界面端弹塑性应力奇异性的迭代计算方法

界面端弹塑性应力奇异性的迭代计算方法 傅列东, 许金泉 () 浙江大学 力学系, 浙江 杭州 310027 摘 要: 提出了一种迭代方法来计算刚体与幂次硬化 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 结合的界面端的弹塑性应力奇异次数Λ在平面 应变条件下, 当界面端角度减小到 45时应力奇异性消?失, 当界面端角度增大到 135时将出现两种应?力 奇 异性; 在平面应力条件下当界面端角度减小到 5417时应力?奇异性消失, 当界面端角度增大到 12513? 时, 将出现两种应力奇异性Λ 当界面端角度趋于 180时?, 应力奇异次数与界面裂纹的奇异次数相符合Λ 关键词: 界面端; 弹塑性; 应力奇异性; 迭代 () 中图分类号: 125; 333 文献标识码: 文章编号: 1008297320010620689206 TB TB AX 1 , 6 近年来, 许多研究者考察了幂次硬化材料结合材料界面裂纹尖端的应力奇异性Λ对硬化指数不同的情况, 为了能同时满足界面上位移和表面力的连续性, 视较硬的材料为刚体Λ 其结论可归 ( ) 纳为: 幂硬化材料界面裂纹尖端的应力奇异次数与较软 即硬化指数更大材料的 场的应力 H R R 奇异次数相等, 把较硬的材料视为刚体, 可先得到较软的材料中的应力分布, 接着利用界面上表面 力的连续性可得到另一种材料中的应力分布Λ 在结合材料的应力 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中, 界面端弹塑性应力奇异性的研究具有更广泛、更实际的意义Λ 本文 考察了幂次硬化材料与刚体材料结合的界面端模型, 提出了一种确定界面端应力奇异次数的迭代 () 方法Λ 显然, 根据位移匹配的观点 即视较硬的材料为刚体, 该方法也适用于由不同硬化指数的材 料结合而成的界面端模型Λ 1 模型与分析方法 界面端角度为 Η的幂硬化材料与刚性基体结合的界面端模型 0 如图 1 所示, O 为界面端Ζ 幂硬化材料的应力应变关系为 n- 1 Ρs ( ) ( ) 3 e i j 1 + v 1 - 2v ()s+ Ε= Ρ?+ ,1 i j ij k k ij Α 3E 2 ΡE E 0 图 1 分析模型 式中: Ρ为屈服应力; E 为杨氏模量; v 为泊松比; Α为比例系数; n 为 0 F ig. 1 A na ly sis m o de l 硬化指数; Ρ为等效应力; s= Ρ- ?Ρ为应力偏量Ζ考虑界面端e ij ij ij m () 附近的应力奇异性, Ρµ Ρ, 忽略弹性变形, 式 1可简化为e 0 n- 1 s i j Ρ3 e ()Ε= . 2 Α ij 2 Ρ 0E 应力分量 Ρ可写为 z Ρ= 0, 平面应力; z ()3 ) (Ρ= Ρ+ Ρ/2,平面应变.z r Η 现考虑图 2 所示的闭合回路 # = # + # + # + # 的积分 1 2 3 4 收稿日期: 2000205219. ( ) 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 19972060Λ ( ) 作者简介: 傅列东 1972- , 男, 浙江龙游人, 博士, 日本长冈技术科学大学, 从事界面力学研究Λ () ()4 I i = w n i - Ρj k n k u j , i d# ,i = 1, 2, ?# 7 为应变能密度, 可写为式中: n i 为路径的外法线方向; w n+ 1 Ε m n Ρe Α n ()5 w = ΡdΕ= . i j ij ? 0n + 1 E Ρ 0 8 利用类似 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 J 积分与路径无关的方法可以得到 () ()0, I 1 = w n 1 - 6 Ρj k n k u j , 1 d # =图 2 闭合积分路径 ?# F ig. 2 C lo sed in teg ra l p a th (()) 7 0. I 2 = w n 2 -Ρj k n k u j , 2 d # = ?