定积分的定义与计算
实验五 定积分的定义与计算
[实验目的]
1. 深入理解定积分概念；
2. 学会用Mathematica软件计算定积分。
定积分的概念直接来源于实际问题，如曲边梯形的面积、变速直线运动的位移等等，因而定积分的应用
十分广泛。但是对于具体问题能否利用定积分和怎样利用定积分往往会难道初学者，其原因可能是：（1）
初学者不会将实际问题中所求的量化为定积分，归根结底是因为定积分的概念比较复杂、抽象，让人难以
真正理解；（2）得到的定积分根本就无法积出。本实验将从定积分的定义出发，讨论定积分的计算问题，
以便让读者能加深对定积分概念的认识，并学会怎样近似计算定积分。本实验还努力帮助读者获得发现规
律的乐趣。
?1
1.1积分的定义
设
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数f(x)在[a,b]上有界，在a与b之间任意插入n-1个分点，
a=x
0时,和s总是趋向于一个定值,则该定值便称为i
b函数ƒ(x)在[a,b]上的定积分,记为f(x)dx, ,a
n
limfxiib 即 0f(x)dx= i1,a
nf(),其中, 称为函数 f(x)在曲间[a,b]的积分和. ,,xiii,1
1.2 定积分的几何意义
b定积分f(x)dx在几何上,当f(x)?0时,
表
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示由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b与x,a
轴所围成的曲边梯形的面积；当
f(x)?0时，表示由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线y=f(x)、
两条直线x=a、x=b与x轴之间的个部分面积的代数和，如图5.1所示。
图5.1 定积分几何意义 1.3 定积分存在的两个充分条件
1. 设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b ]上可积.
2. 设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限多个间断点,则f(x)在[a,b]上可积.
?2 实验
内容
财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容
与
练习
飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习
都是任意的,求积i2.1 由定义计算定积分 分和极限是要求每个小区间长度的最大值λ趋向于0,这些都给我们直接有定义来验证一个
在定积分的定义中,划分积分区间的方法与在每个小区间上取的点ζ定积分是否存在带来了很大的困难.在这里,我们借助于计算机,按照定义的要求,对积分和
1极限作近似计算,根据结果对定积分是否存在做出判断.下面以积分x^2dx为例来说明这,0个问题.
首先在区间[0,1]中插入n-1个分点,为使分点任意,可用能产生随机数的函数Random;为保证分割加细时,各小区间的长度趋于0,在取分点时,让相邻两分点的距离小于2.在下列给n
uii出的程序中分点取为x=+(为[0,1]间随机数,I=1,2,„„),因0??1,故 innuuii
11112 |x-x|=|+(-)|?+=, ii-1nnnnnuuii,1其次在每个小区间[ x,x](I=1,2, „„)上任取一点ζi,为使ζi具有任意性,我们同样利i-1i
用函数Random []来实现,程序中ζi取为x+Δx(为[0,1]间随机数,I=1,2,„„). i-1ivvii
我们在一定意义下取到了任意的分点与任意的,接下来只要计算积分和,i
nnf(),limf(),,就有可能求得的近似值.为了提高精确度,我们让分点不,,,,xxiiii,,0ii,1,1
断增多反复进行计算.
计算程序如下:
Clear[f,x];
f[x_]:=x^2;a=0;b=1;
n=20 (*n为分割成的小区间个数,初始值取为20*);
Array[x,{641}](*将t设为641维数组*);
x[0]=a;
For[k=1,k<=6,k++,
x[n]=b;s=0;
Do[x[I]=(I+Random[])*(b-a)/n,{I,1,n-1}]
(*取区间的分割点*);
For[I=0,I{RGBColor[1,0,]},
DisplayFunction->Identity;
For[j=3,j<=1000,j+=2,n=j;r={};
Array[t,{n+1}];t[0]=a;t[n]=b;
Do[t[I]=(I+Random[])*(b_a)/n,{I,1,n-1}];
For[I=0,I$DisplayFunction,
PlotLabel->(n-1)＂个分割点的图示＂]；
]
运行后得到的部分图形如图5.2所示：
上图中阴影部分为积分和,图中可看出在分割点为20时,阴影部分的上边 界还很粗糙,当分割点为80时该边界已比较光滑,若再增加割点的个数,当分割 点为640时,已很难看出该边界与曲线y=sinx有什么地方不一样了,这说明此时 用积分和近似定积分产生的误差已非常小.
