均值不等式的证明方法及应用

均值不等式的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 及应用 摘要 均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一。应用均值不等式，可以使一些较难的问题得到简化处理。本文首先系统全面地总结了均值不等式的十种证明方法,其中包括柯西法、数学归纳法、詹森不等式法、不等式法、几何法、排序法、均值变量替换法、构造概率模型法、逐次调整法、泰勒公式法;其次, 结合相关例题给出均值不等式在证明不等式、比较大小、求最值、证明极限的存在性、判断级数敛散性、证明积分不等式方面的应用。 关键词:均值不等式;数学归纳法;最值;极限;积分不等式 第1页 共20页 PROOFS AND APPLICATIONS ON AVERAGE VALUE INEQUALITY ABSTRACT Average value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of the most widely used inequalities in modern mathematics. Using average inequality can make some difficult problems simple. In this paper, ten proof methods of average value inequality are first systematically summarized, including Cauchy method, mathematical induction, Jensen inequality, inequality method, geometry method, sorting method, variable substitution method of average value, constructing probability model method, successive adjustment method, Taylor formula method, respectively. Secondly, we give applications of average value inequality combining the corresponding examples on comparing the size, solving maximum and minimum, proving the existence of the limit, judging convergence of series and proving integral inequality. Key words: average value inequality; mathematical induction; maximum and minimum; limit; integral inequality 第2页 共20页 目 录 前言 --------------------------------------------------------------------- 4 1 均值不等式的证明方法 --------------------------------------------------- 5 1.1 柯西法 ------------------------------------------------------------ 5 1.2 数学归纳法 -------------------------------------------------------- 6 1.3 詹森不等式法 ------------------------------------------------------ 7 1.4 不等式法 ---------------------------------------------------------- 7 1.5 几何法 ------------------------------------------------------------ 8 1.6 排序法 ------------------------------------------------------------ 9 1.7 均值变量替换法 ---------------------------------------------------- 9 1.8 构造概率模型法 ---------------------------------------------------- 9 1.9 逐次调整法 ------------------------------------------------------- 10 1.10 泰勒公式法 ------------------------------------------------------ 10 2 均值不等式的应用 ------------------------------------------------------ 12 2.1 均值不等式在证明不等式中的应用 ----------------------------------- 12 13 2.2均值不等式在比较大小问题中的应用 --------------------------------- 2.3 均值不等式在求最值问题中的应用 ----------------------------------- 13 2.3.1 均值不等式求最值时常见错误 --------------------------------- 14 2.