杆系结构非线性损伤随机演化分析

杆系结构非线性损伤随机演化分析 陈建兵 李 杰 ( )同济大学土木 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 学院建筑工程系 ,上海 ,200092 摘 要 通过研究结构非线性构形状态转移过程考察结构非线性损伤随机演化的思路. 建 立了作为 Markov 链的非线性构形状态转移过程的转移速率与屈服应变风险率函数之间的关系 . 进而 ,通过力学分析与非线性构形状态的逻辑分析得到转移速率矩阵 ,从而将一个结构非线性 损伤随机演化问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 转化为一个非时齐 Markov 链的分析问题 . 以三杆桁架结构为例 ,给出了数值 分析结果 . 关键词 非线性构形状态 ,Markov 链 ,转移速率 ,风险率函数 0 引言 几乎所有工程结构在其服役期间都可能由于种种原因而表现出不同程度的非线性性 状 . 结构进入非线性阶段后 ,由于控制截面强度的随机性引起结构的力学行为发生随机演 1 化 ,可导致结构性状和承载力的大幅度涨落. 因此 ,研究结构的非线性损伤随机演化过程 , 进而从概率意义上把握结构的非线性性状 ,具有重要意义 . ( ) 结构静力非线性分析方法 Push2over是评价工程结构抗震性能的重要手段 . 研究表明 , 2 ,3 结构控制截面进入塑性的次序和机制对于结构的性能有很大影响. 在确定性结构非线性 分析中 ,通过跟踪结构的非线性演化路径可以得到塑性截面出现的次序和最终形态 ,由此能 够在一定的程度上把握结构的非线性性状. 但是 ,由于控制截面强度的随机性 ,加载过程中 4 塑性截面出现的次序和机制是随机的,因而随着加载的进行塑性截面分布的变化是一个 随机演化过程 ,试图跟踪所有可能的路径是不现实的 . 然而 ,为了进行结构的性能 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ,必然 要对于结构非线性损伤演化过程有准确的把握 . 这就要求直接引入结构特性的随机性 ,研究 结构非线性损伤随机演化过程的概率结构. 线性随机结构系统的分析与建模问题已经进行 1 了系统的研究并得到了基本完满的解决. 关于非线性随机结构分析与建模 ,由于求解非线 性随机微分方程有巨大的困难 ,因而目前的研究主要在寻找各种等效随机系统方法而不是 1 直接考察结构损伤的随机演化过程. 本文试图从新的思路研究结构损伤随机演化问题. 文 Ξ () 国家杰出青年科学基金 59825105资助. 中 ,将塑性截面分布状态定义为非线性构形状态 ,建立了其转移过程的转移速率与屈服应变 2002201208 收到第 1 稿 ,2002206216 收到修改稿. 风险率函数之间的关系 . 进而 ,通过力学分析与非线性构形状态的逻辑分析得到转移速率矩 εε ε? E,s0σ () 1 =ε ( E+ E)εε ε - E, > 101 s s ε其中 E、E分别为确定性初始变形模量和强化变形模量 ,为 0 1 s ( ) 随机屈服应变 , 设其概率密度函数 fx已知 , 则其风险率函 ε s + ? ( ) ( )λ= 1 , 概 率 分 布 函 数 数 x 亦 已 知 . 显 然 应 有fxd xε s 0 ? x ( ) ( ) Fx= fxd x . 注意这里的本构关系为广义本构关系 ,ε ε s s 图 1 随机广义本构关系 0 ? σεφ对于桁架结构 ,即为通常的 2关系 ,而对于框架结构 ,则应理解为弯矩 2 曲率 M2关系 . Θ设结构有 n 个控制截面 . 对结构的各控制截面编号 ,例如某控制截面的编号为 , i ? i () () I , I 是一个 有限可数指标集 ,例如{1 ,2 , ?, n} . 具有式 1之广义本构关系的截面的示性 Φ(Θ) 数 可定义如下 i Θ0 , 截面 未屈服 i Φ(Θ) ()= 2 i Θ截面 已屈服 1 , i (Θ) (Φ(Θ) Φ(Θ) Φ(Θ) ) Φ将 ,, ?,,每个有序组可编号 按照编号顺序排成一个有序组 i 1 2 n () Φ(Θ) Φ(Θ) Φ(Θ) ) (为 k ?K , K 为 有限可数指标集 ,记为 k : = ,, ?,. 