§5.5 二次曲线的主直径与主方向
一、概念
1.定义1: 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径,主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向.
2.定义2:主直径是二次曲线的对称轴,因而主直径也叫做二次曲线的轴,轴与曲线的交点叫做曲线的顶点.
二、主方向与主直径的求法
二次曲线的与非渐近方向X:Y共轭的方向为
:
=-(a12X + a22Y):(a11X + a12Y),
由主方向的定义,X:Y 成为主方向的条件是与共轭方向
:
垂直,即
X
+Y
=0或
:
= -Y : X
所以有 X : Y=(a11X + a12Y) :(a12X + a22Y),
因此X:Y 成为主方向的条件是
(λ≠0),
或
这是一个关于X,Y的齐次线性方程组,而X,Y不能全为零,所以
=0,
即 λ2-I1λ+I2=0.
由此可得求主方向与主直径的方法:
(1) 从 λ2-I1λ+I2=0求出λi(i=1, 2);
(2) 将λi分别代入
得到相应的主方向Xi :Yi(i=1, 2);
(3) 如果主方向为非渐近主方向,则由XF1(x, y) + YF2(x, y)=0,即得共轭于非渐近主方向的主直径.
三、二次曲线的特征根
1.定义3: 方程 λ2-I1λ+I2=0叫做二次曲线的特征方程,特征方程的根λ叫做二次曲线的特征根.
2.定理1:二次曲线的特征根都是实数.
证明
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:因为特征方程的判别式
△=I12-4I2=(a11-a22)2+4a122≥0.
所以二次曲线的特征根都是实数.
3.定理2:二次曲线的特征根不能全为零.
证明:如果二次曲线的特征根全为零,那么
I1=I2=0,
即 a11+a22=0 且 a11a22 -a122=0,
从而得 a11=a12 =a22=0,
这与二次曲线的定义矛盾,所以二次曲线的特征根不能全为零.
4.定理3: 二次曲线的特征根λ确定的主方向X:Y,当λ≠0时,为二次曲线的非渐近主方向;当λ=0时,为二次曲线的渐近主方向.
证明:因为
Φ(X, Y )≡ a11X 2+2a12XY+ a22Y 2=( a11X + a12Y )X+( a12X + a22Y)Y.
= λ X 2+λY 2=λ( X 2+Y 2).
又因为X:Y不全为零,所以当λ≠0时,Φ(X, Y ) ≠0,X:Y为二次曲线的非渐近主方向;当λ=0时,Φ(X, Y ) =0,X:Y为二次曲线的渐近主方向.
5.定理4: 中心二次曲线至少有两条主直径,非中心曲线只有一条主直径. 事实上二次曲线或者有一条主直径,或者有两条主直径,或者有无穷多条主直径.
证明:由二次曲线的特征方程λ2-I1λ+I2=0解得两特征根为
λ1,2=
,判别式△=
=( a11-a22)2+4 a122.
(1)
当二次曲线为中心曲线时,I2≠0. 如果△=0,那么a11= a22,a12 =0,这时的二次曲线为圆,它的特征根为
λ1,2= a11 =a22(≠0)(二重根).
代入
可得任何方向都是圆的非渐近主方向,从而通过圆心的任何直线不仅都是直径,而且都是圆的主直径.
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