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策 --------------------------- 16 2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用 ----------------------------- 17 2.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用 ------------------------------- 19 2.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用 ------------------------------- 19 3 结论 ------------------------------------------------------------------ 21 参考文献: --------------------------------------------------------------- 22 致谢 -------------------------------------------------------------------- 23 第3页 共20页 前言 不等式在数学的各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具, 而均值不等式是重中之重. 通过学习均值不等式，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，还可以培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯. 因此，研究均值不等式的证明方法及应用，是一个既有理论意义又有广泛现实意义的问题. 均值不等式的证明及运用均值不等式来解决数学中的某些问题，在数学研究中历历可见. 如，比较大小、求函数的最值、证明不等式常利用均值不等式的方法进行解答. 均值不等式还是高等数学中最基本的运算之一，作为最基本不等式，在解决高等数学问题中也发挥着重要的作用. 运用均值不等式可以使复杂的问题简单化，繁琐的问题清晰化. 1,, 著名数学家阿基米德最先运用了均值不等式，证明了球和圆柱的相关问题.此后科学家们对均值不等式的证明方法进行了深入的研究，并在此基础上把均值不等式应用到了其他领域. 当前, 我国许多学者对均值不等式的证明方法及应用进行了大量的研究 8,,214,,,. 如，陈益琳在学生利用均值不等式解题时遇到的常见问题作了总结性的工作. 9,,冉凯对均值不等式在数学分析中的应用做了探讨. 均值不等式在解决许多问题中发挥着重要的作用. 本文将对均值不等式的证明方法及应用进行归纳和总结. 第4页 共20页 1 均值不等式的证明方法 首先,我们给出均值不等式. 定理1 设是个正数，则 aaa,,...,n12n aaa，，，？12nn ， 11,,,aaa？，，12nn 上式当且仅当时等号成立. aaa,,,？12n 上述不等式我们称之为算术—几何平均不等式,以后简称均值不等式. 我们把 aaa，，，？12nn和分别叫做这个数的算术平均数和几何平均数,分别记做aaa,？n12nn Aa和Ga，(1-1)式即为AaaG,(). ，，，，，，nnnn 下面给出均值不等式的几种证明方法. 1.1 柯西法 2n,2当时,由于.有,得. aa,,0,0()0aa,,aaaa，,212121212 n,4当时, aaaaaaaa，，，,，，，()()12341234 4. ,，,,2244aaaaaaaaaaaa123412341234 n,8当时,()()aaaaaaaa，，，，，，， 12345678 844 ,，44aaaaaaaa,8aaaaaaaa. 1234567812345678这样的步骤重复次之后将会得到, 令 n aaa，，，？12n,,;12,aaaaaaaA,,,,,,,？？ ，，n，，1112nnnn2n有 1nn,1nnAnA，,(2)nnn,2n222 AaaaAaaaA,,,,,？？()1212nnn2 即 aaa，，，？12nn,,aaa？. 12nn 这个归纳法的证明是柯西首次提出的,我们将它称之为柯西法. 第5页 共20页 1.2 数学归纳法 证法一 n,2当时，不等式显然成立. nk,假设当时,命题成立. nk,，1则当时, aaaa，，，，？121kk，k，1,. A,Gaaa,,？K，1Kk，，11211k， 因为具有全对称性，所以不妨设 ai ,. aaikk,,，min1,2,,{}|,1？amaa,,，xikk{|,,1}1,2,？1iki，1显然 ,以及.