCD的面积可以表示为：或者_______可得等式方法二探究新知c2ABCD你能用右图验证勾股定理吗？也验证了勾股定理探究新知=c2S正方形ABCD所以a2+b2=c2.=S正方形ABCDABCD所以a2+b2=c2方法三c2abca2b2探究新知abc①②③④⑤所以c2=b2+a2方法四探究新知毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.探究新知aaaabbbbcccc所以a2+b2+2ab=c2+2ab，证明：因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=4×ab+c2=c2+2ab，探究新知所以a2+b2=c2. aabbcc美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.探究新知所以a2+b2=c2.证明：因为abcABCDEFO意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇的证法探究新知ⅠⅡAaBCbDEFOⅠⅡA′B′C′D′E′F′请同学们自己写一下证明过程，相信你能行的！证明：探究新知所以a2+b2=c2.归纳 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．探究新知用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是(　　)A．c2＝a2＋b2B．c2＝a2＋2ab＋b2C．c2＝a2－2ab＋b2D．c2＝(a＋b)2A巩固练习例我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400m,10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?分析：勾股定理的应用知识点2探究新知点A表示小王的位置点C表示汽车开始位置点B表示10s后汽车距小王500m小王距离公路400m，所以∠C是直角点A、B、C构成直角三角形AC公路400mB500m例即它行驶的速度为108km/h.总结：在实际问题中，可以根据问题中的条件构造直角三角形，从而利用勾股定理来解答.解：由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000(m),探究新知飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4km处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶5km，飞机每小时飞行多少千米？4km20秒后5kmABC巩固练习在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2.解：因为AB=5，AC=4,所以BC2=52-42.所以BC2=9,所以BC=3，因为,所以.答：飞机每小时飞行540km.例等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm，求这个三角形的面积.8x16-xDABC解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为xcm，则AB为（16-x）cm，由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即x2+64=256-32x+x2所以x=6素养考点2利用勾股定理解答面积问题探究新知方法点拨：利用勾股定理解答几何问题，经常用到设未知数列方程的思想答：这个三角形的面积为48cm2.S△ABC=（cm2）下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积.15厘米17厘米解：设正方形的边长为x厘米,则x2=172-152=64答：正方形的面积是64平方厘米.巩固练习变式训练议一议判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.锐角三角形：a2+b2＞c2钝角三角形：a2+b2＜c2直角三角形：a2+b2=c2提示：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.探究新知（2019•咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（　　）A．B．C．D．连接中考B1．如图，一个长为2.5m的梯子，一端放在离墙脚1.5m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚(　　)A．0.2mB．0.4mC．2mD．4mC课堂检测基础巩固题2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(　　)A．5B．6C．7D．25A课堂检测基础巩固题3．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为(　　)A．16B．12C．9D．7D课堂检测基础巩固题4．两棵树之间的距离为8m，两棵树的高度分别是8m，2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？思路：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理解答．课堂检测基础巩固题解：根据题意画出示意图，如图所示，两棵树的高度分别为AB＝8m，CD＝2m，两棵树之间的距离BD＝8m，过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC.则BE＝CD＝2m，EC＝BD＝8m，AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)．在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2，即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10m.答：这只小鸟至少要飞10m．课堂检测基础巩固题知识点如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝π，S2＝2π，试求出S3的面积.课堂检测能力提升题解：如图，由圆的面积公式得所以c2＝25，a2＝16.根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝9.所以能力提升题课堂检测一艘快艇以每小时12海里的速度离开A地，向西北方向航行，另一小船以每小时5海里的速度离开A地，同时出发向西南方向航行，求1小时后快艇与小船之间的距离.