用Edit菜单下的子菜单Selet All Cells选中由以上程序产生的所有图形,再 按”Ctrl-Y”或点击Graph菜单下的 A nimate seiected Graphics,可观看到积分和逐 渐趋于定积分的动态过程.
练习2 修改程序中的函数与区间,从图形中观察其它的定积分与相应的积 分和之间的关系.
2.3 用定义计算积分值的简化
前面直接用定义计算积分和的方法显得很繁琐,为了使计算简单些,现对定义 中的积分和略加分析:设函数f(x)在每个小区间[xi-1,xi]上有最大最小值,分别记为 Mi与mi(I=1,2,…,n),则有
??f()???(i=1,2,…,n), ,Mmxxxiiiiii
将它们求和得到
nnn mif(xi)?xi??xi?Mi?xi, ,,,i,1i,1i,1
记
nn ss=f()?, = f()?. ,,xxxxiii,1ii,1i,1
分别称为上积分和与下积分和.很明显,若用积分和近似积分值,其产生的误差不 与s的极限皆存在且相等,则s的极限即定积分也存 s超过上下积分和之差.
在,且等于上积分和或下积分和的极限.
若当λ趋于0时, 2函数f(x)=在区间[0,1]上是单调增加的,故在每个小区间[,](i=1,2,…,n) xxxi,1i
上,其最大值==f(),最小值=f(),于是: Mxmxiiii,1
1nn2ss=f()?,= f()?.以下程序可以说明dx的存在,因为 ,,xxxxx,0iii,1ii,1i,1
只要分割点数充分多, s与的差可以任意小. s
F[x_]:=x^2;a=0;b=1;
s0=1;s1=0;n=20;
While[Abs[s0-s1]>10^-4,Clear[t];
Array[t,{n+1}];t[0]=a;t[n]=b;
Do[t[i]=(i+Random[])*(b-a)/n,{i,1,n-1}];
s0=N[Sum[f[t[i]]*(t[i+1]-t[i]),{i,0,n-1}];
s1=N[Sum[f[t[i+1]] *(t[i+1]-t[i]),{i,0,n-1}]];
n=n*2
];
Print[f[x],＂在［0,1］上的积分的近似值为＂，s0] 运行结果为:2在[0,1]上的积分的近似值为0.333305. x
当定积分存在时,所有任取的积分和在λ趋于0时的极限都相同,此时可
以选择较简单的划分与简单的,一般的做法是将区间等分,且让小区间的某端 ,i
点作为(i=1.2….,n),这样积分和便成为 ,i
nb,ab,a f(a+(i-1)), ,nni,1
或
n,,baba ，(). fai,inn,1
对于连续函数的定积分,用这两个式子来近似计算是比较简单的 .
M例1 用(5.3)式或(5.4)式近似计算定积分xdx(其中M为正数). ,0
解 因被积函数f(x)在[0，M]上单调增加，所以由（5.3）与（5.4）式确
M定的分别是积分xdx的下积分和与上积分和。下面的程序将得到当M=1,2, ,0
3,4,5,6时的上下积分和及用它们近似相应的定积分的误差限.
