高中数学教学大纲

高中数学教学大纲 三、课程 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 思路 高中数学课程力求将改革的基本理念与课程的框架设计、内容确定以及课程实施有机地结合起来。 （一）高中数学课程框架 1．课程框架 高中数学课程分必修和选修。必修课程由5个模块组成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成；每个模块2学分(36学时)，每个专题1学分（18学时），每2个专题可组成1个模块。课程结构如图所示。 2．必修课程 必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，包括5个模块。 数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）； 数学2：立体几何初步、平面解析几何初步； 数学3：算法初步、统计、概率； 数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换； 数学5：解三角形、数列、不等式。 3．选修课程 对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。选修课程由系列1，系列2，系列3，系列4等组成。 ◆系列1：由2个模块组成。 选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用； 选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。 ◆系列2：由3个模块组成。 选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何； 选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入； 选修2-3：计数原理、统计案例、概率。 ◆系列3：由6个专题组成。 选修3-1：数学史选讲； 选修3-2：信息安全与密码； 选修3-3：球面上的几何； 选修3-4：对称与群； 选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类； 选修3-6：三等分角与数域扩充。 ◆系列4：由10个专题组成。 选修4-1：几何证明选讲； 选修4-2：矩阵与变换； 选修4-3：数列与差分； 选修4-4：坐标系与参数方程； 选修4-5：不等式选讲； 选修4-6：初等数论初步； 选修4-7：优选法与试验设计初步； 选修4-8：统筹法与图论初步； 选修4-9：风险与决策； 选修4-10：开关电路与布尔代数。 4．关于课程设置的说明 ◆课程设置的原则与意图 必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。 选修课程内容确定的原则是：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础。其中， 系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，系列2则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。系列1，系列2内容是选修系列课程中的基础性内容。 系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。其中的专题将随着课程的发展逐步予以扩充，学生可根据自己的兴趣、志向进行选择。根据系列3内容的特点，系列3不作为高校选拔考试的内容，对这部分内容学习的评价适宜采用定量与定性相结合的方式，由学校进行评价，评价结果可作为高校录取的参考。 ◆设置了数学探究、数学建模、数学文化内容 高中数学课程要求把数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中，并在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动。高中数学课程要求把数学文化内容与各模块的内容有机结合。具体的要求可以参考数学探究、数学建模、数学文化的要求（参见第86页）。 ◆模块的逻辑顺序 必修课程是选修课程中系列1、系列2课程的基础。选修课程中系列3、系列4基本上不依赖其他系列的课程，可以与其他系列课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序。必修课程中，数学1是数学2，数学3，数学4和数学5的基础。 ◆系列3、系列4课程的开设 学校应在保证必修课程，选修系列1、系列2开设的基础上，根据自身的情况，开设系列3和系列4中的某些专题，以满足学生的基本选择需求。学校应根据自身的情况逐步丰富和完善，并积极开发、利用校外课程资源（包括远程教育资源）。对于课程的开设，教师也应该根据自身条件制定个人发展 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 。 （二）对学生选课的建议 学生的兴趣、志向与自身条件不同，不同高校、不同专业对学生数学方面的要求也不同，甚至同一专业对学生数学方面的要求也不一定相同。随着时代的发展，无论是在自然科学、技术科学等方面，还是在人文科学、社会科学等方面，都需要一些具有较高数学素养的学生，这对于社会、科学技术的发展都具有重要的作用。据此，学生可以选择不同的课程组合，选择以后还可以根据自身的情况和条件进行适当的调整。以下提供课程组合的几种基本建议。 1．学生完成10个学分的必修课程，在数学上达到高中毕业要求。 2．在完成10个必修学分的基础上，希望在人文、社会科学等方面发展的学生，可以有两种选择。一种是，在系列1中学习选修1-1和选修1-2，获得4学分；在系列3中任选2个专题，获得2学分，共获得16学分。另一种是，如果学生对数学有兴趣，并且希望获得较高数学素养，除了按上面的要求获得16学分，同时在系列4中获得4学分，总共获得20学分。 3．希望在理工（包括部分经济类）等方面发展的学生，在完成10个必修学分的基础上，可以有两种选择。一种是，在系列2中学习选修2-1，选修2-2和选修2-3，获得6学分；在系列3中任选2个专题，获得2学分；在系列4中任选2个专题，获得2学分，总共取得20学分。另一种是，如果学生对数学有兴趣，希望获得较高数学素养，除了按上面的要求获得20学分，同时在系列4中选修4个专题，获得4学分，总共获得24学分。 课程的组合具有一定的灵活性，不同的组合可以相互转换。学生作出选择之后，可以根据自己的意愿和条件向学校申请调整，经过测试获得相应的学分即可转换。 （三）本标准中使用的主要行为动词 本标准的目标要求包括三个方面：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观，所涉及的行为动词水平大致分类如下。 高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下。   1．获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。   2．提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。   3．提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。   4．发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。   5．提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。   6．具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。 第三部分　内容标准   一、必修课程   必修课程是整个高中数学课程的基础，包括5个模块，共10学分，是所有学生都要学习的内容。其内容的确定遵循两个原则：一是满足未来公民的基本数学需求；二是为学生进一步的学习提供必要的数学准备。   5个模块的内容为：   数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）；   数学2：立体几何初步、平面解析几何初步；   数学3：算法初步、统计、概率；   数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换；   数学5：解三角形、数列、不等式。   上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。   此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。   向量是近代数学最重要和最基本的概念之一，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁，它具有丰富的实际背景和广泛的应用。   现代社会是一个信息化的社会，人们常常需要根据所获取的数据提取信息，做出合理的决策，在必修课程中将学习统计与概率的基本思想和基础知识，它们是公民的必备常识。   算法是一个全新的课题，已经成为计算科学的重要基础，它在科学技术和社会发展中起着越来越重要的作用。算法的思想和初步知识，也正在成为普通公民的常识。在必修课程中将学习算法的基本思想和初步知识，算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分。   必修课程的呈现力求展现由具体到抽象的过程，努力体现数学知识中蕴涵的基本思想方法和内在联系，体现数学知识的发生、发展过程和实际应用。教师和教材编写者应根据具体内容在适当的地方（如统计、简单线性 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 等）安排一些实习作业。 数学1   在本模块中，学生将学习集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）。   集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言。使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。   函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系。   内容与要求   1．集合（约4课时）   （1）集合的含义与表示   ① 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。   ② 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。   （2）集合间的基本关系   ① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。   ② 在具体情境中，了解全集与空集的含义。   （3）集合的基本运算   ① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。   ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。   ③ 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。   2．函数概念与基本初等函数I（约32课时）   （1）函数   ① 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。   ② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。   ③ 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。   ④ 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。   ⑤ 学会运用函数图象理解和研究函数的性质（参见例1）。   （2）指数函数   ① 通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。   ② 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。   ③ 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。   ④ 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）。   （3）对数函数   ① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。   ② 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。   ③ 知道指数函数y=ax 与对数函数y=loga x互为反函数（a > 0, a≠1）。   （4）幂函数   通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x2, y=x3, ,  的图象，了解它们的变化情况。   （5）函数与方程   ① 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。   ② 根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。   （6）函数模型及其应用   ① 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。   ② 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。   （7）实习作业   根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流。具体要求参见数学文化的要求（参见第90页）。   说明与建议   1．集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生理解集合的含义。学习集合语言最好的方法是使用，在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际使用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言。在关于集合之间的关系和运算的教学中，使用Venn图是重要的，有助于学生学习、掌握、运用集合语言和其他数学语言。   2．函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，建议采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。   3．在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。   4．指数幂的教学，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理指数幂及其运算性质，以及实数指数幂的意义及其运算性质，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程。   5．反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，例如，可通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=loga x互为反函数（a > 0,a≠1）。不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。   6．在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。   7．应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。例如，利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等。 数学2   在本模块中，学生将学习立体几何初步、平面解析几何初步。   几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。   解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。   内容与要求   1．立体几何初步（约18课时）   （1）空间几何体   ① 利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。   ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图。   ③ 通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。   ④ 完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。   ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。   （2）点、线、面之间的位置关系   ① 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。   ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。   ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。   ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。   ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。   ◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。   ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。   通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理。   ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。   ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。   ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。   ◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。   通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。   ◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。   ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。   ◆垂直于同一个平面的两条直线平行。   ◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。   ③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。   2．平面解析几何初步（约18课时）   （1）直线与方程   ①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。   ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。   ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。   ④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。   ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。   ⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。   （2）圆与方程   ①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。   ②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。   ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。   （3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。   （4）空间直角坐标系   ①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。   ②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。   说明与建议   1．立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力。本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影与中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能（参见例1）。   2．几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言。教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题（参见例2）。   3．立体几何初步的教学中，要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明；对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，在选修系列2中将用向量方法加以论证。   