思路提示：解题的关键是要能够根据题意，将实际问题抽象成数学问题（数形结合），运用所学新知识解决问题.或者说：画出图形，运用勾股定理.拓广探索题课堂检测解：根据题意，如图，1小时后快艇在B处，小船在C处.且有AB=12海里，AC=5海里，∠BAC=900ACB由勾股定理，可以得到AB2+AC2=BC2即122+52=BC2所以BC=13（海里）答：1小时后快艇与小船之间的距离为13海里.拓广探索题课堂检测验证勾股定理及应用拼图验证首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理．应用拼出图形写出图形面积的表达式找出相等关系课堂小结步骤恒等变形导出勾股定理思路课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习1.2一定是直角三角形吗（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）北师大版数学八年级上册小明找来了长度分别为12cm,40cm的两根线,利用这两根线采用固定三边的办法画出了如图所示的两个图形,他画的是直角三角形吗?问题思考导入新知1.探索和掌握勾股定理的逆定理，并能理解勾股数的概念.2.经历证明勾股定理的逆定理的过程，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.素养目标　据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.这种方法对吗？探究新知知识点1勾股定理的逆定理345三边分别为3，4，5，满足关系：32+42=52，则该三角形是直角三角形．探究新知问题1用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是做一做下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17．探究新知下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.问题2这三组数在数量关系上有什么相同点？①5,12,13满足52+122=132,②7,24,25满足72+242=252,③8,15,17满足82+152=172.问题3古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？因为32+42=52，所以满足.a2+b2=c2探究新知我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.问题4据此你有什么猜想呢?由上面几个例子，我们猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.探究新知已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且.ABbc证明：作∆A1B1C1在△ABC和△A1B1C1中，Ca求证：∠C=90°.使∠C1=90°根据勾股定理，则有所以∠C=∠C1=90°.探究新知BAB1C1=a，C1A1=b,A1B12=B1C12+C1A12=a2+b2因为a2+b2=c2所以A1B1=c，所以AB=A1B1≌所以∆ABC∆A1B1C1，abC1A1B1符号语言：在△ABC中，若a2+b2=c2则△ABC是直角三角形.探究新知提示：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.bcCaBA勾股定理的逆定理：例下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15，b=20，c=25;解：(1)因为152+202=625，252=625，所以152+202=252，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.(2)因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.探究新知素养考点1利用勾股定理的逆定理判断直角三角形点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是()A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.6,10,8D巩固练习变式训练一个零件的形状如下图(左)所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如下图(右)所示,这个零件符合要求吗?探究新知勾股定理的逆定理的应用知识点2例分析：如果三角形三边之间的关系存在着a2+b2=c2,那么就可以判定是直角三角形.探究新知解:在△ABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2,所以△ABD是直角三角形,∠A是直角.在△BCD中,BD2+BC2=25+144=169=CD2,所以△BCD是直角三角形,∠DBC是直角.因此,这个零件符合要求.方法点拨探究新知勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.412243解:△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形,由勾股定理知BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25,所以BE2+EF2=BF2,所以△BEF是直角三角形.巩固练习探究新知知识点3勾股数如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.下列各组数是勾股数的是()A.3，4，6B.6，7，8C.0.3，0.4，0.5D.5，12，13D巩固练习温馨提示：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.连接中考（2019•威海模拟）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形B1.下列各组数是勾股数的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形BA课堂检测基础巩固题3.若△ABC的三边a,b,c满足a:b:c=3:4:5，试判断△ABC的形状.解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,所以△ABC是直角三角形，且∠C是直角.课堂检测基础巩固题A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？