因此 ,有序组 k 1 k 2 k n k 代表了一个屈服截面分布状态 ,可称之为非线性构形状态. 对于一般的状态空间 S ?K , K n ( ) 的势 K 中元素个数为 N , 一般 N = 2 . 设从状态 k 转移到 k 即 k ?k 的转移概率为 1 2 1 2 p,状态转移概率矩阵 P = [ p] . 对于马尔可夫链 ,状态转移概率矩阵完全刻划了过 k kk k N ×N 1 2 1 2 程的概率结构. 显然 ,状态之间的转移实质是新的塑性截面的形成 ,因此状态转移过程的概 率结构也就在一定程度上反映了结构的非线性性状. 所以 ,以下集中研究概率转移矩阵. 1. 2 结构非线性构形状态转移的 Markov 链 如果已经知道了“现在”状态的概率分布 ,根据控制方程 ,就可以预知“将来任意时刻的” 状态 [ 5 ] 概率分布 ,这个随机过程就是 Markov 链. 一个 Markov 链可以完全由状态转移概率矩 阵 P ( ) ( ) ( ) t, t= [ pt, t] 刻画 ,其中的元素 pt, t是在 t时刻处于状态 i 的条件下 而到 1 2 ij 1 2 N ×N ij 1 2 1 t时刻转移到状态 j 的概率. 2 ( 在结构的静力非线性加载过程中 ,当采用位移加载控制机制时 ,随着加载参数 可取控 ) 制位 v的增大 ,结构的塑性截面分布状态发生演化 ,亦即结构的非线性构形状态发生转移 , (ζ) 同时也是新的塑性截面不断出现的过程. 非线性构形状态可以一般地写为 k = k , v,这 里 ζ为屈服应变向量 , v 为加载参数例如控制位移 ,在单调加载情况下 ,是逐步增长的 ,它相 当于 (ζ) ζ “时间参数.” 显然 ,当截面的屈服应变 为确定性变量时 , 结构的非线性构形状态 k , v的 ζ演化是一条确定性路径 ,而在屈服应变 为随机向量的场合 ,随着控制位移的增大 塑性截面 (ζ) 的出现次序是随机的 ,从而非线性构形状态转移过程 k , v为一以加载参数 v 为 “时间参数”的随机过程 . 若加载参数 v 达到某一值时 ,某截面尚未进入塑性 ,则在“将来”的 加载时刻该截面进入塑性的概率与历史无关 ,这种结构就是无记忆特性结构 ,其非线性构形 状态转移过程是一个 Markov 链 ;如果是与历史有关的 ,就称之为有记忆特性结构 ,可以通过 引进补充变量 [ 6 ] 的方法 ,将其非线性构形状态转移过程变为一个向量马氏过程处理. 由于加 2 状态转移分析 2. 1 状态转移的 Kolmogorov 方程与 Q2矩阵 [ 5 ] 由 Markov 链的 Chapman2Kolmogorov 方程,转移概率矩阵满足下述的传递性质 ( ) ( ) ( ) ()P v, v= P v, v?P v, v, 3 Π v? v? v i j i k k j i k j ( ) 根据物理意义 ,有 P v , v= I , I 为 N 阶单位矩阵. 又因为转移概率对于参数是连续的 ,故 ( Δ) ( ) () 4 lim P v , v + v= P v , v= IΔv ?0 () ( Δ) ( ) ( Δ) ( ) 由式 3,可得 P v, v +v= P v, v?P v , v +v,两边减去 P v, v,然后除以 0 0 0 Δv 并取极限 ,有 ( Δ) ( ) P v, v + v- P v, v d 0 0 ( ) = P v, v= lim0 Δ v ?0 Δ d v v ( ) ( Δ) ( ) P v, v?P v , v + v- P v, v 0 0 = limΔΔ v ?0 v ( Δ) P v , v + v- I( ) lim P v, v? = 0 Δv ?0 Δ v ( Δ) ( ) P v , v + v- P v , v( ) P v, v?lim = 0 Δv ?0 Δ v ( ) ( )P v, v?Q v 0 d ( ) ( ) ( )()P v , v= P v , v?Q v5 即 0 0 d v ( Δ) ( ) P v , v + v- P v , v ( ) ()Q v= 6 其中 lim Δv ?0 Δ v 为转移速率矩阵. 