于是, aAaA,,,0aAa,,，，，，1111KkK，，，111Kk，， . AaaAaa()，,,KkKk，，，，111111 所以 ()aaaA，，，,？kAkAA(1)，,1211kK，，KKK，，，111 A,,,K，1kkk aaaaA，，，，,？()2111kkK，，k =. ,,，,aaaaA？()21111kkK，，，k k即两边乘以,得 AAaaaaA,，,？()K，1，，，12111kkkK kK，，11. AaaAaaAaaaaG,，,,,？？()()kkKkKkkK，，，，，，1211112111 从而,有AG,. KK，，11 AaGa(),所以，由数学归纳法，均值不等式对一切成立，即 . n，，nn证法二 n,2当时，不等式显然成立; nk,假设当时成立. k,1kakGkG，,,,(1)nk,，1则当时，有，于是 kkk，，，111 11k,11akG，,(1)kk，，11kk22GGaGG,,,()() kkkkk，，，111k akG，,(1)akG，,(1)11kk，，11kk，，11,，()G,，()A . kk2k2k 2(1)(1)kGkAkG,,，，,GA,所以 ,所以 . kkk，，，111kk，，11 第6页 共20页 当且仅当且时等号成立. aG,kGakG,,，,(1)kk，，11kkk，1由数学归纳法知,均值不等式对一切成立，即 ( AaGa(),n，，nn1.3 詹森不等式法 引理1(Jensen不等式)若为区间上的凸函数，对任意，IxI,fx()i n ，且，则 ,,,0(1,2,,)in？,,1i,i,1i nn (1-3) fxf()(),,,x,,iiii,,11ii 成立. 下面利用詹森不等式证明均值不等式. 令 ,,易知在是凸函数.由于,令 ain,,0(1,2,,)？fxx()ln,,(0)x,fx()(0,)，,i 1,,，则由引理1有下式, in aaa，，，？112n,ln( . )(lnlnln),,，，，aaa？n12nn 则 aaa，，，？1112nln(？a, )(lnlnln)ln(),，，，,aaaaa？nn1212nnn 因此 1aaa，，，？n12nln()ln()？a,aa, n12n 即 aaa，，，？12nn,,aaa？, 12nn aaa,,,？当且仅当时等号成立. 12n 1.4 不等式法 xex,，1在均值不等式的证明中，可以运用一个特殊的不等式进行推导. xx设，对应用迈克劳林展开式并取拉格朗日余项得: fxe(),fxe(), 1xx2,exxe,，，1, 2 第7页 共20页 xx,001,,,x,0x,0其中, , . 因此, ,.当时，等号成立. ex,，1 下面给出均值不等式的证明过程. n 取一组数,，使.令 . xaxA,，(1)kn,1,2,,？x,0,kknkk,1k xk则由(全为零时,取等号)可得, x(1)，,xekk 111nnnnx，，knn， GaxAAeA()(1),,，,,,,,nkknnn,,,,,kkk，，111 所以 . AaGa()(),nn 1.5 几何法 xexGn作函数的图像,它是凸曲线，并在点处作切线,可见这条切线()Ge,y ,ye,nGn aieaGine,,011,在函数的下面(见图)，因此,可以得到.所以 ()in,1,2,3,,？Gn()aaa，，，？12neaeaeanAGnnn12n，于是，即,且从上述证明中可知，AG,,,,()()()？ee,nnnGGGGnnnn 当且仅当时，等号成立. aaaG,,,,？12nn 图1-1 第8页 共20页 1.6 排序法 ？aaaaaa？aaa121n,12n112做序列: ,,„,,，取其中的一个,1x,x,xx,,1n2n,1n2n,1GGGGnnnn xaxaxann1122排列:,,„,，则,,„,. bx,,1bx,bx,,,,1n21nn,1bGbGbG2nnn1n 111不妨设.则.由排序原理可知 ,,,,？xxx,,,,？0012nxxx12n xxxx1113n12 , ，，，，,,，,，，,,？？xxxn12nbbbbxxx12312nn aaa，，，？aaa12nn12n即 ,, ,,aaa？？，，，,n12nnGGGnnn 所以 . AaGa()(),nn 1.7 均值变量替换法 本节运用数学归纳和变量替换相结合的方法证明均值不等式. n,2易证时，不等式显然成立. nk,假设当时，不等式成立. k，1 nk,，1则当时，设xaAin,,,(1,2,,)？,则.设x不全为零,必有一个xx,0,iik，1iiii,1为正,另一个为负,不妨设xx,,0,由于 aaAxAxAAxx,，，，，()()(),, 1211121112kkkk，，，，i1 从而 ()Axxaa，，，，，？kk，，11231kA,,，，()Axxaaa？ k，1kk，，112341k k，1Gaak，112kk,,？aaa. 341k，AAkk，，11 kk，，11AG,所以 AG,,即. kk，，11kk，，11 AaGa(),x,0aaa,,,？易证,当且仅当时(即时)取等号,故原不等式成立( ，，nn12ni 1.8 构造概率模型法 首先给出证明过程中要用到的一个引理. 第9页 共20页 引理2 设是一个随机变量,并且数学期望存在,则有XEX 22,. 14,ln(ln)EXEX,EXEX,()，， 1建立概率模型,设随机变量的概率分布为,其中,.XPXa,,()a,0in,1,2,,？