理论力学论文

理论力学论文理论力学论文理论力学论文—— 振子在恒定阻尼下的振动在这学期的理论力学课程中，我们接触了机械振动基础，学习了有阻尼情况下的自由振动。教材上指出，当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻力近似的与速度成正比，即 c ，这样的阻尼称为粘性阻尼或线性阻尼。系数称为粘性阻尼系数。但是，振子Fcv,, 在滑动摩擦作用下的运动，虽然十分常见，却几乎没有讨论。我认为，其原因可能是滑动摩擦使运动微分方程变得十分复杂。在这种情况下，我尝试着自己推一推公式，讨论一下这个问题。 m假定一个弹簧振子，由质量为的物体和劲度系数...

理论力学论文理论力学论文—— 振子在恒定阻尼下的振动在这学期的理论力学课程中，我们接触了机械振动基础，学习了有阻尼情况下的自由振动。教材上指出，当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻力近似的与速度成正比，即 c ，这样的阻尼称为粘性阻尼或线性阻尼。系数称为粘性阻尼系数。但是，振子Fcv,, 在滑动摩擦作用下的运动，虽然十分常见，却几乎没有讨论。我认为，其原因可能是滑动摩擦使运动微分方程变得十分复杂。在这种情况下，我尝试着自己推一推公式，讨论一下这个问题。 m假定一个弹簧振子，由质量为的物体和劲度系数的弹簧组成，置于水平面上。物k x体和水平面间的滑动摩擦系数为。开始，物体对平衡位置的偏离为，由静止释放。如,0 图所示。 t,0 k m x0 1, 物体最后静止时所到达的位置 H在单自由度系统的强迫振动中，我们曾有静力偏移。与之类似，我们定义偏离B,0k ,,,,mgmg (1) *xxx,,,,,,c00kkx0,, ,mgx,其中，，为一常数，只与初始条件有关。也是弹簧的恢复力和摩擦力相等时的,ckx0 偏离。它是与弹簧振子和接触面有关的量。由功能原理知道，在第一个半周期里，弹簧所损失的势能等于克服摩擦力所作的功，即 1122,,,, (2) kxkxmgxx，，010122 x式中为第一个半周期之后物体的坐标。 1 1 由式(2)得到 1 xxxxx,,，,,,,,221112,,,，，，，，，10000 同理，在第二个半周期里有 1122 ,,,,kxkxmgxx，，212122 2而 xxxxx,,,,,,,,214114,,,，，，，，，21000 从而，我猜测递推公式为 jj (5) xxxjx,,,,,,,(1)2112,,，，，，,100jj xx,x设物体经过几个半周而最后静止于，则必然满足 (6) xxx,,nnncn,1 11,，,,，，，，,,n用(5)代入得 (7) 22,, x,mgc,,这样，最后位置可以直接由(7)、(5)两式得到。，对于特定的弹簧振,kxx00 ,x子来说，取决于初始偏离。如果，由式(7)得到，振子根本不振动。这是显然,,10 xx,的，因为即，初始偏离等于或小于“临界”偏离，弹性力小于或等于最大静摩,,10c 1擦力，物体当然静止。如果，振子只运动半周即停止，不能相反运动。如果,,,13 11,，振子振动一周而停止，越小，振动次数越多。 ,,,53 2( 振子运动表达式弹簧振子的运动微分方程式为 : ,,mxkxmg,,,, (8) 式中“”表示摩擦力与物体速度相反，或者写成 , ,,mxkxmgj,,，,,,,,,(1,3,5),jj(), (9) ,,,mxkxmgj,,,,,,,,(2,4,6),,jj(), 对于(9)式我们以前见过。它表明振子除了受到弹性力作用之外还受到恒力的,mg ,mg作用。我们取静平衡位置x,为原点，便可以使方程成为标准的无摩擦情况的微分方ck 程。因此，由(9)的解立即可以写出: xAtxjt,，,,,,cos,(1,3,5,0),,,从至,jjc, (10) ,xAtxjt,,,,,,cos,(2,4,6,,)从至2,,,,,jjc, AAxx,，式中，是相对平衡点的振幅，所以有 jjjc 2 由(5)和(1)得出 Ajxxxj,,，,,,(12)121,,,，，，，j000，，合并(10)中两式得到 jxxxjt,,,,,121cos1,,, (11) ，，，，，，,,00j，， k2,,,,上式中，，，，为jt,,,,1,3,5,0,,从至jt,,,,2,4,6,,,,,从至2,m, ,,,运动的周期。上式即为弹簧振子的运动表达式。显然，如果，上式即为简谐振动的表达式。 m,,,2此外，由上式看出，振动周期仍然等于无阻尼情况振子的周期。这是与书k 111,上的粘性阻尼不同的一点。整个振动时间决定于振动次数:，,,,,,1,;t,,2432 ,,11k。 ,,,,tt;,,，214kk 3( 总的能量损失 n,1 sxxx,，，2物体总的运动路程为: ,njn0j,1 由(5)得到: snnx,,21,，，n0 12最初能量为，那么，损失能量与总能量的比值为 Ekx,002 ,,mgss2,Enn ,,,,41nn,,，，1Ex20kx02 同时，也可以这样计算: 1122kxkx,20nx,E2n22 ,,,,,,,,,,,nnn111241，，，，21Ex20kx02 两种计算结果一致。以上，便是我的理论力学论文。如果有欠妥的地方，请张老师给我指出来，我再修改。在完成论文的过程中，我是以自己推公式为主，论文的主体结构皆模仿教材上的思路，一步一步深入。同时，我也查阅过一些参考书完善我的思路，它们给了我有益的补充与提示，在此一并说明。 3 精仪系仪02班 000682 常黎 2002-5-13 4

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