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第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
2 0 1 (1) 1 ? 4 ?1 ; ?1 8 3
解
2 0 1 1 ? 4 ?1 ?1 8 3 =2×(?4)×3+0×(?1)×(?1)+1×1×8
?0×1×3?2×(?1)×8?1×(?4)×(?1) =?24+8+16?4=?4.
a b c (2) b c a ; c a b
解
a b c b c a c a b =acb+bac+cba?bbb?aaa?ccc =3abc?a3?b3?c3.
1 1 1 (3) a b c ; a 2 b2 c 2
解
1 1 1 a b c a 2 b2 c 2
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=bc2+ca2+ab2?ac2?ba2?cb2 =(a?b)(b?c)(c?a).
x y x+ y (4) y x + y x . x+ y x y
解
x y x+ y y x+ y x x+ y x y =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx?y3?(x+y)3?x3
=3xy(x+y)?y3?3x2 y?x3?y3?x3 =?2(x3+y3).
2. 按自然数从小到大为
标准
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次序 , 求下列各排列的逆序 数: (1)1 2 3 4; 解 解 解 解 逆序数为 0 逆序数为 4: 41, 43, 42, 32. 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
? ? (2n?1) 2 4 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3. (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 ?
? ? ? (2n);
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解 逆序数为 3 2 (1 个) 5 2, 5 4(2 个) 7 2, 7 4, 7 6(3 个) ?????? (2n?1)2, (2n?1)4, (2n?1)6, ? ? ?, (2n?1)(2n?2) (n?1 个) (6)1 3 ? ? ? (2n?1) (2n) (2n?2) ? ? ? 2. 解 逆序数为 n(n?1) : 3 2(1 个) 5 2, 5 4 (2 个) ?????? (2n?1)2, (2n?1)4, (2n?1)6, ? ? ?, (2n?1)(2n?2) (n?1 个) 4 2(1 个) 6 2, 6 4(2 个) ?????? (2n)2, (2n)4, (2n)6, ? ? ?, (2n)(2n?2) (n?1 个) 3. 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项. 解 含因子 a11a23 的项的一般形式为 (?1)ta11a23a3ra4s,
n(n ?1) : 2
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其中 rs 是 2 和 4 构成的排列, 这种排列共有两个, 即 24 和 42. 所以含因子 a11a23 的项分别是 (?1)ta11a23a32a44=(?1)1a11a23a32a44=?a11a23a32a44,
(?1)ta11a23a34a42=(?1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 计算下列各行列式:
4 1 (1) 10 0 1 2 5 1 2 0 2 1 4 2; 0 7
解
4 1 10 0
1 2 5 1
2 0 2 1
4 c2 ? c3 4 2 ====== 1 0 10 7 c4 ? 7c3 0
?1 2 3 0
2 0 2 1
?10 4 ?1 ?10 2 4+3 1 2 ?14 = 10 3 ?2 × (?1) 14 0
4 ?1 10 c2 + c3 9 9 10 = 1 2 ? 2 ====== 0 0 ? 2 = 0 . 10 3 14 c1 + 1 c3 17 17 14 2
2 3 (2) 1 5 1 ?1 2 0 2 3 1 5 4 2 3 6 1 1; 2 2 4 2 3 6 1 c4 ? c2 2 1 ===== 3 2 1 2 5 1
?1 2 0 4 2 3 6 0 r4 ? r2 2 2 ===== 3 1 0 2 2
解
1 ?1 2 0
1 ?1 2 1
4 2 3 4
0 2 0 0
r4 ? r1 2 3 ===== 1 0
1 ?1 2 0
4 2 3 0
0 2 0 =0 . 0
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案全集
? ab ac ae (3) bd ? cd de ; bf cf ? ef
解
? ab ac ae ?b c e bd ? cd de = adf b ? c e bf cf ? ef b c ?e ?1 1 1 = adfbce 1 ?1 1 =
4abcdef . 1 1 ?1
a ?1 (4) 0 0
1 b ?1 0
0 1 c ?1
0 0 1. d 0 r1 + ar2 0 1+ ab 0 ?1 b 1 ===== 0 ?1 d 0 0 a 1 c ?1 0 0 1 d
解
a ?1 0 0
1 b ?1 0
0 1 c ?1
1+ ab a 0 c3 + dc2 1+ ab a ad = (?1)(?1) ?1 c 1 ===== ?1 c 1+ cd 0 ?1 d 0 ?1 0
2+1
ad = (?1)(?1)3+ 21+ ab 1+ cd =abcd+ab+cd+ad+1. ?1
5.
证明
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:
a2 ab b2 (1) 2a a + b 2b =(a?b)3; 1 1 1
证明
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a2 ab b2 c2 ? c1 a2 ab ? a2 b2 ? a2 2a a + b 2b ===== 2a b ? a 2b ? 2a 0 0 1 1 1 c3 ? c1 1
= (?1)3+1 ab ? a b?a
2
b2 ? a2 = (b ? a)(b ? a) a b + a =(a?b)3 . 1 2 2b ? 2a
ax + by ay + bz az + bx x y z 3 3 (2) ay + bz az + bx ax + by = (a + b ) y z x ; az + bx ax + by ay + bz z x y 证明 ax + by ay + bz az + bx ay + bz az + bx ax + by az +
bx ax + by ay + bz x ay + bz az + bx y ay + bz az + bx = a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by z ax + by ay + bz x ax + by ay + bz x ay + bz z y z az + bx 2 = a y az + bx x + b z x ax + by z ax + by y x y ay + bz
2
x y z y z x 3 =a y z x +b z x y z x y x y z
3
x y z x y z 3 =a y z x +b y z x z x y z x y
3
x y z = (a + b ) y z x . z x y
3 3
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(a +1)2 (b +1)2 (c +1)2 (d +1)2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2 (a + 3)2 (b + 3)2
=0 ; (c + 3)2 (d + 3)2 (a + 3)2 (b + 3)2 (c ?c , c ?c , c ?c 得) (c + 3)2 4 3 3 2 2 1 (d + 3)2
a2 b2 (3) 2 c d2
证明
a2 b2 c2 d2 (a +1)2 (b +1)2 (c +1)2 (d +1)2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2
a2 2 = b2 c d2 a2 2 = b2 c d2
1 a (4) a 2 a4 1 b b2 b4
2a +1 2b +1 2c +1 2d +1 2a +1 2b +1 2c +1 2d +1
1 c c2 c4 1 d d2 d4
2 2 2a + 3 2b + 3 2c + 3 2d + 3 2 2
2a + 5 2b + 5 (c ?c , c ?c 得) 2c + 5 4 3 3 2 2d + 5
2 2 =0 . 2 2
=(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a+b+c+d); 证明
1 a a2 a4 1 b b2 b4 1 c c2 c4 1 d d2 d4
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1 1 1 1 0 b?a c?a d ?a = 0 b(b ? a) c(c ? a) d (d ? a) 2 2 2 2 2 2 0 b (b ? a ) c (c ? a )
d 2(d 2 ? a2)
= (b ? a)(c ? a)(d ? a)
1 1 1 b c d b2(b + a) c2(c + a) d 2(d + a)
1 1 1 = (b ? a)(c ? a)(d ? a) 0 c ?b d ?b 0 c(c ? b)(c + b + a) d (d ? b)(d + b + a)
1 = (b ? a)(c ? a)(d ? a)(c ? b)(d ? b) c(c +1 + a) d (d + b + a) b
=(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a+b+c+d).
? ? 0 an ?1 x ??? 0 an?1 0 ?1 ??? 0 an?2 ??? ??? ??? ??? ??? 0 x 0 (5) ?
0 0 0 L ? ? ? =xn+a1xn?1+ ? ? ? +an?1x+an . x ?1 a2 x + a1
证明
用数学归纳法证明.
x
当 n=2 时, D2 = a x?1 = x2 + a1x + a2 , 命题成立. + a1 2
假设对于(n?1)阶行列式命题成立, 即
Dn?1=xn?1+a1 xn?2+ ? ? ? +an?2x+an?1,
则 Dn 按第一列展开, 有
Dn = xDn?1 + an (?1)
n +1
?1 0 ? ? ? 0 0 x ?1 ? ? ? 0 0 ??? ??? ??? ??? ??? 1 1 ? ? ? x ?1
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=xD n?1+an=xn+a1xn?1+ ? ? ? +an?1x+an . 因此, 对于 n 阶行列式命题成立. 6. 设 n 阶行列式 D=det(aij), 把 D 上下翻转、 或逆时针旋转 90?、或依副对角线翻转, 依次得
an1 ? ? ? ann D1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , a11 ? ? ? a1n a1n ? ? ? ann ann ? ? ? a1n D2 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , D3 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , a11 ? ? ? an1 an1 ? ? ? a11
证明 D1 = D2 = (?1) 证明
n(n ?1) 2
D , D3=D .
??? ??? ??? ???
因为 D=det(aij), 所以
a11 an1 ? ? ? ann D1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = (?1)n ?1 an1 ??? a11 ? ? ? a1n a21 a11 a21 n ?1 n ?2 = (?1) (?1) an1 ??? a31 ??? ??? ??? ??? ??? a1n ann ??? a2n
a1n a2n ann = ? ? ? ??? a3n
n(n ?1) 2
= (?1)1+ 2+? ? ?+(n ?2)+(n?1) D = (?1)
D.
同理可证
D2 = (?1)
n(n ?1) 2
a11 ? ? ? an1 n(n ?1) n(n ?1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? = (?1) 2 DT = (?1) 2 D .
a1n ? ? ? ann
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D3 = (?1)
n(n ?1) 2
D2 = (?1)
n(n ?1) 2
(?1)
n(n ?1) 2
D = (?1)n(n?1) D = D .
k 阶行列式): (1) Dn = 7. 计算下列各行列式(Dk 为
a 1 ?? 1 ? a , 其中对角线上元素都是 a, 未写出的元素
都是 0; 解
a 0 Dn = 0 ??? 0 1 0 a 0 ??? 0 0 0 0 a ??? 0 0 0 0 a ??? 0
n
??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ??? ???
0 0 0 ??? a 0 0 0 0 ??? a
1 0 0 (按第 n 行展开) ??? 0 a 1 a 0 2n + (?1) ? a ? ? ? 0 ??? a (n?1)×(n?1)
0 (n?1)×(n?1) + an =an?an?2=an?2(a2?1).
0 a = (?1)n+1 0 ??? 0
n +1
0 0 0 ??? 0 a ??
= (?1) ? (?1)
a (n?2)(n?2)
x a (2) Dn = ? ? ? a
a x ??? a
??? ??? ??? ???
a a ??? ; x
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解 将第一行乘(?1)分别加到其余各行, 得
x a a a? x x?a 0 Dn = a ? x 0 x ? a ??? ??? ??? a?x 0 0 ??? a ??? 0 ??? 0 ,
??? ??? 0 x?a
再将各列都加到第一列上, 得
x + (n ?1)a
a a 0 x?a 0 Dn = 0 0 x ?a ??? ??? ??? 0 0 0
0 n?1 ? ? ? 0 =[x+(n?1)a](x?a) . ??? ??? 0 x?a ??? a ???
an (a ?1)n an?1 (a ?1)n?1 (3) Dn+1 = ? ? ? ? ? ? a a ?1 1 1
解
? ? ? (a ? n)n ? ? ? (a ? n)n?1 ; ??? ??? ??? a?n ??? 1
??? 1 ??? a?n ??? ??? ? ? ? (a ? n)n ?1 ? ? ? (a ? n)n
根据第 6 题结果, 有
Dn+1 = (?1)
n(n +1) 2
1 1 a a ?1 ??? ??? a n?1 (a ?1)n?1 a n (a ?1)n
此行列式为范德蒙德行列式.
Dn+1 = (?1)
= (?1)
n(n+1) 2
n+1?i > j ?1
?[(a ? i +1) ? (a ? j +1)]
n(n +1) 2
n +1?i > j ?1
?[?(i ? j)]
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= (?1)
=
n(n +1) 2
? (?1)
n + (n ?1)+? ? ?+1 2
?
n +1?i > j ?1
?(i ? j)
n +1?i > j ?1
?(i ? j) .
? ? ? ?? ? bn ; ?? dn
an
?? ??
(4) D2n =
cn
a1 b1 c1 d1
解
an D2n = cn ?? ?? ? ? ? ?? ? bn (按第 1 行展开) dn
a1 b1 c1 d1
??
an?1 = an cn?1 0
?? ??
? ?
a1 b1 c1 d1 L
?
?? ?
bn?1 0
??
dn?1 0 0 dn
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0 an?1 + (?1)2n+1bn cn?1 cn ?? ? ? ? ?? ? bn?1
??
a1 b1 c1 d 1
??
.
d n?1 0
再按最后一行展开得递推公式 D2n=andnD2n?2?bncnD2n?2, 即
D2n=(andn?bncn)D2n?2. 于是 而 所以
D2n = ?(aidi ? bici )D2 .
i =2 n
D2 =
a1 b1 = a d ?b c , c1 d1 1 1 1 1
n i =1
D2n = ? (aidi ? bici ) .
(5) D=det(aij), 其中 aij=|i?j|;
解
aij=|i?j|,
0 1 Dn = det(aij ) = 2 3 ??? n ?1 1 2 3 0 1 2 1 0 1 2 1 0 ??? ??? ??? n ? 2 n ?3
n ? 4 ??? ??? ??? ??? ??? ??? n ?1 n?2 n ?3 n?4 ??? 0
?1 ?1 r1 ? r2 1 ===== ?1 ? r2 ? r3 ? ? ? ? ? ? n ?1
1 ?1 ?1 ?1 ??? n?2
1 1 ??? 1 1 ??? ?1 1 ? ? ? ?1 ?1 ? ? ? ??? ??? ??? n ?3 n ? 4 ? ? ?
1 1 1 1 ??? 0
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?1 c2 + c1 ?1 ? ===== ?1 c3 + c1 ? ?1 ? ? ? ? n ?1
1+ a1 1 (6) Dn = 1 1+ a2 ??? ??? 1 1
0 0 0 ?2 0 0 ?2 ?2 0 ?2 ?2 ?2 ??? ??? ??? 2n ? 3 2n ? 4 2n ? 5
??? ??? ??? ??? ??? ???
0 0 0 0 ??? n ?1
=(?1)n?1(n?1)2n?2.
? ? 1 , 其中 a a ? ? ? a ?0. 1 2 n ??? ??? ? ? ? 1+ an ??? 1 ?
解
1+ a1 1 Dn = 1 1+ a2 ??? ??? 1 1 ??? 1 ?
?? 1 ??? ??? ? ? ? 1+ an
a1 c1 ? c2 ? a2 ===== 0 c2 ? c3 ? ? ? 0 ??? 0
0 a2 ? a3 ??? 0 0
0 0 a3 ??? 0 0
??? 0 ??? 0 ??? 0 ??? ??? ? ? ? ? an?1 ??? 0
0 1 0 1 0 1 ??? ??? an?1 1 ? an 1+ an
1 ?1 = a1a2 ? ? ? an 0 ??? 0 0
0 1 ?1 ??? 0 0
0 0 1 ??? 0 0
??? ??? ??? ??? ??? ???
0 0 0 ??? ?1 0
0 a1?1 ? 0 a2 1 ? 0 a3 1 ??? ??? ?1 1 an?1 ? ?1 1+ an 1
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1 0 0 = a1a2 ? ? ? an ? ? ? 0 0 1 0 ??? 0 0 0 1 ??? 0 ??? ??? ??? ??? ??? 0 0 0 ??? 0 0 0 0 ??? 1 a1?1 ? a2 1 ? a3 1 ??? ?1 an?1
n i =1
0 0 0 ? ? ? 0 0 1+ ? ai?1
= (a1a2Lan )(1+ ? 1 ) . i =1 ai 8. 用克莱姆法则解下列方程组:
x1 + x2 + x3 + x4 = 5 x + 2x2 ? x3 + 4x4 = ?2 (1) 1 ; 2x1 ? 3x2 ? x3 ? 5x4
= ?2 3x + x + 2x +11x = 0 1 2 3 4
n
解
因为
1 1 D= 2 3 1 2 ?3 1 1 ?1 ?1 2 1 4 ? 5 = ?142 , 11 1 1 4 = ?142 , D = 1 2 ?5 2 11 3 5
?2 ?2 0 1 ?1 ?1 2 1 4 ? 5 = ?284 , 11
5 ?2 D1 = ? 2 0 1 1 D3 = 2 3
1 2 ?3 1
1 ?1 ?1 2
1 2 ?3 1
5 ?2 ?2 0
1 1 4 = ?426 , D = 1 4 2 ?5 11 3
1 2 ?3 1
1 ?1 ?1 2
5 ? 2 =142 , ?2 0
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所以
x1 = D D1 D D =1 , x2 = 2 = 2 , x3 = 3 = 3 , x4 = 4 = ?1. D D D D
=1 5x1 + 6x2 =0 x1 + 5x2 + 6x3 x2 + 5x3 + 6x4 = 0 . (2) x3 + 5x4 +
6x5 = 0 x4 + 5x5 =1 解 因为
5 1 D= 0 0 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 0 = 665 , 6 5
1 0 D1 = 0 0 1 5 1 D3 = 0 0 0 5 1 D5 = 0 0 0
6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0
0 6 5 1 0 1 0 0 0 1 0 6 5 1 0
0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1
0 5 0 1 0 =1507 , D2 = 0 6 0 5 0 0 5 0 1 0 = 703 , D4 = 0 6 0 5 0 1 0 0 = 212 , 0 1
1 0 0 0 1 6 5 1 0 0
0 6 5 1 0 0 6 5 1 0
0 0 6 5 1 1 0 0 0 1
0 0 0 = ?1145 , 6 5 0 0 0 = ?395 , 6 5
所以
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x1 = 1507 , x2 = ?1145 , x3 = 703 , x4 = ? 395 , x4 = 212 . 665 665 665 665 665
λx1 + x2 + x3 = 0 9. 问 λ, µ 取何值时, 齐次线性方程组 x1 + µx2 + x3 = 0 有非 x1 + 2µx2 + x3 = 0
零解, 解 系数行列式为
λ 1 1 D = 1 µ 1 = µ ? µλ . 1 2µ 1
令 D=0, 得
µ=0 或 λ=1.
µ=0 或 λ=1 时该齐次线性方程组有非零解. 于是, 当
(1? λ ) x1 ? 2x2 + 4x3 = 0 10. 问 λ 取何值时, 齐次线性方程组 2x1 + (3 ? λ )x2 + x3 = 0 x1 + x2 + (1? λ ) x3 = 0
有非零解, 解 系数行列式为
1? λ ? 2 4
1? λ ? 3 + λ 4 D = 2 3 ? λ 1 = 2 1? λ 1 1 1 1? λ 1 0 1? λ
=(1?λ)3+(λ?3)?4(1?λ)?2(1?λ)(?3?λ) =(1?λ)3+2(1?λ)2+λ?3.