iin由引理2可知, nnn111n,, a,alnlna,aaa？lnln,,,12niiinnn,,11,1iii aaa，，，？12nn即 成立. ,,aaa？12nn 1.9 逐次调整法 中必存在最值数，不妨设,. 易见 aaa,,...,aa,min{}aa,max{}12n1i2i()aa，aa，21212.于是,用取代.不变,但是增大,即 [],aaaa,AG12n12n22 n11()()aaaa，，1212, ？()，，，，,aaa,3ninn22,1i ()()aaaa，，1212nnaaaaa？？,,, . nn12322 n,1对于各个,这种代换至多进行次(有限次).因此， n aa，212nnn()GaaaaaAAAA,,,,,,？？？？ . nnnnnnn1232 即 GA,,当且仅当aaa,,,？时,取等号. nn12n 1.10 泰勒公式法 1xfx''()0,,,x设，则，将在处展开，有 fxax()log(01,0),,,,fx()02axaln ''fx()'20fxfxfxxxxx()()()()(),，,，,. 00002因此有 n1'fxfxfxxx()()()(),，,,取, xaaabin,,,？,(,),(1,2,,),0ii000n,1i nnn111'从而. fafafaaain,，,,？()()()()(1,2,,),,,iiiiinnn,,,111iii 第10页 共20页 nnnnnn111'故, fanfafaaanfa,，,,,()()()()(),,,,,,iiiiiinnn,,,,,,111111iiiiii 1nnaaa，，，？()112n11aaann12即 .因此有 , ,，，，？log(logloglog)fafa,()(),,aaaaiinnn,,11ii 111aaa，，，？()aaa，，，？()112nnn12aaa,？()aaa,？()12nnnn12即 ,亦即, ,loglogloglog(01),,,aaaaan aaa，，，？12nn故有 ,. ,,aaa？(0,1,2,,)ain,,？12nin 第11页 共20页 2 均值不等式的应用 2.1 均值不等式在证明不等式中的应用 一般不等式的证明,常常考虑比较法,综合法,分析法,这是高中比较常用的方法,但有些不等式运用上述方法不好入手,故考虑均值不等式或者均值不等式与综合法相结合,这样处理,常常使复杂问题简单化,从而达到证明的目的.下面举几个例子予以说明. 111abc,1例1 已知为互不相等的正数,且.求证. abc，，,，，abc,,abc 1111/1/1/1/1/1/111bcacab，，，证明abc，，,，，,，，,，，. bcacababc222 故原不等式得证. 22例2 证明 . ababab，，,，，1 2222证明 由均值不等式得,,,. aa，,12bb，,12abab，,2 2222以上三式相加得,212ababab，，,，，，即有,. 原不等式得ababab，，,，，1，，，， 证. 1CD45:CDEFABABEF例3 设圆的半径为,两弦和均与直径交,记与和的交o2 P点分别为和Q,求证 . 221PCQEPDQF,，,, 21, 图 CDCOMOPOM21,M证明 如图,设为弦的中点,连接,,则?为等腰直角三角形,MPMO,且. 222222222 PCPDMCMPMCMPMCMPMCMOCO，,,，，,，,，,()()2()2()2 第12页 共20页 211,, . ,,2,,22,, 122同理,. QEQF，,2 由均值不等式得， 2222PCQEPDQF，，PCQEPDQF,，,,， 22 2222()()PCPDQEQF，，， ,2 11，122 . ,,22 即 ，原不等式得证. 221PCQEPDQF,，,, 2.2均值不等式在比较大小问题中的应用 比较大小问题是高中数学中常见的问题，准确巧妙地运用均值不等式是快速解决这 类问题的关键. ab，1ab,,1R,lg例4 若Qab,，(lglg)，,,,试判断之间pab,,lglgPQR,,22 的大小关系. 解 由均值不等式，得 1 QababP,，,,,(lglg)lglg. 2 ab，1RababQ,,,，,lglg(lglg) . 22 由于，所以不能取等号,即. abab,,,RQP,, 2.3 均值不等式在求最值问题中的应用 均值不等式在求函数最值,解决一些取值范围问题时运用非常广泛,是重要知识点 之一.在实际应用问题中,我们应因题而宜地进行变换,并注意等号成立的条件,达到解 题的目的,变换题目所给函数的形式,利用熟悉知识求解是常用的解题技巧,熟练运用该 技巧,对于提高思维的灵活性和严密性大有益处. 例5 求下列函数的值域: 第13页 共20页 112(1); (2). yx,，3yx,，22xx 1122解 (1)因为,. 所以,值域为. yx,，,,323x =6[6,+),2222xx 11x,0(2)当时，. yxx,，,,,2 2xx 111x,0当时,故,值域为 yxxx,，,,,,,,,,()2 -2(,,，),,，,,22][.xxx 02,,x例6 若,求函数的最大值. fxxx()3(83),, 3(83)xx，,02,,x解 因为, .