曲率驱动扩散修复模型的数值分析与实验

曲率驱动扩散修复模型的数值分析与实验 第22卷第3期 2008年5月 山东理工大学(自然科学版) JournalofShandongUniversityofTechnology(NaturalScienceEdition) Vo1.22No.3 May2008 文章编号:1672—6197(2008)03—0041—04 曲率驱动扩散修复模型的数值分析与实验 张福美,吴金学,孟宪超,李英明 (莱芜职业技术学院计算机系,山东莱芜271lOO) 摘要:当物体破损区域的宽度大于物体的窄带宽度时,总体变分修复模型不能满足 "连接性 准则",针对这个缺点,Chan和Shen提出了基于曲率驱动扩散(CDD)修复模型.对此 模型的数 学 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 进行理论分析及其离散化,得出关键性的迭代公式,并通过实验得出结 论:CDD模型具 备了修复较大的破损区域及细小边缘的能力. 关键词:曲率驱动扩散;图像修复;总体变分模型 中图分类号:TP391文献标识码:A Numericalanalysisandexperimentbasedoninpainting modelbycurvature—drivendiffusions ZHANGFu—mei,WUJin—xue,MENGXian—chao,LIYing—ming (DepartmentofComputer,LaiwuVocationalTechnologyCollege,Laiwu271100China) Abstract:Whenthebrokenscaleislargerthanthewidthoftheobjectiveoftheinpainting, theTV(TotalVariationa1)inpaintingmodelfailstorealizetheconnectivityprincipleandthe inpaintingtaskwillnotbeachieved.Inviewofthisshortcoming,ChanandShendevelopeda newinpaintingmodelbasedonCurvature—DrivenDiffusions(CDD).TheCDDmodelandits numericalimplementationwereanalyzed,thenthekeyiterativeformulawasconcluded.Fina l— ly,theapplicationsofinpaintingthelargedemainandminuteedgesweredemonstrated. Keywords:curvature—driven;imageinpainting;totalvariationmodel 数字图像修复就是将数字图像中损坏的部分 用一定的方式修补起来,使之成为一幅完整的图 像.数字图像修复在图像处理,图形分析,电影工 业,图像传输等中有着广泛的应用,例如在数字图 像,照片和老电影中的划痕去除,图像中的文字擦 除,遮挡去除,图像中的"变焦",图像中特定目标 的消除等都与图像修复相关. 近年来,图像修复问题引起了很多国内外学 收稿日期:2008—02—15 作者简介:张福美(1974一),女,讲师,硕士 者的关注,提出了许多不同的方法来处理复杂的 图像.Bertalmio等人[1采用偏微分方程的方法 把图像的灰度比喻成一个流体,图像灰度函数就 像流函数,等照度线方向就像流体的速度方向,灰 度场沿着等照度线方向在这个流体中流动,由外 到内慢慢流进破损区域,把它填满.该算法用2D 拉普拉斯算子方法估计局部的光滑度,利用这个 光滑度沿着等值线扩散,考虑了各项异性的扩 42山东理工大学(自然科学版)2008经 散L3],以保证边缘处的边界连续.用这个方法对图 像进行修复,取得了较好的效果,但该方法计算不 稳定.Chan等[4人提出了基于整体变分(Total Variation,TV)模型的各向异性扩散方法.整体变 分法采用了欧拉一拉格朗日方程和各项异性的扩 散.由于这种扩散方法在数学上等价于中值滤波, 所以它有一定的恢复边缘的能力.但这个方法其 扩散强度仅仅依赖于其梯度值,而不依赖于等照 度线的几何信息,所以这个方法只适合很小的破 损区域,而且修复结果都是用直线连接边缘和水 平线.基于全变差模型的扩散方法修复不了较大 的区域,当修复区域的宽度大于物体窄带的宽度 时,用全变差模型不能把窄带连接起来,而人眼判 断这个窄带是相连的.为了解决这个问题,Chan 等人[5提出曲率推动扩散(Theinpaintingmodel byCurvature—DrivenDiffusions,CDD)的想法. 而基于曲率驱动的扩散方法是整体变分方法的一 种扩展,在扩散过程中考虑了轮廓的几何信息(曲 率),在照度线有较大曲率的地方变得更加强烈, 并随着等照度线的伸直逐渐减弱,这使得修复过 程能够消除大曲率而稳定小曲率.所以基于曲率 驱动的扩散方法能够处理较大的区域,对灰度图 像处理的效果较好. 