构造法求数列通项公式

构造法求数列通项公式 求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列 通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为 =A(其中A为常数)形式，根据等差数列的定义知是等差数列，根据fnfn(1)()，,f(n) 等差数列的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公aaf(n)f(n)nn 式。 3a1，n例1 在数列中，=，=()，求数列通项公式. nN,{}aaa{}an1n，1n2a，3n 3an111,,解析:由a=得，a a=3 a-3 a=0，两边同除以a a得，， n+1n+1nn+1nn+1na，3aa3nn，1n 11设b=，则b- b=，根据等差数列的定义知， nn+1na3n 1数列,b,是首相b=2，公差d=的等差数列， n13 511根据等差数列的通项公式得b=2，(n-1)=n， n333 3?数列通项公式为a= nn，5 11评析:本例通过变形，将递推公式变形成为形式，应用等差数列的通项公,,Aaan，1n 1式，先求出的通项公式，从而求出a的通项公式。 nan 22Sn例2 在数列,a,中，S是其前n项和，且S?0，a=1，a=(n?2)，求S与a。nnn1nnn 2Sn,1 222S2Snn解析:当n?2时，a=S-S 代入a=得，S-S=，变形整理得S-S= SSnnn-1nnn-1nn-1nn-12S2Sn,1n,1 111两边除以SS得，-=2，?,,是首相为1，公差为2的等差数列 nn-1SSSn,1nn 111?=1+2(n-1)=2n-1, ? S=(n?2),n=1也适合，?S=(n?1) nn2n,12n,1Sn 112当n?2时，a=S-S=-=-，n=1不满足此式， nnn-122n,12n,34n,8n，3 1n,1?a={ n,2n,224n,8n，3 f(n，1),f(n),Af(n)评析:本例将所给条件变形成，先求出的通项公式，再求出 原数列的通项公式，条件变形是难点。 二、构造等比数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f(n+1) =Af(n)(其中A为非零常数)形式，根据等比数列的定义知是等比数列，根据等比数列f(n) 的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公式。 aaf(n)f(n)nn 2例3在数列,a,中，a=2，a=a(n?2)，求数列,a,通项公式。 n1nn-1n2解析:? a=2，a=a(n?2),0，两边同时取对数得，lg a=2lg a1nn-1nn-1 lgan?=2， 根据等比数列的定义知，数列,lg a,是首相为lg2，公比为2的等比数列，nlgan,1 n,12n-1根据等比数列的通项公式得lg a=2lg2= lg2n n,12?数列通项公式为a= 2n 评析:本例通过两边取对数，变形成形式，构造等比数列，,loga,2logaloga}nn,1n先求出的通项公式，从而求出的通项公式。 logaann 例4在数列,a,中，a=1，a=4a+3n+1，求数列,a,通项公式。 n1n+1nn +An+B)，(A、B为待定系数)，展开得a=4a+3An+3B-A，解析:设a+A(n+1)+B=4(ann+1nn+1 A,13A,3与已知比较系数得{ ?{ 2B,3B,A,13 22?a+(n+1)+=4(a+n+)，根据等比数列的定义知， n+1n33 8 n-1822数列,a+n+,是首项为，公比为q=3的等比数列，?a+n+=×3 nn3333 8 n-12?数列通项公式为a=×3-n- n33 评析:待定系数法是构造数列的常用方法。 n例5 在数列,a,中，a=1 ，aa=4 ，求数列,a,通项公式。 n1n+1nn an n-1n，1解析:?aa=4 ?aa=4 两式相除得 =4 ， n+1nnn-1an,1?a，a，a„„与a，a ，a „„是首相分别为a，a，公比都是4的等比数列， 5 2 4 2 1361n又?a=1，aa=4 ，?a=4 1n+1n2 n,12n4={?a nn2n4 配套练习: n*1、在数列,a,中，a=1，a=3a+2(n?N)，求数列,a,通项公式。 n1n+1nn n{a}{a}a,12、在数列a,a,2，3中，，，求数列的通项公式。 nn1n，1n 参考答案: n*n+1n*1、由a=3a+2(n?N)得，a+2=3(a+2)(n?N)， n+1nn+1n bn ，1n设b= a+2则b=3b，?=3，根据等比数列的定义知， nnn+1nbn 数列,b,是首相b=3，公比为q=3的等比数列， n1nnn根据等比数列的通项公式得b=3，即a+2=3， nnnn?数列通项公式为a=3-2 n nn，1n 2、由得，，根据等差数a,a,2，3(a，2),(a，2),3n，1nn，1n n列的定义知，数列是首项为3，公差为3的等差数列，所以 {a，2}n nn ，所以 a，2,3na,3n,2nn n2练习:1.已知数列,满足a,，aa，求 ,,aa1n，1nnn3，n1 ann，1解:由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘,n,1,2,3,,,,,,,,(n,1)(n,1)an，1n 之，即 aaaa123n,1a13n24n,，，，,,,,,,， ,,,,,,,,,,,,234naaaaan123n,11 22？a,？