所以,，故的最大值是fxfxx,,3(83),x 4,，，，，2 4. 例7 制作容积一定的有盖圆柱形罐头, 当圆柱高h 和底面半径r 的比为何值时,使用的材料最省? (不计加工损耗) 2VVVV322222,，,，,，，,,,,,,,2,r设圆,当且仅当, 解 SrhrrrV222232rrrr 332hr:2:1,Vr,2,2,,rrh,即 时, 材料最省. 此时有 ,故 ,即圆柱形的高与底面半径之比为2:1时,使用的材料最省. 2.3.1 均值不等式求最值时常见错误 运用均值不等式解题是一项重要内容,运用这种方法有三个条件:(1)正;(2)定;(3)相等.在此运用过程中,往往需要对相关对象进行适当地放大、缩小, 或不等式之间进行传递等变形,在此过程中,学生常常因为忽视条件成立而导致错误,而且错误不易察觉.因此,就这一问题列举几个例子进行说明. 1yxx,，,1例8 求的值域. ，，x,1 分析 在解题时,我们常常写成 111yxxx,，,,，，,,，,112113， ，，xxx,,,111 1x,1y,，,3,x,1与故.虽然的积是常数,但不一定是正数,忽视均值不等式中，,x,1 的各项为“正”致错, 因此解法是错误的.下面给出正确解法. 第14页 共20页 111 1x,解 当时,,当且仅当yxxx,，,,，，,,，,112113，，xxx,,,111 1 2x,,即时等号成立; x,,1x,1 111x,1当时,,所以,,,,，,,，,,,,,yxxx112111y,, 1，，111,,,xxx x,0当且仅当时取等号,所以原函数的值域为. ,,,,，,,13,，，,, 2x，5例9 求的最小值. y,2x，4 分析 在解题时,我们常常写成 22xx，，，5411122yxx,,,，，,，,4242 ， 2222xxxx，，，，4444 122所以的最小值是2.可是在 中,当且仅当,即x,,3,这是不可yy,2x，,42x，4能的,所以等号不成立,这个问题忽视均值不等式中等号成立条件.故原式的最小值不是 2.下面给出正确解法. 11122t,2yt,，yt,，解 在中,令tx,，4, 则(),易证在yx,，，42ttx，4 152t,2x,02，,yx，,42上递增,所以的最小值是,当且仅当时,即,,取[2,)，,22 “”,号. xy,xy例10 若正数 满足,求的最大值. xy，,26 2xy，,,xy,分析 在解题时,我们常常写成,当且仅当且,即xy，,26xy,,,2,, “”,xy时取号, 将其代入上式,可得的最大值为4.初看起来,很有道理, 其实xy,,2 在用均值不等式求最值时,在各项为正的前提下,应先考虑定值,再考虑等号是否成立. 2xy，,,xy，xy但在中,不是定值,所以的最大值不是4.这个问题忽视了均值不等xy,,,2,, 式中积或和是定值的条件.下面给出正确解. 第15页 共20页 231129xy，,,解 因, 当且仅当时(此时)取“”,xy,,3,xy,2xyxy,，,，,2,,22222,, 9号, 所以. xy,，，max2 2.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策. 运用均值不等式是求最值的一种常用方法, 但由于其约束条件苛刻,在使用时往往 顾此失彼,从而导致均值不等式“失效”. 下面例说几种常用的处理策略. 40 1,,x例11 已知,求的最大值. yx,，lglgx 0 1,,x解 因为，所以，,从而有 lg0x,,,lg0x ,,4， ,,,，,,,yxlg244，，,,lgx,, 14x,即，当且仅当即时等号成立，故. y,,4y,, 4,,,lgxmax100lgx 40 1,,x 本题满足 为定值，但因为,，所以此时不能直接应用均lg0x,lg4x,,lgx 值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式. 1,,例12 求 的最大值. yxx,,()1 20,,x,,2,, 2112121xx，,,,解 ， yxxxx,,,,,,,,,12212，，，，,,2228,, 11212xx,,y,x,当且仅当,即时等号成立.故. max84 本题不是定值,但可通过平衡系数来满足和为定值. xx，,(12) 64ab,,0ya,，例13 已知,求的最小值. abb,，， 6464643abb,,,yaabb,，,,，，,,36412解 ，当且仅当,，，abb,abbabb,,，，，，，， a, 8b, 4y,12即,时等号成立.故. min 第16页 共20页 64 本题 不是定值,但可通过添项、减项来满足积为定值. a,abb,，， 40 ,,x,例14 已知,求的最小值. yx,，sinsinx 41313,,解 . yxxx,，,，，,,，,sinsin2sin5,,sinsinsinsin1xxxx,, 13sin1x,当且仅当,3且,即 时等号成立. 故. sinx,y,5minsinxsinx 44 本题虽有为定值,但不可能成立. 故可通过拆项来满足等号sinx,sinx,sinxsinx 成立的条件. 2xx,，455例15 已知x,,则 有______. fx,，，224x, 55A 最大值 B 最小值 C 最大值1. 