解：因为AB2+BC2=122+52=144+25=169，AC2=132=169，所以AB2+BC2=AC2，所以△ABC为直角三角形，且∠B=90°，由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向.课堂检测能力提升题解：AF⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4a,则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，所以△AEF为直角三角形，且AE为斜边．所以∠AFE＝90°，即AF⊥EF.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．课堂检测拓广探索题勾股定理的逆定理内容作用从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.注意最长边不一定是c，∠C也不一定是直角.勾股数一定是正整数课堂小结勾股数课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习1.3勾股定理的应用北师大版数学八年级上册NEPQR12在同一平面内，两点之间,线段最短从行政楼A点走到教学楼B点怎样走最近？教学楼行政楼BA你能说出这样走的理由吗？导入新知1.灵活会用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题.2.运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.素养目标3.培养学生的空间想象力，并增强数学知识的应用意识.以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行到B点的问题.讨论1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？2.有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？BA我要从A点沿侧面爬行到B点，怎么爬呢？大家快帮我想想呀！探究新知知识点1利用勾股定理解答最短路径问题BAdABA'ABBAO想一想蚂蚁走哪一条路线最近？A'蚂蚁A→B的路线探究新知若已知圆柱体高为12cm，底面周长为18cm，则:BArO12侧面展开图1218÷2AB小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.A'A'探究新知AB2=122+(18÷2)2所以AB=15.例1有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3）ABABA'B'解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.因为AA'=2×3×2=12,A'B'=5m,所以AB'=13m.即梯子最短需13米.素养考点1利用勾股定理解决圆柱体的最短路线问题探究新知数学思想：立体图形平面图形转化展开探究新知如图所示,一个圆柱体高20cm,底面半径为5cm,在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面与A点相对的B点处的一只已被粘住的苍蝇,这只蜘蛛从A点出发,沿着圆柱体的侧面爬到B点,最短路程是多少?(π取3) 3　勾股定理的应用巩固练习变式训练解:如图所示,将圆柱侧面沿AC剪开并展平,连接AB,则AB的长即为蜘蛛爬行的最短路程.根据题意得AC=20cm,BC= ×2×π×5=15(cm).在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得AB2=BC2+AC2=152+202=252,所以AB=25cm,最短路程是25cm. 3　勾股定理的应用巩固练习B牛奶盒A例2学习了最短问题，小明灵机一动，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗？6cm8cm10cm素养考点2利用勾股定理解决长方体的最短路线问题探究新知长方体爬行路径ABFEHGABCDEFGH前（后）上（下）ABCDEFGHBCGFEHABCDEFGH右（左）上（下）前（后）右（左）BCAEFG探究新知分析BB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296AB22=82+（10+6）2=320AB32=62+（10+8）2=360探究新知因为360＞320＞296所以AB1最短.AB点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路程的平方是多少？前上ABAB左上AB前右巩固练习变式训练ABC解:如图所示在Rt△ABC中,利用勾股定理可得，AB2=AC2+BC2=202+102=500101010巩固练习所以AB2=500.李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.AB2+BC2=AC2△ABC为直角三角形知识点2利用勾股定理的逆定理解答实际问题探究新知（2）量得AD长是30cm，AB长是40cm，BD长是50cm.AD边垂直于AB边吗？解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.探究新知（3）若随身只有一个长度为20cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.探究新知例如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：因为AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，所以AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又因为AC2＝92＝81，所以AB2＋BC2≠AC2，∠ABC≠90°，所以该农民挖的不合格．探究新知素养考点1利用勾股定理的逆定理解答测量问题有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？解:图形可简化为左下图，设伸入油桶中的长度为x米,即AB=x米，而AC=2米，BC=1.5米，有x2=1.52+22,x=2.5故，最长是2.5+0.5=3(米)答:这根铁棒的最长3米，最短2米.故，最短是1.5+0.5=2(米)当最短时:x=1.5ACB最短是多少米？变式训练巩固练习如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.故滑道AC的长度为5m.解：设滑道AC的长度为xm，则AB的长也为xm，AE的长度为（x-1）m.