a,又， 1n33n ann，1,解:由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘n,1,2,3,,,,,,,,(n,1)(n,1)an，1n 之，即 aaaa123n,1a13n24n,，，，,,,,,,， ,,,,,,,,,,,,234naaaaan123n,11 22？a,？a,又， 1n33n 12. 数列{a}满足a=1，a=a+1(n?2)，求数列{a}的通项公式。 nnn,1n12 11解:由a=a+1(n?2)得a,2=(a,2)，而a,2=1,2=,1， nn,1nn,1122 1?数列{ a,2}是以为公比，,1为首项的等比数列 n2 11n,1n,1?a,2=,() ?a=2,() nn22 ,,,,aa,1,a,2,3a,2a，aa3. 数列中，，求数列的通项公式。 12n，2n，1nnn 21a,a，a,3a,2a，aa,ka,h(a,ka)解:由得设 n，2n，1nn，2n，1nn，2n，1n，1n33 1211比较系数得，解得k,1,h,,或 k，h,，,kh,k,,,h,13333 11k,1,h,,若取，则有 a,a,,(a,a)n，2n，1n，1n33 1?是以为公比，以为首项的等比数列 ,{a,a}a,a,2,1,1n，1n213 1n,1? a,a,(,)n，1n3 由逐差法可得 a,(a,a)，(a,a)，？，(a,a)，annn,1n,1n,2211 1111n,2n,32= (,)，(,)，？，(,)，(,)，1，13333 1n,11,(,)31731，，n,1n,13== ，11,(,)，1,,，(,),,143443，，1，3 4. 设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式:,,aSnn2成立，求的通项an. ,,aa，2a,4Snnnn 22解:， a，2a,4Sa，2a,4S,nnnn,1n,1n,122 ?a,a，2a,2a,4(S,S),4ann,1nn,1nn,1n ，?，?. 即是以2为公差的,,(a，a)(a,a,2),0a，a,0a,a,2ann,1nn,1nn,1nnn,1 2等差数列，且. a，2a,4a,a,21111 ? a,2，2(n,1),2nn225. 设,,是首项为1的正项数列，且，(n?N*)，求数列的通项aa,a,na,na,0nnn,1nn,1公式an. 解:由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 设得(a，a)(a,a,n),0. nn,1nn,1 ?a,0，a,0，?a，a,0. nnn,1n,1 ?a,a,n nn,1 (1)nn，()()()123？？a,a，a,a，a,a，a,a,，，，，n, n12132nn,12 12a,,,aa6. 数列中，，前n项的和，求. S,na1nn，1nn2 2222解: a,S,S,na,(n,1)a,(n,1)a,(n,1)annn,1nn,1nn,1 an,1n,, ， an，1n,1 aaan,1n,2111nn,12,,？，,a,,？,a? n1n，1n32n(n，1)aaan,n,121 1a,? n，1(n，1)(n，2) 2,,,,aaa,17.设正项数列满足，a,2a(n?2).求数列的通项公式. nn1nn,1 aaaaannn,1nn,1解:两边取对数得:，，设， b,log，1log,1，2loglog，1,2(log，1)22222n则 b,2bnn,1 1是以2为公比的等比数列，. ,,bb,log，1,1n12 aan,1n,1n,1n,1nn，，， b,1，2,2log，1,2log,2,122nn,12,1? a,2n 而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。递推式一般为: n; ，，a,pa，fna,pa，qn，1n，1nn (1)通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=p a+qnn，1n(p?1，pq?0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法:设a+k=p(a+k)n，1n q与原式比较系数可得pk,k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。 np,1 (2)通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于{a,a}nn,1 型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列:设a,pa，qa{a,a}n，2n，1nnn,1 ，比较系数得，可解得。 a,ka,h(a,ka)h，k,p,,hk,qh,kn，2n，1n，1n 3、构造法 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式. (1)构造等差数列或等比数列 由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法. (2)构造差式与和式 解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式. (3)构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简(4)构造对数式或倒数式 有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.