最小值1. ()D，，，，，，44 22x,，21，，xx,，45111，，fxx,,,,，,21解 ,当且仅当,x,,2，，，，，，,,242222xxx,,,x,2，，，，x,3即时等号成立.故选 . ()D 本题看似无法使用均值不等式,但对函数式进行分离,便可创造出使用均值不等式 的条件. 2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用 极限概念是高等数学中的重要概念，在证明数列极限的存在性时,需证明数列单调 及数列有界.而在此过程中便运用了均值不等式的相关内容.下面举例说明. 1n，,elim(1)例16 证明重要极限的存在性. ,,nn 1n，(1)先证数列{证明 }单调递增. n 1aaa,,,，？,11,1a,1 令，，则由均值不等式得, ，，12nn，1n 11111，，，，，？？,，，(1)(1).1[(1)(1)1] . n，1nnnnn，1,,,,,,,,,,,,,,,,个个nn 11n，1n，,，(1)1即 , nn，1 第17页 共20页 11nn，1所以 . ，，, (1)(1)nn，1 1n所以 数列{}单调递增. ，(1)n 1n再证数列{}有上界. ，(1)n 11nk，1k 下面的证明可以看到一个更强的命题:数列{}以(为正整数)，M,，(1)(1)nk 为上界. 11nk，，11nk,先证不等式, 当时, . ，，,(1)(1)nk k设 ,,,,？，. aaaaa,,,？1121k，kn，21，k kkn1knk，,1n，1,，,，,,,由均值不等式， ()1[(1)()]knk，，，，knkn1111 kn11kn，，11nk，，11所以 ()(),，，,,因此，. (1)(1)nk，，11kn 11111nn，1nk，111，,，，,，，,其次由,有(1)(1),所以(1)(1). nnnkn 11k，1nnk,k，M,，(1)(1)当时，任取一个正整数，均是数列{}的上界. kn 111nnk，1nk,，，，,(1)又数列{(1)(1)}单调递增，所以,当时,不等式仍然成立. nnk 111nnk，1k，，，,(1)(1)(1) 因此，对于数列 {}, 恒有(为正整数). 任()n,1,2？nnk 11k，1nk，M,，(1)(1)意选定一个值， 均是数列{}的上界. kn 11nn，，(1)(1)所以数列{} 单调有界,由单调有界定理,数列{} 极限存在.极限值nn 1n，,elim(1)为，即. e,,xn 1n，1(1)，例17 证明数列{}极限存在且其极限是. en 1n，1x,，{(1)}证明 令 . nn n(1)1，,，n111，nnnnnnn，，，，1122，1n,,,,,()()[]() . ，，，，1122xnnnnxnn，1xxx,0所以,数列单调减少.又,则数列有下界. ,,,,nnn 第18页 共20页 111，，nn，1 . ，,，,，lim(1)lim(1)(1),,nn,,,,nnn，， 11n因为 和的极限都存在, 所以 ，(1)，(1)nn 111，，nn，1. e，,，,，,lim(1)lim(1)(1),,nn,,,,nnn，， 1n，1因此, 数列{(1)，}极限存在且其极限是. en nlim1n,例18 证明. ,,n 证明 由均值不等式(1-1)有: 1n,,nn，，，，11？n nnn,,,,11？,,,n,个n2,, 222nn，, , ,,，1nn 2nnlim1n,从而有,故 . ,,,n01,,nn 2.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用 均值不等式的应用很广泛,在证明级数的敛散性时也有很重要的应用. ,, 例19 已知正项级数收敛，证明级数也收敛. aaa,,nn1n，,n1n1, 1aaaa,，()证明 因为,a,0,由均值不等式，有,已知级数(1,2,)n,？nnnn，，11n2,,,,111收敛,所以级数与都收敛，从而级数也收敛，再由比aaaaa，(),,,,nn1nn1，n，222,n11n1,n1n,, , 较判别法，知级数收敛. aa,nn1，n1, 2.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用 积分不等式是一种特殊的不等式,而均值不等式又是证明不等式的重要方法.因此, 在积分不等式的证明中我们自然会想到运用均值不等式来进行证明. 0,,abab,()fxkn,1,2,？例20 证明函数在上是正值可积的, ,且,则 ,, 第19页 共20页 1111bbbbnnnn，，，，，， . fxfxfxdxfxdxfxdxfxdx()()()()()(),,,？？,,nn1212,,,,,,,,,,aaaa，，，，，，aaa，，，？12nn证明 利用.有, ,,aaa？12nn fx()fxfx()()n12 ？,bbbnfxdxfxdxfxdx()()()12n,,,aaa ，，fx()1fxfx()()n12,, . ？,，，，bbb,,nfxdxfxdxfxdx()()()12n,,,,,aaa，， 111,,nnn，，，，，，,,bfx()fxfx()(),,n12,,,,,,？,dx于是 ,,bbb,a,,,,,,fxdxfxdxfxdx()()(),,n12,,,,,,,,,，，，，，，aaa,,,, bbb，，fxdxfxdxfxdx()()()12n1,,,aaa,, ， ？