显然 ,它与参数 v 有关 ,因而是一个非时齐 Markov 链. ( ) () 如果能够确定转移速率矩阵 Q v,则求解式 5可得转移概率 v ()( ) (( ) )7 P v, v= exp Q vd v0 v ? 0 ( ) 2. 2 转移速率矩阵 Q v的确定 ( ) ( ) 为了由结构分析确定转移速率阵 Q v,首先分析 Q v的意义 . 为此 ,考察其分量式 ( Δ) pv , v + vij ( ) (), qv= lim i ? j 8 ij Δv ?0 Δ v () 从式 8的右端可以看到 ,它是给定位移 v 时结构尚处于状态 i 而在紧接的下一个单位 (Δ) 位移增量 v 很小时内转移到状态 j 的概率. 从状态 i 转移到状态 j 意味着有新的控制截 Θ( ) 面k = 1 ,2 , ?, n ,由状态 i 、j 决定发生屈服 . 先考虑只有一个新的控制截面的情况. 设 k ( ) Θε加载控制位移为 v 时 ,截面 的应变为v. 因此 , k k ΘΔP{在位移 v 时截面尚未屈服 ,而在增量v 内发生屈服} = k ()ε( ) ( Δ) ε( ) ΘεεΘε9 P{v< 截面 的屈服应变?v +v| 截面 的屈服应变>v} k k s k k s k 这里 P{}?表示事件的概率 . 于是当 i ?j 时 ( Δ)ε( Δ) ε( ) εε P{v + v?| v< } pv , v + vk s k s ij lim= lim= ΔΔΔΔ v ?0 vv ?0 v ε( ) Δεε( ) ε( ) εε P{v+ ?> v| v< } k k s k k s = limΔΔ v ?0 v (ε( ) )Δε(Δε) fv+ o ε k k k ε dk s λ(ε( ) ) () 10 = vlimk Δ((ε( ) ) )Δv ?0 d v 1 - Fvvε k s ε( ) dvk ( ) λ(ε( ) ) ()qv= v? 11 即 ij k d v (ε)f ε s ()(ε) λ12 式中 = (ε) 1 - Fε s [ 7 ] εε这正是屈服应变 的风险率函数 . 它与 的概率分布是相互唯一决定的 . s s 非线性构形状态转移过程是随机点过程 ,根据其普通性性质 ,在同一个时点不可能有两 [ 8 ] 个或两个以上的事件发生,故凡是有两个或两个以上的控制截面屈服的状态 i 、j ,必有 q ij ( ) ( ) v= 0. 若状态 i 不可达 j ,则 qv= 0. ij 各状态之间的逻辑关系有下述诸种情况 : () () ( ) 1若从状态 i 转移到状态 j 只有一个控制截面屈服 ,则可按式 11计算 qv; ij () ( Δ) 2若从状态 i 转移到状态 j 有两个或两个以上控制截面在 v , v +v内屈服 ,则根据 ( ) 普通性 ,有 qv= 0 ; ij () 3若状态 i 不可达 j ,此时状态转移概率为 0 ,故转移速率为 0 ; () ( ) ( )( ) 4当 i = j 时 ,由于保守性 ,有 qv= 0 ,可得 qv= - qv.ij ii ij ? ? j j , j ?i 由此可以确定概率转移速率矩阵. 3 非线性构形状态的演化 () ( ) 逐个求解微分方程组 5,可得到转移概率矩阵 P v, v. 设控制位移为 v 时处于状态 i 0 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) () () 的概率为 pv,向量 p v= pv, pv, ?, pv,初始条件 p 0= 1 ,0 , ?,0,由马 i 1 2 N 尔可夫链的概率性质 ,有 ()( ) () ()13 p v= p 0?P 0 , v () () 或者对 13两边求导 ,并注意式 5,可得 d ()( ) ( ) ( )14 p v= p v?Q v d v () () 由式 13或直接求解式 14可得到非线性构形状态一维概率演化规律 . 4 分析实例 考察图 2 所示的具有随机屈服应变的三杆桁架结构在竖向加载下的非线性损伤随机演 ΘΘΘ化过程. 