考虑随机因素的欧式期权二叉树定价[权威资料]

考虑随机因素的欧式期权二叉树定价[权威资料] 考虑随机因素的欧式期权二叉树定价 本文档格式为WORD,感谢你的阅读。 【摘要】在新型二叉树参数模型的基础上，引入随机的系数变量，推导欧式期权价格。 【关键词】期权定价;二叉树图定价方法;随机性 期权是一种赋予持有人在某给定时间或该日期之前的任何时间以固定价格购进或售出某项标的资产的权利的合约。1979年Cox、Ross和Rubinstein提出二叉树期权定价(CRR)模型，最初是为Black-Scholes模型提供一种简单的推导方法，但随着研究的深入，二叉树期权定价(CRR)模型不仅成为解释Black-Scholes模型的一种辅助工具，而且也是建立复杂期权定价模型的重要手段。其后，推导出新型二叉树参数模型[3]，以克服二叉树期权定价(CRR)模型的不足。 本文就二叉树模型的系数变量的随机性进行探讨，并在新型二叉树参数模型的基础上，引入随机的系数变量，推导欧式期权价格。为方便，假设市场股票不分红且没有税费、交易成本和边际成本。 一、原有二叉树参数模型的构造 构造二叉树参数模型的基本思路就是让Δt时间间隔内二叉树模型中的均值和方差与股票价格的行为模式中推导出的均值和方差相等，以此建立方程组，进而求出参数p，u，d。二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔Δt，并假设在每一个时间间隔Δt内证券价格只有两种变化:从开始的S上升到原来的u倍，即到达Su;下降到原 来的d倍，即Sd。其中，u>1，d<1，价格上升的概率假设为p，下降的概率假设为1-p。在风险中性世界里: (1)所有可交易证券的期望收益率都是无风险利率; (2)未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。 在风险中性的条件下，设当前时刻t的股票价格为S，标的证券的预期收益率应等于无风险利率r，已知股票价格行为模型(有时也称为几何布朗运动)为: dS=rSdt+σSdZ 其中r是股票价格的预期收益率，σ是股票价格的波动率，dW=εXΔt是 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 维纳过程，ε为从标准正态分布中抽取的随机值。假定期初的股价为St，则在很短的时间间隔Δt末的股票价格为St+Δt，于是 lnSt+Δt1St,N(r-σ212)Δt，σ2Δt 故St+Δt的数学期望和方差分别为: E[St+Δt]=SterΔt， Var[St+Δt]=S2te2rΔteσ2Δt-1 因此，参数p，u，d的值必须满足这个条件: E[St+Δt]=SterΔt=pStu+(1-p)Std 即pu+(1-p)d=erΔt(1) Var(St+Δt)=ES2t+Δt-E2St+Δt=S2tpu2+S2t(1-p)d2-S2te2rΔt=S2te2rΔteσ2Δt-1 化简后得: pu2+(1-p)d2=e2rΔt+σ2Δt(2) 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 (1)、(2)给出了p，u和d的两个条件。Cox，Ross和Rubinstein所用的第三个常用条件是取 u=11d(3) 由公式(1)求出概率p(风险中性概率): p=erΔt-d1u-d 代入(2)式，得: (u+d)erΔt-1=e2rΔt+σ2Δt 使用Cox，Ross和Rubinstein所用的条件(3)有 u2erΔt-ue2rΔt+σ2Δt+1+erΔt=0 取二次方程的根 u=e2rΔt+σ2Δt+1+e2rΔt+σ2Δt+12-4e2rΔt12erΔt 在以下求解过程中采用关于Δt的一阶近似，可得到参数公式: p=erΔt-d1u-du=eσΔtd=e-σΔt 二、新型二叉树参数模型的构造 由于补充d=1/u仅是由于据此导出的参数公式(3)在实际使用中比较方便，而这样的参数选择就存在明显缺陷:首先，方程组的求解过程是一种近似求解，这将导致计算的不准确;其次，对于较小的波动率σ，它将产生大于1或负的概率。例如，取r=0.12，Δt=0.1，σ=0.01，由p=erΔt-d1u-d，u=eσΔt和d=e-σΔt可计算得到概率p=2.4080，1-p=-1.4080，这是无意义的结果。因此，在此基础上，推广出新型二叉树参数模型。 