,，，，,1bbb,,nfxdxfxdxfxdx()()()12n,,,,,，，aaa 1111bbbbnnnn，，，，，，即 . fxfxfxdxfxdxfxdxfxdx()()()()()(),,,？？,,nn1212,,,,,,,,,,aaaa，，，，，， 11ln()fxdx,0efxdx,()例21 设在上非负连续，证明. ()fx[0,1],0 证明 由题设知在上可积，将等分，作积分和n()fx[0,1][0,1] 1nnnn111ii，，1i，. ln()limln()limln()fxdxff,,,fxdxf()lim(),,,,,,,,,,,,,00nnnnnnnn,,,i，，1i1i1 1n1n，，i1liml()nfn,,,nln(fx)dxn,,i，，n,,,i,，，10lim()ef,e,所以 . ,,,n,,ni,1，， aaa，，，...12nn,,aaa？由均值不等式得, 12nn 1nnn1ii1，， . lim()lim()()fffxdx,,,,,,,,,,,0nnnnn,,i，，i11 11ln()fxdx,0efxdx,()故 . ,0 第20页 共20页 3 结论 均值不等式是数学中的重要内容，对培养数学思维发展有很大帮助.本文重在梳理均值不等式的相关证明方法和应用.如，运用均值不等式时，一定时刻谨记一正、二定、三相等原则，具体问题具体分析，有时可以通过转化达到运用均值不等式解题的目的.本文系统地归纳总结均值不等式的各种证明方法及其在具体解题分析和论证推理过程中的应用.通过本 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 的撰写，更深刻地理解均值不等式在证明问题和解题中的重要作用. 第21页 共20页 参考文献: [1]中译本(朱恩宽、李文铭等译):《阿基米德全集》[M]. 西安:陕西科学技术出版社,1998. 算术-几何平均值不等式的证明[J].巢湖学院学报,2008,6(3):129-130. [2]陈侃. [3]熊桂武 .概率方法在不等式证明中的应用[J].重庆师范大学学报,2003,12:89-91. [4]敦茂.算术平均值与几何平均值不等式的各种证法[J].云梦学刊,1980,1(3):65-80. [5]Norman schaumberger.A coordinate approach to the AM-GM inequality[J].Mathematics Magazine,1991,64:273. [6]刘鸿雁.由Jensen不等式导出某些重要不等式[J].成都大学学报,2003,22(3):32-35( [7]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科学技术出版社,2004( [8]陈益琳.高中教学导练(高二)[M].北京:冶金工业出版社,2004. [9]冉凯.均值不等式在数学分析中的应用[J].青海师专学报,1997,4(2):35-38. [10]赵建勋.浅谈均值不等式的应用[J].高中数学教与学,2011,5(3):7-10. [11]蓝兴苹.均值不等式的推广与应用[J].云南民族大学学报,2006,15(4):22-24( [12]高飞、朱传桥《高中数学教与学》[M]. 济南:山东科学技术出版社,2007. [13]章国凤.均值不等式在高等数学中的应用[J].广西教育学院学报,2008,05(1):151-152. [14]陈复华.均值不等式在微积分中的应用及其它[J].湖北民族学院学报(自然科学 ,1994,2(3):88-89. 版) 第22页 共20页 致谢 毕业论文暂告收尾，这也意味着我在鞍山师范学院四年的学习生活既将结束。回首既往，自己一生最宝贵的时光能于这样的校园之中，能在众多学富五车、才华横溢的老师们的熏陶下度过，实是荣幸之极。在这四年的时间里，我在学习上和思想上都受益非浅。这除了自身努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的。 在本论文的写作过程中，我的指导老师倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从写作提纲，到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循循善诱，为了指导我们的毕业论文,她放弃了自己的休息时间,她的这种无私奉献的敬业精神令人钦佩,在此我 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示衷心的感谢。 我还要感谢的是我的父母，家人，朋友，同学。感谢你们多年来给予我无限的信赖和支持，无私的关怀与帮助，无价的恩惠与厚爱。今天，虽然我无以为报。但在今后的道路上，我一定会怀着感恩的心，努力进取，奋发图强，回报大家，回报社会～ 时间的仓促及自身专业水平的不足，整篇论文肯定存在尚未发现的缺点和错误。恳请阅读此篇论文的老师，多予指正，不胜感激～ • • • • • • • • • • • • • • • • 第23页 共20页 • • 【唯美句子】 走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。 