组合图形中圆的周长与面积
戴龙
一、学习目标:
1.巩固加深对圆的周长与面积的理解与计算,掌握在组合图形中求圆的周长及面积的
方法
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。
2.提高自己思维的灵活性。
二、知识基础:
1.什么叫圆的周长?围成圆的曲线的长叫圆的周长。
什么叫圆的面积?圆所占平面的大小叫圆的面积?
2.怎样求圆的周长和面积?
圆的周长:c=πd或c=2πr。
圆的面积:
3.一个边长2分米的正方形剪下一个最大的圆,圆的周长为(6.28)分米。面积为(3.14)平方分米。
4.在一个正方形内做一个最大的圆,圆的面积是正方形面积的(
)
正方形的边长就是圆的直径,设圆的直径为2r,半径为r,圆面积为
正方形边长就为2r,正方形面积为
所以
三、方法例谈
例1:将半径分别为3厘米和2厘米的两个半圆如图放置,求阴影部分周长。
请认真看图:阴影部分周长是由哪些组合起来的?
怎样分别求出这几部分的长度?
AC=2—1=1厘米
;
阴影部分周长:
答:阴影部分周长为19.7厘米
例2:如图:从点A到点B沿大圆周长和沿着中、小圆的周长走,路程相同吗?
①认真看图:大圆周是由哪几部分组成?中、小圆周是由哪几部分组成?
②这题是要我们求什么?
求大圆的半周长,求中、小圆的半周长,然后进行比较大小
③怎样进行计算呢?
设中圆直径为D,小圆直径为d,则:大圆直径为D+d,所以
所以:
这就是说两种求法经过的路程是相同的。
小结:求组合图形的周长时要首先认真看图,认真观察看所求周长是由哪几部分组成的,最后确定解答方法。
尝试练习:一个圆的周长增加了10厘米,这个圆的半径增加了多少?
解:这个题可以看作现在的圆周长与原来圆周长组合而成的复合图形。设现在圆周长为
,原来为
,现在圆的半径为R,原来圆的半径为r。
即2πR-2πr=10
2π(R-r)=10
。
答:这个圆的半径增加了1.59cm.
例3.在下列各图中,正方形边长为a,求阴影部分面积
(1) (2)
师:首先进行观察(1)(2)两图中阴影均为不规则图形,不能直接求出其面积。(1)中可用正方形面积减扇形面积。
(1)正方形面积为:
扇形面积为:
阴影面积:
(2)先求扇形面积,再减去空白三角形的面积:
扇形面积
;
阴影面积
。
师:在组合图形中,有些图形面积不易直接计算,可以先求出一个比它更大的图形的面积,再减去比原图形多的那个图形的面积。简单说,先多算一点,再把多算的部分减去。
例4.在下图中,圆的半径为r,求阴影部分的面积。
解法I:认真观察,会发现
圆的水平直径将这个图形分为上、下两层,显然有如下关系:
上面阴影面积:
下面阴影面积:因为圆的水平直径将圆分为上、下两部分,底为4r
整个图形中阴影面积为:
小结:当某些图形面积不易直接计算时,可以把这个图形分成几个部分,计算各部分的面积,然后相加简单地说就是化整为零。
解法Ⅱ:将原图的上半部分以水平直径为轴顺时针旋转,使阴影部分进行拼和而成为两个三角形:
由此可看出所求面积是梯形面积与三角形面积的差。
如果将左图中右边带阴影三角形逆时针旋即可成为如下图:
显然这个大三角形的两条直角边都等于2r,所以:
小结:当某些图形的面积不易直接计算时,可以把这个图形的各个部分适当地拼接成一个易于直接计算的图形,也就是说化零为整。
四、解决问题:
①如图,已知半圆的面积是78.5平方厘米,求阴影部分面积
认真观察会发现:阴影面积是先求出长方形面积,再用长方形减去半圆面积。即先多求一点。再减去多余部分。
半圆面积:
长方形面积:
阴影面积:100-78.5=21.5平方厘米
②正方形ABCD中,BD为20厘米,另外C又在以A为圆心的圆周上,求阴影部分面积
以BD为底三角形BDC的高为
所以△BDC面积为
正方形面积为
大扇形面积为
阴影面积为:
五、知识结构:
六、结束语:
组合图形,构图不是单一的,大家要认真观各部分之间关系,或求差,或化整为零,或化零为整。有时还要综合运用,才能透过复杂现象,寻求到解决问题的办法。
同学们,这节课就上到这里,再见。