4．有条件的学校应在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力。教师可以指导和帮助学生运用立体几何知识选择课题，进行探究。   5．在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先   将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。 数学3   在本模块中，学生将学习算法初步、统计、概率。   算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。   现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，作出合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。在本模块中，学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计总体及其特征的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异。学生将结合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率。   内容与要求   1．算法初步（约12课时）   （1）算法的含义、程序框图   ①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。   ②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。   （2）基本算法语句   经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。   （3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。   2．统计（约16课时）   （1）随机抽样   ①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。   ②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。   ③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。   ④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。   （2）用样本估计总体   ①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会它们各自的特点。   ②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。   ③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。   ④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。   ⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。   ⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。   （3）变量的相关性   ①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。   ②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（参见例2）。   3．概率（约8课时）   （1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。   （2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。   （3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。   （4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。   （5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。   说明与建议   1．算法是高中数学课程中新内容，其思想是非常重要的，但并不神秘。例如，运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就是算法。本模块中的算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系，形式化地表示算法，在条件允许的学校，使其能在计算机上实现。为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成程序框图；为了能在计算机上实现，还需要将自然语言或程序框图翻译成计算机语言。本模块的主要目的是使学生体会算法的思想，提高逻辑思维能力。不要将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计。   2．算法教学必须通过实例进行，使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句。有条件的学校，应鼓励学生尽可能上机尝试。   3．算法除作为本模块的内容之外，其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。   4．教师应引导学生体会统计的作用和基本思想，统计的特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质。学生应体会统计思维与确定性思维的差异，注意到统计结果的随机性，统计推断是有可能犯错误的。   5．统计是为了从数据中提取信息，教学时应引导学生根据实际问题的需求选择不同的方法合理地选取样本，并从样本数据中提取需要的数字特征。不应把统计处理成数字运算和画图表。对统计中的概念（如“总体”“样本”等）应结合具体问题进行描述性说明，不应追求严格的形式化定义。   6．统计教学必须通过案例来进行。教学中应通过对一些典型案例的处理，使学生经历较为系统的数据处理全过程，并在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识、方法去解决实际问题。例如，在学习线性相关的内容时，教师可以鼓励学生探索用多种方法确定线性回归直线。在此基础上，教师可以引导学生体会最小二乘法的思想，根据给出的公式求线性回归方程。对感兴趣的学生，教师可以鼓励他们尝试推导线性回归方程。   7．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识（如 "中奖率为1/1 000的彩票，买1 000张一定中奖。"）。   8．古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型。教学中不要把重点放在"如何计数"上。   9．应鼓励学生尽可能运用计算器、计算机来处理数据，进行模拟活动，更好地体会统计思想和概率的意义。例如，可以利用计算器产生随机数来模拟掷硬币的试验等。 数学4   在本模块中，学生将学习三角函数、平面上的向量（简称平面向量）、三角恒等变换。   三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。   向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。   三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。   内容与要求   1．三角函数（约16课时）   （1）任意角、弧度   了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。   （2）三角函数   ①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。   ②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切），能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性。   ③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。   ④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，sin x/cos x=tan x。   ⑤结合具体实例，了解y=Asin的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。   ⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。   2．平面向量（约12课时）   （1）平面向量的实际背景及基本概念   通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。   （2）向量的线性运算   ① 通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。   ② 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。   ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义。   （3）平面向量的基本定理及坐标表示   ① 了解平面向量的基本定理及其意义。   ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。   ③ 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。   ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。   （4）平面向量的数量积   ① 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。   ② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。   ③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。   ④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。   （5）向量的应用   经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。   3．