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函数的连续性- 浙江广厦学院精品课程网站 浙江广厦建设职业技术学院 2009 /2010 学年第 一 学期所属分院 信控学院 课程名称 高职数学 授课教师 审核人 胡晶地 课号 授课班级 6 授课时间 课题 ?1.4函数的连续性 1.理解函数在一点处连续的概念与三要素; 2.掌握间断点的分类; 教学目标 3.掌握连续函数的运算法则; 4.了解闭区间上连续函数的性质。 1. 通过图1，图2的比较，能够让学生从函数图形上观察出在一点处连续的 特征;培养学生的抽象思维能力和语言概括能力; 2. 通过例1、2，能够让学生掌握分别利用连续的两个定义来判别函数在一能力训 点处的连续性;加深对连续的理解; 练任务 3. 通过例4，让学生学会如何找函数的间断点，并判别其分类; 及案例 教学 4. 通过例5，让学生学会利用连续函数的运算法则求极限的方法; 5. 通过例6，让学生学会利用零点定理证明方程根的存在性。 内容 1.连续的定义 2.连续的三要素 知识 3.间断点及其分类 4.连续函数的运算法则 要点 5.闭区间上连续函数的性质 参考 《高职数学》 胡晶地主编 地质出版社 2009年5月 资料 所需教教学具、仪 三角板 准备 器等 多媒体 课后 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 教学过程 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 注释及?1.4 函数的连续性 教后感 一、引言: 在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长，物体运动的路程等都是连 续地变化着的，这种现象反映在函数关系上，就是函数的连续性。 二、函数连续概念与性质 1、函数的增量 uu设变量从它的一个初值u变到终值u，终值与初值的差u,u就叫做变量的1212 增量(或改变量)，记为:. ,u 即:,u,u,u， 增量可正可负，也可以是零( ,u21 xxxx，,fx()在函数中，当自变量由变化到时，函数相应地从变yfx,()y000 f(x，,x),y,f(x，,x),f(x)到 ，其对应的增量为: 000这个关系式的几何解释如下图: y,f(x) y,f(x) y M y ,y ,y N,x ,x x，,xO 0x xo0 x xx ，,x00 图2 图1 通过观察上面的图1和图2可以看出: x图1中y,f(x)在点处没有间断，且显然当时，有,y,0 ,x,00 x图2中y,f(x)在点处是断开的，且显然当时，有(不趋近,y,MN,x,00 于零) xfx()2、函数在点处的连续性 0 xy,f(x)定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量0 ,,，,,yfxxfx()(),,,xxx趋于零时，相应地函数的改变量也趋于零，即 0021 lim0lim[()()]0,,，,,,yfxxfx或00,,,,xx00 xxy,f(x)则称函数在点处连续，点称为函数的连续点。 002yxx,,31在给定点例1 用定义证明处的连续性. 0222,,，,,yfxxfx()()证 ,[3(x，,x),1],(3x,1),6x,x，3(,x)000002，，于是 limlim63()0,,,，,,yxxx 0，，,,,,xx00 2yxx,,31在给定点所以函数连续。 0 x定义2 设函数在点的某个邻域内有定义，如果有,则y,f(x)lim()()fxfx,00xx,0 xx称函数在点处连续，且称为函数的连续点。 y,f(x)y,f(x)00 x函数在点处连续必须满足以下三个条件: y,f(x)0 x(1) 函数在点及其近旁有定义; y,f(x)0 (2) 存在; lim()fxxx,0 (3) lim()()fxfx,0xx,0 强调:连续的三个要素:有定义、有极限、极限值等于该点函数值。 x这三个必备条件提供了判断函数在点连续的具体方法。下面结合函数左、fx()0 右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念: x若，称函数在点左连续( lim()()fxfx,fx()00,xx,0 x若，称函数在点右连续( lim()()fxfx,fx()00，xx,0 xx注:函数fx()在点连续的充分必要条件为fx()在点处既左连续又右连续， 00 该结论是讨论分段函数在分界点处函数连续的依据。 2,xx,(01),,例2 判断函数在点处的连续性。 x,1fx(),,2,(12),,,xx, 解 (分析由于函数在分段点处左右近旁 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式不同，一般要考虑在分界点x,1 处的左右极限。) x,1 (1)函数fx()在点及其左右近旁有定义，且f(1)1, x,1 2 (2)，于是 lim()lim1,lim()lim(2)1fxxfxx,,,,,lim()1fx,,,，，x,1xxxx,,,,1111 (3) lim()(1)fxf,x,1 因此，函数fx()在处连续。 x,1 sinx,,当x,0时;,x,f(x),a,当x,0时;例3 设函数 , ,1xsin，b,当x,0时，,x, 问:(1) 当ab,为何值时，f(x)在处有极限存在; x,0 ab,f(x)(2) 当为何值时，在处连续。 