捕鱼问题
题目:A题
意大利生物学家狄安科纳(D’Ancona)一直致力于鱼类种群相互制约的关系研究。他发现在第一次世界大战期间，地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分比的资料中，各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者(或食肉鱼)的一些不是很理想的鱼类占总渔获量的百分比有明显的增加。他知道，捕获的各种鱼的比例近似地反映了地中海里各种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者有利而不是对食饵有利呢,他百思不得其解，无法解释这一现象，希望你能建立一个数学模型研究这一问题。
摘要:
Volterra捕食模型是刻画捕食者—鱼饵系统的最简单的数学模型。在该模型中考虑系统自身阻滞作用和外界扰动等因素，由此演变出多个复杂捕食系统的动态过程和稳定性问题。Volterra捕食模型中的动态模型用微分方程来描述。但微分方程其解析解往往是难以求出的。本题利用matlab软件，求出微分方程的数值解，作出相应的函数图形，对数值解进行
分析
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，对图形进行观察，再结合微分方程的理论，给出定性和稳定性推断，给出解的构造。
一、问题重述
战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降却导致掠鱼者比例上升，即对捕食者有利而不是对食饵有利。Volterra捕食模型在考虑系统自身阻滞作用和外界扰动等因素，用微分方程来描述动态模型，由此演变出多个复杂捕食系统的动态过程和稳定性问题。
二、符号说明
x 被捕食者数量
y 捕食者数量
a 被捕食者的自然增长率
捕食者的捕食能力 b
捕食者的死亡率 c
被捕食者的供给能力 d
, 同一自然环境中被捕食者自身密度制约系数 1
, 同一自然环境中捕食者自身密度制约系数 2
捕捞率 h
三、问题分析
捕食现象是生态学研究的基本现象之一，而Volterra捕食模型是捕食关系的经典模型，涉及了微分方程定性理论和多个科学技术工程领域，具有重要意义。鉴于复杂系统的多参数和非线性等特点，单纯的理论研究在某些方面限制了系统模型的推广应用。不过对于某些实际问题，建模的目的并不是寻求动态过程中每个瞬间的性态，而是研究在某种意义下稳定状态的特征。因而在这种情况下，本文并不求解方程的解析解，而是借用matlab软件求出方程的数值解，做出相应的函数图形分析得出结论。
四、问题假设
1. 模型(1)系统不存在种内竞争。
2. 模型(2)系统存在种内竞争。
3. 环境污染对生物种群的影响。
五、模型建立
模型(1)反映了自然环境中捕食者与被捕食者的简单生态制约关系:
随着时间的增长被捕食者的数量变化等于被捕食者自然增长的数量减去捕食者捕食被捕食者的数量:
dx = xaby(), (1.1) dt
随着时间的增长捕食者的数量变化等于捕食者自然增长的数量减去捕食者死亡的数量:
dy (1.2) (),,,ycdxdt
)在模型(1)的基础上增加了在外界食物有限的条件下种内竞争的因素: 模型(2
随着时间的增长被捕食者的数量变化等于被捕食者自然增长的数量减去捕食者捕食被捕食者的数量和被捕食者种内竞争导致死亡的数量之和:
d2x,,,, (2.1) axbxyx1dt
随着时间的增长捕食者的数量变化等于捕食者自然增长的数量减去捕食者死亡的数量和捕食者种内竞争导致死亡的数量之和:
dy2 (2.2) ,,，,,cydxyy2dt
模型(3)在模型(2)的基础上考虑了环境污染对生物种群的影响:
随着时间的增长被捕食者的数量变化等于被捕食者自然增长的数量减去捕食者捕食被捕食者的数量和被捕食者种内竞争导致死亡的数量以及被捕食者被捕捞数量之和:
d2x,,,,,axbxyhxx (3.1) 1dt
随着时间的增长捕食者的数量变化等于捕食者自然增长的数量减去捕食者死亡的数量和捕食者种内竞争导致死亡的数量以及捕食者被捕捞数量之和:
dy2 (3.2) ,,，,,,cydxyhyy2dt
六、模型求解:
M文件1:
function xdot=fishing1(t,x)
a=0.3;b=0.05;c=0.05;d=0.06;
fish=[a*x(1)-b*x(1)*x(2);-c*x(2)+d*x(1)*x(2)];
>> t_final=100;
>> x0=[25;5];
>> [t,x]=ode45('fishing1',[0,t_final],x0);
>>plot(t,x);
>>figure;
>>plot3(x(:,1),x(:,2));
图一:
图一可看出在模型(1)中捕食者和被捕食者处于动态平衡之中，哪一种也不至于灭绝，各自数量随时间而做周期性变化。
M文件2:
function xdot=fishing2(t,x) a=0.3;b=0.05;c=0.05;d=0.06;
22,x,xfish=[a*x(1)-b*x(1)*x(2)- ;-c*x(2)+d*x(1)*x(2)- ]; 12
>> t_final=100;
>> x0=[25;5];
>> [t,x]=ode45('fishing1',[0,t_final],x0);
>>plot(t,x);
>>figure;
>>plot3(x(:,1),x(:,2));
图二:
图二可看出在模型(2)中由于存在种内竞争，一定周期后两种数量趋于稳定趋势，形成一个渐近稳定的生态循环。
M文件3:
function xdot=fishing3(t,x) a=0.3;b=0.05;c=0.05;d=0.06;
22,x,xfish=[a*x(1)-b*x(1)*x(2)- - ;-c*x(2)+d*x(1)*x(2)- ]; hy,hx12
>> t_final=100;
>> x0=[25;5];
>> [t,x]=ode45('fishing1',[0,t_final],x0);
>>plot(t,x);
>>figure;
>>plot3(x(:,1),x(:,2));
图三:
图三可看出该系统尽管在受到外界环境的影响，但趋于稳定的速度更快。
七、总结:
由上面可知系统在不受外界人工影响的条件下，考虑到种内竞争的影响，系统
表
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现为一个渐近稳定的生态循环。在渔业发展上，可以通过提高捕捞食用鱼的数量来增加渔业产量。图三还可应用于农业防治害虫，杀虫剂不仅杀死害虫，也导致害虫天敌数量的减少，因此，使用杀虫剂不如以虫治虫的方法好。
六、参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型(第三版)，高等教育出版社
浙公网安备 33021202002483