# 为方便起见, 选取 # 和 # 为以 r和 r为半径的圆弧, 并引入如下积分: 2 4 1 2 ( ) I = I co s Η+ I sin Η= A d# = 0, 8 p 1 0 2 0 ?# 式中 5u 5u jj()() .9 w co s Η+ n sin Ηn A = co s Η0 +sin Η0 n 1 0 2 0 - Ρj k k 5x 5y 在路径 # 上 co s Ηn + sin Ηn = 0, 且表面力为零, 即 1 0 1 0 2 ()p = Ρn = 0, 10 i i j j 因此 ()11 A d# = 0. ? # 1 () 从而式 8变为 ( ) I = 0, p A d# = A d# + A d# + A d # =12 ?# ??? # # # 2 3 4 () 式 12为界面端弹塑性奇异应力场必须满足的一个方程Ζ现对界面端弹塑性奇异应力场采用如下 7, 9 进行分析 分离变量形式的应力函数 s+ 2 () < = K rF Η, s < 0, 2 1 5< 1 5< s ζ s () ) () () (() s + 2F Η= K rΡΗ,+ Ρ= = K rF ″Η+ r r 22 r 5r 5Η r 2 5 < ζss ()() 13 ) (() () Ρ= K rΡΗ,s + 2s + 1K rF Η= Η =Η25r 5 1 5< s s υ (() Ρ= - ) () = ,rΗ = - s + 1K r F ′ΗK r ?ΗrΗ 5r 5Η r ζζυ 式中: K 为待定的系数; Ρ、Ρ 、?为关于 Η的角函数; s 为应力奇异次数Ζ等效应力为rΗ r Η 2 ζζ Ρ- ΡΗ rsυ2 ) K r 3 (,平面应变; + ?rΗ ζs2 ( ) ( ) Ρ= K rΡ Η =14 e e s2 2 2 ζζζζυ() ) ) (( K r Ρr +ΡΗ- ΡrΡΗ + 3 ?rΗ, 平面应力Ζ () 根据式 2, 应变分量为 n K ns υ ) Ε= ΑΕ( r ΕΗ , r 0r Ρ 0 n K ns υ() Ε= ΑΕ () 15 Η 0rΕ Η,Η Ρ 0 n K ns υ () Ε= ΑΕ r ΕrΗΗ,rΗ 0Ρ0 υυυ 式中: Ε, Ε, Ε为Η r Η r υn- 1 ζ ζ ζ(() ) = Εr 3/4Ρe Ρr - ΡΗ, υn- 1 ζ ζ ζ ()= - (() ) 平面应变 16 ΕΗ 34Ρ- Ρ /e Ρr Η, n - 1 υζυ () = 3/2Ρ?. ΕrΗ e rΗ ζ ζζυn- 1 ( ) = Εr Ρe Ρr - ΡΗ2,/ ζ ζζυn- 1 (()= ) 平面应力 17 ΕΗ Ρe ΡΗ - Ρr 2,/ n - 1 υζυ( ) = ΕrΗ 32Ρe ?rΗ./ 位移场为 n K 1+ ns υ ( ) u = ΑΕΕ1 + /n s , r 0r r Ρ 0 ()18 n K 1+ ns υυ) n s]n s. /u = ΑΕ( Εr2 rΗ -r Η 0Ε′1 +/Ρ 0 ()() 把式 16、17代入应变协调方程可得 2 d d ζζn- 1 n- 1 (() () () ()) Ρ″- s + sF ′= 0 平面应变; [ n s n s + 2 2F + 4 1 + n s1 +-e F s [ Ρe 2 d Η dΗ ()19 2 d ζn- 1 ζn- 1 ) () ) ( ) () (s - 1F - (s + 1F - 222n s - {Ρ[ s +2F ″} + F ″+ e n s n s + 1Ρe [ s +2d Η ()20 ζn- 1 () ) () (6 s + 1n s + 1ΡF ′′=0 平面应力. e ()() () 式 19、20为确定角函数 F Η的控制方程Ζ图 1 所示问题的边界条件为 Ρ= Η= Η; ?= 0, Η 0rΗ ()21 u =r u = Η= 0. 