Clear[f,x];
n=1;k=50000;
a=0;f[x_]:=x^n;
For[M=1,M<7,M++,
b=M;
s=NSum[f[a+(b-a)*i/k,{i,1,k}];
fas1=NSum[f[a+(b-a)*(ffi-1)/k]*(b-a)/k,{fi,1,k}];
e=Abs[s-s1];
Print[M,＂ ＂,s,＂ ＂,s1,＂ ＂，e]
]
我们将结果列成表5.2. Mxdx的近似值 ,0
M 上积分和 下积分和 误差限 积分近似值 表5.2
1 0.50001 0.49999 0.00002 0.50000 2 2.00004 1.99996 0.00008 2.00000 3 4.50009 4.49991 0.00018 4.50000 4 8.00016 7.99984 0.00032 8.00000 5 12.5003 12.4998 0.0005 12.5000 6 18.0004 17.9996 0.00072 18.0000
由上面的结果知道,不管用上积分和还是下积分和近似积分值,产生的误差都 非常小。不过，若用上下积分和的均值作为定积分的近似值，似乎更合理。我们将此 值列在表5.2的最后一列。
我们知道，最后一列数据直接依赖第一列的M值，或者说，这列的积分值是 M的函数，那么他们与第一列的数据有怎样的关系呢？
若将第一列的M值平方，会得到1，4，9，16，25，36.这些值刚好是最后一列
相应数的两倍,也就是说,最后一列数与第一列数之间近似地满足函数关系 y=F(x)=21. x2
以上仅仅是当M为正整数1,2,„„，6时得到的结论，当M为其他的数时该结 论是否仍然成立呢？这个问题请读者回答。
M练习3 当M为一般的实数时，近似计算定积分xdx，并验证近似值与 ,0
21M之间是否满足函数关系y=F(x)=. x2
Mn练习4 用积分和近似计算定积分dx (n为自然数)，将结果填入表5.3 x,0
（每一格中填入相应的积分近似值与误差），并寻找近似值与参数M，n之间的函
数关系。
Mn 表5.3dx的近似值 x,0
1 2 3 4 5 6 近似值与
n的关系 -3 4.50000
0.00018 -2 2.00000
0.00008 -1 0.50000 1 ,0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002, n，11 0.50000 0.33333 0.25000 0.20000 0.166667 0.142857 2 2.00000
0.00008
3 4.50000
0.00018
近似值与 2M的关系 M ,2
2练习5用积分和近似计算定积分x^kdx（k值如霞标），将计算结果填入表5.4，寻找积分,1
与k之间的关系。
k -3 -2 0 1
积分值
误差
练习6寻找练习4，练习5的结果与北积函数之间的关系。
2.4 定积分近似计算的梯形法
在数值计算中，称用（）与（）是近似定积分的方法为巨型法，这是因为这两个式子在
几何上表示一些巨型面积的和。在近似计算中也常用式子
n,1 fafbbaba()，(),,fai{()}，， （5.5） ,nn2i,1
nn2baba,,,,baba来求定积分，fai((1))()，,f(x)dx.该式是和的平fai,,,1iinnnn,1,1均,它在几何上表示一些梯形面积的和,故它被称为计算机分的梯形法.
1 . e^xdx,0
解 我们知道f(x)=e^x在[0，1]上连续，所以定积分存在。现将区间[0，1]均分为n等
例2用(5.5)是近似计算定积分n,1n,1n11iii11分，有梯形公式（5.5）得(1，e，2e^)(^，^)==， e^xdxee2nn2nn,,,,0i,,01ii,1n
利用此式，编程如下：
f[x_]:=Exp[x];a=0;b=1;s0=1;s1=0;n=20;m=6;
While[Abs[s0-s1]>10^-m,s1=s0;s0=N[Sum[f[a+I*(b-a)/n]*(b-a)/n,{I,0,n-1}]+Sum[f[a+I*(b-
a)/n]*（b-a）/n,{I,1,n}]]/2; n=n*2];Print[f[x]在[0，1]上的积分约为“，s0]
运行结果为：e^x在[0，1]上的积分约为1.71828。
上面的数据1.71828出了整数位外，小
书
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部分的前五位与e的前五位一样。如果我们将计算精度提高，会得到什么结论？
练习7将程序中的精度参数m改为8，观察程序执行的结果，其小数部分前七位与e相应位置的数值是否一样。
练习8将计算精度继续提高，结果如何？
练习9用梯形法近似计算定积分41dx，在确信达到较高的精度后，分析结果与,01，x^2