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令 D=0, 得
λ=0, λ=2 或 λ=3.
于是, 当 λ=0, λ=2 或 λ=3 时, 该齐次线性方程组有非零解.
第二章 1. 已知线性变换:
矩阵及其运算
x1 = 2 y1 + 2 y2 + y3 x2 = 3 y1 + y2 + 5 y3 , x3 = 3 y1 + 2 y2 + 3 y3
y1, y2, y3 的线性变换. 解 由已知: 求从变量 x1, x2, x3 到变量
x1 2 2 1 y1 x = 3 1 5 y , x2 3 2 3 y2 2 3
故
?1 y1 2 2 1 x1 ? 7 ? 4 9 y1 y = 3 1 5 x
= 6 3 ? 7 y , y2 3 2 3 x2 3 2 ? 4 y2 3 3 2
y1 = ?7 x1 ? 4x2 + 9x3 y2 = 6x1 + 3x2 ? 7 x3 . y3 = 3x1 + 2x2 ? 4x3
2. 已知两个线性变换
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x1 = 2 y1 + y3 x2 = ?2 y1 + 3 y2 + 2 y3 , x3 = 4 y1 + y2 + 5 y3
解 由已知
x1 2 0 1 y1 2 0 1 ? 3 1 x = ? 2 3 2 y =
? 2 3 2 2 0 x2 4 1 5 y2 4 1 5 0 ?1 2
3 ? 6 1 3 z1 = 12 ? 4 9 z2 , ?10 ?1 16 z
3 0 z1 1 z2 3 z3
y1 = ?3z1 + z2 y2 = 2z1 + z3 , y3 = ? z2 + 3z3
求从 z1, z2, z3 到 x1, x2, x3 的线性变换.
x2 =12z1 ? 4z2 + 9z3 . x3 = ?10z1 ? z2 x1 = ?6z1 + z2 + 3z3 所以有
+16z3
1 1 1 1 2 3 1 1 ?1 , B = ?1 ? 2 4 , 求 3AB?2A 及 ATB. 3.
设 A = 1 ?1 1 0 5 1
解
1 1 1 1 2 3 1 1 1 3AB ? 2 A = 3 1 1 ?1 ?1 ? 2 4 ? 2 1 1 ?1 1 ?1 1 0 5 1 1 ?1 1 0 5 8 1 1 1 ? 2 13 22 = 3 0 ? 5 6 ? 2 1 1 ?1 = ? 2 ?17 20 , 2 9 0 1 ?1 1 4 29 ? 2 1 1 1 1 2 3 0 5 8 A B = 1 1 ?1 ?1 ? 2 4 = 0 ? 5 6 . 1 ?1 1 0 5 1 2 9 0
T
4. 计算下列乘积:
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4 3 1 7 (1) 1 ? 2 3 2 ; 5 7 0 1
解
4 3 1 7 4× 7 + 3× 2 +1×1
35 1 ? 2 3 2 = 1× 7 + (?2) × 2 + 3×1 = 6 . 5 7 0
1 5× 7 + 7 × 2 + 0×1 49
3 (2) (1 2 3) 2 ; 1
解
3 (1 2 3) 2 =(1×3+2×2+3×1)=(10). 1
2 (3) 1 (?1 2) ; 3
解
2× (?1) 2× 2 ? 2 2 1 (?1 2) = 1× (?1) 1× 2 = ?1
3× (?1) 3× 2 ? 3 3
3 ?1 ?3 0 1 2 ; 1 ? 2
4 2 . 6
1 (4) 2 1 4 0 0 1 ?1 3 4 1 4
解
1 2 1 4 0 0 1 ?1 3 4 1 4
3 ?1 ?3 0
1 2 = 6 ?7 8 . 1 20 ? 5 ? 6 ? 2
a11 a12 a13 x1 (5) ( x1 x2 x3) a12 a22 a23 x2 ;
a13 a23 a33 x3
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解
a11 a12 a13 x1 ( x1 x2 x3) a12 a22 a23 x2 a13 a23 a33 x3
=(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3
x1 a13x1+a23x2+a33x3) x2 x 3
2 2 = a11x12 + a22 x2 + a33x3 + 2a12 x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2 x3 .
A = 1 1 5. 设
2 , B = 1 1 3
0 , 问: 2
(1)AB=BA 吗?
解
AB?BA. 4 , BA = 1 2 , 所以 AB?BA. 3 8 6
因为 AB = 3 4 解
(2)(A+B)2=A2+2AB+B2 吗? (A+B)2?A2+2AB+B2. 2 , 5 2 2 5 2 2 = 8 14 , 5 14 29 0 = 10 16 , 4 15 27
因为 A + B = 2 2
( A + B)2 = 2 2
但
A2 + 2 AB + B2 = 3 8 + 6 8 + 1 4 11 8 12 3
所以(A+B)2?A2+2AB+B2.
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(3)(A+B)(A?B)=A2?B2 吗? 解 (A+B)(A?B)?A2?B2.
2 , A ? B = 0 0 5 2 0 5 0 2 , 1 6 , 9
因为 A + B = 2 2
( A + B)( A ? B) = 2 2
2 = 0 1 0 8 , 7
而
A2 ? B2 = 3 8 ? 1 0 = 2 4 11 3 4 1
故(A+B)(A?B)?A2?B2.
6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若 A2=0, 则 A=0;
解 取 A = 0 1 , 则 A2=0, 但 A?0. 0 0
(2)若 A2=A, 则 A=0 或 A=E;
解 取 A= 1 0 解 取
1 , 则 A2=A, 但 A?0 且 A?E. 0
(3)若 AX=AY, 且 A?0, 则 X=Y . A = 1 0 , X = 1 1 , Y = 1 1 ,
0 0 ?1 1 0 1
则 AX=AY, 且 A?0, 但 X?Y .
7. 设 A = 1 0 , 求 A2
, A3, ? ? ?, Ak. λ 1
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解 A2 = 1 0 1 0 = 1 0 , λ 1 λ 1 2λ 1
A3 = A2 A = 1 0 1 0 = 1 0 , 2λ 1 λ 1 3λ 1
? ? ? ? ? ?,
Ak = 1 0 . kλ 1
λ 1 0 8. 设 A = 0 λ 1 , 求 Ak . 0 0 λ
解
首先观察
λ 1 0 λ 1 0 λ2 2λ 1 A = 0 λ 1 0 λ 1 = 0 λ2 2λ ,
0 0 λ 0 0 λ 0 0 λ2
2
λ3 3λ2 3λ A3 = A2 ? A = 0 λ3 3λ2 , 0 0 λ3 λ4 4λ3 6λ2
A = 0 λ4 4λ3 , 0 0 λ4 λ5 5λ4 10λ3 A5 = A4 ? A4 = A3 ?
A = 0 λ5 5λ4 , 0 0 λ5
? ? ? ? ? ?,
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λk kλk ?1 k (k ?1) λk ?2 2 Ak = 0 λk kλk ?1 0 0 λk .
用数学归纳法证明: 当 k=2 时, 显然成立. 假设 k 时成立，则 k+1 时，
λk kλk ?1 k (k ?1) λk ?2 λ 1 0 2 Ak +1 = Ak ? A = 0 λk kλk
?1 0 λ 1 0 0 0 0 λ λk λk +1 (k +1)λk ?1 (k
+1)k λk ?1 2 = 0 (k +1)λk ?1 , λk +1 0 λk +1 0
由数学归纳法原理知:
λk kλk ?1 k (k ?1) λk ?2 2 0 λk Ak = kλk ?1 . 0 0 λk
9. 设 A, B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是
因为 AT=A, 所以 对称矩阵. 证明
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(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 从而 BTAB 是对称矩阵. 10. 设 A, B 都是 n 阶对称矩阵， 证明 AB 是对称矩阵的充分 必要条件是 AB=BA. 证明 充分性: 因为 AT=A, BT=B, 且 AB=BA, 所以 (AB)T=(BA)T=ATBT=AB, 即 AB 是对称矩阵. 必要性: 因为 AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1) 1 2 解
2 ; 5 2 . |A|=1, 故 A?1 存在. 因为 5
A= 1 2
A A A* = 11 21 = 5 ? 2 , A A ?2 1 12 22
故
A?1 = 1 A* = 5 ? 2 . ?2 1 | A| (2) cosθ ? sinθ ; sinθ cosθ
解
A = cosθ ? sinθ . |A|=1?0, 故 A?1 存在. 因为 sinθ cosθ
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A A A* = 11 21
= cosθ sinθ , A A ? sinθ cosθ 12 22
所以
A?1 = 1 A* = cosθ sinθ . ? sinθ cosθ | A|
1 2 ?1 (3) 3 4 ? 2 ; 5 ? 4 1
解
. 因为 5 ? 4 1 1 2 ?1 A = 3 4 ? 2 . |A|=2?0, 故 A?1 存在
A11 A21 A31 ? 4 2 0 A* = A12 A22 A32 = ?13 6 ?1 ,
A13 A23 A33 ? 32 14 ? 2
所以
?2 1 0 1 A* = ? 13 3 ? 1 . A?1 = 2 | A| 2 ?16 7 ?1
a1 a 0 2 (4) (a1a2? ? ?an ?0) . 0 O an
解
a1 0 a 2 A= , 由对角矩阵的性质知 O 0 an
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1 a 1 0 1 a ?1 2 . A = O 1 0 an 12. 解下列矩阵方程: (1) 2 1
5 X = 4 ? 6 ; 2 1 3
解
X = 2 1
5 4 ? 6 = 3 ? 5 4 ? 6 = 2 ? 23 . 3 2 1 ?1 2
2 1 0 8
?1
2 1 ?1 1 ?1 3 (2) X 2 1 0 = 4 3 2 ; 1 ?1 1
解
2 1 ?1 1 ?1 3 2 1 0 X = 4 3 2 1 ?1 1
?1
1 0 1 1 1 ?1 3 ? 2 3 ? 2 = 4 3 2 ? 3 3 0 3
?2 2 1 = ? 8 5 ? 2 . 3 3
(3) 1 4 X 2 0 = 3 1 ; ?1 2 ?1 1 0 ?1
解
X = 1 ?1
4 3 1 2 2 0 ?1 ?1
?1
0 1
?1
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= 1 2 ? 4 3 1 1 0 12 1 1 0 ?1 1 2 = 1 6 12 3 6 1 0 1 0 = 1 1 . 1 2 0 4
0 1 0 1 0 0 1 ? 4 3 (4) 1 0 0 X 0 0 1 = 2 0 ?1 . 0 0 1 0 1 0 1 ? 2 0
解
0 1 0 1 ? 4 3 1 0 0 X = 1 0 0 2 0 ?1 0 0 1 0 0 1 1 ? 2 0 0 1 0
?1
?1
0 1 0 1 ? 4 3 1 0 0 2 ?1 0 = 1 0 0 2 0 ?1 0 0 1
= 1 3 ? 4 . 0 0 1 1 ? 2 0 0 1 0 1 0 ? 2
13. 利用逆矩阵解下列线性方程组: x1 + 2x2 + 3x3 =1 (1) 2x1 +
2x2 + 5x3 = 2 ; 3x1 + 5x2 + x3 = 3
解
方程组可
表
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示为
1 2 3
x1 1 2 2 5 x = 2 , 3 5 1 x2 3
3
故
x1 1 2 3 1 1 x = 2 2 5 2 = 0 , x2
3 5 1 3 0 3
?1
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从而有
x1 =1 x2 = 0 . x3 = 0
x1 ? x2 ? x3 = 2 (2) 2x1 ? x2 ? 3x3 =1 . 3x1 + 2x2 ? 5x3 = 0
解
方程组可表示为
1 ?1 ?1 x1 2 2 ?1 ? 3 x = 1 , 3 2 ? 5 x2
0 3
故
x1 1 ?1 ?1 2 5 x = 2 ?1 ? 3 1 = 0 ,
x2 3 2 ? 5 0 3 3 x1 = 5 x2 =
0 . x3 = 3
?1
故有
14. 设 Ak=O (k 为正整数), 证明(E?A)?1=E+A+A2+? ? ?+Ak?1.
证明 所以
因为 Ak=O , 所以 E?Ak=E. 又因为 E?Ak=(E?A)(E+A+A2+? ? ?+Ak?1),
(E?A)(E+A+A2+? ? ?+Ak?1)=E, (E?A)?1=E+A+A2+? ? ?+Ak?1.
由定理 2 推论知(E?A)可逆, 且
证明
一方面, 有 E=(E?A)?1(E?A).
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另一方面, 由 Ak=O, 有 E=(E?A)+(A?A2)+A2?? ? ??Ak?1+(Ak?1?Ak) =(E+A+A2+? ? ?+A k?1)(E?A), 故 (E?A)?1(E?A)=(E+A+A2+? ? ?+Ak?1)(E?A), (E?A)?1(E?A)=E+A+A2+? ? ?+Ak?1. 15. 设方阵 A 满足 A2?A?2E=O, 证明 A 及 A+2E 都可逆, 并 求 A?1 及(A+2E)?1. 证明 由 A2?A?2E=O 得 A2?A=2E, 即 A(A?E)=2E, 或
A ? 1 ( A ? E) = E , 2
两端同时右乘(E?A)?1, 就有
由定理 2 推论知 A 可逆, 且 A?1 = 1 ( A ? E) . 2 由 A2?A?2E=O 得
A2?A?6E=?4E, 即(A+2E)(A?3E)=?4E,
或
( A + 2E) ? 1 (3E ? A) = E 4
由定理 2 推论知(A+2E)可逆, 且 ( A + 2E)?1 = 1 (3E ? A) . 4 证明 由 A2?A?2E=O 得 A2?A=2E, 两端同时取行列式得
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|A2?A|=2, 即 故 由 |A||A?E|=2, |A|?0, A2?A?2E=O ?A(A?E)=2E ?A?1A(A?E)=2A?1E? A?1 = 1 ( A ? E) , 2 又由 A2?A?2E=O?(A+2E)A?3(A+2E)=?4E ? (A+2E)(A?3E)=?4 E, 所以 (A+2E)?1(A+2E)(A?3E)=?4(A+2 E)?1,
( A + 2E)?1 = 1 (3E ? A) . 4 16. 设 A 为 3 阶矩阵, | A|= 1 , 求|(2A)?1?5A*|. 2
解 因为 A?1 = 1 A* , 所以 | A|
| (2 A)?1 ? 5 A*|=| 1 A?1 ? 5| A| A?1 | =| 1 A?1 ? 5 A?1 | 2 2 2
=|?2A?1|=(?2)3|A?1|=?8|A|?1=?8×2=?16.
所以 A 可逆, 而 A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|2?0, 故 A+2E 也可逆.
矩 17. 设
阵 A 可 逆 , 证 明 其 伴 随 阵 A* 也 可 逆 , 且 (A*)?1=(A?1)*.
证明
A 可逆时, 有 | A| 由 A?1 = 1 A* , 得 A*=|A|A?1, 所以当
|A*|=|A|n|A?1|=|A|n?1?0,
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从而 A*也可逆. 因为 A*=|A|A?1, 所以 (A*)?1=|A|?1A. 又 A = 1?1 ( A?1)*=| A| ( A?1) * , 所以 |A |
(A*)?1=|A|?1A=|A|?1|A|(A?1)*=(A?1)*. 18. 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n?1.
证明
(1)用反证法证明. 假设|A*|?0, 则有 A*(A*)?1=E, 由此得 A=A A*(A*)?1=|A|E(A*)?1=O ,
所以 A*=O, 这与|A*|?0 矛盾，故当|A|=0 时, 有|A*|=0.
A?1 = 1 A* , 则 AA*=|A|E, 取行列式得到 | A| |A||A*|=|A|n. (2)由于
若|A|?0, 则|A*|=|A|n?1; 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n?1.
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0 3 3 19. 设 A = 1 1 0 , AB=A+2B, 求 B. ?1 2 3
解
由 AB=A+2E 可得(A?2E)B=A, 故
? 2 3 3 0 3 3 0 3 3 B = ( A ? 2E)?1 A = 1 ?1 0 1 1 0 =
?1 2 3 . ?1 2 1 ?1 2 3 1 1 0
?1
1 0 1 20. 设 A = 0 2 0 , 且 AB+E=A2+B, 求 B. 1 0 1
解 即
由 AB+E=A2+B 得
(A?E)B=A2?E, (A?E)B=(A?E)(A+E).
0 0 1 因为 | A ? E |= 0 1 0 = ?1? 0 , 所以(A?E)可逆, 从而 1 0 0 2 0 1 B =
A + E = 0 3 0 . 1 0 2 21. 设 A=diag(1, ?2, 1), A*BA=2BA?8E, 求 B.
解
由 A*BA=2BA?8E 得
(A*?2E)BA=?8E, B=?8(A*?2E)?1A?1 =?8[A(A*?2E)]?1 =?8(AA*?2A)?1
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=?8(|A|E?2A)?1 =?8(?2E?2A)?1 =4(E+A)?1 =4[diag(2, ?1, 2)]?1 = 4diag( 1 , ?1,
1 ) 2 2 =2diag(1, ?2, 1).
1 22. 已知矩阵 A 的伴随阵 A* = 0 1 0 0 1 0 ?3 0 0 1 0 0 0 ,
0 8
且 ABA?1=BA?1+3E, 求 B. 解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由 ABA?1=BA?1+3E 得
AB=B+3A, B=3(A?E)?1A=3[A(E?A?1)]?1A = 3(E ? 1 A*)?1 = 6(2E ? A*)?1 2
1 = 6 0 ?1 0
0 1 0 3
0 0 1 0
0 6 0 0 = 0 6 0 6 0 ? 6 0 3
?1
0 0 6 0
0 0 . 0 ?1
23. 设 P?1AP=Λ, 其中 P = ?1 ? 4 , Λ = ?1 0 , 求 A11. 1 1 0 2
解
由 P?1AP=Λ, 得 A=PΛP?1, 所以 A11= A=PΛ11P?1.
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|P|=3, P* = 1 ?1 而
Λ = ?1 0
11 11
4 , P ?1 = 1 1 4
, 1 3 ?1 ?1
0 = ?1 0 , 2 0 211
故
1 4 A11 = ?1 ? 4 ?1 0 3 3 = 2731 2732 . 1
1 0 211 1 1 ? 683 ? 684 ? ? 3 3
?1 1 1 1 1 0 ? 2 , Λ = 1 , 24. 设 AP=PΛ, 其中 P = 1 ?1 1 5
求ϕ(A)=A8(5E?6A+A2). 解
ϕ(Λ)=Λ8(5E?6Λ+Λ2)
=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)?diag(?6,6,30)+diag(1,1,25)]
=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).