0, Η ()() () () 根据式 13、16, 18, 式 21变为 ()F ′= Η. 22 F = Η= 0, 0 () s s + 2F = 0, F ″- ()23 Η= 0, 平面应变; () () () F “+ s s + 2]F ′= 4 1 + s1 + ns- 0, ( ) () 1s + 2F /2 = 0, F ″- s -()24 Η= 0, 平面应力Ζ ) () ) () (s + 22 F ′= 0, (1/F “+ 3 1 + s1 + n s- s - ()() () () 式 19、20及式 22, 24提供了界面端奇异应力场的基本方程, 可以看出它们只依赖于硬化 () 指数 n 及界面端角度 ΗΖ当应力奇异次数 s 已知时, 可按如下过程确定角函数 F Η:0 ) () 1设 F 0为单位常数 1Ζ () ()() ) 2假定 F ′0的初始值, 代入式 23、24可得 () () F ″0= s s + 2,()平面应变; 25 () ) () () (() () s s + 2F ′0, F “0= - 4 1 + s1 + n s- () () () F ″0= s - 1s + 22,/()26 平面应力Ζ ) (() ) () () () (1s + 22 F ′0, /F “0= - 3 1 + s1 + n s- s - ()() () () 用龙格 2 库塔积分法求解式 19、20, 但此时所得 F Η可能不满足式 22Ζ () () () ) 3不断修正 F ′0的初始值, 直到满足式 22, 即得到正确的 F ΗΖ ()() () () 为了确定应力奇异次数 s, 现把式 13、15及式 18代入式 12可得 r ΗΗ 200()( s n+ 1 ( ) ) s n+ 1+ 1 s n + 1+ 1 ( ) - 1 A dΗ+ A Η= 0 r d r +r2 A dΗ=0, 27 r ?0 ?r ?0 1 式中 () - s n+ 1 ()28 A= rA () 为只与 Η有关的函数Ζ式 27可整理为 Η 0 1 () s n+ 1+ 1 () A d Η-AΗ= 0 =r1 - ? () 0 s n + 1+ 1 Η 01 () s n+ 1+ 1 (() ) () 当 s n + 1?- 1 时, r- 2 A d Η-A]Η= 0 () ? s n + 1+ 1 0 ()29 Η Η 0 0 A l n r- ln r+ Η= 0 2 2 A dΗ=- A d Η+ ? ?0 0 ) (() ln r= 0 时Ζ 1 Al n r-当 s n + 1= - 2 Η= 0 2 () 由于式 29需在 r1、r2 取任意值时均成立, 可得 Η 0 1 ) (() () A dΗ+A = 0 当 s n + 1?- 1 时,Η= 0 () ? s n + 1+ 0 1 ()30 () () A=0 当 s n + 1= - 1 时Ζ Η= 0 () 根据式 9可知, A= 0 只有在 Η=Π时成立, 因此可得Η= 0 0 A 1 1 Η= 0() s = - - 当 Η0 ? Π时, Η 01n + 1 n + AdΗ ?0 ()31 1 ) (= Π时Ζ s = - 当 Η0 n + 1 1, 4 () = Π对应于界面裂纹情况, 应力奇异次数 s = - 显然 Η1n + 1与已有解相符合Ζ对 Η0 ? 的Π/0 () () (() 情况, 式 31提供了一确定界面端应力奇异次数的基本表达式, 但要求 A Η为已知 即要 F Η为 ) 已知Ζ 2 迭代方法与结果 () () () 上述分析可归纳为: 当 s 为已知时, 可以确定 F Η, 当 F Η为已知时可以利用式 31确定 sΖ因 () () 此, 可以用迭代的方法来确定 s 及 F ΗΖ现引入与式 22等价的条件: 2 2 ()T = F + F ′ = 0,32 Η= Η 0 确定应力奇异次数 s 及角函数的迭代方法为: () 1/n + 1; ? 假定 s 的初始值, 如设 s= - 0 () ()() () () ? 假定 F ′0初始值, 求解方程 19、20得到 F Η, 根据式 32计算 T 值; () ? 调整 F ′0使 T 取最小值; () () ? 利用所得的 F Η, 根据式 31计算 s;i (? 重复 ?, ?, 直到 m in T = 0 计算中取 T < - 8 ) 1. 