在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即（x-1）2+32=x2，解得x=5.探究新知例知识点3利用勾股定理解答长度问题甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距多远？解:如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点,乙到达C点.则:AB=2×6=12(千米),AC=1×5=5(千米).在Rt△ABC中,所以BC=13(千米)即甲乙两人相距13千米.巩固练习BC2=AC2+AB2=52+122=169=132解：连接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得BD2=AB2+AD2，所以BD=5cm.又因为CD=12cm，BC=13cm,所以BC2=CD2+BD2，所以△BDC是直角三角形.所以S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD•CD－AB•AD=×(5×12－3×4)=24(cm2)． CBAD探究新知例如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.素养考点1利用勾股定理的逆定理解答面积问题如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.解:因为S△ACD=30cm2，DC＝12cm.所以AC=5cm.又因为所以△ABC是直角三角形,∠B是直角.所以DCBA巩固练习变式训练（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____cm（杯壁厚度不计）．解析：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=．故答案为20．20连接中考20（cm）BB课堂检测基础巩固题1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（　　）DA.B.C.D.2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m，若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的()A.北偏东75°的方向上B.北偏东65°的方向上C.北偏东55°的方向上D.无法确定B基础巩固题课堂检测3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行了9×2=18(km)，又因为A，B两组相距30km，且有242+182=302，所以A，B两组行进的方向成直角．基础巩固题课堂检测AOB4.在城市街路上速度不得超过70千米/时，一辆小汽车某一时刻行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米.问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?车速检测仪小汽车30米30°北60°解：小汽车在车速检测仪的南偏东60°方向或北偏西60°方向.25米/秒=90千米/时>70千米/时所以小汽车超速了.2秒后50米40米基础巩固题课堂检测如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.ADBC341312能力提升题课堂检测解：连接AC.在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.所以S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.能力提升题课堂检测ADBC341312如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，因为周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，所以AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.因为AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，在Rt△PBQ中，由勾股定理得课堂检测拓广探索题所以3x+4x+5x=36，解得x=3.PCBAQ勾股定理及逆定理的应用应用最短路径问题方法认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题解决不规则图形面积问题课堂小结测量问题课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习2.1认识无理数(第1课时)北师大版数学八年级上册已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，x是整数(或分数)吗？x2=?12x导入新知1.通过拼图活动和勾股定理的应用感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．2.能判断一个数是否为有理数.素养目标把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形剪一剪拼一拼1111探究一:下面请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形探究新知知识点1利用拼图发现非有理数11方法一探究新知思考:设大正方形的边长为a,则a满足什么条件?方法二探究新知a2=22.a可能是分数吗？说说你的理由.探究二：1.a可能是整数吗？说说你的理由.探究新知a2=2a因为a2=2，1<a2<4，得到1<a<2，所以a一定不是整数；因为所以a一定不是分数.在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数.探究新知即两个相同最简分数的乘积仍是分数.a2=2a归纳总结有理数包括：整数和分数.如果一个数既不是整数也不是分数，那么这个数不是有理数.在a2=2中，a不是有理数.探究新知例如图，有一个由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪拼成一个正方形．则拼成的正方形的面积是多少？这个正方形的边长是有理数吗？解：因为小正方形的边长为1，所以每个小正方形的面积为1，所以拼成的正方形的面积为5×1＝5.因为找不到平方等于5的有理数，所以这个正方形的边长不是有理数．探究新知素养考点1非有理数的识别提示：解决本题的关键是理解五个小正方形的面积的和就是拼成的正方形的面积．