ϕ(A)=Pϕ(Λ)P?1
= 1 Pϕ (Λ)P * | P| 1 1 1 1 0 0 ? 2 ? 2 ? 2 = ?2 1 0 ? 2 0 0 0
? 3 0 3 1 ?1 1 0 0 0 ?1 2 ?1 1 1 1 = 4 1 1 1 . 1 1 1 25. 设矩阵 A、B 及 A+B 都可逆, 证明 A?1+B?1 也可逆, 并
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集
求其逆阵. 证明 因为 A?1(A+B)B?1=B?1+A?1=A?1+B?1, 而 A?1(A+B)B?1
是三个可逆矩阵的乘积, 所以 A?1(A+B)B?1 可逆, 即 A?1+B?1 可逆.
(A?1+B?1)?1=[A?1(A+B)B?1]?1=B(A+B)?1A.
1 26. 计算 0 0 0 2 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 3 0
0 3 1 1 2 ? 1 . 0 ? 2 3 0 0 ? 3
解 则 而
设 A1 = 1 2 , A2 = 2 1 , B1 = 3 1 , B2 = ? 2 3 , 0 1 0 3 2 ?1 0 ? 3
A1 E E B1 = A1 A1B1 + B2 , O A O B O A B
2 2 2 2 A1B1 + B2 = 1 0 A2 B2 = 2 0
2 3 1 + ? 2 3 = 5 2 , 1 2 ?1 0 ? 3 2 ? 4
1 ? 2 3 = ? 4 3 , 3 0 ? 3 0 ? 9 2 5 2 1 2 4 , 0 ? 4 3 0 0 ? 9 ?
所以
1 A1 E E B1 = A1 A1B1 + B2 = 0 O A O B O A B 0 2 2 2 2 0 1 0 0 0
2 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 3 0 0 3 1 1 1 2 ?1 = 0 0 ? 2 3 0 0 0 ? 3 0
即
2 5 2 1 2 ? 4 . 0 ? 4 3 0 0 ? 9
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27. 取 A = B = ?C = D = 1 0 解
1 A B= 0 C D ?1 0 0 1 0 ?1 1 0 1 0
0 , 验证 A B ? | A| | B | . 1 C D |C | | D |
0 2 1= 0 0 ?1 1 0
0 2 0 ?1
0 0 1 0
0 0 = 2 0 1 0 =4, 0 0 20 1 1
而 故
| A| | B | 1 1 = =0 , |C | | D | 1 1 A B ? | A| | B | . C D |C | | D |
3 4 O 4 ?3 8 4 28. 设 A = , 求|A |及 A . 2 0 O 2 2
解 则 故
令 A1 =
3 4 , A2 = 2 0 , 4 ? 3 2 2
A O A= 1 , O A 2 A O A8 O A = 1 = 1 8 , O A
O A 2 2
8 8
8 | A8 |=| A18 || A2 |=| A1 |8| A2 |8 =1016 .
54 0 O 4 4 4 A 1 O = 0 5 A = . 4 4 O A2 O 26
04 2 2
29. 设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆, 求
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(1) O A ; B O
?1
C C 解 设 O A = 1 2 , 则 B O C C 3 4
O A C1 C2 = AC3 AC4 = En O . B O C C
BC BC O E 3 4 1 s 2
?1
由此得
AC3 = En C3 = A?1 AC4 = O C4 = O BC = O ? C = O , BC1
= E C1 = B?1 2 s 2
所以
O A = O B ?1 . B O A?1 O
?1
?1
(2) A O . C B
D D 解 设 A O = 1 2 , 则 C B D D 3 4
AD2 En O A O D1 D2 = AD1 C B D D CD
+ BD CD + BD = O E . 3 4 1 3 2 4 s
?1
由此得
D1 = A?1 AD1 = En AD2 = O D = O CD + BD = O ? D2 = ?B?1CA?1 , CD1 + BD3 = E D3 = B?1 2 4 s 4
O A O = A?1 C B ? B ?1CA?1 B?1 .
?1
所以
30. 求下列矩阵的逆阵:
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5 (1) 2 0 0 2 1 0 0 0 0 8 5 0 0 ; 3 2
2 , B = 8 3 , 则 5 2 1
解
设 A= 5 2
A = 5 2
?1
2 = 1 ? 2 , B?1 = 8 5 1 ? 2 5
?1
?1
3 = 2 ? 3 . 2 ? 5 8
?1
于是
5 2 0 0 0 2 1 2
2 1 0 0 0 0 3 1
0 0 8 5
0 1 ? 2 0 0 A ?1 A?1 0 = ? 2 5 0 0 . B = ?1
= 0 3 0 2 ? 3 B 0 0 ? 5 8 2
1 (2) 1 2 1
0 0 . 0 4 0 , B = 3 1 2
?1
解
设 A = 1 1
1 1 2 1 0 2 1 2 0 0 3 1
0 , C = 2 1 4
1 , 则 2
0 ?1 0 = A O = A?1 O 0 C B ? B?1CA?1 B?1
4
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0 0 1 1 1 0 ? 2 2 1 = ? 1 ? 1 2 6 3 1 5 ? ?1 8 24 12 0 0 0 . 1 4
第三章
矩阵的
初等变换与线性方程组
1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:
1 0 2 ?1 (1) 2 0 3 1 ; 3 0 4 ? 3
解
1 0 2 ?1 2 0 3 1 (下一步: r2+(?2)r1, r3+(?3)r1. ) 3 0 4 ? 3
1 0 2 ?1 ~ 0 0 ?1 3 (下一步: r2?(?1), r3?(?2). ) 0 0 ? 2 0 1
: r3?r2. ) 0 0 1 0 0 2 ?1 ~ 0 0 1 ? 3 (下一步
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1 0 2 ?1 ~ 0 0 1 ? 3 (下一步: r3?3. ) 0 0 0 3 1 0 2 ?1 ~
0 0 1 ? 3 (下一步: r2+3r3. ) 0 0 0 1 1 0 2 ?1 ~ 0 0 1 0 (下一步: r1+(?2)r2, r1+r3. ) 0 0 0 1 1 0 0 0 ~ 0 0 1 0 . 0 0 0
1 0 2 ? 3 1 (2) 0 3 ? 4 3 ; 0 4 ? 7 ?1
解
0 2 ? 3 1 0 3 ? 4 3 (下一步: r2×2+(?3)r1, r3+(?2)r1. ) 0 4 ? 7 ?1
: r3+r2, r1+3r2. ) 0 0 ?1 ? 3 0 0 2 ? 3 1 ~ 0 0 1 3 (下一步
2 0 10 ~ 0 0 1 3 (下一步: r1?2. ) 0 0 0 0
0 1 0 5 ~ 0 0 1 3 . 0 0 0 0
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1 (3) 3 2 3 ?1 ?3 ?2 ?3 3 5 3 4 ?4 ?4 ?2 ?2 3 5 3 4 3 1 ; 0
?1 3 1 (下一步: r ?3r , r ?2r , r ?3r . ) 2 1 3 1 4 1 0 ?1
解
1 3 2 3 1 ~ 0 0 0 1 ~ 0 0 0 1 ~ 0 0
0
?1 ?3 ?2 ?3
?4 ?4 ?2 ?2
?1 3 ? 4 3 0 ? 4 8 ? 8 (下一步: r ?(?4), r ?(?3) , r ?(?5). ) 2 3 4 0 ? 3 6 ? 6
0 ? 5 10 ?10 ?1 0 0 0 ?1 0 0 0
3 1 1 1
?4 ?2 ?2 ?2
3 2 (下一步: r ?3r , r ?r , r ?r . ) 1 2 3 2 4 2 2 2
0 2 ? 3 1 ? 2 2 . 0 0 0 0 0 0
2 3 (4) 1 2 3 ?2 2 ?3
1 ? 3 ? 7 0 ? 2 ? 4 . 8 3 0 7 4 3 1 ? 3 ? 7 0 ? 2 ? 4 (下一步: r ?2r , r ?3r , r ?2r . ) 1 2 3 2 4 2 8 3 0 7 4 3
解
2 3 1 2 3 ?2 2 ?3
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0 ?1 1 1 1 ~ 1 2 0 ? 2 ? 4 (下一步: r2+2r1, r3?8r1, r4?7r1. ) 0 ?
8 8 9 12 0 ? 7 7 8 11 0 ~ 1 0 0 1 ~ 0 0 0 1
~ 0 0 0 ?1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 1 0 ? 2 (下一步: r ?r , r ×(?1), r ?r . ) 1 2 2 4 3 1 4 1 4 0 ? 2 ?1 ?1 (下一步: r +r . ) 2 3 1 4 0 0 0 0 1 0 ? 2 3 . 4 0
2 ?1 0
0 2 ?1 0 0
1 0 0 A 0 1 0 = 4 5 6 , 0 1 0 1 0 1 1 2 3 2. 设
求 A. 0 0 1 0 0 1 7 8 9
解
0 1 0 1 0 0 是初等矩阵 E(1, 2), 其逆矩阵就是其本身. 0 0 1
1 0 1 0 1 0 是初等矩阵 E(1, 2(1)), 其逆矩阵是 0 0 1 1 0 ?1 E(1, 2(?1)) = 0 1 0 . 0 0 1
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0 1 0 1 2 3 1 0 ?1 A = 1 0 0 4 5 6 0 1 0 0 0 1
7 8 9 0 0 1 4 5 6 1 0 ?1 4 5 2 = 1 2 3 0 1 0 = 1 2 2 . 7 8 9 0 0 1 7 8 2 3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: 3 2 1 (1) 3 1 5 ; 3 2
3
解
3 2 1 1 0 0 3 2 1 1 0 0 3 1 5 0 1 0 ~ 0 ?1 4 ?1 1 0 3 2 3 0 0 1 0 0 2 ?1 0 1 3 2 0 3/ 2 0 ?1/ 2 3 0 0 7 / 2 2 ? 9 / 2
~ 0 ?1 0 1 1 ? 2 ~ 0 ?1 0 1 1 ? 2 0 0 2 ?1 0 0 0 1 ?1/ 2 0 1/ 2
1
1 0 0 7 / 6 2 / 3 ? 3/ 2 ~ 0 1 0 ?1 ?1 2 0 0 1 ?1/ 2 0 1/ 2 7 2 ? 3 6 3 2 故逆矩阵为 ?1 ?1 2 . 1 ? 0 1 2 2
3 ? 2 0 ?1 (2) 0 2 2 1 . 1 ? 2 ?3 ? 2 0 1 2 1
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3 ? 2 0 ?1 1 0 0 0 0 2 2 1 0 1 0 0 1 ? 2 ? 3 ? 2 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1 ? 2 ? 3 ? 2 0 0 1 0 ~ 0 1 2 1 0 0 0 1 0 4 9 5 1 0 ?3 0
0 2 2 1 0 1 0 0 1 ? 2 ? 3 ? 2 0 0 1 0 ~ 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 ?3 ? 4 0 0 ? 2 ?1 0 1 0 ? 2 1 ? 2 ? 3 ? 2 0 0 1 0 1 ~
0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 ? 3 ? 4 0 0 0 1 2 1 ? 6 ?10 1 ?2 0 0 0 1 0 0 ~ 0 0 10 0 0 0 1 1 ~ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ?1 0 ?1 2 ?1 ? 2 ? 2 1` 0 ?1 ?1 3 6 1 ? 6 ?10
解
1 故逆矩阵为 0 ?1 2
0 1 1 ? 2 ? 4 0 0 1 0 ?1 0 ?1 ?1 3 6 1 2 1 ? 6 ?10 1 ? 2 ? 4 1 0 ?1 . ?1 3 6 1 ? 6 ?10
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4 1 ? 2 1 ? 3 4. (1)设 A = 2 2 1 , B = 2 2 , 求 X 使 AX=B;
3 1 ?1 3 ?1
解
因为
4 1 ? 2 1 ? 3 r 1 0 0 10 2
( A, B) = 2 2 1 2 2 ~ 0 1 0 ?15 ? 3 , 3 1 ?1 3 ?1 0 0 1 12 4
所以
10 2 X = A B = ?15 ? 3 . 12 4
?1
0 2 1 (2)设 A = 2 ?1 3 , B = 1 2 3 , 求 X 使 XA=B. 2 ? 3
? 3 3 ? 4 1
解
考虑 ATXT=BT. 因为
0 2 ? 3 1 2 r 1 0 0 2 ? 4 ( AT , BT ) = 2 ?1 3 2 ? 3 ~ 0 1 0 ?1 7
, 1 3 ? 4 3 1 0 0 1 ?1 4
所以 从而
2 ? 4 X = ( A ) B = ?1 7 , ?1 4
T T ?1 T
X = BA?1 = 2 ?1 ?1 . ? 4 7 4
1 ?1 0 5. 设 A = 0 1 ?1 , AX =2X+A, 求 X. ?1 0 1
解
原方程化为(A?2E)X =A. 因为
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?1 ?1 0 1 ?1 0 ( A ? 2E, A) = 0 ?1 ?1 0 1 ?1 ?1 0 ?1 ?1 0 1
1 0 0 0 1 ?1 ~ 0 1 0 ?1 0 1 , 0 0 1 1 ?1 0
所以
0 1 ?1 X = ( A ? 2E) A = ?1 0 1 . 1 ?1 0
?1
6. 在秩是 r 的矩阵中,有没有等于 0 的 r?1 阶子式? 有没有
等于 0 的 r 阶子式? 解 在秩是 r 的矩阵中, 可能存在等于 0 的 r?1 阶子
可能存在等于 0 的 r 阶子式. 式, 也
1 0 0 0 例如, A = 0 1 0 0 , R(A)=3. 0 0 1 0
0 0 0 0 0 是等于 0 的 2 阶子式, 1 0 0 是等于 0 的 3 阶子式. 0 0 0 1 0 7. 从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B, 问 A, B 的秩的关系怎
样? 解 R(A)?R(B). 这是因为 B 的非零子式必是 A 的非零子式, 故 A 的秩不会 小于 B 的秩.
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8. 求作一个秩是 4 的方阵, 它的两个行向量是 (1, 0, 1, 0, 0), (1, ?1, 0, 0, 0). 解 矩阵:
1 1 1 0 0 0 ?1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 , 0 0
用已知向量容易构成一个有 4 个非零行的 5 阶下三角
此矩阵的秩为 4, 其第 2 行和第 3 行是已知向量.
9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:
3 1 0 2 (1) 1 ?1 2 ?1 ; 1 3 ? 4 4
解
3 1 0 2 1 ?1 2 ?1 (下一步: r1?r2. ) 1 3 ? 4 4 1 ?1 2 ?1 ~ 3 1 0 2 (下一步: r2?3r1, r3?r1. ) 1 3 ? 4 4 1 ?1 2 ?1 ~
0 4 ? 6 5 (下一步: r3?r2. ) 0 4 ? 6 5
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1 ?1 2 ?1 ~ 0 4 ? 6 5 , 0 0 0 0
矩阵的 秩为2 , 3 1 = ?4 是一个最高阶非零子式. 1 ?1
3 2 ?1 ? 3 ?1 (2)
2 ?1 3 1 ? 3 ; 7 0 5 ?1 ? 8
解
3 2 ?1 ? 3 ? 2 2 ?1 3 1 ? 3 (下一步: r1?r2, r2?2r1, r3?7r1. ) 7 0 5
?1 ? 8
1 3 4 1 0 ? 7 ? 4 ? 9 ? 5 (下一步: r ?3r . ) ~ 11 0 ? 21 33 27 ?15 1
3 1 0 ? 7 ? 4 ? 4 ? 5 , ~ 11 9 0 0 0 0 0
3 2
矩阵的秩是 2,
3
2
2 ?1
= ?7 是一个最高阶非零子式.
2 1 8 (3) 2 ? 3 0 3 ?2 5 1 0 3
3 7 7 ? 5 . 8 0 2 0 3 7 7 ? 5 (下一步: r ?2r , r ?2r , r ?3r . ) 1 4 2 4
3 4 8 0 2 0
解
2 1 8 2 ?3 0 3 ?2 5 1 0 3
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0 1 2 ?1 ~ 0 ?3 ?6 3 0 ?2 ?4 2 1 0 3 2 0 ~ 0 0 1 0
~ 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 3 2 0 0 3 7 ? 5 (下一步: r +3r , r +2r . ) 2 1 3 1 0 0
?1 7 0 16 (下一步: r ?16r , r ?16r . ) 2 4 3 2 0 14 2 0 ?1 0 0 2 7 1
0 0 0 7 , 1 0
1 ~ 0 0 0
0 1 0 0
3 2 0 0
2 ?1 0 0
0 7 ?5 矩阵的秩为 3, 5 8 0 = 70 ? 0 是一个最高阶非零子式. 3 2 0 10. 设 A、B 都是 m×n 矩阵, 证明 A~B 的充分必要条件是
R(A)=R(B). 证明 根据定理 3, 必要性是成立的. 充分性. 设 R(A)=R(B), 则 A 与 B 的标准形是相同的. 设 A 与 B 的标准形为 D, 则有 A~D, D~B. 由等
价关系的传递性, 有 A~B.
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1 ? 2 3k 11. 设 A = ?1 2k ? 3 , 问 k 为何值, 可使 k ? 2 3
(1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3.
解
k 1 ? 2 3k r 1 ?1 . A = ?1 2k ? 3 ~ 0 k ?1 k ?1 k ? 2 3
0 0 ? (k ?1)(k + 2)
(1)当 k=1 时, R(A)=1; (2)当 k=?2 且 k?1 时, R(A)=2; (3)当 k?1 且 k??2 时,
R(A)=3. 12. 求解下列齐次线性方程组:
x1 + x2 + 2x3 ? x4 = 0 (1) 2x1 + x2 + x3 ? x4 = 0 ; 2x1 + 2x2 + x3 +
2x4 = 0
解
对系数矩阵 A 进行初等行变换, 有
0 1 1 2 ?1 1 0 ?1 2 1 1 ?1 ~ 0 1 3 ?1 , A= 2 2 1 2 0 0 1 ? 4 / 3 x = 4 x 1 3 4 x2 = ?3x4 , 4x x3 = 4 x = 3
4 x4
于是
故方程组的解为
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4 x1 3 x ? 3 x2 = k 4 (k 为任意常数).
3 x4 3 1
x1 + 2x2 + x3 ? x4 = 0 (2) 3x1 + 6x2 ? x3 ? 3x4 = 0 ; 5x1 +10x2 + x3 ?