0 × 10作为控制条件Ζ 基于上述方法, 本文计算了平面应变条件下界面 端的应力奇异次数及角函数Ζ 图 3 为不同硬化指数下应力奇异次数随界面端角 度变化的曲线Ζ从图 3 可以发现硬化指数越大, 应力奇 () 异次数 绝对值越小, 当界面端角度趋于 180时应力? () 奇异次数趋于 - 1n + 1; 当界面端角度趋于 45时? / 图 3 平面应变条件下的应力奇异次数 应力奇异次数趋于 0; 当界面端角度小于 45时?, s 为正 F ig. 3 S t re ss singu la r o rde r unde r 值, 表示应力奇异性消失, 因此没有在图中给出Ζ p lane st ra in co nd it io n 图 4 给出了 n = 5 时, 界面端角度分别为 135?、75? ζζζυ 时角函数 Ρ、Ρ、?r 、Ρe 的分布, 结合图 3 中对rΗΗ 图 4 周向应力分布 F ig. 4 S t re ss d ist r ibu t io n a lo ne the angu la r d irec t io n 应的应力奇异次数, 便可完全确定该情况下的弹塑性奇异应力场Ζ顺便指出, 对于具有应力奇异性 问题的评价, 除应力奇异性次数外, 应力分布也是必须考虑的重要因素Ζ 3 讨 论 从图 3 可以看出, 无论硬化指数为何值, 应力奇异次数同时在 Η= 45时变为?零Ζ实际上, Η= 0 0 () 45对应于一个恒应力?场Ζ把 s = 0 代入式 23第一个等式可得 () () 33 F ″0= 0. ()() () 再把式 22、33代入式 13可得 ()34 Ρ= Ρ, Η= 0, Η r ()Η. Ρ= ?=0, Η= 35 0Η rΗ ()() 根据式 34、35画出单元应力的莫尔圆, 可得 Η= 45或? 135Ζ?而另一方面, 恒应力场显然能满足 0 应变协调方程, 因此当 Η= 45或? 135时?, 界面端的应力场可以是一恒应力场Ζ0 显然, 除了图 3 所示相交于 Η= 45的奇异性解外?, 还存在一组相交于 Η= 135的解?Ζ计算表0 0 明它代表奇异性较弱的一组解, 当 Η> 135时? s 为负值, 但由于该组解在界面端角度增大到一定值 0 () 该值与硬化指数 n 有关, 约为 155?以后, 无法找到其数值解, 因此其结果没有在本文列出Ζ () () 类似地, 对平面应力问题, 把 s = 0 代入式 24的第一个等式, 再代入式 13可得 ()Ρ= 2Ρ, 36 Η= 0. Η r ()() 17或? 12513时?, 界面端的应力场可以是一恒应力场Ζ即在平面应力条 54由式 35、36可知, Η0 = 件下, 两组应力奇异次数的解分别相交于 Η0 = 5417或? 12513Λ? 在实际的工程应用中, 对于陶瓷金属类的结合材料, 考察金属侧的界面端弹塑性应力奇异性 / 及其应力分布时, 可看作是硬化材料刚体界面端; 对于金属金属类的结合材料, 当两种材料的硬 // 化指数不同时, 将较硬的一方看作刚体, 本文的结果仍可适用Λ 对于两种材料的硬化指数相同的情 10, 11 况, 可参见 等的研究ΛR u dge 4 结 论 () 1从一闭合路径积分出发, 得到了界面端弹塑性应力奇异次数的一个解析表达式, 利用该表 达式, 提出一种确定幂次硬化材料与刚性基体结合的界面端应力奇异性的迭代计算方法Λ从位移匹 配的角度出发, 该方法及所得结果也同样适用于由两种不同硬化指数的幂硬化材料结合的界面端 问题Λ () 2幂硬化材料与刚体结合的界面端弹塑性应力奇异性只与硬化指数及界面端角度有关Λ 界 面端角度越大, 奇异性越强; 硬化指数越小, 奇异性越强Λ ( ) 3平面应变条件下, 当界面端角度减小到 45时应力奇异性消?失, 当界面端角度增大到 135时将出现两种应力奇异性; 在平面应力条件下, 当界面端角度减小到 5417时应力奇异性消?失, 当 界面端角度增大到 12513时将出现两种应力奇异性?Λ 参考文献: 1 , . 2: I 22SH IH C F A SA RO R JE la st icp la st ic ana ly sis o f c rack s o n b im a te r ia l in te rface sP a r t Sm a llsca le 1988, 55: 299- 315. y ie ld ing [J . 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