第五章量子力学的矩阵形式和表象变换考试题

第五章量子力学的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 象变换与矩阵形式 量子态的不同表象，幺正变换 力学量的矩阵表示 力学量的表象变换5.1.1坐标表象通过坐标变换,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念.表象:量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象.（2）A1和A2表示矢量A在两个分量坐标上的投影。5.1量子态的不同表象，幺正变换（3）写成矩阵的形式（5）R（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。当R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。其转置矩阵表示为（6）因为R＊=R，（7）5.1.2RepresentationTheory(表象理论)一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r,t)来描述，将ψ(r,t)称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函数。将ψ(r,t)还可表示成在整个动量空间积分。c(p,t)为展开系数，ψp(r)是动量的本征函数。（11）（12）显然，c(p,t)描述的粒子态与ψ(r,t)描述的粒子态同样完整。已知c(p,t)，就可以求出ψ(r,t)，反之也一样。即c(p,t)和ψ(r,t)描述的是粒子态同一个状态。因此，将c(p,t)称为粒子态的动量表象。如果已知ψ(r,t)就可以通过上式得到c(p,t)，反过来也成立。（13）（14）那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为其它观测量的平均值类似可表示出。如果ψ(x,t)描述的状态是动量p’的自由粒子的状态在动量表象中，具有确定动量p’的粒子波函数是函数。例题：一维粒子运动的状态是动量的几率分布为动量的平均值为考虑任意力学量Q本征值为1,2,…,n…,对应的正交本征函数u1(x),u2(x),…un(x)…,则任意波函数（x）按Q的本征函数展开为下标n表示能级，上式两边同乘以u*m(x),并积分粒子态完全由an完全集确定，即能量表象。（16）（17）3.能量表象因为所以是对应力学量Q取不同能量本征值的几率可表示成一列矩阵的形式其共轭矩阵为一行矩阵例题1：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数因为系统的波函数是正交归一的波函数，表示为直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数u1(x),u2(x),…un(x),…看作一组基矢，有无限多个。大小由a1(t),a2(t),…an(t),…系数决定。所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（Hilbert）空间.常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象总结例题2质量为m的粒子在均匀力场f(x)=-F(F>0)中运动，运动范围限制在x0,试在动量表象中求解束缚态能级和本征函数。解：势能为V（x）＝Fx，总能量为定态的薛定谔方程E可由贝塞尔函数解出，基态能级为习题4.1求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元解：Lx在动量表象中的矩阵元第一项第二项也可以导出，则Lx的矩阵元4.2算符的矩阵表示在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，…Qn…,对应的本征函数分别为u1(x),u2(x),…un(x),….将(x,t)和(x,t)分别在Q表项中由Q的本征函数展开代入上式，两边同乘以u*n(x),并在整个空间积分利用本征函数un(x)的正交性（23）矩阵Fnm的共轭矩阵表示为因为量子力学中的算符都是厄米算符，若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为F的共轭矩阵例题（习题4.2）求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设C为两矩阵之和Cmn=Amn＋Bmn（42）矩阵Fpp’是动量空间。矩阵F＝（Fmnδmn）称为对角矩阵（diagonalmatrix）,当Fmn=1,称为单位矩阵（unitmatrix）,表示为I＝(δmn).4.3量子力学公式的矩阵表述1.平均值公式写成矩阵形式（51）例题求一维无限深势阱中，当n=1和n=2时粒子坐标的平均值2.TheEigenvalueProblem在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。首先，算符F的本征函数满足（54）（55）（60）这是一个线性齐次代数方程组这是一个久期（secular）方程。将有1，2….nn个解,就是F的本征值。例题：求算符x在下面波函数中的本征值,[-a,a]区间解：则3.矩阵形式的薛定谔方程TheSchrödingerEquationinMatrixForm（81）（82）例题：求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数c（p）是动量表象中的本征函数仿照一维谐振子坐标空间的求解 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 可解出c(p)。讨论从一个表象变换到另一个表象的一般情况。设算符A的正交归一的本征函数ψ1(r)，ψ2(r)，…ψn(r);设算符B的正交归一的本征函数1(r)，2(r)，…n(r);1.UnitaryTransformation（幺正变换）确定Fmn与F之间联系的转换矩阵。将算符B的本征函数(x)用算符A的本征函数n(x)展开。（70）得到算符在两个表象中的变换矩阵这就是力学量F从A表象变换到B表象的变换公式。