5x4 = 0
解
对系数矩阵 A 进行
初等行变换, 有
1 2 1 ?1 1 2 0 ?1 A= 3 6 ?1 ? 3 ~ 0 0 1 0 , 5 10 1 ? 5
0 0 0 0
于是
x1 = ?2x2 + x4 x2 = x2 , x = 0 3 x = x 4 4
x1 ? 2 1 x 1 0 x2 = k1 0 + k2 0 (k1, k2 为任意常数). 3 0 1 x4
故方程组的解为
2x1 + 3x2 ? x3 + 5x4 = 0 3x + x + 2x3 ? 7 x4 = 0 (3) 1 2 ; 4x1 + x2 ? 3x3
+ 6x4 = 0 x ? 2 x + 4 x ? 7 x = 0 1 2 3 4
解 对系数矩阵 A 进行初等行变换, 有
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2 3 A= 3 1 4 1 1 ?2 ?1 5 1 2 ? 7 ~ 0 ? 3 6 0 4 ? 7
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 , 0 1
于是
x1 = 0 x2 = 0 x = 0 , x3 = 0 4
x1 = 0 x2 = 0 x = 0 . x3 = 0 4
故方程组的解为
3x1 + 4x2 ? 5x3 + 7 x4 = 0 2x ? 3x2 + 3x3 ? 2x4 = 0 . (4) 1 4x1 +11x2
?13x3 +16x4 = 0 7 x ? 2x + x + 3x = 0 1 2 3 4
解 对系数矩阵 A 进行初等行变换, 有
3 4 ?5 A= 2 ? 3 3 4 11 ?13 7 ? 2 1
1 7 ? 2 ~ 0 16 3 0 0
0 ?3 17 1 ? 19 17 0 0 0 0
13 17 20 , 17 0 0
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x = 3 x ? 13 x 1 17 3 17 4 19 20 x2 = 17 x3 ? 17 x4 , x = x x3 = x3
4 4
3 ? 13 17 x1 17 x 19 20 x2 = k1 + k2 ? (k1, k2 为任意常数). 3 17 17 1 0 x4
1 0 13. 求解下列非齐次线性方程组:
于是
故方程组的解为
4x1 + 2x2 ? x3 = 2 (1) 3x1 ?1x2 + 2x3 =10 ; 11x1 + 3x2 = 8
解
对增广矩阵 B 进行初等行变换, 有
4 2 ?1 2 1 3 ? 3 ? 8 B= 3 ?1 2 10 ~ 0 ?10 11 34 , 11 3 0 8 0 0 0 ? 6
于是 R(A)=2, 而 R(B)=3, 故方程组无解.
2x + 3 y + z = 4 x ? 2 y + 4z = ?5 (2) ; 3x + 8 y ? 2z =13 4x ? y + 9z = ?6
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解 对增广矩阵 B 进行初等行变换, 有
2 3 1 B= 1 ? 2 4 3 8 ?2 4 ?1 9 4 1 ? 5 ~ 0 13 0 ?
6 0 0 1 0 0 2 ?1 0 0 ?1 2 , 0 0
于是
x = ?2z ?1 y = z + 2 , z = z
即
x ? 2 ?1 y = k 1 + 2 (k 为任意常数). z
1 0
2x + y ? z + w =1
(3) 4x + 2 y ? 2z + w = 2 ; 2x + y ? z ? w =1
解
对增广矩阵 B 进行初等行变换, 有
2 1 ?1 1 1 1 1/ 2 ?1/ 2 0 1/ 2 B= 4 2 ? 2 1 2 ~ 0 0 0 1 0 ,
2 1 ?1 ?1 1 0 0 0 0 0
于是
x = ? 1 y + 1 z + 1 2 2 2 y= y , z = z w = 0
1 1 1 x ? 2 2 2 y 1 + k 0 +
0 (k1, k2 为任意常数). z = k1 2 1 0 w 0
0 0 0
即
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2x + y ? z + w =1 (4) 3x ? 2 y + z ? 3w = 4 . x + 4 y ? 3z + 5w = ?2
解
对增广矩阵 B 进行初等行变换, 有
2 1 ?1 1 1 1 0 ?1/ 7 ?1/ 7 6 / 7 B= 3 ? 2 1 ? 3 4 ~ 0 1 ? 5 / 7 9
/ 7 ? 5 / 7 , 1 4 ? 3 5 ? 2 0 0 0 0 0
于是
x = 1 z + 1 w + 6 7 7 7 5 9 5 y = 7 z ? 7 w? 7 , z = z w = w
1 1 6 7 7 x 7 y 5 = k1
+ k2 ? 9 + ? 5 (k1, k2 为任意常数). z 7 7 w
7 1 0 0 1 0 0
即
14. 写出一个以
2 ? 2 x = c1 ? 3 + c2 4 1 0 0 1
为通解的齐次线性方程组. 解 根据已知, 可得
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x1 2 ? 2 x ? 3 4 x2 = c1 1 + c2 0
, 3 0 1 x4
与此等价地可以写成
x1 = 2c1 ? c2 x2 = ?3c1 + 4c2 , x = c 3 1 x = c 4 2
或 或
x1 = 2x3 ? x4 , x = ?3x + 4x 2 3 4 x1 ? 2x3 + x4 = 0 , x + 3x ? 4x = 0
2 3 4
这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.
15. λ取何值时, 非齐次线性方程组
λx1 + x2 + x3 =1 x1 + λx2 + x3 = λ . x1 + x2 + λx3 = λ2 (1)有唯一解;
; (3)有无穷多个解? (2)无解
λ 1 1 1 B = 1 λ 1 λ 1 1 λ λ2
解
λ λ 1 λ1 1 1?λ λ (1? λ ) . ~ 0 ? 0 0 (1?λ)(2+ λ) (1?λ)(λ +1)
2
r
2
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(1)要使方程组有唯一解, 必须 R(A)=3. 因此当λ?1 且λ??2 时方程组有唯一解. (2)要使方程组无解, 必须 R(A)<R(B), 故 (1?λ)(2+λ)=0, (1?λ)(λ+1)2?0. 因此λ=?2 时, 方程组无解. (3)要使方程组有有无穷多个解, 必须 R(A)=
R(B)<3, 故 (1?λ)(2+λ)=0, (1?λ)(λ+1)2=0. 因此当λ=1 时, 方程组有无穷多个解.
16. 非齐次线性方程组
? 2x1 + x2 + x3 = ?2 x1 ? 2x2 + x3 = λ x1 + x2 ? 2x3 = λ2
当λ取何值时有解,并求出它的解. 解
λ ? 2 1 1 ? 2 1 ? 2 1 B = 1 ? 2 1 λ ~ 0 1 ?1 ? 2 (λ ?1)
. 1 1 ? 2 λ2 3 0 0 0 (λ ?1)(λ + 2)
要使方程组有解, 必须(1?λ)(λ+2)=0, 即λ=1, λ=?2. 当λ=1 时,
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? 2 1 1 ? 2 1 0 ?1 1 B = 1 ? 2 1 1 ~ 0 1 ?1 0 , 1 1 ? 2
1 0 0 0 0
方程组解为
x = x +1 x1 = x3 +1 或 x1 = x3 , x = x 2 3 2 3 x3 = x3
即
x1 1 1 x = k 1 + 0 (k 为任意常数). x2
1 0 3
, 当λ=?2 时
? 2 1 1 ? 2 1 0 ?1 2 B = 1 ? 2 1 ? 2 ~ 0 1 ?1 2 , 1 1 ? 2
4 0 0 0 0
方程组解为
x = x + 2 x1 = x3 + 2 或 x1 = x3 + 2 , x = x + 2 2 3 2 3 x3 = x3
即
x1 1 2 x = k 1 + 2 (k 为任意常数). x2
1 0 3 (2 ? λ ) x1 + 2x2 ? 2x3 =1 17. 设 2x1 + (5 ? λ ) x2 ? 4x3 = 2 . ? 2x1 ? 4x2 + (5 ? λ ) x3 = ?λ ?1
问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有
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无穷多解时求解. 解
2 ?2 1 2?λ 2 5?λ ? 4 B= 2 ? 2 ? 4 5 ? λ ? λ ?1 ?4 2 2 5?λ
0 1? λ . ~ 1? λ 1? λ 0 0 (1? λ )(10 ? λ ) (1? λ )(4 ? λ )
要使方程组有唯一解, 必须 R(A)=R(B)=3, 即必须
(1?λ)(10?λ)?0,
所以当λ?1 且λ?10 时, 方程组有唯一解. 要使方程组无解, 必须 R(A)<R(B), 即必须
(1?λ)(10?λ)=0 且(1?λ)(4?λ)?0,
, 方程组无解. 要使方程组有无穷多解, 必须 R(A)=R(B)<3, 所以当λ=10 时
即必须
(1?λ)(10?λ)=0 且(1?λ)(4?λ)=0,
所以当λ=1 时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为
1 2 ? 2 1 B~ 0 0 0 0 , 0 0 0 0
方程组的解为
x1 = ? x2 + x3 +1 , x2 = x2 x3 = x3
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或
x1 ? 2 2 1 x = k 1 + k 0 + 0 (k1, k2
为任意常数). x2 1 0 2 1 0 3
18. 证明 R(A)=1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非
零行向量 bT, 使 A=abT. 证明 必要性. 由 R(A)=1 知 A 的标准形为
1 0 ??? 0 0 0 ? ?? 0 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 0 1 0 = 0 (1, 0, ???, 0) , ??? ??? 0 0
Q, 使 即存在可逆矩阵 P 和
1 1 0 PAQ = (1, 0, ???, 0) , 或 A = P?1 0 (1, 0, ???, 0)Q?1 . ? ?? ??? 0 0 1 令 a = P?1 0 , bT=(1, 0, ???, 0)Q?1, 则 a 是非零列向量, bT 是非 ??? 0
零行向量, 且 A=abT. 充分性. 因为 a 与 bT 是都是非零向量, 所以 A 是非零矩阵, 从而 R(A)?1. 因为
1?R(A)=R(abT)?min{R(a), R(bT)}=min{1, 1}=1,
所以 R(A)=1.
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19. 设 A 为 m×n 矩阵, 证明 (1)方程 AX=Em 有解的充分必要条件是 R(A)=m; 证明 由定理 7, 方程 AX=Em 有解的充分必要条件是 R(A)=R(A, Em), 而| Em|是矩阵(A, Em)的最高阶非零子式, 故 R(A)=R(A, Em)=m. 因此, 方程 AX=Em 有解的充分必要条件是 R(A)=m. (2)方程 YA=En 有解的充分必要条件是 R(A)=n. 证明 注意, 方程 YA=En 有解的充分必要条件是 ATYT=En 有解. 由(1) ATYT=En 有解的充分必要条件是 R(AT)=n. 因此，方 程 YA=En 有解的充分必要条件是 R(A)=R(AT)=n. 20. 设 A 为 m×n 矩阵, 证明: 若 AX=AY, 且 R(A)=n, 则 X=Y. 证明 由 AX=AY, 得 A(X?Y)=O. 因为 R(A)=n, 由定理 9, 方 程 A(X?Y)=O 只有零解, 即 X?Y=O, 也就是 X=Y.
第四章
向量组的线性相关性
1. 设 v1=(1, 1, 0)T, v2=(0, 1, 1)T, v3=(3, 4, 0)T, 求 v1?v2 及 3v1+2v2?v3.
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解 v1?v2=(1, 1, 0)T?(0, 1, 1)T =(1?0, 1?1, 0?1)T =(1, 0, ?1)T. 3v1+2v2?v3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T ?(3, 4, 0)T =(3×1+2×0?3, 3×1+2×1?4, 3×0+2×1?0)T =(0, 1, 2)T. 2. 设 3(a1?a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求 a, 其中 a1=(2, 5, 1, 3)T, a2=(10, 1, 5, 10)T,
a3=(4, 1, ?1, 1)T. 解 由 3(a1?a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得
a = 1 (3a1 + 2a2 ? 5a3) 6 = 1 [3(2, 5, 1, 3)T + 2(10, 1, 5, 10)T ? 5(4, 1, ?1, 1)T ] 6 =(1, 2, 3, 4)T. 3. 已知向量组
A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T; B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, ?2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 证明 B 组能由 A 组线性表示, 但 A 组不能由 B 组线
性表示. 证明 由
0 ( A, B) = 1 2 3 3 0 1 2 2 3 0 1 2 0 4 1 r 1 ? 2 4 ~ 0 1 1
0 2 1 3 0 0 3 1 ? 2 4 3 2 2 0 4 1 ? 6 ?1 5 ? 7 2 ? 8 ?1 7 ? 1
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1 ~ 0 0 0
r
0 3 1 ?6 0 20 0 4
1 ? 2 4 1 r ?1 5 ? 7 ~ 0 5 ?15 25 0 1 ? 3 5 0
0 3 1 ? 2 4 1 ? 6 ?1 5 ? 7 0 4 1 ? 3 5 0 0 0 0 0
知 R(A)=R(A, B)=3, 所以 B 组能由 A 组线性表示. 由
2 0 4 1 0 2 1 r r B = 1 ? 2 4 ~ 0 ? 2 2 ~ 0 1 1 1 0 1 ?1 0 2 1 3 0 1 ?1 0 0 1 0 0 2 ?1 0 0
知 R(B)=2. 因为 R(B)?R(B, A), 所以 A 组不能由 B 组线性表示.
4. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T; B: b1=(?1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, ?1)T,
B 组等价. 证明 由 证明 A 组与
?1 1 3 0 1 r ?1 1 3 0 1 r ?1 1 3 0 1 (B, A) = 0 2 2 1 1 ~ 0 2 2 1 1 ~ 0 2 2 1 1 , 1 1 ?1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 0
知 R(B)=R(B, A)=2. 显然在 A 中有二阶非零子式, 故 R(A)?2, 又
R(A)?R(B, A)=2, 所以 R(A)=2, 从而 R(A)=R(B)=R(A, B). 因此 A
组与 B 组等价.
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5. 已知 R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 证明 (1) a1 能由 a2, a3 线性表示; (2) a4 不能由 a1, a2, a3 线性表示. 证明 (1)由 R(a2, a3, a4)=3 知 a2, a3, a4 线性无关, 故 a2, a3 也线性无关. 又由 R(a1, a2, a3)=2 知 a1, a2, a3 线性相关, 故 a1 能 由 a2, a3 线性表示. (2)假如 a4 能由 a1, a2, a3 线性表示, 则因为 a1 能由 a2, a3 线 性表示, 故 a4 能由 a2, a3 线性表示, 从而 a2, a3, a4 线性相关, 矛 盾. 因此 a4 不能由 a1, a2, a3 线性表示. 6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (?1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T; (2) (2, 3, 0)T, (?1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T.
解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为 A. 因为
?1 2 1 r ?1 2 1 r ?1 2 1 A = 3 1 4 ~ 0 7 7 ~ 0 1 1 ,
1 0 1 0 2 2 0 0 0
从而所给向量组线性相关. 所以 R(A)=2 小于向量的个数,
(2)以所给向量为列向量的矩阵记为 B. 因为 2 ?1 0 | B |= 3 4 0 = 22 ? 0 , 0 0 2
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所以 R(B)=3 等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关. 7. 问 a 取什么值时下列向量组线性相关, a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, ?1)T, a3=(1, ?1, a)T. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为 A. 由
a 1 1 | A|= 1 a ?1 = a(a ?1)(a +1) 1 ?1 a
知, 当 a=?1、0、1 时, R(A)<3, 此时向量组线性相关.
8. 设 a1, a2 线性无关, a1+b, a2+b 线性相关, 求向量 b 用 a1, a2
线性表示的表示式. 解 使 因为 a1+b, a2+b 线性相关, 故存
在不全为零的数λ1, λ2
由此得 设c=?
λ1(a1+b)+λ2(a2+b)=0, λ λ λ λ b = ? 1 a1 ? 2 a2 = ? 1 a1 ? (1? 1 )a2 , λ1 + λ2 λ1 +
λ2 λ1 + λ2 λ1 + λ2
λ1 , 则 λ1 + λ2
b=ca1?(1+c)a2, c?R.
9. 设 a1, a2 线性相关, b1, b2 也线性相关, 问 a1+b1, a2+b2 是否
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一定线性相关,试举例说明之. 解 不一定. a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T,
a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T, 而 a1+b1, a2+b2 的对应分量不成比例, 是线性无关的. 10. 举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组 a1, a2, ? ? ?, am 是线性相关的, 则 a1 可由 a2, ? ? ?, am 线性表示. 解 设 a1=e1=(1, 0, 0, ? ? ?, 0), a2=a3= ? ? ? =am=0, 则 a1, a2, ? ? ?, am 线性相关, 但 a1 不能由 a2, ? ? ?, am 线性表示. (2)若有不全为 0 的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使 例如, 当 a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(?1, ?1)T, b2=(0, 0)T 时, 有
λ1a1+ ? ? ? +λmam+λ1b1+ ? ? ? +λmbm=0
成立, 则 a1, a2, ? ? ?, am 线性相关, b1, b2, ? ? ?, bm 亦线性相关. 解 有
?, λm 使 不全为零的数λ1, λ2, ? ?
λ1a1+ ? ? ? +λmam +λ1b1+ ? ? ? +λmbm =0,
原式可化为
λ1(a1+b1)+ ? ? ? +λm(am+bm)=0.
取 a1=e1=?b1, a2=e2=?b2, ? ? ?, am=em=?bm, 其中 e1, e2, ? ? ?, em 为单位坐标向量, 则上式成立, 而 a1, a2, ? ? ?, am 和 b1, b2, ? ? ?, bm
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均线性无关. (3)若只有当λ1, λ2, ? ? ?, λm 全为 0 时, 等式
λ1a1+ ? ? ? +λmam+λ1b1+ ? ? ? +λmbm=0
才能成立, 则 a1, a2, ? ? ?, am 线性无关, b1, b2, ? ? ?, bm 亦线性无关. 解 由于只有当λ1, λ2, ? ? ?, λm 全为 0 时, 等式 由λ1a1+ ? ? ? +λmam+λ1b1+ ? ? ? +λmbm =0 成立, 所以只有当λ1, λ2, ? ? ?, λm 全为 0 时, 等式
λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+ ? ? ? +λm(am+bm)=0
成立. 因此 a1+b1, a2+b2, ? ? ?, am+bm 线性无关. 取 a1=a2= ? ? ? =am=0, 取 b1, ? ? ?, bm 为线性无关组, 则它们满 足以上条件, 但 a1, a2, ? ? ?, am
a1, a2, ? ? ?, am 线性相关, b1, b2, ? ? ?, bm 亦线性相关, 则 线性相关. (4)若
有不全为 0 的数, λ1, λ2, ? ? ?, λm 使
λ1a1+ ? ? ? +λmam=0, λ1b1+ ? ? ? +λmbm=0
同时成立. 解 a1=(1, 0)T, a2=(2, 0)T, b1=(0, 3)T, b2=(0, 4)T,
λ1a1+λ2a2 =0?λ1=?2λ2, λ1b1+λ2b2 =0?λ1=?(3/4)λ2,
?λ1=λ2=0, 与题设矛盾.
