无理数的概念

无理数的概念 無理數的概念，根據史籍記載，無論在古代的希臘還是中國，都很早就被發現了。 不過東西方是通過不同的途徑來認識和發展無理數的理論的，希臘人是從線段不可公度 的幾何角度來探討；中國人則是從開方不盡的計算過程來認識它。一個著眼於幾何的 “量”；一個倚重於運算的“數”。因而在處理方法上也各不相同；一個是用邏輯方法 來論證它的結論；一個是用計算手段來建立它的法則。 人類為了實際需要，早在數千年前就發現了以數計物的觀念，由自然數繼而擴展到 有理數：希臘人認為：「任取一線段當作單位長，利用平行線間所截之線段成比例原則， p用尺規可造出一線段，其長度恰等於預先給定的正有理數。」因此有理數其意應為 q 可公度量數。正由於這樣的信念，導致畢達哥拉斯（Pythagoras）學派的哲學主張“萬 物皆為數”。在他們看來，“數”（指自然數）是宇宙萬物的基本組成份，一切事物皆 可以用自然數或它們的比來表示。 當有些人發現某些比值： （1）等腰直角三角形之斜邊與一股的比。 （2）正方形對角線與邊的比。 （3）線段 AB:AC,AC:CBAB上的一點C將AB黃金分割，即的比*。 *建於西元前440年的希臘巴特農神殿的長寬格局比例正符合這個比，而展現出其 優美視覺效果。 是不可以用自然數或它們的比來表示時，深深震撼了畢氏學派的學者群，令他們感到驚 訝和困惑，這也動搖了古希臘的數學基礎，因而決定將這種不可公度量比的發現者—— 希波塞斯（Hippasus，紀元前第五世紀）投入大海，並告誡其他人，必須嚴守秘密，不 可洩漏這個事實。 以現代符號及論證方式看無理數的存在性： 假設等腰直角 ,:,的斜邊與其一股可表為最簡整數比，設為 , 222（1）根據畢氏定理，則,,,,2,，因為偶數，故為偶數，設。 ,,2, （2）因,:,,是最簡整數比，故為奇數。 22222，，則，因為偶數，故為偶數（與（2）式矛,,2,,,4,,2,,,2, 盾）。 故這個比是不可表為最簡整數比的，即不可公度量的，現在稱為無理數，用符號,:,（3）但 2*來表示。 *註：（1）：是由笛卡兒（Descartes 1596～1650）最先使用。 （2）n：Stifel在1544年著Arithmetica Integra中使用。 然而“秘密”是守不住的，畢氏學派後期的索多魯斯（Theodorus，生於紀元前407 年）也證明了等均為不可用同一單位度量的數。 3,5,？？,17 由於無理數的發現越來越多，使得希臘人被迫面對它們。它們是真正的數嗎？畢氏 學派的人一向是把數與幾何做一一對應的，不可公度線段的發現，使得這種一一對應的 關係遭到破壞。因為幾何中有不可公度的比值，可是卻沒有與這種不可公度比值對應的 數。因此尤得塞斯（Eudoxus，紀元前408年～）介紹了量的觀念，它並不是數，但卻 能代替諸如線段、角、面積、時間等等這些能作連續變化的東西。其次尤得塞斯定義量 的比及比例，這種比例是兩個比的一個等式，可以涵蓋可公度量比和不可公度量的比。 尤得塞斯的比例理論提供給無理數所必須的邏輯基礎而使得希臘的數學家們在幾何方 面獲得突破性的進展，卻也產生了不幸的結果： （1）迫使數和幾何嚴格非家。 （2）尤得塞斯解決不可公度量長度和無理數問題的方法正好與早期畢氏學派強調數是 最基本的觀念相反，這使得希臘的數學發展侷限在幾何。 一個數若可以表示“成整數比”的形式，希臘人稱之為logos（其意為ratio），因 此可表示成整數比的數即是“rational number”，但“rational”這個詞本“有理”、“合理”的意思，所以rational number就被譯成了“有理數”。而不能表示成整數比的形 式，則稱之為a-logos（其意為not rational），但not rational有不合理、無理的意思，因此“irrational number”被譯成了“無理數”。 古希臘數學家由於對無理數是抱著不承認的態度，因而阻礙了代數學的發展。與此 相反，中國算學家從數與幾何量相統一的觀念出發，在開方不盡時便順乎自然引進根 數，並建立了駕馭這些新數的運算法則。 中國早期的開方術起源於長度的測度：或化積為方（包括已知面積求正方形邊長，勾、股、弦之互求，此見於《九章算術》少廣、勾股兩章。 , 已知體積求立方體之稜長），或化圓為方（包括已知圓面積求圓徑，已知求體積求其直《九章算術》中的開（平）方術，見之於少廣章第〔一二〕問至〔十六〕問。 