实现预定轨迹的平面四连杆机构的优化
设计
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实现预定轨迹的平面四连杆机构的
数学建模及其优化设计
一(问题描述
设计一平面四连杆机构,如图1所示。要求曲柄在运动过程中
2,x,5实现运动轨迹,,因传递力的需要,最小转动角大于y,2x,50度。
图1
二(建立优化数学模型
1(确定设计变量
根据设计要求,由机械原理知识可知,设计变量有L1、L2、L3、L4、。将曲柄的长度取为一个单位长度1,其余三杆长可
表
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示为L1,
的倍数。由图1所示的几何关系可知
222,,(L,L),L,L1234,,arccos ,,2,L,L34,,
为杆长的函数。另外,根据机构在机器中的
许可
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空间,可以适当预,
选机架L4的长度,取L4=5,经以上分析,只剩下L2、L3两个独立变量,所以,该优化问题的设计变量为
TT X,,,,,X,X,L,L1223
因此。本优化设计为一个二维优化问题。
2.建立目标函数
按轨迹的优化设计,可以将连杆上M点与预期轨迹点坐标,,x,ymimi
偏差最小为寻优目标,其偏差为和,,,,x,x,x,y,y,yi,1,2,,,,,xiMiiiMiin如图2。为此,把摇杆运动区间2到5分成S等分,M点坐标有相应分点与之对应。将各分点标号记作,根据均方根差可建立其目标函i
数,即
1/222,,,,,,,,fX,x,x,y,y,min ,MiiMii
y,Lsin,Mi3
x,3,L,cos,Mi3
y,2,xii
3x,1,(i,1) ,S为运动区间的分段数 is
222,,(L,L),L,L1234,,arccos ,,2,L,L34,,
于是由以上表达式便构成了一个目标函数的数学表达式,对应于每一
,,个机构设计
方案
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(即给定X,X),即可计算出均方根差fX。 12
图 2
3.确定约束条件
根据设计条件,该机构的约束条件有两个方面:一是传递运动过程中的最小传动角应大于50度;二是保证四杆机构满足曲柄存在的条,
件。以此为基础建立优化线束条件。
,?保证传动角 ,,50
图 3
按传动条件,根据图3可能发生传动角最小值的位置图,由余弦定理
,cos50,0.6428
222(L,L),L,L1423 ,,arccos,arccos0.64282,L,L23所以
222 (a) (L,L),L,L,1.2496,L,L142323
222L,L,(L,L)2341 ,,arccos,arccos0.64282,L,L23所以
222 (b) L,L,(L,L),1.2496,L,L234123式(a)、(b)为两个约束条件,将,,,代入L,xL,1L,5L,x321421式(a)、(b),得
22 ,,gx,,x,x,1.2496,xx,36,011212
22 ,,gx,x,x,1.2496,xx,16,021212?曲柄存在的条件
按曲柄存在条件,由机械原理知识可知
L,L,,L,L,L,L L,L31142321
L,L,L,L,L,L,L,L 12341324
L,x把它们写成不等式约束条件(将L,1,L,5,L,x,代入上321421式),得
,,gx,1,x,0 31
,,gx,1,x,0 42
,,gx,6,x,x,0 512
,,gx,x,x,4,0 612
,,gx,x,x,4,0 721
经过分析,上述七个约束条件式中,和为紧约束条件,,,,,gXgX12
为松约束条件,即满足和的,必满足,,,,gX~gX,,,,gX,0gX,0X3712不等式,所以本优化问题实际起作用的只有和,,,,gX,0~gX,0,,gX371
两个不等式约束条件。 ,,gX2
4.写出优化数学模型
综上所述,可得本优化问题的数学模型为
s1/222 ,,,,,,,,minfX,x,x,y,y,MiiMii,0i
TT X,,,,,X,X,L,L1223
22 s.t,,gx,,x,x,1.2496,xx,36,011212
22 ,,gx,x,x,1.2496,xx,16,021212即本优化问题具有两个不等式约束的二维约束优化问题。 三(选择优化
方法
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及优化结果
选取Matlab 2011a版优化工具箱进行本优化问题优化。取初始
T,,0点,优化结果为 X,,,3,2
TT,,,, ,,,,X,x,x,5.10,2.6912
即L2=5.10(长度单位),L3=2.69(长度单位);
,, ,,f,fX,2.41