x,0 f(x)解 (1) 由极限的定义可知，在点处有极限，则有 limf(x),limf(x)x,0,x,0，x,0 xsin1fx由于lim(),lim,1，limf(x),lim(xsin，b),b ,,，，x,0x,0x,0x,0xx a,R,b,1时f(x)即，在有极限。 x,0 f(x)(2)由连续的定义可知，在点处连续，则有 limf(x),f(0),ax,0x,0 所以 有 lim()lim()fxfxa,,,，xx,,00 f(x)即时, 在处连续. ab,,1x,0 三、函数的间断点 1、函数的间断点定义 定义3 若函数在点x处不连续，则称点x为函数的间断点。 y,f(x)00 x设函数在点的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一: f(x)f(x) 0 x(1)在点处没有定义; 0 x(2)虽在处有定义，但不存在; lim()fx0xx,0x(3)虽在有定义，且存在，但; lim()fxlim()()fxfx, 00xx,xx,002、函数的间断点的分类 x通常函数的间断点分为两类:函数在点处左右极限存在的间断点，称为f(x)0第一类间断点，除去第一类外的间断点，称为第二类间断点。 第一类间断点:与都存在的间断点 lim()fxlim()fx,，xx,xx,00x?，称点为跳跃间断点; lim()lim()fxfx,f(x)0,，xxxx,,00x ? ，称点为可去间断点; f(x)lim()()fxfx,00xx,0 例4 考察下列各函数在指定点的连续性，若有间断点，指出是什么类型的间断 点: 2x,1,(x,0),,x,4,,x,(,,2)f(x),0,(x,0)(1) ， (2) ， f(x),x,0x,,2,,x，2,,4,(x,,2)x，1,(x,0),, 1y,f(x),(3) ， x,,1x，1 解:(1) 函数f(x)的定义域为(,,,，,)，它在点处及其近旁有定义 x,0 由于 lim()lim(1)1,lim()lim(1)1,fxxfxx,,,,,，,,,，，xxxx,,,,0000 所以不存在 lim()fxx,0 因此点是该函数的第一类间断点，且为跳跃间断点。 x,0 f(,2),4 (2) 虽然在点及其近旁有定义，且 x,,2 2x,4lim()limlim(2)4fxx,,,,, xxx,,,,,,222x，2 但， lim()(2)fxf,,x,,2 f(x) 所以 是函数的可去间断点。 x,,2 f(x) (3) 因为在处没有定义，所以是的一个间断点， x,,1x,,1 1fx,,,又因为 lim()limxx,,,,11x，1 f(x) 所以点称为的第二类间断点，且为无穷间断点。 x,,1 四、连续函数的运算 f(x)xf(x)g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)法则1若函数，在点处连续，则，及 0g(x) xg(x),0()在点处也连续. 0 uu,g(x)xy,f(u)u,g(x)法则2若函数在点处连续，在点处连续，且，0000 xy,f[g(x)]则复合函数在点处也连续. 0 法则 3 严格单调的连续函数在其对应区间上必有严格单调的连续反函数. 法则 4 初等函数在其定义区间都是连续的. 例5求下列极限: 2x，sinxln(1)，xlim3,sin2x(1) (2) (3) limlim,x,0x2x,2xx, e1，x4 ,3,sin2x解 (1)因为是初等函数，在处有定义，所以 x,4 ,lim3,sin2x,3,sin2,,2 ,4x,4 2x，sinx(2)因为是初等函数，在处有定义，所以 x,2x2e1，x 2xxsin4sin2，， lim,222x,2e5e1x， (3) 利用复合函数求极限的法则得 11ln(1，x)xx，，，， lim,limln1，x,lnlim1，x,lne,1,,,xxx000x 在求连续的复合函数极限时，极限符号与函数符号可交换次序(即 . ,,limf[g(x)],f[limg(x)],fg(x)0x,xx,x00 五、闭区间上连续函数的性质 f(x)[a,b]f(x)[a,b]定理 1(有界定理) 若在闭区间上连续，则在上有界. f(x)[a,b]f(x)[a,b]定理 2(最值定理) 若在闭区间上连续，则在上必有最大值与最小值. f(x)f(a),f(b)[a,b]定理3(介值定理) 设是闭区间上的连续函数，且，对介 ,,(a,b)f(a)与f(b)f(,),,于之间的任意一个数，则至少存在一点，使得(. , ,,a,bf(x)f(a)f(b)定理4(根的存在定理) 若函数在闭区间上连续，且与异号， ，，，，a,bf,,0则在内至少存在一点,，使得.. 5例6 试证方程至少有一个实根介于1和2之间. x,3x,1 5f(x),x,3x,1,,1,2f(x)f(1),,3证 构造函数，则有在上连续，且，f(2),25,,(1,2)，从而区间端点函数值异号(由根的存在定理，至少存在一点使得 5f(,),0，即方程x,3x,1至少有一个实根介于1和2之间( 六、课堂小结 1、连续的定义 2、连续的三要素 3、间断点及其分类 4、连续函数的运算法则; 5、闭区间上连续函数的性质 。 七、布置作业 P32习题1. 1， 2(2)(3)(4)(5) ，4(3)(5)(6)，5