按劉徽注，“開方”即求正方形之一邊長。劉徽正是用圖形的逐次分割來說明開方徑），或直角 術程序的數學原理。現舉少廣章第〔十二〕問：計算55225的平方根為例，解釋籌算開 平方的步驟與圖形之關係：現在把這一步驟分解為如下八個圖示，並用現行阿拉伯數碼 代替算籌。圖示如下： 商 2 2 23 55255 15225 15225 15225 實 (1) (2) (3) (4) 2 4 4 1 1 1 1 方法 (借算) 2 3 2 3 235 2 3 2 5 23 25 2 325 (8) (5) (7) (6) 43 46 4 6 4 6 5 1 1 1 1 用現在的代數符號來解釋上列算法，可設平方數為N，平方根的百位數為a，十位數為b，個位數為c，開平方算式就成為 N,a，b，c，而逐步計算的圖示可依次理 解為： 商 a+b a+b a (3) N (1) (2) (5) 222實 N,a,(2a，b)bN,aN,a (4) a 2a 方法1 2a+b 1 1 1 (借算) a+b a+b+c a+b+c (8) (7) (6) 222,,N,(a，b)N,(a，b)N,(a，b),2(a，b)，cc,0 2a+b+b 2(a+b) 2(a+b)+c 1 1 1 在上面的圖示中： 圖（1）：列出平方數N叫作“實”於最下一層列一根籌，稱之為“借算”。 22圖（2）：估計根可得十位數時，則將“借算”移至“實”的百位數下；估計根可，以2乘“借算”,,？200,55225,300得百位數時，則將它移至萬位數下。 得2，置入“實”之下、“借算”之上，稱為“方法”。以2（即a）再乘“方法”（亦 2商議得第一位得數為百位數2（即a），為a），由實中減去，得N,a,a,N,a？？？（甲） 圖（3）、圖（4）：續求方根的第二位得數。將“方法”倍之，得2a，即第一次倍“方法”，並將乘得之數退後一位，又將“借算”退後二位。 商議得第二位得數為十位數3（即b），,,？400，30,15225,400，40。 圖（5）：以3（即b）乘“借算”，加入第一次倍“方法”之中，得2a+b，再以3（即b）乘這次的“方法”（此時是2a+b），由“實”中減去，得 22。………（乙） N,a,(2a，b)b,N,(a，b) 圖（6）：以3（即b）又乘“借算”，加入“方法”〔此時是(2a+b)〕之中，得 (2a+b)+b=2(a+b)，即第二次倍“方法”。 圖（7）：將加法的“方法”後退一位，再將“借算”後退二位，即退至“實”的 個位數字之下。 商議得第三位得數為個位數5（即c），,,？460，5,2325,460，6。 圖（8）：以5（即c）乘“借算”，加入第二次倍“方法”之中，得2(a+b)+c，再以5（即c）乘這次的“方法”〔此時是,,2(a，b)，cc〕，由“實”中減去，得 22………（丙） ,,N,(a，b),2(a，b)，cc,N,(a，b，c),0 餘數為零。 如（甲）、（乙）、（丙）所記，即最後答數為55225,235 開平方的方法是可以作如下的幾何解釋。如N,a，b，c，換成幾何概念，就是 2已知正方形面積N，求其一邊之長。如圖：求得第一位數a之後，先將a（即左上角正方形）減去，再預張2a（即第一次倍“方法”），以求第二位數b。得到b之後，再將（2a+b）b（即中間黑線部份）減去。是後再預張2（a+b）（即第二次倍“方法”）， 以求第三位數c。得到c之後，再由圖中所餘部份（外層空白』部份）減去，適盡。 (a+b)c 2 aab 2 ab b (a+b)c c2 《九章算術》開方術中有云： 若開之不盡者，為不可開，當以面命之。 徽注云：術或有以借算加定法而命分者，雖粗相近，不用也。凡開積為方，方之自 乘當還復其積分。令不加借算而命分，則常微少；其加借算而命分，則又微多。其數不 可得而定。故惟以面命之，為不失耳。譬猶以三除十，以其餘為三分之一，而復其數可 舉。 按劉徽注的說明，所謂“以面命之”，是說在開之不盡時，便將這個無法用分數來 表示的方根定義為“面”。這就像在除之不盡時要“命分”一樣。他舉例說明，如10? 3=3……餘1，只有將餘數命為 113，3,10，才能用乘法還原：。除之不盡而命分；33 開之不盡而命面。“面”，即開方不盡而引進的無理根數。 希臘人由正方形的對角線長與邊長的比值，引出無理數的概念，然而卻不承認是 數。