1.满足下列条件的数a不是有理数的是(　　)A．2a＋5＝8B．a2＝0.16C．a2＝7D．a2＝92.下列说法：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③有理数都是无限循环小数；④无限循环小数都是有理数．其中正确的有(　　)A．①②B．①③C．②③D．②④C　D　巩固练习变式训练(1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？b是有理数吗？解：b2=5.①因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.②没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.③因为没有一个整数或分数的平方为5，所以b不是有理数.探究新知知识点2利用勾股定理发现非有理数解：两条直角边分别为1和2，根据勾股定理，得12+22=5，所以正方形的面积是5.像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数—无理数.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”.但是这个学派中的一个叫希伯索斯的成员却发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是a2=2中的a不是有理数.探究新知用生命换来的新数归纳总结例如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC＝6，AD＝5，问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？解：在Rt△ACD中，AC为斜边，AC＝6，AD＝5，所以CD2＝AC2－AD2＝11.因为11是质数，大于1的整数的平方都是合数，所以11不能写成一个整数的平方，所以CD不可能是整数．因为最简分数的平方仍是分数，所以CD不可能是分数．所以CD不可能是有理数．素养考点1利用勾股定理识别非有理数探究新知如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？解：由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能是分数.巩固练习变式训练连接中考D（2020·威海模拟）下列正方形的边长不是有理数的是（）A.面积为2.56的正方形B.面积为36的正方形C.面积为的正方形D.面积为10的正方形1.满足下列条件的数不是有理数的是（）课堂检测基础巩固题C2.两直角边分别是3和5的直角三角形的斜边长是（）A.整数B.分数C.有理数D.非有理数DC.a2=3D.2a2=18B.a2=0.36A.2a+5=8D　2　不是　3.如果方程x2=m的解是有理数，则数m不能取下列四个数中的（）A.1B.4C.0.25D.0.54.把边长是1的两个正方形纸片重新剪裁成一个大的正方形，则大正方形的面积是______，它的边长_____有理数（填写“是”或“不是”）课堂检测基础巩固题请你在方格纸上按照如下要求 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 直角三角形．(所作三角形的各个顶点均在格点上)(1)使它的一边为有理数，另两边边长不是有理数；(2)使它的三边边长都是有理数．能力提升题课堂检测解：(1)如图1所示．(2)如图2所示．图1图2能力提升题课堂检测在下列4×4的网格中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的非有理数．拓广探索题课堂检测解：答案不唯一．如图所示：AB2＝2,2不能写成一个整数或分数的平方，所以AB表示的数是非有理数．CD2＝8,8不能写成一个整数或分数的平方，所以CD表示的数是非有理数．EF2＝18,18不能写成一个整数或分数的平方，所以EF表示的数是非有理数．拓广探索题课堂检测非有理数的发现拼图发现首先通过拼图把几个小正方形拼成一个大正方形，然后利用面积发现非有理数非有理数的识别课堂小结利用勾股定理发现非有理数课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习2.1认识无理数(第2课时)北师大版数学八年级上册思考导入1.有理数如何分类？有理数整数(如-1，0，2，3，…):都可看成有限小数分数(如…):如何化成小数？可不可能都化成有限小数或无限循环小数?2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？导入新知1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想．2.无理数概念的建立及估算，会判断一个数是有理数还是无理数.素养目标讨论一面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.知识点1无理数的概念探究新知(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?边长a面积S1<a<21<S<41.4<a<1.51.96<S<2.251.41<a<1.421.9881<S<2.01641.414<a<1.4151.999396<S<2.0022251.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449探究新知【归纳总结】a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.探究新知思考a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数.事实上，b=2.236067978…它是一个无限不循环小数.同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.探究新知想一想讨论二把下列各数表示成小数，你发现了什么？3，解：3=3.0分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.探究新知像0.585885888588885…，1.41421356…，-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).你能找到其他的无理数吗?探究新知   无理数的概念提示　有理数与无理数的区别:①有理数是有限小数或无限循环小数,而无理数是无限不循环小数;②所有的有理数都能化成分数(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数不能化成分数.注意: 形似分数,但它不是分数,是无理数.