（72）S与S+的积等于单位矩阵。即SS+＝I,S+＝S-1（74）将满足上式的矩阵称为幺正矩阵,由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换.物理意义:在不同的表象中几率是守恒的。如果一个粒子在态φn中的几率为1，在态ψn中的几率为Sμn2,那么,Sμ12,Sμ22,…,Sμn2,…给出粒子在态ψn中出现的几率分布。下面的式子必定成立。（75）例题：求转动矩阵R(）的特征值、特征矢量和幺正变换矩阵.变换矩阵下面讨论态矢量u(x,t)从A表象变换到B表象的公式b=S+a总结：幺正变换的性质2）幺正变换下，矩阵的迹（trace)不变。用TrF表示，定义为矩阵的对角单元之和。那么TrFA=TrFB,矩阵的积不依赖于特别的表象。5.4狄喇克符号在经典力学中，体系的运动规律与所选取的坐标是无关的，坐标是为了处理问题方便才引进的。同样，在量子力学中，粒子的运动规律与选取的表象无关，表象的选取是为了处理问题方便。在经典力学中，常用矢量的形式讨论问题，并不指明坐标系。同样，量子力学中描述态和力学量，也可以不用坐标系。这样一套符号称为狄喇克符号。1.右矢(ket)>和左矢（bra）<左矢<表示右矢的共轭，例如ψ＊，表示为<ψ，是ψ>的共轭态矢。<x´是x´>的共轭态矢。量子体系的一切可能的态构成一个Hilbert空间，Hilbert是一个以复量为基的一个有限的或无限的、完全的矢量空间。<ψφ>＊＝<φψ>一个量子态用右矢>来表示。例如用ψ>表示波函数ψ描述的状态。标积运算规则：若<ψφ>＝0，则称<ψ与φ>正交。若<ψψ>＝1，则称ψ>为归一化态矢。例题：轨道角动量l=rp，证明在lz的任何一个本征态下，lx和ly的平均值为零证明：设m为lz=的本征态，属于本征值状态为m|A>在Q表象中的分量为a1(t),a2(t),..,<B|在Q表象中的分量为b1(t)＊,b2(t)＊,..,2.态矢在具体表象中的狄喇克表示方法这种性质称为本征值n的封闭性。例题：两个态矢|A>和|B>在同一个表象Q中的标记3.算符在具体表象中的狄喇克表示方法将态矢A、B分别在Q表象中展开两边左乘以<k|,例题：对于（l2,lz）的共同本征态Ylm(,),计算lx2ly2的平均值，由于5.5谐振子的升降算符（44）（44）与（47）式相加减，得将â称为降幂算符(loweringoperator),将â+称为升幂算符.由于本征值n是谐振子波函数的指数因子,因而我们定义一个数算符N(numberoperator)的本征值是n,本征函数是ψn,2.PropertiesoftheOperatorsâandâ+通过进行â+ψn运算,我们可以计算从基态开始的所有本征函数由此可计算出能量本征值例题对于谐振子的能量本征态|n>，计算x,p，x2，p2的平均值及x、p。利用正交性，得到对于基态，n=0，刚好是测不准关系的下限4.Interpretationofâandâ+我们知道谐振子的能量是等间隔的,ψn所具有的能量大于nħω,将该能量分成n份，一份称为声子(phonons),那么将ψn称为n声子态(n-phononstate),解释:如果â作用于波函数,则湮灭(annihilate)了一个声子,因而称为â湮灭算符;â+作用于函数,则产生一个声子,â+产生算符.由于称为声子数算符(phononnumberoperator),（67）谐振子波场中的量子正是声子.如果与光子相类比的话,就更清楚了.计算［a,a+］,［a,a+a］,［a+,a+a］5.6力学量随时间的演化因为波函数和算符都是时间相关的，则平均值也是时间相关的。第一项表示算符L的瞬时偏导数的平均值，第二项积分则利用应用算符H的厄密性得到H=E6.2Ehrenfest’sTheorem考虑坐标、动量的时间导数都不显含时间，则下式成立对其它分量，有类似的成立。为了考察它们的对易性，我们考虑粒子在一个势垒中，其哈密顿量为位置和动量之间的关系与经典力学中的坐标与动量之间的关系一致。形式与经典的牛顿方程相似。对三维的位置和动量，有6.3LawsofConservation则该算符对时间的导数为零，其运动可视为常数,即匀速运动。如果一个算符本身不显含时间，即它又与H对易，算符H是总能量算符，显然H与它本身对易。即使它显含时间,其运动仍为常量，这就是能量守恒定律。匀速运动的算符对我们量子力学的进一步学习非常重要。1.守恒量动量算符P不显含时间，如果V／x=0,则称为动量守恒定律.对中心力,势能只是半径r的函数,角动量算符与势能V(r)对易。整个哈密顿量为因此有角动量守恒定律成立。还可得出2.TheVirialTheorem位力定律是从动能算符和势能的平均值得到的公式既在经典力学中成立，又在量子力学中成立。在经典力学中，的瞬时平均值在周期运动中为零。时间导数在量子力学中，我们考虑的表观值。最后一个等式证明如下得到位力定律。我们注意到，从得到的结果一样，因为它们都与H算符对易。如果是势能为球对称势阱。有位力定理得到对所有的n都成立,当然<|V|>的表观值存在.TheSchrödingerRepresentation前面我们应用了与时间相关的态函数ψ(r,t)描述物理系统的动力学演化，这样，我们将不显含时间的力学量的平均值及几率分布随时间的演化，完全归为波函数随之间的演化。而力学量算符则不随时间变化，因而应用算符来描述不显含时间的物理量，我们将这种描述方式称为薛定谔表象或薛定谔图像。波函数和算符不是实际观测的对象，实际观测的对象为波函数的几率分布和平均值的变化。为了解释这两种不同的表象，我们有时也称为图像。我们来看算符L的矩阵元在描述一个系统时，这两个表象是完全等价的。它们有同样的表观值、同样的谱。从一个表象转变为另一个表象由时间相关的幺正矩阵实现。TheHeisenbergRepresentationTheHeisenbergRepresentation(HeisenbergPicture)是薛定谔图像的逆过程。波函数不随时间变化，算符却随时间变化即由与时间相关的算符来描述物理系统的动力学演化过程。对波函数，我们写出它的能量表象定态的时间相关性与指数因子有关，将（93）代入到（92）（92）（93）（94）（95）在推导过程中矩阵元并没有发生变化，（92）和（95）只是时间相关性不同，（92）中式波函数与时间相关，而（95）是算符与时间相关。