三杆 、、材料相同 ,横截面积均为 A ,水平方向有支座约束 ,设节点竖向控制 1 2 3 () 位移为 v . 各杆件材料本构关系采用式 1中的表达且独立同分布 . () ()= 0 ,0 ,0, 0 ,1 ,0 1 : 2 : = 非线性构形状态定义如下 () () 1 ,0 ,03 : = 0 ,0 ,1, 4 : = ()() 1 ,1 ,0 5 : = 0 ,1 ,1, 6 : = ()() 7 : 8 : = 1 ,1 ,1 = 1 ,0 ,1, ( ) 以 pv, v表示在位移 v时结构处于状态 i 的条件下而 ij 1 2 1 ( 位移 v时转移到状态 j 的概率 ,故状态转移概率矩阵 P v, 2 1 图 2 三杆桁架 )( ) , v ] v = [ p v . ij 1 2 8 ×82 在小变形情况下 ,由结构的几何方程可以得到 v v εεε() 15 = , = =123 2 h h εεεΘΘΘ式中 、、分别表示杆 、、的应变. 1 2 3 1 2 3 由于在单调加载的情况下 ,一旦杆件已经屈服则不可能恢复为弹性状态 ,故这样的状态 不可达 ,例如状态 2 不可达 1. 根据上述力学分析及逻辑分析 ,可得到转移速率矩阵为 ( ) Q v= 1v v v 11v1v λλλ λ λ , - , , , 0 , 0 , 0 , 0 + 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h h hh h 1 111v v v v λλλλ0 , - , 0 , 0 , , , 0 , 0 + h2 2 h h 2 h 2 h h h 11 vv 1v1v λλ λ λ 0 , 0 , - , 0 , , 0 , , 0 + h2 2 h 2 h 2 h h h h v 11v1v λλ λ 0 , 0 , 0 , - , 0 , , , 0 h h 2 h 2 h 2 h 2 h 1v 1v λλ0 , 0 , 0 , 0 , - , 0 , 0 , - h h h h 1v1v λ λ0 , 0 , 0 , 0 , 0 , - , 0 , 2 h 2 h 2 h 2 h 1v 1v λλ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , - , 2 h 2 h 2 h 2 h 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ()16 () 代入式 14求解可得 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )F vΠ2 h F vΠh F vΠ2 h = F vΠh[ F vΠ2 h] , = pv pv 1 2 2 ( ) ( ) ( )( )= = F vΠh[ F vΠ2 h] pv ( ) ( ) ( ) pv F vΠ2 h F vΠh F vΠ2 h, 3 4 ()17 2 ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )= = F vΠhF vΠ2 h F vΠ2 h pv F vΠh[ F vΠ2 h] , pv 5 6 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F vΠhF vΠ2 h F vΠ2 h, ( )( )F vΠh[ F vΠ2 h] = = pv pv 7 8 x ( ) ( ) ( ) 其中 F x= 1 - F x= 1 - fxd x .ε s 0 ? 2. 5 ( ) ( ( ε( ) ) ) 若设服从 Weibull 分布 Wei x ;0. 02 ,2. 5,即 F x= 1 - exp - xΠ0. 02, x ?0 ,则 s () () 由式 17可得一维状态概率演化曲线 如图 3 、图 4,图中纵坐标为概率 ,横坐标为单位化位 图 3 非线性构形状态演化规律 图 4 非线性构形状态演化规律 移 vΠh . 由此可以看出 : () 1状态 1 和状态 8 的概率演化曲线都是单调曲线. 