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11. 设 b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组 b1, b2, b3, b4 线性相关. 证明
于是 由已知条件得 a1=b1?a2, a2=b2?a3, a3=b3?a4, a4=b4?a1, a1 =b1?b2+a3
=b1?b2+b3?a4 =b1?b2+b3?b4+a1, 从而 b1?b2+b3?b4=0, 这说明向量组 b1, b2, b3, b4 线性相关. 12. 设 b1=a1, b2=a1+a2, ? ? ?, br =a1+a2+ ? ? ? +ar, 且向量组 a1, a2, ? ? ? , ar 线性无关, 证明向量组 b1, b2, ? ? ? , br 线性无关. 证明 已知的 r 个等式可以写成
1 (b1, b2, ? ? ? , br ) = (a1, a2, ? ? ? , ar ) 0 ??? 0 1 1 ??? 0 ?
? ?? ? ?? ? ?? ? 1 1 , ??? 1 ?
上式记为 B=AK. 因为|K|=1?0, K 可逆, 所以 R(B)=R(A)=r, 从而 向量组 b1, b2, ? ? ? , br 线性无关.
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13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a1=(1, 2, ?1, 4)T, a2=(9, 100, 10, 4)T, a3=(?2, ?4, 2, ?8)T; 解 由
1 9 ? 2 1 9 ? 2 1 9 ? 2 r r (a1, a2, a3) = 2 100 ?
4 ~ 0 82 0 ~ 0 1 0 , 0 19 0 0 0 0 ?1 10 2 4 4 ? 8 0 ? 32 0 0 0 0
知 R(a1, a2, a3)=2. 因为向量 a1 与 a2 的分量不成比例, 故 a1, a2 线性无关,
所以 a1, a2 是一个最大无关组.
(2)a1T=(1, 2, 1, 3), a2T=(4, ?1, ?5, ?6), a3T=(1, ?3, ?4, ?7).
解
由
1 (a1, a2, a3) = 2 1 3 4 1 1 4 1 1 r r ?1 ? 3 ~ 0 ? 9 ? 5 ~ 0 ? 5 ? 4 0 ? 9 ? 5 0 ? 6 ? 7 0 ?18 ?10 0
4 1 ? 9 ? 5 , 0 0 0 0
知 R(a1T, a2T, a3T)=R(a1, a2, a3)=2. 因为向量 a1T 与 a2T 的分量不成 比例,
a1T, a2T 是一个最大无关组. 故 a1T, a2T 线性无关, 所以
14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无
关组:
25 (1) 75 75 25 31 94 94 32 17 53 54 20 43 132 ; 134 48
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解 因为
25 75 75 25
1 (2) 0 2 1
31 94 94 32
17 53 54 20
43 r2 ?3r1 25 ?3 132 r3~r1 0 134 r4 ?r1 0 0 48
1 ?1 . 3 ?1
31 17 1 2 1 3 1 3
43 25 r4 ?r3 0 3 ~ 5 r3 ?r2 0 0 5
31 17 1 2 0 1 0 0
43 3 , 3 0
所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组.
1 2 0 1 2 1 3 0 2 5 ?1 4
解
1 0 2 1 1 2 0 1
因为
2 1 3 0 2 5 ?1 4 1 1 ?2 ?1 r3~r1 0 3 r4 ?r1 0 0 ?1 1 2
?2 0 2 1 ?1 ?2 2 5 ?5 2 1 1 +r ?1 r3~2 0 1 r3 ?r4 0 0 ? 2
1 2 0 0 2 1 ?2 0 2 5 2 0 1 ?1 , ? 2 0
所以第 1、2、3 列构成一个最大
无关组.
15. 设向量组 (a, 3, 1)T, (2, b, 3)T, (1, 2, 1)T, (2, 3, 1)T
的秩为 2, 求 a, b. 解 因为 设 a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2,
3, 1)T.
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1 3 r 1 1 1 3 1 2 a 2 r 1 1 (a3, a4, a1, a2) = 2 3 3 b ~ 0 1 a
?1 ?1 ~ 0 1 a ?1 ?1 , 1 1 1 3 0 1 1 b ? 6 0 0 2 ? a b ? 5
而 R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以 a=2, b=5.
16. 设 a1, a2, ? ? ?, an 是一组 n 维向量, 已知 n 维单位坐标向 量 e1, e2,?
? ?, en 能由它们线性表示, 证明 a1, a2, ? ? ?, an 线性无关. 证法一 记 A=(a1, a2, ? ? ?, an), E=(e1, e2,? ? ?, en). 由已知条件 知, 存在矩阵 K, 使 E=AK. 两边取行列式, 得 |E|=|A||K|. 可见|A|?0, 所以 R(A)=n, 从而 a1, a2, ? ? ?, an
因为 e1, e2,? ? ?, en 能由 a1, a2, ? ? ?, an 线性表示, 所线性无关. 证法二
以 R(e1, e2,? ? ?, en)?R(a1, a2, ? ? ?, an), 而 R(e1, e2,? ? ?, en)=n, R(a1, a2, ? ? ?, an)?n, 所以 R(a1, a2, ? ? ?, an)=n, 从而 a1, a2, ? ? ?, an 线性无关.
17. 设 a1, a2, ? ? ?, an 是一组 n 维向量, 证明它们线性无关的 充分必要条
n 维向量都可由它们线性表示. 件是: 任一
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证明 必要性: 设 a 为任一 n 维向量. 因为 a1, a2, ? ? ?, an 线
性无关, 而 a1, a2, ? ? ?, an, a 是 n+1 个 n 维向量, 是线性相关的, 所以 a 能由 a1, a2, ? ? ?, an 线性表示, 且表示式是唯一的. 充分性: 已知任一 n 维向量都可由 a1, a2, ? ? ?, an 线性表示, 故单位坐标向量组 e1, e2, ? ? ?, en 能由 a1, a2, ? ? ?, an 线性表示, 于 是有 n=R(e1, e2, ? ? ?, en)?R(a1, a2, ? ? ?, an)?n, 即 R(a1, a2, ? ? ?, an)=n, 所以 a1, a2, ? ? ?, an 线性无关.
18. 设向量组 a1, a2, ? ? ?, am 线性相关, 且 a1?0, 证明存在某 个向量 ak (2?k?m), 使 ak 能由 a1, a2, ? ? ?, ak?1 线性表示. 证明 因为 a1, a2, ? ? ?,
, 所以存在不全为零的 数λ1, λ2, ? ? ?, λm, 使 am 线性相关
λ1a1+λ2a2+ ? ? ? +λmam=0,
而且λ2, λ3,? ? ?, λm 不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a1=0, 由 a1?0 知λ1=0, 矛盾. 因此存在 k(2?k?m), 使
λk?0, λk+1=λk+2= ? ? ? =λm=0,
于是
λ1a1+λ2a2+ ? ? ? +λkak=0, ak=?(1/λk)(λ1a1+λ2a2+ ? ? ? +λk?1ak?1),
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即 ak 能由 a1, a2, ? ? ?, ak?1 线性表示.
19. 设向量组 B: b1, ?
? ?, br 能由向量组 A: a1, ? ? ?, as 线性表示 为 (b1, ? ? ?, br)=(a1, ? ? ?, as)K, 其中 K 为 s×r 矩阵, 且 A 组线性无关. 证明 B 组线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 R(K)=r. 证明 令 B=(b1, ? ? ?, br), A=(a1, ? ? ?, as), 则有 B=AK. 必要性: 设向量组 B 线性无关. 由向量组 B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r=R(B)=R(AK)?min{R(A), R(K)}?R(K), 及 因此 R(K)=r. R(K)?min{r,
s}?r.
: 因为 R(K)=r, 所以存在可逆矩阵 C, 使 KC = r O E 充分性
为 K 的标准形. 于是 (b1, ? ? ?, br)C=( a1, ? ? ?, as)KC=(a1, ? ? ?, ar). 因为 C 可逆, 所以 R(b1, ? ? ?, br)=R(a1, ? ? ?, ar)=r, 从而 b1, ? ? ?, br 线性无关.
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20. 设
α 2 + α 3 + ? ? ? +α n β1 = β 2 =α1 + α + ? ? ? +α ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?n , ? β =α +α +α + ? ? ? +α n 1 2 3 n ?1
证明向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 等价. 证明 将已知关系写成
0 1 (β1, β 2, ? ? ? , β n ) = (α1, α 2, ? ? ? , α n ) 1 ?? ? 1 1 0 1 ??? 1 1 1 0 ? ?? 1 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 1 1 1 , ??? 0
将上式记为 B=AK. 因为
? 1 1 0 1 ??? 1 1 1 0 ? ?? 1 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 1 1 0 1 | K |= 1 ??
1 = (?1)n?1(n ?1) ? 0 , ??? 0
所以 K 可逆, 故有 A=BK ?1. 由 B=AK 和 A=BK ?1 可知向量组α1,
α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 可相互线性表示. 因此向量组 α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 等价.
21. 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 x 满足 A3x=3Ax?A2x, 且
向量组 x, Ax, A2x 线性无关.
P=(x, Ax, A2x), 求 3 阶矩阵 B, 使 AP=PB; (1)记
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解 因为 AP=A(x, Ax, A2x) =(Ax, A2x, A3x) =(Ax, A2x, 3Ax?A2x)
0 0 0 = ( x, Ax, A2 x) 1 0 3 , 0 1 ?1 0 0 0 所以 B = 1 0 3 . 0 1 ?1 (2)求|A|.
解
由 A3x=3Ax?A2x, 得 A(3x?Ax?A2x)=0. 因为 x, Ax, A2x
线性无关 , 故 3x?Ax?A2x?0, 即方程 Ax=0 有非零解 , 所以
R(A)<3, |A|=0. 22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:
x1 ? 8x2 +10x3 + 2x4 = 0 (1) 2x1 + 4x2 + 5x3 ? x4 = 0 ; 3x1 + 8x2 +
6x3 ? 2x4 = 0
解
对系数矩阵进行初等行变换, 有
0 1 ? 8 10 2 r 1 0 4 A = 2 4 5 ?1 ~ 0 1 ? 3/ 4 ?1/ 4 , 3 8
6 ? 2 0 0 0 0
于是
得
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x1 = ?4x3 x = (3/ 4) x + (1/ 4) x . 2 3 4
取(x3, x4)T=(4, 0)T, 得(x1, x2)T=(?16, 3)T; 取(x3, x4)T=(0, 4)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T. 因此方程组的基础解系为
ξ1=(?16, 3, 4, 0)T, ξ2=(0, 1, 0, 4)T.
2x1 ? 3x2 ? 2x3 + x4 = 0 (2) 3x1 + 5x2 + 4x3 ? 2x4 = 0 . 8x1 + 7 x2 + 6x3 ? 3x4 = 0
解
对系数矩阵进行初等行变换, 有
2 ? 3 ? 2 1 r 1 0 2 /19 ?1/19 A = 3 5 4 ? 2 ~ 0 1 14 /19 ? 7 /19
, 8 7 6 ? 3 0 0 0 0
于是得
x1 = ?(2 /19)x3 + (1/19) x4 . x = ?(14 /19) x + (7 /19)x 2 3 4
取(x3, x4)T=(19, 0)T, 得(x1, x2)T=(?2, 14)T; 取(x3, x4)T=(0, 19)T, 得(x1, x2)T=(1, 7)T. 因此方程组的基础解系为
ξ1=(?2, 14, 19, 0)T, ξ2=(1, 7, 0, 19)T.
(3)nx1 +(n?1)x2+ ? ? ? +2xn?1+xn=0.
解
原方程组即为
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xn=?nx1?(n?1)x2? ? ? ? ?2xn?1. 取 x1=1, x2=x3= ? ? ? =xn?1=0, 得 xn=?n; 取 x2=1, x1=x3=x4= ? ? ? =xn?1=0, 得 xn=?(n?1)=?n+1; ???; 取 xn?1=1, x1=x2= ? ? ? =xn?2=0, 得 xn=?2. 因此方程组的基础解系为
ξ1=(1, 0, 0, ? ? ?, 0, ?n)T, ξ2=(0, 1, 0, ? ? ?, 0, ?n+1)T,
? ? ?,
ξn?1=(0, 0, 0, ? ? ?, 1, ?2)T.
23. 设 A = 2 ? 2 1 3 , 求一个 4×2 矩阵 B, 使 AB=0, 且 9 ? 5 2 8
R(B)=2.
解
显然 B 的两个列向量应是方程组 AB=0 的两个线性无
r
关的解. 因为
A = 2 ? 2 1 3 ~ 1 0 ?1/ 8 1/ 8 , 9 ? 5 2 8 0 1 ? 5 / 8 ?11/ 8
所以与方程组 AB=0 同解方程组为
x1 = (1/ 8) x3 ? (1/ 8) x4 . x = (5 / 8) x + (11/ 8)x 2 3 4
取(x3, x4)T=(8, 0)T, 得(x1, x2)T=(1, 5)T;
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取(x3, x4)T=(0, 8)T, 得(x1, x2)T=(?1, 11)T. 方程组 AB=0 的基础解系为
ξ1=(1, 5, 8, 0)T, ξ2=(?1, 11, 0, 8)T.
1 因此所求矩阵为 B = 5 8 0 ?1 11 . 0 8
24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为
ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .
解 显然原方程组的通解为
x1 0 x1 = 3k2 3 x 1 2 x = k + 2k x2 =
x2 = 21k + k2 , (k1, k2?R), 3 3 0 k1 2 + k2 1 , 即
x3 = 3k1 2 4 1 x4
消去 k1, k2 得
2x1 ? 3x2 + x4 = 0 , x ? 3x + 2x = 0 1 3 4
此即所求的齐次线性方程组.
25. 设四元齐次线性方程组
x + x =0 x ? x + x = 0 I: 1 2 x ? x = 0 , II: x1 ? x2 +
x3 = 0 . 2 4 2 3 4
求: (1)方程 I 与 II 的基础解系; (2) I 与 II 的公共解.
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解
x = ?x (1)由方程 I 得 1 x = x 4 . 2 4
取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 0)T; 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(?1, 1)T. 因此方程 I 的基础解系为
ξ1=(0, 0, 1, 0)T, ξ2=(?1, 1, 0, 1)T.
x = ? x4 由方程 II 得 1 x = x ? x . 2 3 4
取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T; 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(?1,
II 的基础解系为 ?1)T. 因此方程
ξ1=(0, 1, 1, 0)T, ξ2=(?1, ?1, 0, 1)T.
(2) I 与 II 的公共解就是方程
x1 + x2 = 0 x ? x = 0 III: 2 4 x ? x + x =0 x1 ? x2 + x3 = 0 2 3 4
的解. 因为方程组 III 的系数矩阵
1 A= 0 1 0 1 1 ?1 1 0 0 1 ?1 0 1 r ?1 ~ 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 ?1 , 1 ? 2 0 0
所以与方程组 III 同解的方程组为
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x1 = ? x4 x2 = x4 . x3 = 2x4
取 x4=1, 得(x1, x2, x3)T=(?1, 1, 2)T, 方程组 III 的基础解系为
ξ=(?1, 1, 2, 1)T.
因此 I 与 II 的公共解为 x=c(?1, 1, 2, 1)T, c?R.
26. 设 n 阶矩阵 A 满足 A2=A, E 为 n 阶单位矩阵, 证明
R(A)+R(A?E)=n. 证明 因为 A(A?E)=A2?A=A?A=0, 所以 R(A)+R(A?E)?n. 又 R(A?E)=R(E?A), 可知 R(A)+R(A?E)=R(A)+R(E?A)?R(A+E?A)=R(E)=n, 由此 R(A)+R(A?E)=n.
A 为 n 阶矩阵(n?2), A*为 A 的伴随阵, 证明 27. 设
n R( A*) = 1 0
证明
当R( A) = n 当R( A) = n ?1 . 当R( A) ? n ? 2
当 R(A)=n 时, |A|?0, 故有
|AA*|=||A|E|=|A|?0, |A*|?0,
, |A|=0, 故有 AA*=|A|E=0, 所以 R(A*)=n. 当 R(A)=n?1 时
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即 A*的列向量都是方程组 Ax=0 的解. 因为 R(A)=n?1, 所以方 程组 Ax=0 的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为 1. 因此 R(A*)=1. 当 R(A)?n?2 时, A 中每个元素的代数余子式都为 0, 故 A*=O, 从而 R(A*)=0. 28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程 组的基础解系:
x1 + x2 = 5 (1) 2x1 + x2 + x3 + 2x4 =1 ; 5x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 = 3
解
对增广矩阵进行初等行变换, 有
1 1 0 0 5 r 1 0 1 0 ? 8 B = 2 1 1 2 1 ~ 0 1 ?1 0 13 . 5 3 2 2
0 0 0 1 2 3
与所给方程组同解的方程为
x1 = ? x3 ? 8 x2 = x3 +13 . x4 = 2
当 x3=0 时, 得所给方程组的一个解η=(?8, 13, 0, 2)T. 与对应的齐次方程组同解的方程为
x1 = ? x3 x2 = x3 . x4 = 0
成都
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当 x3=1 时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(?1, 1, 1, 0)T.
x1 ? 5x2 + 2x3 ? 3x4 =11 (2) 5x1 + 3x2 + 6x3 ? x4 = ?1 . 2x1 + 4x2 +
2x3 + x4 = ?6
解
对增广矩阵进行初等行变换, 有
1 ? 5 2 ? 3 11 r 1 0 9 / 7 ?1/ 2 1 B = 5 3 6 ?1 ?1 ~ 0 1 ?1/ 7 1/
2 ? 2 . 2 4 2 1 ? 6 0 0 0 0 0
与所给方程组同解的方程为
x1 = ?(9 / 7) x3 + (1/ 2) x4 +1. x = (1/7)x ? (1/ 2)x ? 2 2 3 4
当 x3=x4=0 时, 得所给方程组的一个解
η=(1, ?2, 0, 0)T.
与对应的齐次方程组同解的方程为
x1 = ?(9 / 7) x3 + (1/ 2) x4 . x = (1/7)x ? (1/ 2) x 2 3 4
分别取(x3, x4)T=(1, 0)T, (0, 1)T, 得对应的齐次方程组的基础 解系
ξ1=(?9, 1, 7, 0)T. ξ2=(1, ?1, 0, 2)T.