顶 3 收藏 2 • 【唯美句子】 一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。 顶 7 收藏 7 • 【唯美句子】 清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点,瞬间回眸，点亮了生命精彩。 顶 11 收藏 9 • 【唯美句子】 几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌， 清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。 顶 3 收藏 4 • 【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。 顶 1 收藏 3 • 【唯美句子】 世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭;权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。 顶 2 收藏 3 • 【唯美句子】 那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。 顶 4 收藏 5 • 【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。 顶 3 收藏 5 • 【唯美句子】 在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。 顶 4 收藏 3 • 【唯美句子】 看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短 第24页 共20页 的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。 顶 1 收藏 1 • 【唯美句子】 很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。 顶 2 收藏 0 • 【唯美句子】 我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，我却不知道，那时的感受了。那里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想要的自由呢，不完全地体验到了。 顶 2 收藏 1 • 【唯美句子】 那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，浮夸。我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到金光熠 • 【优美语句】 踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜;采过一丛花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻;无过一个梦，决定从那里启程。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 人生如一本 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼;人生如一支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符;人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着碎光的泥土的肥沃;母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔;生活如山，宽容为径，循径登山，方知山之高大;生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然;母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱;母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相信自己一定做得更好。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春;母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是温暖心灵的太阳;母爱是滋润心灵的雨露;母爱是灌溉心灵的沃土;母爱是美化心灵的彩虹。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，海平面波光潋滟，金光闪闪，夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂 第25页 共20页 拥抱最温馨的时刻„„我爱大海宽广的胸怀，无论多大的风浪，她都可以揽入怀中;无论多少风雨，都无法将她击垮;无论多少河流，她都可以容纳;我愿做一只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤怒，只留下平静、柔和的海面。 第26页 共20页