从物理意义上说 ,结构开始完好 , 随着控制位移的增加 ,处于无损状态的概率越来越小 ,故而处于 1 的概率递减. 在马尔可夫 ( ) 链中 ,状态 8 是吸收状态 , qv= 0. 对结构来说 ,状态 8 是完全破坏状态. 因此 ,非线性构形 8 状态转移过程中的吸收状态就是结构的完全破坏状态. () 2中间状态 2,6 的概率演化曲线均为单峰曲线 ,说明在某一个加载阶段这些状态的 概率相对于在其它加载阶段为大 . () 3对于状态 i ?j ,状态 i 的峰值必出现于状态 j 的峰值之前. 若认为状态 1 峰值出现 于 0 ,状态 8 峰值出现于 ?,则这一规律对于所有状态而不仅是中间状态是成立的 . () 4某些状态 ,例如状态 4 、6 、7 在某一个加载阶段以较大的概率出现 ,而另一些状态 , 例如 2 、3 、5 ,在整个加载过程中都以非常小的概率出现 ,因此作为近似 ,可以将它们作为不 可能状态而略去 ,从而使问题得到简化 . εε() 屈服应变服从分布 2Weibull 0 . 01 ,2 . 5,、 1 2 ε() 2N 0. 025 ,0 . 0025时 ,非线性构形状态概率演化 3 如图 5. 该图中可见 ,中间状态 4 在相当长的加载 区间内概率非常接近 1 ,说明该状态在非线性演化 过程中以接近 1 的概率出现并在相当大的范围内 ,稳定构形才有可能出现 . 所以 性满足一定的条件 图 5 稳定构形 保持稳定 , 可称为稳定 构 形 . 显 然 , 只 有 当 材 料 特 通过精心设计 , 可以使得结构非线性 演 化 过 程 中 ( εε() ε() )注 :2Weibull 0 . 01 ,2. 5,、2N 0 . 025 ,0. 0025 2 3 出现所期望的稳定构形 , 例如地震作 用 下 确 保 结 构“大震不倒的稳定构形” ,而避免出现不利的非线性构形状态 . 这给在概率意义上控制结构 的非线性性状 、实现基于性能的结构设计提供了广阔的可能性 . 5 结论 由于结构特性的随机性 ,在加载作用下结构损伤发展过程是一个随机演化过程. 本文通 过研究结构非线性构形状态转移过程来考察结构非线性损伤随机演化 ,建立了非线性构形 () 状态转移过程的转移速率阵诸元素与 广义屈服应变的风险率函数之间的关系 . 对于具体 结构 ,通过结构的力学分析与非线性构形状态之间的逻辑分析确定转移速率阵 ,因此将结构 损伤的随机演化过程转化为一个非时齐 Markov 链 . 通过算例的分析讨论 ,研究了非线性构 参 考 文 献 形状态一维概率分布演化特征. 1 李杰 . 随机结构系统 ———分析与建模 . 北京 :科学出版社 , 1996 2 李杰 ,李国强 . 地震工程学导论 . 北京 :地震出版社 , 1992 3 () Elnashai A S. Advanced inelastic static pushoveranalysis for earthquake applications. 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The transition rates matrix is then established by combining mechanical analysis of the structure and logic analysis of the NCS. Consequently , the problem of structural nonlinear damage stochastic evolution is transformed to a nonhomogeneous Markov chain. A three2bar truss is taken as an example to illustrate the method and the numerical results are discussed. Key words nonlinear configuration state , Markov chain , transition rate , hazard rate function