探究新知概念无限不循环小数分类正无理数和负无理数三种常见类型根号型：含有根号，开方开不尽，例如：（以后学习）含有圆周率型：例如：π，0.7π构造型：例如：0.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个3）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，，0.570.1010001000001……（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.解：有理数有，0.57无理数有0.1010001000001…....3.14（因为3.14是有限小数）..（因为0.57是无限循环小数）（因为它是无限不循环小数）探究新知例1.在 ,0,3.14,-0. ,6.7517551755517…(7和1之间5的个数逐次加1),- 中,无理数有　　　    个.21　认识无理数巩固练习2.下列各数是无理数的是(　　)A．1B．－0.6C．－6D．πD面积为3的正方形的边长为a．(1)a的整数部分是几？(2)估计a的值．(结果精确到百分位)分析：利用“夹逼法”进行估计即可．解：(1)因为a2＝3,1＜3＜4，所以1＜a＜2，所以a的整数部分为1．(2)当1.7＜a＜1.8时，无理数的估计探究新知2.89＜a2＜3.24，所以a的十分位是7．当1.73＜a＜1.74时，2.9929＜a2＜3.0276，所以a的百分位是3．所以a≈1.73．知识点21.若边长为acm的正方形的面积与长、宽分别为8cm、4cm的长方形的面积相等，则a的取值在(　　)A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间D　巩固练习2.一块面积为10的正方形草坪，其边长（）A．小于3B.等于3C．在3与4之间D.大于4C　连接中考C1.（2019•邵阳）下列各数中，属于无理数的是（　　）A．B．1.414C．D．B2.（2019•白银）下列整数中，与最接近的整数是（　　）A．3B．4C．5D．6(1)有限小数是有理数;（）(2)无限小数都是无理数;（）(3)无理数都是无限小数;（）(4)有理数是有限小数.（）1.判断题╳√√╳课堂检测基础巩固题2.以下各正方形的边长是无理数的是（）A.面积为25的正方形；B.面积为的正方形；C.面积为8的正方形；D.面积为1.44的正方形.C课堂检测基础巩固题3.下列各数，是大于-3而小于-4的无理数的是（）A.-2.56879B.-3.121221222…C.-D.2.383883888…4.请你写出一个大于2且小于4的无理数:.基础巩固题课堂检测Bπ5.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形．边长是有理数的正方形有_____个，边长是无理数的正方形有_____个．3　6　基础巩固题课堂检测如图,在方格纸中,假设每个小正方形的面积为2,则图中的四条线段中长度为有理数的线段是　　　    . 1　认识无理数课堂检测能力提升题CD,EF解析:设小正方形的边长为x,则x2=2.因为AB2=x2+(3x)2=10x2=20,所以AB的长不是有理数.因为CD2=(2x)2+(2x)2=8x2=16,CD=4,即CD的长是有理数.因为EF2=x2+x2=2x2=4,EF=2,即EF的长是有理数.因为GH2=x2+(2x)2=5x2=10,所以GH的长不是有理数.小明买了一盒饮料，盒子的尺寸为5×4×3(单位：cm)，现在小明要将这盒饮料分别倒在两个同样大小的正方体容器内，问这两个正方体容器的棱长是有理数还是无理数？请说说你的理由．若是无理数，请你利用计算器探索这个正方体的棱长至少为多少？(精确到十分位)解：设此正方体的棱长为xcm，则2x3＝5×4×3，x3＝30.因为33＝27,43＝64，3<x<4，所以x不是整数．因为三个相同的最简分数的乘积仍然是分数，不会等于30，所以x也不是分数，即x不是有理数，而是无理数．因为3.13＜30＜3.23，所以3.1<x<3.2，所以这个正方体的棱长至少为3.1cm．课堂检测拓广探索题有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数整数分数课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习2.2平方根(第1课时)北师大版数学八年级上册学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？5dm因为52=25导入新知1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性.2.会求一些数的算术平方根，并用算术平方根符号表示.素养目标3.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根.一、请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：x2=，y2=，z2=，w2=．2345知识点1算术平方根的概念和性质探究新知x,y,z,w中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？已知一个正数，求这个正数的平方,这是平方运算.正方形的边长/cm120.5正方形的面积/cm21二、填表：表1讨论你能从表1发现什么共同点吗？40.25探究新知正方形的面积/cm2140.3649正方形的边长/cm已知一个正数的平方，求这个正数.表2表1和表2中的两种运算有什么关系？120.67讨论你能从表2发现什么共同点吗？探究新知规定：0的算术平方根是0，即.探究新知一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”.a的算术平方根互为逆运算平方根号被开方数读作：根号a（a≥0）怎么用符号来表示一个数的算术平方根？(x≥0)探究新知1.一个正数的算术平方根有几个？0的算术平方根有1个，是0.2.0的算术平方根有几个？负数没有算术平方根.3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根吗?一个正数的算术平方根有1个.探究新知解:(1)因为302＝900，所以900的算术平方根是30，即;(2)因为12＝1，所以1的算术平方根是1，即；求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)；(4)14．非平方数的算术平方根只能用根号表示探究新知(3)因为，所以的算术平方根是，即;(4)14的算术平方根是.素养考点1求一个数的算术平方根例巩固练习求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4