椭圆中的托勒密定理椭圆中的托勒密定理
中学生数学?2010年12月上?第407期(高中) 椭圆中的托勒定理
江苏省如皋市教师进修学校(226500)徐道 着名的托勒密(Ptolemy)定理"圆内接四 边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积 之和"有多种推广.但笔者未见在椭圆中的推 广.其实,Ptolemy定理椭圆中也有.
定理四边形A1AzA.A是椭圆XzT yZ
一
1(a?6>0)的内接四边形,A,A,的斜率为 k?则
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椭圆中的托勒密定理
中学生数学?2010年12月上?第407期(高中) 椭圆中的托勒定理
江苏省如皋市教师进修学校(226500)徐道 着名的托勒密(Ptolemy)定理"圆内接四 边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积 之和"有多种推广.但笔者未见在椭圆中的推 广.其实,Ptolemy定理椭圆中也有.
定理四边形A1AzA.A是椭圆XzT yZ
一
1(a?6>0)的内接四边形,A,A,的斜率为 k?则
1234lAlA2l?}A3A4l+2341?lA2A3l
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这就是本文的主要结果.此结果可称为椭 圆中的托勒密定理,是托勒密定理在椭圆中的 推广.此定理证明如下:
设A(aeos0,bsinO),—l,2,3,4,O?1< 02<3%04<27r,则
bsin0,一bsinO一F一b(sin0,一sin0) a(eos0j—cos0)'
故孺
n.[筹
6.[蒜]+
一/[(sin—sin0)+(COSOj—cos0)]口
(bsin0i--bsinO~)+(acos0,--acosOi). 1
IAA,I
所以
(sin一sin)+(cosOj--cosO,).a, fA}一~/(sin0~--sinOi)+(COSOj--COSOi)a
=::,/2—2(cosOjcos0-+-sin0jsin0)a
lSinl,
故.lAA.I?lA.Al
—12}A1A2l?34lA3Adl 0
T2--O1jJsinJ
一4a2sinsinT04--03
一一
一01--03一cos—02+—03--一01--04) 2n.(c.s0—2+—04--
一2a(c.s—02+—03广--01--04一cOs0—2+—04--01--03).
同理,223lA.A.l?lAAl一2a?
,03+01—02—0403+04—01—02,
lCOS———_—一一COS—————一J' .
'
.123dlAlA2l?{A3A4l+23?41? AA.1.fAlA}===2nzCOS—02—
~-—
0—
3--0—
1
一
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04
.1??————一J
fcOs
又1324IAlA3『?lA2A4l一2a? 02+03—0l一03+04一1一2
22
由?,?得:
12A34{A1A2l?lA3A4I+23lJA2A3l?
lAAl—.lAA.l?IA.A1.定理证完.
显然,若a—b,则一1,本定理就是托勒 密定理,因而本定理是托勒密定理在椭圆中的 一
个推广.
(责审连凹清)
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