29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3, 已知
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η1, η2, η3 是它的三个解向量. 且 η1=(2, 3, 4, 5)T, η2+η3=(1, 2, 3, 4)T,
求该方程组的通解. 解 由于方程组中未知数的个数是 4, 系数矩阵的秩为 3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于
η1, η2, η3 均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质
得 2η1?(η2+η3)=(η1?η2)+(η1?η3)= (3, 4, 5, 6)T 为其基础解系向量, 故此方程组的通解: x=k(3, 4, 5, 6)T+(2, 3, 4, 5)T, (k?R). 30. 设有向量组 A: a1=(α, 2, 10)T,
a2=(?2, 1, 5)T, a3=(?1, 1, 4)T, 及 b=(1, β, ?1)T, 问α, β为何值时 (1)向量 b 不能由向量组 A 线性表示; (2)向量 b 能由向量组 A 线性表示, 且表示式唯一; (3)向量 b 能由向量组 A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求 一般表示式. 解
1 ?1 ? 2 α 1 r ?1 ? 2 α 1 1 2 β ~ 0 ?1 1+α β +1 . (a3, a2, a1,
b) = 4 5 10 ?1 0 0 4 +α ? 3β
(1)当α=?4, β?0 时, R(A)?R(A, b), 此时向量 b 不能由向量组 A 线性表示.
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(2)当α??4 时, R(A)=R(A, b)=3, 此时向量组 a1, a2, a3 线性无 关, 而向量组 a1, a2, a3, b 线性相关, 故向量 b 能由向量组 A 线性 表示, 且表示式唯一. (3)当α=?4, β=0 时, R(A)=R(A, b)=2, 此时向量 b 能由向量组 A 线性表示, 且表示式不唯一. 当α=?4, β=0 时,
?1 ? 2 ? 4 1 r 1 0 ? 2 1 (a3, a2, a1, b) = 1 1 2 0 ~ 0 1 3 ?1 ,
4 5 10 ?1 0 0 0 0
方程组(a3, a2, a1)x=b 的解为
x1 2 1 2c +1 x
= c ? 3 + ?1 = ? 3c ?1 , c?R. x2 1 0 c
3
因此 即
b=(2c+1)a3+(?3c?1)a2+ca1, b= ca1+(?3c?1)a2+(2c+1)a3, c?R.
31. 设 a=(a1, a2, a3)T, b=(b1, b2, b3)T, c=(c1, c2, c3)T, 证明三直
线
l1: a1x+b1y+c1=0, l2: a2x+b2y+c2=0, (ai2+bi2?0, i=1, 2, 3) l3: a3x+b3y+c3=0,
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相交于一点的充分必要条件为: 向量组 a, b 线性无关, 且向量 组 a, b, c 线性相关. 证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组
a1x + b1 y + c1 = 0 a1x + b1 y = ?c1 a2 x + b2 y + c2 = 0 , 即 a2 x + b2 y = ?c2 a3 x + b3 y + c3 = 0 a3 x + b3 y = ?c3
有唯一解. 上述方程组可写为 xa+yb=?c. 因此三直线相交于一 点的充分必要条件为 c 能由 a, b 唯一线性表示, 而 c 能由 a, b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组 a, b 线性无关, 且向量 组 a, b, c 线性相关.
32. 设矩阵 A=(a1, a2, a3, a4), 其中 a2, a3, a4 线性无关 ,
. 解 解. 由 a1=2a2? a1=2a2? a3. 向量 b=a1+a2+a3+a4, 求方程 Ax=b 的通解
a3 得 a1?2a2+a3=0, 知ξ=(1, ?2, 1, 0)T 是 Ax=0 的 一个解. 由 a2, a3, a4 线性无关知 R(A)=3, 故方程 Ax=b 所对应的齐次 方程 Ax=0 的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, ?2, 1, 0)T 是 方程 Ax=0 的基础解系. 方程 Ax=b 的通解为 由 b=a1+a2+a3+a4 知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程 Ax=b 的一个
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x=c(1, ?2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T, c?R. 33. 设η*是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解, ξ1, ξ2, ? ? ?,
ξn?r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:
(1)η*, ξ1, ξ2, ? ? ?, ξn?r 线性无关; (2)η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ? ? ?, η*+ξn?r 线性无关. 证明 (1)反证法, 假设η*, ξ1, ξ2, ? ? ?, ξn?r 线性相关. 因为ξ1,
ξ2, ? ? ?, ξn?r 线性无关, 而η*, ξ1, ξ2, ? ? ?, ξn?r 线性相关, 所以η*可
由ξ1, ξ2, ? ? ?, ξn?r 线性表示, 且表示式是唯一的, 这说明η*也是 齐次线性方程组的解, 矛盾. (2)显然向量组η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ? ? ?, η*+ξn?r 与向量组η*,
? ?, ξn?r 可以相互表示, 故这两个向量组等价, 而由(1)知 ξ1, ξ2, ?
向量组 η*, ξ1, ξ2, ? ? ?, ξn?r 线性无关, 所以向量组 η*, η*+ξ1,
η*+ξ2, ? ? ?, η*+ξn?r 也线性无关.
34. 设η1, η2, ? ? ?, ηs 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解, k1, k2, ? ? ?, ks 为实数, 满足 k1+k2+ ? ? ? +ks=1. 证明 x=k1η1+k2η2+ ? ? ? +ksηs 也是它的解.
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证明 从而 因为η1, η2, ? ? ?, ηs 都是方程组 Ax=b 的解, 所以 Aηi=b (i=1, 2, ? ? ?, s), A(k1η1+k2η2+ ? ? ? +ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+ ? ? ? +ksAηs =(k1+k2+ ? ? ? +ks)b=b. 因此 x=k1η1+k2η2+ ? ? ? +ksηs 也是方程的解. 35. 设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r, η1, η2, ? ? ?, ηn?r+1 是它的 n?r+1 个线性无关的解. 试证它的任一解可表 示为 x=k1η1+k2η2+ ? ? ? +kn?r+1ηn?r+1, (其中 k1+k2+ ? ? ? +kn?r+1=1). 证明 因为η1, η2, ? ? ?, ηn?r+1 均为 Ax=b 的解, 所以ξ1=η2?η1,
? ?, ξn?r=η n?r+1?η1 均为 Ax=b 的解. ξ2=η3?η1, ?
用反证法证: ξ1, ξ2, ? ? ?, ξn?r 线性无关. 设它们线性相关, 则存在不全为零的数λ1, λ2, ? ? ?, λn?r, 使 得
λ1ξ1+ λ2ξ2+ ? ? ? + λ n?r ξ n?r=0,
即 亦即
λ1(η2?η1)+ λ2(η3?η1)+ ? ? ? + λ n?r(ηn?r+1?η1)=0,
? ? +λn?r)η1+λ1η2+λ2η3+ ? ? ? +λ n?rηn?r+1=0, ?(λ1+λ2+ ? ? ?(λ1+λ2+ ?
? +λn?r)=λ1=λ2= ? ? ? =λn?r=0,
由η1, η2, ? ? ?, ηn?r+1 线性无关知
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矛盾. 因此ξ1, ξ2, ? ? ?, ξn?r 线性无关. ξ1, ξ2, ? ? ?, ξn?r 为 Ax=b 的一 个基础解系. 设 x 为 Ax=b 的任意解, 则 x?η1 为 Ax=0 的解, 故 x?η1 可由
ξ1, ξ2, ? ? ?, ξn?r 线性表出, 设
x?η1=k2ξ1+k3ξ2+ ? ? ? +kn?r+1ξn?r =k2(η2?η1)+k3(η3?η1)+ ? ? ? +kn?r+1(ηn?r+1?η1), x=η1(1?k2?k3 ? ? ? ?kn?r+1)+k2η2+k3η3+ ? ? ? +k n?r+1ηn?r+1. 令 k1=1?k2?k3 ? ? ? ?kn?r+1, 则 k1+k2+k3 ? ? ? ?kn?r+1=1, 于是 x=k1η1+k2η2+ ? ? ? +kn?r+1ηn?r+1. 36. 设 V1={x=(x1, x2, ? ? ?, xn)T | x1, ? ? ?, xn?R 满足 x1+x2+ ? ? ? +xn=0}, V2={x=(x1, x2, ? ? ?, xn)T | x1, ? ? ?, xn?R 满足 x1+x2+ ? ? ? +xn=1}, 问 V1, V2 是不是向量空间,
有 从而 V1 是向量空间, 因为任取 为什么, 解
α=(a1, a2, ? ? ?, an)T ?V1, β=(b1, b2, ? ? ?, bn)T ?V1, λ??R,
a1+a2+ ? ? ? +an=0, b1+b2+ ? ? ? +bn=0, (a1+b1)+(a2+b2)+ ? ? ? +(an+bn) =(a1+a2+ ? ? ? +an)+(b1+b2+ ? ? ? +bn)=0,
λa1+λa2+ ? ? ? +λan=λ(a1+a2+ ? ? ? +an)=0,
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所以
α+β=(a1+b1, a2+b2, ? ? ?, an+bn)T?V1, λα=(λa1, λa2, ? ? ?, λan)T ?V1. α
V2 不是向量空间, 因为任取
α=(a1, a2, ? ? ?, an)T ?V1, β=(b1, b2, ? ? ?, bn)T ?V1,
有 从而 所以 a1+a2+ ? ? ? +an=1, b1+b2+ ? ? ?
? ? +(an+bn) =(a1+a2+ ? ? ? +an)+(b1+b2+ ? ? +bn=1, (a1+b1)+(a2+b2)+ ?
? +bn)=2,
α+β=(a1+b1, a2+b2, ? ? ?, an+bn)T?V1.
37. 试证: 由 a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 0, 1)T, a3=(1, 1, 0)T 所生成 的向量空间就是 R3. 证明 设 A=(a1, a2, a3), 由
0 1 1 | A|= 1 0 1 = ?2 ? 0 , 1 1 0
知 R(A)=3, 故 a1, a2, a3 线性无关, 所以 a1, a2, a3 是三维空间 R3 的一组
a1, a2, a3 所生成的向量空间就是 R3. 基, 因此由
38. 由 a1=(1, 1, 0, 0)T, a2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记
作 V1,由 b1=(2, ?1, 3, 3)T, b2=(0, 1, ?1, ?1)T 所生成的向量空间记
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作 V2, 试证 V1=V2. 证明 设 A=(a1, a2), B=(b1, b2). 显然 R(A)=R(B)=2, 又由
1 ( A, B) = 1 0 0 1 0 1 1 2 ?1 3 3 0 1 r 1 ~ 0 ?1 0
?1 0 1 ?1 0 0 2 ?3 0 0 0 1 , 0 0
知 R(A, B)=2, 所以 R(A)=R(B)=R(A, B), 从而向量组 a1, a2 与向量 组 b1, b2 等价. 因为向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2 等价, 所以这两 个向量组所生成的向量空间相同, 即 V1=V2.
39. 验证 a1=(1, ?1, 0)T, a2=(2, 1, 3)T, a3=(3, 1, 2)T 为 R3 的一
v1=(5, 0, 7)T, v2=(?9, ?8, ?13)T 用这个基线性表示. 解 设 A=(a1, 个基, 并把
a2, a3). 由
1 2 3 | (a1, a2, a3) |= ?1 1 1 = ?6 ? 0 , 0 3 2
知 R(A)=3, 故 a1, a2, a3 线性无关, 所以 a1, a2, a3 为 R3 的一个基. 设 x1a1+x2a2+x3a3=v1, 则
x1 + 2x2 + 3x3 = 5 ? x1 + x2 + x3 = 0 , 3x2 + 2x3 = 7
解之得 x1=2, x2=3, x3=?1, 故线性表示为 v1=2a1+3a2?a3.
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设 x1a1+x2a2+x3a3=v2, 则
x1 + 2x2 + 3x3 = ?9 ? x1 + x2 + x3 = ?8 , 3x2 + 2x3 = ?13
解之得 x1=3, x2=?3, x3=?2, 故线性表示为 v2=3a1?3a2?2a3.
40. 已知 R3 的两个基为
a1=(1, 1, 1)T, a2=(1, 0, ?1)T, a3=(1, 0, 1)T, b1=(1, 2, 1)T, b2=(2, 3, 4)T, b3=(3, 4, 3)T. 求由基 a1, a2, a3 到基 b1, b2, b3 的过渡矩阵 P. 解 设 e1, e2, e3 是三维单位坐标向量组, 则
1 1 1 (a1, a2, a3) = (e1, e2, e3) 1 0 0 , 1 ?1 1 1 1 1 (e1,
e2, e3) = (a1, a2, a3) 1 0 0 , 1 ?1 1
?1
于是
1 2 3 (b1, b2, b3) = (e1, e2, e3) 2 3 4 1 4 3 1 1 1 1 2
3 = (a1, a2, a3) 1 0 0 2 3 4 , 1 ?1 1 1 4 3
?1
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由基 a1, a2, a3 到基 b1, b2, b3 的过渡矩阵为
1 1 1 1 2 3 2 3 4 P = 1 0 0 2 3 4 = 0 ?1 0 . 1
?1 1 1 4 3 ?1 0 ?1
?1
第五章 相似矩阵及二次型
1. 试用施密特法把下列向量组正交化:
1 1 1 (1) (a1, a2, a3) = 1 2 4 ; 1 3 9
解
根据施密特正交化方法,
1 b1 = a1 = 1 , 1 b2 = a2 ? [b1,a2 ] ?1 b1 = 0 ,
1 [b1,b1]
1 [b1,a3] [b2,a3] 1 ? 2 . b3 = a3 ? b? b= [b1,b1] 1 [b2,b2] 2 3 1
1 (2) (a1, a2, a3) = 0 ?1 1
1 ?1 0 1
?1 1 . 1 0
解
根据施密特正交化方法,
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集
1 b1 = a1 = 0 , ?1 1 1 [b ,a ] b2 = a2 ? 1 2 b1 = 1 ? 3 , [b1, b1] 3 2 1 ?1 [b ,a ] [b , a ] b3 = a3 ? 1 3 b1 ? 2 3 b2 = 1 3 . [b1, b1] [b2,b2] 5 3 4 2. 下列矩阵是不是正交阵:
1 ? 1 1 2 3 1 (1) ? 1 1 ; 2 1 2 1 ?1 3 2
解
此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.
1 ?8 ? 4 9 9 9 (2) ? 8 1 ? 4 . 9 9 9 4 4 7 ? ? 9 9 9
解
该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故
为正交阵.
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3. 设 x 为 n 维列向量, xTx=1, 令 H=E?2xxT, 证明 H 是对称 的正交阵. 证明 因为 HT=(E?2xxT)T=E?2(xxT)T=E?2(xxT)T =E?2(xT)TxT=E?2xxT, 所以 H 是对称矩阵. 因为 HTH=HH=(E?2xxT)(E?2xxT) =E?2xxT?2xxT+(2xxT)(2xxT)
=E?4xxT+4x(xTx)xT =E?4xxT+4xxT =E, 所以 H 是正交矩阵. 4. 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵, 证明 AB 也是正交阵. 证明 因为 A, B 是 n 阶正交阵, 故 A?1=AT, B?1=BT, (AB)T(AB)=BTATAB=B?1A?1AB=E, 故 AB 也是正交阵. 5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:
2 ?1 2 (1) 5 ?3 3 ; ?1 0 ? 2
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解
2 ? λ ?1 2 | A ? λE |= 5 ? 3 ? λ 3 = ?(λ +1)3 , ?1 0 ?2?λ
故 A 的特征值为λ=?1(三重). 对于特征值λ=?1, 由
3 ?1 2 1 0 1 A + E = 5 ? 2 3 ~ 0 1 1 , ?1 0 ?1 0 0 0
得方程(A+E)x=0 的基础解系 p1=(1, 1, ?1)T, 向量 p1 就是对应于 特征值λ=?1 的特征值向量.
1 2 3 (2) 2 1 3 ; 3 3 6
解
1? λ 2 3 | A ? λE |= 2 1? λ 3 = ?λ (λ +1)(λ ? 9) , 3 3 6?λ
故 A 的特征值为λ1=0, λ2=?1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由
1 2 3 1 2 3 A = 2 1 3 ~ 0 1 1 , 3 3 6 0 0 0
得方程
Ax=0 的基础解系 p1=(?1, ?1, 1)T, 向量 p1 是对应于特征 值λ1=0 的特征值向量.
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对于特征值λ2=?1, 由
2 2 3 2 2 3 A+ E = 2 2 3 ~ 0 0 1 , 3 3 7 0 0 0
得方程(A+E)x=0 的基础解系 p2=(?1, 1, 0)T, 向量 p2 就是对应于 特征值λ2=?1 的特征值向量. 对于特征值λ3=9, 由
1 ? 8 2 3 1 1 ?1 A ? 9E = 2 ? 8 3 ~ 0 1 ? , 3 3 ? 3 2 0 0 0
得方程(A?9E)x=0 的基础解系 p3=(1/2, 1/2, 1)T, 向量 p3 就是对应 于特征值λ3=9 的特征值向量.
0 (3) 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 . 0 0 0 ?λ 1 0 0 1 ?λ 0 1 0
= (λ ?1)2(λ +1)2 , 0 ?λ
解
?λ | A ? λE |= 0 0 1
故 A 的特征值为λ1=λ2=?1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=?1, 由
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1 A+ E = 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 ~ 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 , 0 0
得方程(A+E)x=0 的基础解系 p1=(1, 0, 0, ?1)T, p2=(0, 1, ?1, 0)T, 向量 p1 和 p2 是对应于特征值λ1=λ2=?1 的线性无关特征值向量. 对于特征值λ3=λ4=1, 由
?1 A? E = 0 0 1
0 ?1 1 0
0 1 ?1 0
1 1 0 ~ 0 0 0 ?1 0
0 1 0 0
0 ?1 0 0
?1 0 , 0 0
得方程(A?E)x=0 的基础解系 p3=(1, 0, 0, 1)T, p4=(0, 1, 1, 0)T, 向 量 p3 和
A 为 n 阶矩阵, 证p4 是对应于特征值λ3=λ4=1 的线性无关特征值向量. 6. 设
明 AT 与 A 的特征值相同. 证明 因为 |AT?λE|=|(A?λE)T|=|A?λE|T=|A?λE|, 所以 AT 与 A 的特征多项式相同, 从而 AT 与 A 的特征值相同. 7. 设 n 阶矩阵 A、 满足 R(A)+R(B)<n, 证明 A 与 B 有公共 B 的特征值, 有公共的特征向量. 证明 设 R(A)=r, R(B)=t, 则 r+t<n. 若 a1, a2, ???, an?r 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系, 显然它们 是 A 的对应于特征值λ=0 的线性无关的特征向量.