1整体变分模型 整体变分模型,又称TV(TotalVariation)模 (a)待修复图像 型,该算法的主要思想把要去噪和修复的图像写 成能量方程的形式,用变分法求解其最小能量方 程. 设D是待修复区域,E是外邻域,一般为环 状,也可以是待修复区域的整个外域,如图1所 示.记修复后EUD区域内的图像值为,.是初 始图像,能量函数为 E(u,D)一lIIdxdy+ E J UD 等lI一.Idxdy(1) 厶士 其中一{三:jE.,表示在D外部进行 去噪和扩散,在D内部只进行扩散.需要说明两 点: 1)如果整幅图像是含有噪声的,该模型可以 对修复区域D外部进行去噪,内部进行修复.E表 示的是含有噪声的图像.D外部的去噪效果直接 影响到D的修复效果.所以去噪对修复来说非常 重要. 2)如果图像没有噪声,则E表示的是待修复 区域D边缘的膨胀区.利用E的信息往D内部进 行扩散,如图1所示. (b)若<时TV修复结果(c)若z>时TV修复结果 图1修复过程示意图 TV模型的欧拉一拉格朗日方程如下: div(u/ff)+(一0)一0 其梯度下降流 af—div(u/ff)+(一‰) 令 g(I1)一1/lI(4) (2)对比热扩散方程,TV修复模型相当于传导系数为 (3)1__的热扩散,即扩展强度仅仅依赖于梯度值 而不依赖于等照度线的几何信息.对于图1所示情 第3期张福美,等:曲率驱动扩散修复模型的数值分析与实验43 况,TV模型的修复结果如图1(c)所示,不能满足 人类视觉的"连接性准则".可以发现在TV修复结 果中的4个拐点处的蓝率k一?..,而我们所希望 的修复结果如图1(b)所示,此时等照度线被尽量 拉伸,反映在蓝率上就是使的修复结果中等照度线 的蓝率尽量小.为了解决这个问题,Chan等人l_5]在 文章中提出蓝率推动扩散的想法. 2曲率推动扩散方法 CDD修复模型就是基于上述分析在TV修复 模型的基础上将传导系数1__改为,引 入了蓝率项,得到 a一div(g(k)T一"_)(5IV"I 其中,k—div(T一为水平线的蓝率,g(是)为 IV"I 蓝率的单调递增函数,所以叫蓝率驱动扩散.其中 , 0S==0 g(是)一J,通常取g(是)一k(1?). 1?S? 加上这样的惩罚项后,其扩散强度不仅依赖于梯 度值,还依赖于等照度线的几何信息一蓝率.由 于g为增函数,扩散在等照度线有较大蓝率的地 方变得更加强烈,并随着等照度线的伸直逐渐减 弱,这使得修复过程能够消除大蓝率而稳定小蓝 率.对于图1的典型实例,CDD方法能够产生一个 稳定状态,该状态接近于人的视觉状态.CDD模 型通过引入等照度线的几何信息一蓝率,使其满 足"连接性准则".所以蓝率推动扩散方法比基于 全变差模型的扩散方法修复能力要强,能修复更 大的区域. 3CDD模型的数值实现方法 由于CDD图像修复模型是基于偏微分方程 的,对于公式(5),我们采用时间步进法求解.令 J一)一 可得到迭代公式 U'什'一U"+zlt.'(6) 其中,为时间步长,U'表示待修复点在,时 刻的值.式(5)是散度形式的偏微分方程,对于散 度采用半点中心差分法实现.令待修复点为O, E,N,w,S为O点的4邻域点,P,,硼,s对应的4 邻域半点.对于O点,不妨设为(O,O),其散度形式 离散化后 j(0,0)一+塑 不妨设g(IkI)一IkI,需要分别求半点值u(i, J),k(,J),其中, 巧一0,IiI+IJI—II, Vu(1,o)一()一 (1,o)一(o,o)(专,1)一(,一1) 其中,(1,?1)取(O,?1)u(1,?1)的平均值. …?[尚]({.0,一尚].,+南] 兰]一-厂丝]一广兰]一r兰] IIl(.,1)'IIIJ(1,1)IIIf(.,一1)lIII(1,一1) 4h 再求是(一1, O),k(0,一1) , k(0,1)类似. 利用迭代公式(6)对图像反复迭代就可得到修复 后结果. 4试验结果 下面的试验均是在配置为Pentium(R)4 2.66GHz,256Mb内存的电脑,matlab7.0环境 下进行的. 试验1:图2(a)为被遮挡的圆环,图2(b)为 图2(a)的掩模矩阵,图2(c),(d),(e)是利用公式 (5)At----0.01,一0.1,h一1分别迭代1000次,2 000次,2500次的效果.图2(f)为TV方法的修 复效果. 山东理工大学(自然科学版)2008仨 (e) (d) (f) 图2试验I示意图 试验2:图3(a)为被遮挡的矩形,图3(b)为 图3(a)的掩模矩阵,图3(c)是At=0.1,一0.05, h一1迭代1000次的效果;图3(d)为TV方法的 修复效果. }口 图3试验2示意图 由图2和图3两个试验结果可以看出,当破损区 域的宽度大于物体宽度时,在这种情况下,TV模 型将不能连接物体.而由试验结果可以看出CDD 模型选择连接,即满足"连接性准则",由以上两个 试验可以看出,CDD图像修复有很好的修复效 果. 参考文献: [1]BertalmioM,SapiroG,CasellesV,etal,Imageinpainting [c]//Pr0ceedingsofSIGGRAPH2000,NewOrleans,USA, 2000:417-424. 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