印度人對無理數所持的態度與希臘人不同，他們很坦然地接受無理數，並像有理數 一樣地進行無理數運算。在十二世紀印度學家巴斯卡拉（Bhãskara，生於1114年）的 著作中，記載有這類的等式： 3，12,(3，12)，23,12,27,33 2,,12,,3，12,，1,3 ,,3,, 這類運算，用一般規則，可表示成如下等式： ， a，b,a，b，2ab 22a，a,ba,a,ba,b,, 22 2,,a,, a，b,，1b,,b,, 印度人不像希臘人那樣洞察到無理數概念在邏輯上的困難，他們對計算的興趣導致 他們忽視哲學上的異處或不同於希臘思想中所建立的規則，但卻能得心應手地將有理數 運算規則推廣到無理數，確實把數學推進了一大步。 像印度人一樣，阿拉伯人也能隨心所欲地運用無理數，阿拉伯數學家奧瑪開陽 （Omar Khayyam 1048？～1122）和納西爾（Nasir-Eddin 1201～1274）都很清楚地表示任何度量的比值—不論他們是可公度量或不可公度量—均為數。 阿拉伯人在無理數運算方面接受了印度人的成果，同時也得出了2與ab,abab,ab這些定律。 對於無理數的運算規則，我們舉一例用圖形說明如下： （1）8=4×2 8,2，2,22 2 2 8 2 2 822 （2）18=9×2 18,2，2，2,32 2 2 2 18 2 2 2 2 2 2 18 22 2 （3） 8，18,22，32,(2，3)2,52 8，18,8，18，28,18 8 ，，,2,4，2,9，2,2,6 ，，,24，9，12 ,2,25 18 ,2,25,52 十六世紀歐洲的數學家，在運算方面，已能很自在地使用無理數，然而無理數到底 是不是實數，仍然困擾著他們： 1. 史蒂弗爾（Michael Stifel 1486？～1567）：日耳曼數學家在其主要著作Arithmetica Integra中，曾考慮幾何圖形時，從長度、面積、體積等方面來看，我們不能不把無 理數看成實數；可是當我們考慮到無理數的小數表示法時，卻又發現它們無法像分 數一樣得出一個明確的表示法，所以不能把無理數看成真正的數。 3,2這種數只是幾何上的度量，它們只是一種符號，不能脫離2. 巴斯卡（Blaise Pascal 1623～1662，法國人）和巴洛（Isaac Barrow 1630～1677，英幾何度量而單獨存在，無理數的運算邏輯只能依賴尤得塞斯的度量理論來建立。 國人）等認為形如 3. 牛頓（Isaac Newton 1642～1727）：英國數學、物理學家，在其1707年的著作 Arithmetica Universalis中也持這種看法。 但持肯定看法的也有： 1. 史蒂芬（Simon Stevin 1548～1602）：兵工 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 師認為無理數是真正的數，並以有理 數表示其近似值。 2. 渥里斯（John Wallis 1616～1703）：在他的Algebra（1685年）中把無理數當作一種 具有完整意義的數，他認為歐幾里得幾何原本第五冊在本質上是屬於算術的。 3. 笛卡兒：坐標幾何發明者，提出數與幾何度量可以建立一一對應關係的概念。 1. 費波那契（Fibonacci , Leonardo 1170～1250義大利人）：發現方程式 32x，2x，10x,20的根不能以圓規及直尺來作圓，換句話說，以古希臘的幾何作圖 法，無法作出一線段，使其長為上述三次方程式的根。他以六十進位法寫出這個正 nn根的近似值為1, 22, 7, 44, 33, 4, 40或1.368808107...。此例子事實上替無理數做了一的無理數。 a，b 個新的分類，即可作圖數（Constructible）與不可作圖數。 3. 韋塔（Francois Vieta 1540～1603，法國人）：把π以一個無窮乘積來表示： 2. 史蒂弗爾：探討形如290:90:90:111111111,coscoscos？,，，，？ ,2482222222224. Otto Stolz（1842～1905，德國人）：在1886年的著作中證明無理數都可以表示成不 循環的無限小數。 25. 歐拉（Leonhard Euler ）：在1737年證明e與e是無理數。