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类似地, 设 b1, b2, ???, bn?t 是齐次方程组 Bx=0 的基础解系, 则它们是 B 的对应于特征值λ=0 的线性无关的特征向量. 由于(n?r)+(n?t)=n+(n?r?t)>n,
故 a1, a2, ???, an?r, b1, b2, ???, bn?t 必线性相关. 于是有不全为 0 的数 k1, k2, ???, kn?r, l1, l2, ???, ln?t, 使 k1a1+k2a2+ ??? +kn?ran?r+l1b1+l2b2+ ??? +ln?rbn?r=0. 记
γ=k1a1+k2a2+ ??? +kn?ran?r=?(l1b1+l2b2+ ??? +ln?rbn?r),
l1b1+l2b2+ ??? +ln?rb
n?r=0,
则 k1, k2, ???, kn?r 不全为 0, 否则 l1, l2, ???, ln?t 不全为 0, 而 与 b1, b2, ???, bn?t 线性无关相矛盾. 因此, γ?0, γ是 A 的也是 B 的关于λ=0 的特征向量, 所以 A 与 B 有公共的特征值, 有公共的特征向量. 8. 设 A2?3A+2E=O,
证明 A 的特征值只能取 1 或 2. 证明 向量, 则(A2?3A+2E)x=λ2x?3λx+2x=(λ2?3λ+2)x=0. 因为 x?0, 所以λ2?3λ+2=0, 即λ是方程λ2?3λ+2=0 的根, 也就是 说λ=1 或λ=2. 9. 设 A 为正交阵, 且|A|=?1, 证
A 的特征值. 证明 因为 A 为正交矩阵, 所以 A 的特征值为?1 或 明λ=?1 是
1. 设λ是 A 的任意一个特征值, x 是 A 的对应于λ的特征
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因为|A|等于所有特征值之积, 又|A|=?1, 所以必有奇数个特 征值为?1, 即λ=?1 是 A 的特征值. 10. 设λ?0 是 m 阶矩阵 Am×nBn×m 的特征值, 证明λ也是 n 阶 矩阵 BA 的特征值. 证明 于是 或 设 x 是 AB 的对应于λ?0 的特征向量, 则有 (AB)x=λx, B(AB)x=B(λx), BA(B x)=λ(Bx), 11. 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, 2, 3, 求|A3?5A2+7A|. 解 令ϕ(λ)=λ3?5λ2+7λ, 则ϕ(1)=3, ϕ(2)=2, ϕ(3)=3 是ϕ(A)的 |A3?5A2+7A|=|ϕ(A)|=ϕ(1)?ϕ(2)?ϕ(3)=3×2×3=18. 12. 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, 2, ?3, 求|A*+3A+2E|. 解 因为|A|=1×2×(?3)=?6?0, 所以 A 可逆, 故 A*=|A|A?1=?6A?1, A*+3A+2E=?6A?1+3A+2E. 令ϕ(λ)=?6λ?1+3λ2+2, 则ϕ(1)=?1, ϕ(2)=5, ϕ(?3)=?5 是ϕ(A) 的特征值, 故 |A*+3A+2E|=|?6A?1+3A+2E|=|ϕ(A)| 特征值, 故
BA 的特征值, 且 Bx 是 BA 的对应于λ的特征向量. 从而λ是
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=ϕ(1)?ϕ(2)?ϕ(?3)=?1×5×(?5)=25. 13. 设 A、B 都是 n 阶矩阵, 且 A 可逆, 证明 AB 与 BA 相 似. 证明 取 P=A, 则 P?1ABP=A?1ABA=BA, 即 AB 与 BA 相似.
2 0 1 14. 设矩阵 A = 3 1 x 可相似对角化, 求 x. 4 0 5
解
由
2?λ 0 1 | A ? λE |= 3 1? λ x = ?(λ ?1)2 (λ ? 6) , 4 0 5?λ
A 可相似对角化, 所以对于 λ2=λ3=1, 得 A 的特征值为 λ1=6, λ2=λ3=1. 因为
齐次线性方程组
(A?E)x=0 有两个线性无关的解, 因此 R(A?E)=1. 由 1 0 1 r 1 0 1
( A ? E) = 3 0 x ~ 0 0 x ? 3 4 0 4 0 0 0
知当 x=3 时 R(A?E)=1, 即 x=3 为所求.
2 ?1 2 15. 已知 p=(1, 1, ?1) 是矩阵 A = 5 a 3 的一个特征向
?1 b ? 2
T
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量. (1)求参数 a, b 及特征向量 p 所对应的特征值; 解 设 λ 是特征向量
p 所对应的特征值, 则
2 1 0 2 ? λ ?1 5 a ?λ (A?λE)p=0, 即 3 1 = 0 ,
?1 b ? 2 ? λ ?1 0
解之得 λ=?1, a=?3, b=0.
(2)问 A 能不能相似对角化,并说明理由.
解
由
2 ? λ ?1 2 | A ? λE |= 5 ? 3 ? λ 3 = ?(λ ?1)3 , ?1 0 ?2?λ
得 A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由
1 ?1 2 r 1 0 1 A ? E = 5 ? 2 3 ~ 0 1 ?1 ?1 b
?1 0 0 0
知 R(A?E)=2, 所以齐次线性方程组(A?E)x=0 的基础解系只有一 个解向量. 因此 A 不能相似对角化.
16. 试求一个正交的相似变换矩阵 , 将下列对称阵化为对
角阵:
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2 ?2 0 (1) ? 2 1 ? 2 ; 0 ?2 0
解
将所给矩阵记为 A. 由
2?λ ?2 0 A ? λE = ? 2 1? λ ? 2 =(1?λ)(λ?4)(λ+2), 0 ?2 ?λ
得矩阵 A 的特征值为λ1=?2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=?2, 解方程(A+2E)x=0, 即
4 ? 2 0 x1 ? 2 3 ? 2 x = 0 , 0 ? 2 2 x2 3
得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得 p1 = (1 , 2 , 2)T . 3 3 3
对于λ2=1, 解方程(A?E)x=0, 即
1 ? 2 0 x1 ? 2 0 ? 2 x = 0 , 0 ? 2 ?1 x2 3 得特征向量(2, 1, ?2)T , 单位化得 p2 = ( 2 , 1 , ? 2)T . 3 3 3
对于λ3=4, 解方程(A?4E)x=0, 即
? 2 ? 2 0 x1 ? 2 ? 3 ? 2 x = 0 , 0 ? 2 ? 4 x2
3 得特征向量(2, ?2, 1)T , 单位化得 p3 = ( 2 , ? 2 , 1)T . 3 3 3
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于是有正交阵 P=(p1, p2, p3), 使 P?1AP=diag(?2, 1, 4).
2 2 ? 2 (2) 2 5 ? 4 . ?2 ?4 5
解
将所给矩阵记为 A. 由
2?λ 2 ?2 A ? λE = 2 5 ? λ ? 4 =?(λ?1)2(λ?10), ? 2 ? 4 5? λ
得矩阵 A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10. 对于λ1=λ2=1, 解方程(A?E)x=0, 即
1 2 ? 2 x1 0 2 4 ? 4 x = 0 , ? 2 ? 4 4 x2
0 3
得线性无关特征向量(?2, 1, 0)T 和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、 单位 化得
p1 = 1 (?2, 1, 0)T , p2 = 1 (2, 4, 5)T . 5 3 5
对于λ3=10, 解方程(A?10E)x=0, 即
? 8 2 ? 2 x1 0 2 ? 5 ? 4 x = 0 , ? 2 ? 4 ?
5 x2 0 3 得特征向量(?1, ?2, 2)T , 单位化得 p3 = 1 (?1, ? 2, 2)T . 3
P?1AP=diag(1, 1, 10). 于是有正交阵 P=(p1, p2, p3), 使
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工程数学-线
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5 1 ? 2 ? 4 ? 2 x ? 2 与 Λ = ? 4 相似, 求 x, y; 并 17. 设矩阵 A = ?4 ? 2 1 y
求一个正交阵 P, 使 P?1AP=Λ. 解 所以
5 ?2 ?4 | A + 4E |= ? 2 x + 4 ? 2 = 9( x ? 4) = 0 , ?4 ?2 5
已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=?4, λ=y 是
Λ的特征值, 故它们也是 A 的特征值. 因为λ=?4 是 A 的特征值,
解之得 x=4. 已知相似矩阵的行列式相同, 因为
5 1 ?2 ?4 | A|= ? 2 ? 4 ? 2 = ?100 , | Λ |= ? 4 = ?20 y , ?4 ?2 1 y
所以?20y=?100, y=5. 对于λ=5, 解方程(A?5E)x=0, 得两个线性无关的特征向量
(1, 0, ?1)T, (1, ?2, 0)T. 将它们正交化、单位化得
p1 = 1 (1, 0, ?1)T , p2 = 1 (1, ? 4, 1)T . 2 3 2
对于λ=?4, 解方程(A+4E)x=0, 得特征向量(2, 1, 2)T, 单位 化得 p3 = 1 (2, 1,
2)T . 3
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1 2 于是有正交矩阵 P = 0 ? 1 2 2 1 3 3 2 1 ? 4 ,
使 P?1AP=Λ. 3 3 2 2 1 3 3 2
18. 设 3 阶方阵 A 的特征值为λ1=2, λ2=?2, λ3=1; 对应的特
征向量依次为 p1=(0, 1, 1)T, p2=(1, 1, 1)T, p3=(1, 1, 0)T, 求 A. 解 因为
0 1 1 ?1 1 0 ?1 P = 1 1 1 = 1 ?1 1 , 1 1 0 0 1
?1
?1
令 P=(p1, p2, p3), 则 P?1AP=diag(2, ?2, 1)=Λ, A=PΛP?1.
所以
0 1 1 2 0 A = PΛP = 1 1 1 0 ? 2 1 1 0 0 0
?1
0 ?1 1 0 ?1 3 ? 3 0 1 ?1 1 = ? 4 5 ? 3 . 1 0 1
?1 ? 4 4 ? 2
19. 设 3 阶对称阵 A 的特征值为λ1=1, λ2=?1, λ3=0; 对应λ1、
λ2 的特征向量依次为 p1=(1, 2, 2)T, p2=(2, 1, ?2)T, 求 A.
解
x1 x2 x3 设 A = x2 x4 x5 , 则 Ap1=2p1, Ap2=?2p2, 即 x3 x5 x6 x1 + 2x2 + 2x3 =1 x2 + 2x4 + 2x5 = 2 , ???? x3 + 2x5 + 2x6 = 2
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2x1 + x2 ? 2x3 = ?2 2x2 + x4 ? 2x5 = ?1 . ???? 2x3 + x5 ? 2x6 = 2
再由特征值的性质, 有 x1+x4+x6=λ1+λ2+λ3=0. ???? 由???解得
x1 = ? 1 ? 1 x6 , x2 = 1 x6 , x3 = 2 ? 1 x6 , 3 2 2 3 4 x4 = 1 ? 1 x6 , x5 = 2 + 1 x6 .
3 2 3 4 令 x6=0, 得 x1 = ? 1 , x2=0, x3 = 2 , x4 = 1 , x5 = 2 . 3 3 3 3
因此
?1 0 2 1 0 1 2 . A= 3 2 2 0
20. 设 3 阶对称矩阵 A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值
λ1=6 对应的特征向量为 p1=(1, 1, 1)T, 求 A.
解
x1 x2 x3 设 A = x2 x4 x5 . x3 x5 x
6 x1 + x2 + x3 = 6 1 1 A 1 = 6 1 , 即 x2 + x4 + x5 = 6 1 1 x3 + x5 + x6 = 6
因为λ1=6 对应的特征向量为 p1=(1, 1, 1)T, 所以有
????.
λ2=λ3=3 是 A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知
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R(A?3E)=1. 利用?可推出
x 1 1 x1 ? 3 x2 1 x x ? 3 x3 ~ x x ? 3 x . A ? 3E = 5 5 2
4 2 4 x5 x6 ? 3 x3 x5 x6 ? 3 x3
因为 R(A?3E)=1, 所以 x2=x4?3=x5 且 x3=x5=x6?3, 解之得 x2=x3=x5=1, x1=x4=x6=4. 因此
4 1 1 A = 1 4 1 . 1 1 4
21. 设 a=(a1, a2, ?,?,?, an)T , a1?0, A=aaT. (1)证明λ=0 是 A 的 n?1 重特征值;
, 则有 证明 向量
设λ是 A 的任意一个特征值, x 是 A 的对应于λ的特征
Ax=λx,
λ2x=A2x=aaTaaTx=aTaAx=λaTax,
于是可得λ2=λaTa, 从而λ=0 或λ=aTa. 设λ1, λ2, ? ? ?, λn 是 A 的所有特征值, 因为 A=aaT 的主对角线 性上的元素为 a12, a22, ? ? ?, an2, 所以
? ? +an2=aTa=λ1+λ2+ ? ? ? +λn, a12+a22+ ?
这说明在λ1, λ2, ? ? ?, λn 中有且只有一个等于 aTa, 而其余 n?1 个 全为 0, 即λ=0 是 A 的 n?1 重特征值.
(2)求 A 的非零特征值及 n 个线性无关的特征向量.
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解 征向量. 对于λ2= ? ? ? =λn=0, 解方程 Ax=0, 即 aaTx=0. 因为 a?0, 所 以 aTx=0, 即 a1x1+a2x2+ ? ? ? +anxn=0, 其线性无关解为 p2=(?a2, a1, 0, ?,?,?, 0)T, p3=(?a3, 0, a1, ?,?,?, 0)T, ? ? ?, pn=(?an, 0, 0, ?,?,?, a1)T. 因此 n 个线性无关特征向量构成的矩阵为
a1 ( p1, p2, ???, pn ) = a2 ??? an
1 4 2 22. 设 A = 0 ? 3 4 , 求 A100. 0 4 3
设λ1=aTa, λ2= ? ? ? =λn=0.
因为 Aa=aaTa=(aTa)a=λ1a, 所以 p1=a 是对应于λ1=aTa 的特
0 ? a2 a1 ???
??? ??? ??? ???
? an 0 . ? ?? a1
解
由
1? λ 4 2 | A ? λE |= 0 ? 3 ? λ 4 = ?(λ ?1)(λ ? 5)(λ + 5) , 0 4 3? λ
得 A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=?5. 对于λ1=1, 解方程(A?E)x=0, 得特征向量 p1=(1, 0, 0)T.
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对于λ1=5, 解方程(A?5E)x=0, 得特征向量 p2=(2, 1, 2)T. 对于λ1=?5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量 p3=(1, ?2, 1)T. 令 P=(p1, p2, p3), 则 P?1AP=diag(1, 5,
?5)=Λ, A=PΛP?1, A100=PΛ100P?1. 因为 Λ100=diag(1, 5100, 5100),
1 2 1 5 0 ? 5 ?1 = 1 0 1 2 , P
= 0 1 ?2 0 2 1 5 0 ?2 1
?1
所以
5 0 ? 5 1 2 1 1 1 0 1 ? 2 5100 0 1 2 A =
5 0 2 1 5100 0 ? 2 1
100
1 0 5100 ?1 = 0 5100 0 . 0 0 5100
23. 在某国, 每年有比例为 p 的农村居民移居城镇, 有比例
为 q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人 口迁移的规律也不变. 把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口 的比例依次记为 xn 和 yn(xn+yn=1).
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x x (1)求关系式 n+1 = A n 中的矩阵 A; y y n+1 n
解
由题意知 xn+1=xn+qyn?pxn=(1?p)xn+qyn, yn+1=yn+pxn?qyn= pxn+(1?q)yn,
可用矩阵表示为
xn+1 = 1? p q xn , y p 1? q y n n+1
因此
1? p q A= p 1? q .
x (2) 设目前农村人口与城镇人口相等, 即 0 = 0.5 , 求 y 0.5 0
xn . y n
解
x x x x 由 n+1 = A n 可知 n = An 0 . 由 y y
y y n+1 n n 0
| A ? λE |=
1? p ? λ q = (λ ?1)(λ ?1+ p + q) , p 1? q ? λ
得 A 的特征值为λ1=1, λ2=r, 其中 r=1?p?q. 对于λ1=1, 解方程(A?E)x=0, 得特征向量 p1=(q, p)T. 对于λ1=r, 解方程(A?rE)x=0, 得特征向量 p2=(?1, 1)T.
q ?1 令 P = ( p1, p2) = p 1 , 则
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集
P?1AP=diag(1, r)=Λ, A=PΛP?1, An=PΛnP?1. 于是
q ?1 1 0 q ?1 A = p 1 0 r p 1
n n
?1
q ?1 1 0 1 1 = 1 p 1 0 r n ? p q p+q
q + pr n q ? qr n = 1 , p + q p ? pr n p + qr n xn = 1 q
+ pr n q ? qr n 0.5 y n n n p + q p ? pr p + qr
0.5 = 1 2q + ( p ? q)r n . 2( p + q) 2 p + (q ? p)r n
24. (1)设 A = 3 ? 2 , 求ϕ(A)=A10?5A9; ?2 3
解
由
| A ? λE |= 3 ? λ ? 2 = (λ ?1)(λ ? 5) , ? 2 3? λ
(A?E)x=0, 得单位特征向量 得 A 的特征值为λ1=1, λ2=5. 对于λ1=1, 解方程
1 (1, 1)T . 2 对于λ1=5, 解方程(A?5E)x=0, 得单位特征向量 1 (?1, 1)T . 2
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于是有正交矩阵 P = 1 1 ?1 , 使得 P?1AP=diag(1, 5)=Λ, 2 1 1
从而 A=PΛP?1, Ak=PΛkP?1. 因此
ϕ(A)=Pϕ(Λ)P?1=P(Λ10?5Λ9)P?1
=P[diag(1, 510)?5diag(1, 59)]P?1 =Pdiag(?4, 0)P?1 = 1 1 ?1 ? 4 2
1 1 0
0 1 1 1 0 2 ?1 1
= ? 2 ? 2 = ?2 1 1 . ? 2 ? 2 1 1
2 1 2 (2)设 A = 1 2 2 , 求ϕ(A)=A10?6A9+5A8. 2 2 1
解
求得正交矩阵为
?1 ? 3 1 ?1 3 P= 6 2 0
2 2 , 2
使得 P?1AP=diag(?1, 1, 5)=Λ, A=PΛP?1. 于是
ϕ(A)=Pϕ(Λ)P?1=P(Λ10?6Λ9+5Λ8)P?1
=P[Λ8(Λ?E)(Λ?5E)]P?1 =Pdiag(1, 1, 58)diag(?2, 0, 4)diag(?6, ?4, 0)P?1
=Pdiag(12, 0, 0)P?1
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?1 ? 3 1 ?1 3 = 6 2 0 2 12 ?1 ?1 2 0 ? 3 3 0
2 2 2 2 2 0
1 1 ? 2 = 2 1 1 ? 2 . ?2 ?2 4 25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz;
解
1 2 1 x f = ( x, y, z) 2 4 2 y . 1 2 1 z
1 ?1 ? 2 x f = (x, y, z) ?1 1 ? 2 y . ? 2 ? 2 ? 7 z
1 f = (x1, x2, x3, x4) ?1 2 ?1 ?1 1 3 ?2 ?1 x1 ? 2 x2
. 0 x3 1 x4
(2) f=x2+y2?7z2?2xy?4xz?4yz;
解
(3) f=x12+x22+x32+x42?2x1x2+4x1x3?2x1x4+6x2x3?4x2x4.