Exp差异。
联系10进一步分析以上例子和练习结果与被积函数积极分区见得关系，你是否已得到积分
计算的普遍规律。
2.5定积分近似计算的MonteCarlo方法
设函数f(x)定义在区间[a,b]上，当a<=x<=b时又0<=f(x)<=H,其中H时某个非负数（如图5.3）。今向图中的巨型内随机投点，对于位于曲线y=f(x)下方的图形，其面积的一种合理估
计应该是巨型的面积乘以落在该图形内的随机点个数占总随即点数的百分比，即H(b-a)s m
其中，m为随机点总数，s时落在位于曲线y=f(x)下方的图形中的随机点个数。上面的
bs结论意味着夏式成立f(x)dx,H，(b,a)，。 （5.6） m,a
1x作为例子，我们用上面的方法来求定积分dx，为此，编程如下： e,0
Clear[f,x];
F[x_]:=Exp[x];a=0;b=1;m=100;s=0;H=N[E](*s设置为落在曲边梯形内的点数*);
For[I=0,I0）. xx,,10
b1函数f(x)在区间[a,b]上的平均值是f(x)dx，如果我们随机在区间[a,b]中选择m,ab,a
m1个点f(),1<=I<=m,我们可以用来近似的求f(x)在区间[a,b]上的平均值，即,xxiimi,1
mb,ba,f(x)dxf() （5.7） i,xa,im,1
练习13 试用（5.7）式计算前面给出的定积分。
2.6用Mathematica软件计算定积分
再Mathematica软件中，只要用语句Nintegrate[f[x],{x,a,b}],就可以求出定积分
b的近似值。将该语句的第一个字母去掉，成为语句Integrate[f[x],{x,a,b}],可以求出f(x)dx,a
b定积分的精确值，当然有时候用该语句得不到任何结果，一般是因为f(x)的原函f(x)dx,a
数不能用初等函数来表示（此时可用语句Integrate[f[x],x]来加以检验，若执行该语句得到一个寒暑，则表示f(x)得原函数可以用初等函数表示，否则f(x)得原函数不能用初等函数表示），但是只要定积分存在，用Nintegrate语句总能得到所求定积分的近似值，下面我们举例说明。
pipi/2xsin例3求定积分sinxdx与dx。 ,0,201，cosx
In[1]:=Integrat[Sin[x],{x,0,Pi/2}]Out[1]=1
In[2]:=Integrate[Sin[x]/(1+(Cos[x])^2),{x,0,Pi}] Out[2]=Pi/2
pi/323例4求 dxsinxcosx,pi/4
方法一 In[3]:=Clear[f,x];
f[x_]:=Integrate[(Sin[x])^2*(Cos[x])^3,x]; f[Pi/3]-f[Pi/4]
Out[3]=-7/(60*Sqrt[2])+11*Sqrt[3]/160
方法二 In[4]:=Integrate[(Sin[x])^2*(Cos[x])^3,{x,Pi/4.Pi/3}]
Out[4]=-7/(60*Sqrt[2])+11*Sqrt[3]/160
例5求定积分
Pisinxxdx ,01，(cosx)^2
In[5]:=Nintegrte[x*Sin[x]/(1+(Cos[x])^2),{x,0,pi}]
Out[5]=2.4674
y例6计算Lnxdx ,1
In[6]:=Integrate[Log[x],{x,1,y}]
Out[6]=1+y*(-1+Log[y])
上面我们看到，用Integrate语句可计算出边上限积分，不但如此，用盖玉菊还可求出分段
函数的激愤，请完成下面练习
2练习14设f(x)=x^2,0<=x<=1, f(x)=x,1<=x<=2,求f(x)dx ,0
x练习15设f(x)=1/(1+x),x>=0;f(x)=1/(1+),x<0。 e
2求f(x,1)dx ,0
?3 本实验涉及的 Mathematica 软件语句说明
1. Array[t,{n+1}]
定义变量t为一n+1维数组或向量. 2. Rectangle[{x0,y0},{x1,y1}]
定义一矩形,(x0,y0),(x1,y1)为该矩形的两对角顶点坐标.
3. Sum[f[I],{I,0,n-1}]
b计算f(0)+f(1)+„„+ f(n-1)的值。 。 f(x)dx,a4. Integrate[f[x],{x,a,b}]
5. Integrate[f[x],x] 计算f(x)在[ a,b]上的定积分求函数f(x)的一个原函数。 6. Nintegrate[f[x],{x,a,b}]
b计算f(x)在[a，b]上的定积分f(x)dx的近似值。 ,a
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