三角恒等变换（约8课时）   （1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。   （2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。   （3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。   说明与建议   1．在三角函数的教学中，教师应根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义。例如，通过单摆、弹簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型（参见例1）。   2．在三角函数的教学中，应发挥单位圆的作用。单位圆可以帮助学生直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式，以及三角函数的图象和基本性质。借助单位圆的直观，教师可以引导学生自主地探索三角函数的有关性质，培养他们分析问题和解决问题的能力。   3．提醒学生重视学科之间的联系与综合，在学习其他学科的相关内容（如单摆运动、波的传播、交流电）时，注意运用三角函数来分析和理解。   4．弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位（圆周的1/2π所对的圆心角或周角的1/2π）。随着后续课程的学习，他们将会逐步理解这一概念，在此不必深究。   5．向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，几何背景是有向线段。了解这些物理背景和几何背景，对于学生理解向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。教师还可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。对于向量的非正交分解只要求学生作一般了解，不必展开。   6．在三角恒等变换的教学中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。鼓励学生独立探索和讨论交流，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练。   7．在本模块的教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。例如，求三角函数值，求解测量问题，分析y=Asin中参数变化对函数的影响等。在三角函数、平面上的向量和三角恒等变换相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动。 数学5   在本模块中，学生将学习解三角形、数列、不等式。   学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。   数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。在本模块中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。   不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。   内容与要求   1．解三角形（约8课时）   （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。   （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。   2．数列（约12课时）   （1）数列的概念和简单表示法   通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。   （2）等差数列、等比数列   ①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。   ②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。   ③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题（参见例1）。   ④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。   3．不等式（约16课时）   （1）不等关系   通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。   （2）一元二次不等式   ①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。   ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。   ③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。   （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题   ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。   ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组（参见例2）。   ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决（参见例3）。   （4）基本不等式：   ①探索并了解基本不等式的证明过程。   ②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题（参见例4）。   说明与建议   1．解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法，不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练。   2．等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体实例（如教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。   3．在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系。但训练要控制难度和复杂程度。   4．一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。   5．不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。   6．线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，不必引入很多名词。 二、选修课程   　系列1，系列2说明   在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生，可以根据自己的兴趣和需求，选择学习系列1，系列2。   系列1是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，包括2个模块，共4学分。系列2则是为希望在理工、经济等方面 发展的学生设置的，包括3个模块，共6学分。   系列1的内容分别为：   选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。   选修1-2：统计案例、推理与证明、数系扩充与复数的引入、框图。   系列2的内容分别为：   选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。   选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。   选修2-3：计数原理、统计案例、概率。   在系列1、系列2的课程中，有一些内容及要求是相同的，例如，常用逻辑用语、统计案例、数系扩充与复数等；有一些内容基本相同，但要求不同，如导数及其应用、圆锥曲线与方程、推理与证明；还有一些内容是不同的，如系列1中安排了框图等内容，系列2安排了空间中的向量与立体几何、计数原理、离散型随机变量及其分布等内容。 选修1-1   本模块中，学生将学习常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。   正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。   在必修课程学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。   微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值。   内容与要求   1．常用逻辑用语（约8课时）   （1）命题及其关系   ①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。   ②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。   （2）简单的逻辑联结词   通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。   （3）全称量词与存在量词   ①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。   ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。   2．圆锥曲线与方程（约12课时）   （1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。   （2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程（参见例1），掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。   （3）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。   （4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。   （5）了解圆锥曲线的简单应用。   3．导数及其应用（约16课时）   （1）导数概念及其几何意义   ①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见例2、例3）。   ②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。   （2）导数的运算   ① 能根据导数定义，求函数y=c，y=x，y=x2，y=1/x的导数。   ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。   ③ 会使用导数公式表。   （3）导数在研究函数中的应用   ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系（参见例4）；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。   ② 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值。   （4）生活中的优化问题举例   例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用（参见例5）。   （5）数学文化   收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中“数学文化”的要求。   说明与建议   1．在常用逻辑用语教学中，应特别注意以下几个问题。   （1）这里考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。   （2）对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，使学生正确地表述相关的数学内容。   （3）对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义。   （4）注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表。   2．在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。   3．教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线（参见例1）。   4．教师应向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹，卫星的运行轨迹等。   5．本模块中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。   6．在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。应当避免过量的形式化运算练习。 选修1-2   在本模块中，学生将学习统计案例、推理与证明、数系扩充及复数的引入、框图。   学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。   “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过演绎推理或逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。   数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。   框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系。框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、 设计方案 关于薪酬设计方案通用技术作品设计方案停车场设计方案多媒体教室设计方案农贸市场设计方案 的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。在本模块中，学生将学习用“流程图”“结构图”等刻画数学问题以及其他问题的解决过程；并在学习过程中，体验用框图表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性，提高抽象概括能力和逻辑思维能力，能清晰地表达和交流思想。   内容与要求   1．统计案例（约14课时）   通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。   （1）通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。   （2）通过对典型案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用（参见例1）。   （3）通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。   （4）通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用。   2．推理与证明（约10课时）   （1）合情推理与演绎推理   ①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用（参见例2、例3）。   ②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。   ③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。   （2）直接证明与间接证明   ①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。   ②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。   （3）数学文化   ①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。   ②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。   3．数系的扩充与复数的引入（约4课时）   （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。   （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。   （3）了解复数的代数表示法及其几何意义。   （4） 能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。   4．框图（约6课时）   （1）流程图   ①通过具体实例，进一步认识程序框图。   ②通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）（参见例4、例5）。   ③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用。   （2）结构图   ①通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。   ②结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。   说明与建议   1．统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择1个案例，要求学生亲自实践。对于统计案例内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不作要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。   2．教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。   3．教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。   4．本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。   5．框图的教学，应从分析实例入手，引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实际问题中的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等。使学生在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法，体验用框图表示解决问题过程的优越性。   6．在复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x3=1的根、介绍代数学基本定理等。 系列2   选修2-1   在本模块中，学生将学习常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量（简称空间向量）与立体几何。   正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维。在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，从而更好地进行交流。   在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。   用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。   内容与要求   1．常用逻辑用语（约8课时）   （1）命题及其关系   ① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。   ② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。   （2）简单的逻辑联结词   通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。   （3）全称量词与存在量词   ① 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。   ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。   2．圆锥曲线与方程（约16课时)   （1）圆锥曲线   ① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。   ② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。   ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。   ④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。   ⑤ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。   （2）曲线与方程   结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。   3．空间向量与立体几何(约12课时)   （1）空间向量及其运算   ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。   ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。   ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。   ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。   （2）空间向量的应用   ① 理解直线的方向向量与平面的法向量。   ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。   ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）。   ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。   说明与建议   1．在常用逻辑用语教学中，应特别注意以下几个问题。   （1）这里考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。   （2）对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，帮助学生正确地表述相关的数学内容。   （3）对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义。   （4）注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表。   2．在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。   教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线（参见选修1-1案例中的例1）。   3．教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。   4．曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主，注重使学生体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基本思想。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系。   5．空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。   6．在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。   参考案例   例1 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，︱BC︱=1，︱AA1︱=，M是棱CC1的中点，证明：AB1⊥A1M。   例2 已知矩形ABCD和矩形ADEF垂直，以AD为公共边，但它们不在同一平面上。点M，N分别在对角线BD，AE上，且。证明：MN∥平面CDE。   例3 已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F 分别是棱B1C1和C1D1的中点。试求：   ① AD1与所成的角；   ② AF与平面BEB1所成的角；   ③ 二面角C1-DB-B1的大小。   选修2-2   在本模块中，学生将学习导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。   微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。   “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。   数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会数系扩充中人类理性思维的作用。   内容与要求   1．导数及其应用（约24课时）   （1）导数概念及其几何意义   ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见选修1-1案例中的例2、例3）。   ②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。   （2）导数的运算   ① 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3,y=1/x, y=的导数。   ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数。   ③ 会使用导数公式表。   （3）导数在研究函数中的应用   ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系（参见选修1-1案例中的例4）；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。   ② 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。   （4）生活中的优化问题举例。   例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。（参见选修1-1案例中的例5）   （5）定积分与微积分基本定理   ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。   ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。（参见例1）   （6）数学文化   收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中“数学文化”的要求。（参见第91页）   2．推理与证明（约8课时）   （1）合情推理与演绎推理   ①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用（参见选修2-2案例中的例2、例3）。   ②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。   ③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。   （2）直接证明与间接证明   ①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。   ②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。   （3）数学归纳法   了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。   （4）数学文化   ①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。   ②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。   3．数系的扩充与复数的引入（约4课时）   （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。   （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。   （3）了解复数的代数表示法及其几何意义。   （4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。   说明与建议   1．本模块中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。   2．在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。   3．教师应引导学生在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。   4．教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。   5．本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。   6．教师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理，对证明的问题要控制难度。   7．在复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x3=1的根，介绍代数学基本定理等。   选修2-3   在本模块中，学生将学习计数原理、统计案例、概率。   计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。   学生将在必修课程学习概率的基础上，学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识。   学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。   内容与要求   1．计数原理(约14课时)   （1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理   通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。   （2）排列与组合   通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。   （3）二项式定理   能用计数原理证明二项式定理（参见例1）； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。   2．统计与概率（约22课时）   （1）概率   ① 在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。   ② 通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用（参见例2）。   ③ 在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题（参见例3）。   ④ 通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题（参见例4）。   ⑤ 通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。   （2）统计案例   通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。   ① 通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。   ② 通过对典型案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用（参见选修系列1-2案例中的例1）。   ③ 通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用。   ④ 通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。   说明与建议   1．分类加法计数和分步乘法计数是处理计数问题的两种基本思想方法。教学中，应引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。同时，在这部分教学中，应避免繁琐的、技巧性过高的计数问题。   2．研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个概率模型，不追求形式化的描述。教学中，应引导学生利用所学知识解决一些实际问题。   3．统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一个案例，要求学生亲自实践。对于统计案例内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。   4．教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。   5．可以在二项式定理中介绍我国古代数学成就“杨辉三角”，在统计案例中介绍所学统计方法在社会生活中的广泛应用，以丰富学生对数学文化价值的认识。   系列4   几何证明选讲   几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程。本专题从复习相似图形的性质入手，证明一些反映圆与直线关系的重要定理，并通过对圆锥曲线性质的进一步探索，提高学生空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力。   内容与要求   1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。   2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。   3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。   4．了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。   5．通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理：   定理　在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记β＝0），则：   （1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；   （2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；   （3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。   6．利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明上述定理（1）情况。   7．试证明以下结果：①在6中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π'；②如果平面π与平面π'的交线为m，在5（1）中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率。）   8．探索定理中（3）的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果。   9．完成一个学习总结 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对数学证明的认识。（2）拓展。通过查阅资料、独立思考，对某些内容和应用进行进一步探讨。（3）学习本专题的感受、体会。   说明与建议   本专题的编写与教学，都应力求深入浅出。对内容与要求6、7的两个命题证明过程中，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于学生体会空间想像能力和几何直观能力在解决问题中的作用，有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力。教学时，教师应鼓励学生独立思考，主动尝试、探索，必要时要给予适当的指导，并应鼓励学生写出课题报告，尽可能清晰地表达自己的思考过程与论证过程。   在条件允许的学校，教师可以利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维。 矩阵与变换   矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。   本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。   内容与要求   1．引入二阶矩阵   2．二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换   （1）以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。   （2）证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明   A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ。   （3）通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。   3．变换的复合──二阶方阵的乘法   （1）通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义。   （2）通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律。   （3）验证二阶方阵乘法满足结合律。   （4）通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律。   4．逆矩阵与二阶行列式   （1）通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在。   （2）会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质，并了解其在变换中的意义。   （3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。   5．二阶矩阵与二元一次方程组   （1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。   （2）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。   （3）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。   6．变换的不变量   （1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。   （2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。   7．矩阵的应用   （1）利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示，并能用它来解决问题。   （2）初步了解三阶或高阶矩阵。   （3）了解矩阵的应用。   8．完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。理解本专题的整体思路、结构和内容，进一步认识变换的思想。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，对矩阵变换及其应用做进一步探讨。（3）学习本专题的感受、体会。   说明与建议   1．本专题只对具体的二阶方阵加以讨论，而不讨论一般m×n阶矩阵以及（aij）形式的表示。   2．矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组。   3．要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法，并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算律。   4．要在具体的实例中理解逆矩阵和特征值的实际意义及其不变性，结合具体实例能用线性方程组或用行列式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值。逆矩阵的唯一性定理要结合具体几何变换来理解其合理性。   5．在学习二阶矩阵基础知识的同时，教师可以根据教学的实际情况适时地介绍一些矩阵的拓广知识（如三阶矩阵或高阶矩阵），这些不要求学生掌握，只要求学生作一些感性的认识，也便于学生对矩阵的有关知识有一个较为全面的了解，有利于以后的学习。   6．这部分内容的教学应让学生认识到，矩阵从实际生活需要中产生，并在实际的问题中有着广泛的应用，体验数学的抽象更有助于人们对问题的思考与解决。   数列与差分   随着信息技术的日益普及和发展，离散数学的应用越来越广泛。差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，在理论上是十分重要的，并且有广泛的应用。   本专题初步研究数列的差分和简单的差分方程，使学生掌握一些用离散变量分析解决问题的方法。   内容与要求   1．数列的差分   （1）通过一些具体实例，理解数列差分的概念。   （2）理解数列的一、二阶差分以及它们对描述数列变化的意义，结合数列（作为函数）的图象，了解差分与数列的增减、极值、数列图象的凹凸的关系。   2．一阶线性差分方程xn+1=kxn+b   （1）通过一些具体实例，体会方程xn+1=kxn+b是十分有用的数学模型。   （2）理解方程xn+1=kxn+b中，当b=0（即方程为齐次方程）时，其解为等比数列；当k=1（即差分为常数）时，其解为等差数列。   （3）认识方程xn+1=kxn+b的通解、特解，了解方程的解与相应的齐次方程xn+1=kxn通解的关系；能给出方程xn+1=kxn+b的通解公式。   3．（二元）一阶线性差分方程组   （1）通过一些实例，认识一阶线性差分方程组是描述现实世界的一个重要模型。   （2）了解一阶线性差分方程组的通解、特解与其相应齐次方程组通解的关系。   （3）给定初值，会用迭代法求一阶线性差分方程组的解；能写出求解的算法框图。   （4）对给定的具体方程组，能初步讨论当n→∞时，解（数列）的变化趋势（收敛、发散、周期）。   4．通过具体实例（如种群增长等），体会方程xn+1=kxn（1—xn）是十分有用的数学模型。借助计算工具，用迭代法分别对k取一些特殊值（如0