解
2 3 1 0
26. 写出下列二次型的矩阵: (1) f ( x) = xT 2 3
1 x ; 1 1 . 1
解
二次型的矩阵为 A = 2 3
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1 2 3 (2) f ( x) = xT 4 5 6 x . 7 8 9
解
1 2 3 二次型的矩阵为 A = 4 5 6 . 7 8 9
27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f=2x12+3x22+3x33+4x2x3;
2 0 0 二次型的矩阵为 A = 0 3 2 . 由 0 2 3 2?λ 0 0 A ? λE = 0 3 ? λ 2 = (2 ? λ )(5 ? λ )(1? λ ) , 0 2 3? λ
解
得 A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1. 当λ1=2 时, 解方程(A?2E)x=0, 由
0 0 0 0 1 2 A ? 2E = 0 1 2 ~ 0 0 1 , 0 2 1 0 0 0
得特征向量(1, 0, 0)T. 取 p1=(1, 0, 0)T. 当λ2=5 时, 解方程(A?5E)x=0, 由
?3 0 0 1 0 0 A ? 5E = 0 ? 2 2 ~ 0 1 ?1 , 0 2 ? 2 0 0
0 得特征向量(0, 1, 1)T. 取 p2 = (0, 1 , 1 )T . 2 2
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当λ3=1 时,
解方程(A?E)x=0, 由
1 0 0 1 0 0 A? E = 0 2 2 ~ 0 1 1 , 0 2 2 0 0 0
得特征向量(0, ?1, 1)T. 取 p3 = (0, ? 1 , 1 )T . 2 2
于是有正交矩阵 T=(p1, p2, p3)和正交变换 x=Ty, 使
f=2y12+5y22+y32. (2) f=x12+x22+x32+x42+2x1x2?2x1x4?2x2x3+2x3x4.
解
1 二次型矩阵为 A = 1 0 ?1
1 1 ?1 0
0 ?1 1 1
?1 0 . 由 1 1
1? λ 1 0 ?1 A ? λE = 1 1? λ ?1 0 = (λ +1)(λ ? 3)(λ ?1)2 , 0 ?1 1? λ 1 ?1 0 1 1? λ
得 A 的特征值为λ1=?1, λ2=3, λ3=λ4=1. 当λ1=?1 时, 可得单位特征向量 p1 = ( 1 , ? 1 , ? 1 , 1 )T . 2 2 2 2 当λ2=3 时, 可得单位特征向量 p2 = ( 1 , 1 , ? 1 , ?
1 )T . 2 2 2 2 当λ3=λ4=1 时, 可得线性无关的单位特征向量
p3 = ( 1 , 0, 1 , 0)T , p4 = (0, 1 , 0, 1 )T . 2 2 2 2
于是有正交矩阵 T=( p1, p2, p3, p4)和正交变换 x=Ty, 使
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f=?y12+3y22+y32+y42. 28. 求一个正交变换把二次曲面的方程 3x2+5y2+5z2+4xy?4xz?10yz=1 化成标准方程. 解
3 2 ? 2 二次型的矩阵为 A = 2 5 ? 5 . ? 2 ?5 5
3? λ 2 ? 2 由 | A ? λE |= 2 5 ? λ ? 5 = ?λ (λ ? 2)(λ ?11) , 得 A 的特征值 ? 2 ?5 5?λ
为λ1=2, λ2=11, λ3=0, . 对于λ1=2, 解方程(A?2E)x=0, 得特征向量(4, ?1, 1)T, 单位 化得 p1 = ( 4 , ? 1 , 1 ) . 3 2 3 2 3 2 对于λ2=11, 解方程(A?11E)x=0, 得特征向量(1, 2, ?2)T, 单 位化得 p2 = (1 , 2 , ? 2) . 3 3 3 对于λ3=0, 解方程 Ax=0,
得特征向量(0, 1, 1)T, 单位化得
p3 = (0, 1 , 1 ) . 2 2
于是有正交矩阵 P=(p1, p2, p3), 使 P?1AP=diag(2, 11, 0), 从 而有正交变换
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1 0 3 u 2 1 v , 3 2 w ?2 1 3 2 使原二次方程变为标准方程 2u2+11v2=1. 4 2 x 3 1 y = ? z
3 2 1 3 2
29. 明: 二次型 f=xTAx 在||x||=1 时的最大值为矩阵 A 的最大 特征值. 证明 A 为实对称矩阵, 则有一正交矩阵 T, 使得 TAT?1=diag(λ1, λ2, ? ? ?, λn)=Λ 成立, 其中λ1, λ2, ? ? ?, λn 为 A 的特征值, 不妨设λ1 最大. 作正交变换 y=Tx, 即 x=TTy, 注意到 T?1=TT, 有 f=xTAx=yTTATTy=yTΛy=λ1y12+λ2y22+
? ? ? +λnyn2. 因为 y=Tx 正交变换, 所以当||x||=1 时, 有 ||y||=||x||=1, 即 y12+y22+ ? ? ? +yn2=1. 因此 f =λ1y12+λ2y22+ ? ? ? +λnyn2?λ1, 又当 y1=1, y2=y3=? ? ?=yn=0 时 f =λ1, 所以 f max =λ1. 30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的
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工程数学-线性代数第五版答
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矩阵. (1) f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2?4x1x3; 解 f(x1, x2,
x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2?4x1x3 =(x1+x2?2x3)2+4x2x3+2x22+x32 =(x1+x2?2x3)2?2x22+(2x2+x3)2.
x = y ? 5 y + 2 y 3 1 1 2 2 y1 = x1 + x2 ? 2x3 , 即 x2 = 1 y2 ,
y2 = 2 x2 2 y3 = 2x2 + x3 x3 = ? 2 y2 + y3 f=y12?y22+y32,
令
二次型化为规范形 所用的变换矩阵为
1 ? 5 2 2 C = 0 1 0 . 2 0 ? 2 1 (2) f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3;
解
f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3 =(x1+x3)2+x32+2x2x3; =(x1+x3)2?x22+(x2+x3)2.
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令
y1 = x1 + x3 x1 = y1 + y2 ? y3 , 即 x2 = y2 , y2 = x2 y3 = x2
+ x3 x3 = ? y2 + y3
二次型化为规范形 f=y12?y22+y32, 所用的变换矩阵为
1 1 ?1 C = 0 1 0 . 0 ?1 1 (3) f(x1, x2,
x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2?2x2x3.
解
f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2?2x2x3.
2 2 = 2( x1 + 1 x2)2 + 1 x2 + 4x3 ? 2x2 x3 2 2 2 = 2( x1 + 1 x2)2 + 1 ( x2 ? 2x3)2
+ 2x3 . 2 2
令
y = 1 y2 = y3 =
x = 2( x1 + 1 x2) 1 2 1 ( x ? 2 x ) , 即 x = 2 3 2 2 2 x3 x3 =
1 y? 1 y ? 1 y 2 3 2 1 2 2 2 y2 + 2 y3 , 2 1 y 2 3
二次型化为规范形
f=y12+y22+y32,
所用的变换矩阵为
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1 ?1 ?1 C = 1 0 2 2 . 2 0 0 1
31. 设 f=x12+x22+5x32+2ax1x2?2x1x3+4x2x3 为正定二次型, 求 a. 解
1 a ?1 二次型的矩阵为 A = a 1 2 , 其主子式为 ?1 2 5
1 a ?1 a11=1, 1 a =1? a2 , a 1 2 = ?a(5a + 4) . a 1 ?1 2 5
因为 f 为正主二次型, 所以必有 1?a2>0 且?a(5a+4)>0, 解之 得 ? 4 <a<0 . 5
32. 判别下列二次型的正定性: (1) f=?2x12?6x22?4x32+2x1x2+2x1x3;
解
?2 1 1 二次型的矩阵为 A = 1 ? 6 0 . 因为 1 0 ? 4
a11 = ?2 < 0 , ? 2 1 =11> 0 , | A|= ?38 < 0 , 1 ?6
所以 f 为负定.
(2) f=x12+3x22+9x32+19x42?2x1x2+4x1x3+2x1x4?6x2x4?12x3x4.
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解
1 二次型的矩阵为 A = ?1 2 1 ?1 3 0 ?3 2 0 9 ?6 1 ? 3 . 因为 ? 6 19
1 ?1 2 a11 =1> 0 , 1 ?1 = 4 > 0 , ?1 3 0 = 6 > 0 , A = 24 > 0 , ?1 3 2 0
9
所以 f 为正定.
33. 证明对称阵 A 为正定的充分必要条件是: 存在可逆矩
阵 U, 使 A=U TU, 即 A 与单位阵 E
合同
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. 证明 因为对称阵 A 为正定的,
PTAP=diag(λ1, λ2, ? ? 所以存在正交矩阵 P 使
?, λn)=Λ, 即 A=PΛPT, 其中λ1, λ2, ? ? ?, λn 均为正数. 令 Λ1 = diag( λ1 ,
? ? , λn ) , 则Λ=Λ1Λ1, A=PΛ1Λ1TPT. 再令 U=Λ1TPT, 则 U 可逆, 且 λ2 , ?
A=UTU.
第六章
线性空间与线性变换
1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线
性空间, 并写出各个空间的一个基.
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(1) 2 阶矩阵的全体 S1; 解 设 A, B 分别为二阶矩阵, 则 A, B?S1. 因为 (A+B)?S1, kA?S1, 所以 S1 对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.
0 0 ε1 = 1 0 , ε 2 = 0 1 , ε3 = 1 0 , ε 4 = 0 1 0 0 0
0 0 0
是 S1 的一个基.
(2)主对角线上的元素之和等于 0 的 2 阶矩阵的全体 S2;
解
设 A = ? a b , B = ? d e , A, B?S2. 因为 c a f d
? (a + d ) c + b A+ B = c + a a + d ? S2 ,
kA = ? ka kb ?S2 , kc ka
所以 S2 对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.
0 0 ε1 = 1 ?1 , ε 2 = 0 1 , ε3 = 1 0 0 0 0 0
是 S2 的一个基.
(3) 2 阶对称矩阵的全体 S3.
解
设 A, B?S3, 则 AT=A, BT=B. 因为
(A+B)T=AT+BT=A+B, (A+B)?S3, (kA)T=kAT=kA, kA?S3,
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所以 S3 对于加法和乘数运算构成线性空间.
ε1 = 1 0
是 S3 的一个基.
0 , ε = 0 0 2 1
1 , ε = 0 0 3 0
0 1
: 与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体 3 维数组向量, 对于 2. 验证
数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间. 解 设 V={与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体三维向量}, 设 r1=(1, 1, 0)T, r2=(?1, 0, 1)T, 则 r1, r2?V, 但 r1+r2=(0,
V, 即 V 不是线性空间. 0, 1)T?
3. 设 U 是线性空间 V 的一个子空间, 试证: 若 U 与 V 的维
数相等, 则 U=V. 证明 设ε1, ε2, ???, εn 为 U 的一组基, 它可扩充为整个空间 V 的一个基, 由于 dim(U)=dim(V), 从而ε1, ε2, ???, εn 也为 V 的一个 基,
x?V 可以表示为 x=k1ε1+k2ε2+ ??? +krεr. 显然, x?U, 故 V?U, 则: 对于
而由已知知 U?V, 有 U=V.
4. 设 Vr 是 n 维线性空间 Vn 的一个子空间, a1, a2, ???, ar 是 Vr
的一个基. 试证: 证明
Vn 中存在元素 ar+1, ???, an, 使 a1, a2, ???, ar,
ar+1, ???, an 成为 Vn 的一个基. 设 r<n, 则在 Vn 中必存在一向量 ar+1?Vr, 它不能被
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集
a1, a2, ???, ar 线性表示,
将 ar+1 添加进来, 则 a1, a2, ???, ar+1 是线性 无关的. 若 r+1=n, 则命题得
证, 否则存在 ar+2?L(a1, a2, ???, ar+1), 则 a1, a2, ???, ar+2 线性无关, 依此类
推, 可找到 n 个线性无关的向 量 a1, a2, ???, an, 它们是 Vn 的一个基. 5. 在
R3 中求向量α=(3, 7, 1)T 在基α1=(1, 3, 5)T, α2=(6, 3, 2)T,
α3=(3, 1, 0)T 下的坐标.
解 设ε1, ε2, ε3 是 R3 的自然基, 则 (α1, α2, α3)=(ε1, ε2, ε3)A, (ε1, ε2, ε3)=(α1,
α2, α3)A?1,
A = 5 2 0 1 6 3 ? 2 6 ?3 3 3 1 , A?1 = 5 ?15 8 . 其中
? 9 28 ?15
因为
3 3 7 = (α , α , α ) A?1 7 α = (ε1, ε 2, ε 3) 1 2 3 1 1
? 2 6 ? 3 3 = (α1, α 2, α 3) 5 ?15 8 7 ? 9 28 ?15 1
33 = (α1, α 2, α 3) ? 82 , 154
所以向量α在基α1, α2, α3 下的坐标为(33, ?82, 154)T.
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6. 在 R3 取两个基
α1=(1, 2, 1)T, α2=(2, 3, 3)T, α3=(3, 7, 1)T; β1=(3, 1, 4)T, β2=(5, 2, 1)T, β3=(1, 1,
?6)T.
试求坐标变换公式. 解 设ε1, ε2, ε3 是 R3 的自然基, 则 (β1, β2, β1)=(ε1, ε2,
ε3)B, (ε1, ε2, ε3)=(β1, β2, β1)B?1, (α1, α2, α1)=(ε1, ε2, ε3)A=(β1, β2, β1)B?1A, 其
中
1 2 1 3 5 1 2 3 7 , B = 1 2 1 . A= 1 3 1 4 1 ? 6
(x1, x2, x3)T, 则 设任意向量α在基α1, α2, α3 下的坐标为
x1 x x = (β , β , β )B?1 A x1 , α = (α1, α 2, α 3) 2 1 2 3 x
x2 3 3
故α在基β1, β2, β3 下的坐标为
13 19 181 4 x1 ′ x1 x1 x′ = B?1 A x = ? 9 ?13 ? 63 x . x2 x2 2 x2 ′ 3 3 99
3 7 10 4
7. 在 R4 中取两个基
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e1=(1,0,0,0)T, e2=(0,1,0,0)T, e3=(0,0,1,0)T, e4=(0,0,0,1)T;
α1=(2,1,?1,1)T, α2=(0,3,1,0)T, α3=(5,3,2,1)T, α3=(6,6,1,3)T.
(1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解 由题意知
2 (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) 1 ?1 1 0 3 1 0 5 3 2 1
6 6 , 1 3
从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为
2 A= 1 ?1 1 0 3 1 0 5 3 2 1 6 6 . 1 3
(2)求向量(x1, x2, x3, x4)T 在后一个基下的坐标;
解
因为
x1 x1 x ?1 x2 2 α = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) = (α 1 , α 2 ,
α 3 , α 4 ) A , x3 x3 x4 x4
向量α在后一
个基下的坐标为
y1 2 y 0 y2 = 5 3 6 y4
1 3 3 6
?1 1 2 1
1 0 1 3
?1
x1 12 x 1 1 x2 = 9 3 27 ? 7 x4
9 12 0 ?3
? 27 ?9 0 9
? 33 x1 ? 23 x2 . ?18 x3 26 x4
(3)求在两个基下有相同坐标的向量.
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解 令
12 1 1 27 9 ?7 9 12 0 ?3 ? 27 ?9 0 9 ? 33 x1 x1 ?
23 x 2 = x 2 , ?18 x 3 x3 26 x 4 x 4
x1 1 x 1 解方程组得 2 = k (k 为常数). x 1 3 x4 1
x x 8. 说明 xOy 平面上变换 T = A 的几何意义, 其中 y y
(1) A = ?1 0
0 ; 1
解
因为
x x ?x T = ? 1 0 = , y 0 1 y y
所以在此变换下 T(α)与α关于 y 轴对称.
= 0 0 0 ; 1 (2) A
解
因为
x T = 0 y 0
0 x = 0 , 1 y y
所以在此变换下 T(α)是α在 y 轴上的投影.
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集
(3) A = 0 1 解 因为
1 ; 0
T x = 0 y 1
(4) A = 0 ?1 1 . 0
1 x = y , 0 y x
所以在此变换下 T(α)与α关于直线 y=x 对称.
解
因为
x x y T = 0 1 = , y ? 1 0 y ? x
所以在此变换下 T(α)是将α顺时针旋转 π . 2
9. n 阶对称矩阵的全体 V 对于矩阵的线性运算构成一个
n(n +1) 维线性空间. 给出 n 阶矩阵 P, 以 A 表示 V 中的任一元素, 2
变换 T(A)=PTAP 称为合同变换. 试证合同变换 T 是 V 中的线性 变换. 证明 设 A, B?V, 则 AT=A, BT=B. T(A+B)=PT(A+B)P=PT(A+B)TP =[(A+B)P]TP=(AP+BP)TP =(PTA+PTB)P=PTAP+PTBP=T(A)+T(B),
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T(kA)=PT(kA)P=kPTAP=kT(A), 从而, 合同变换 T 是 V 中的线性变换. 10. 函数集合 V3={α=(a2x2+a1x+a0)ex | a2, a1, a0 ?R} 对于函数的线性运算构成 3 维线性空间, 在 V3 中取一个基
α1=x2ex, α2=xex, α3=ex.
求微分运算 D 在这个基下的矩阵. 解 设
β1=D(α1)=2xex+x2ex=2α2+α1, β2=D(α2)=ex+xex=α3+α2, β3=D(α3)=ex=α3.
易知β1, β2, β3
线性无关, 故为一个基. 由
1 0 0 (β1, β 2, β 3) = (α1, α 2, α 3) 2 1 0 , 0 1 1
1 0 0 知即 D 在基α1, α2, α3 下的矩阵为 P = 2 1 0 . 0 1 1
11. 2 阶对称矩阵的全体
x V3 ={A = 1 2 | x1, x2, x3? x R} x x 2 3
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集
对于矩阵的线性运算构成 3 维线性空间. 在 V3 中取一个基
A1 = 1 0 0 , A = 0 1 , A = 0 0 . 2 1 0 3 0 1 0
T ( A) = 1 1 0 A 1 1 0 1 , 1
在 V3 中定义合同变换
求 T 在基 A1, A2, A3 下的矩阵. 解 因为
T ( A1) = 1 1 T ( A2) = 1 1 T ( A3) = 1 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 = 1 1 = A + A + A , 1 1 1 1 2 3 1 = 0 1 1 1 = 0 1 0 1 = A + 2A , 3 2
2 0 = A , 1 3
故
1 0 0 (T ( A1), T ( A2), T ( A3)) = ( A1, A2, A3) 1 1 0 , 1 2 1
1 0 0 从而, T 在基 A1, A2, A3 下的矩阵 A = 1 1 0 . 1 2 1
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