由于变量St+Δt1St服从均值为1+rΔt，标准差为σΔt的正态分布。而正态分布的奇数阶中心矩为零，从而可得E(St+Δt1St)3=0，继续可推出ES3t+Δt=S3t(3e3rt+σ2Δt-2e3rt)。因此可得方程 ES3t+Δt=pu3S3t+(1-p)d3S3t=S3t(3e3rt+σ2Δt-2e3rt)， 即pu3+(1-p)d3=3e3rt+σ2Δt-2e3rt(4) 从而联立(1)，(2)，(4)解这个方程组可得 p=112 u=erΔt+erΔteσ2Δt-1 d=erΔt-erΔteσ2Δt-1 可以看到求解方程组的过程是一种精确求解，结果也相当合理:S上升和下降的概率p=1-p=112是相同的，新型参数模型永远不会产生负的概率，而且它也具有很高的计算精度。 三、考虑随机因素的二叉树定价方法 上述的二叉树参数模型的构造以及新型二叉树参数模型的构造中，均假定无风险利率r和股票价格的波动率σ全为常数。下面考虑r和σ为随机数的情况。由上述的二叉树参数模型的构造以及新型二叉树参数模型的构造中可看出，u和d的值依据于r和σ，从而u和d也为随机数。首先依旧把期权的有效期分为很多很小的时间间隔Δti;i=1，2，...，N，考虑ri和σi在每个Δti;i=1，2，...，N内常数，即ri和σi分别每一个Δti对应的时间区间t+Δt相等，而在不同的时间间隔Δti，Δtj;i?j;i，j=1，2，...，N内ri和σi不一定相同;从而ui和di亦在每个Δti内常数，即ui和di亦分别在每一个Δti对应的时间区间t+Δt相同，而在不同的时间间隔Δti，Δtj;i?j;i，j=1，2，...，N内不一定相等。假设在每一个Δti对应的时间区间t+Δt证券价格只有两种变化:从开始的S上升到原来的ui倍，即到达St+Δt=uiSt;下降到原来的di倍，即St+Δt=diSt。其中，ui>1，di 在风险中性的条件下，标的证券的预期收益率应等于无风险利率r，已知股票价格行为模型服从几何布朗运动。假定期初的股价为St，则在很短的第i个时间间隔Δt末的股票价格为St+Δt，于是ΔSt=riSt+σiStεΔt 对于lnSt+Δt1St,,N(ri-σ2i12)Δt，σ2iΔt，从而在每个Δti内，由新型二叉树参数模型可类似得到如下方程组: piui+(1-pi)di=eriΔt piu2i+(1-pi)d2i=e2riΔt+σ2iΔt piu3i+(1-pi)d3i=3e3rit+σ2iΔt-2e3rit 同理可解得 pi=112 ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1 di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1 以欧式看涨期权为例，将该期权有效期划分为N个长度为Δt的小区间，令fij(0?i?N，0?j?2i)表示在时间iΔt时第j个节点处的美式看跌期权的价值，我们将Vij称为结点(i，j)的期权价值。 此时可以得到看涨期权价格的二叉树图最后一列，即取max(SN-K，0)+，SN表示N期时的股票价格，对于期权价格的最后一列，首先从图的最后一列算起。 由风险中心定价有:VN-1，0=e-rΔt(pi(ΠNi=1uiS0-K)++(1-pi)(ΠN-1i=1uidNS0-K)+)。 其中，pi=112;ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1;di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1 接下来，计算最后一列期权二叉树其余所有节点处的值，再按同样的方法计算依次倒推计算其余各列期权二叉树节点的值，最终可以确定该期权的价格。 应用上述方法计算某两期到期的欧式看涨期权，假设该股票的初始价格S0=50，执行价格K=50，到期日T=1，Δt=0.5。假定无风险利率r为区间[0.01，0.1]之间均值为0.05的随机数，标的股票波动率σ为区间[0.1，0.3]之间均值为0.2的随机数。由于r和σ的随机性，所以u和d在每次计算所得期权价格是不同的，所以计算时应该多次计算，取平均值。 通过200次计算，所得期权价格计算结果的分布见图1，其平均值为3.5679。可以看出，计算平均值在20次以后波动很小，趋于稳定，表明计算方法的稳定性很好。图2给出了期权价格与其均值绝对偏差的平均值，80次后该值稳定，约为0.2，因此本方法计算的期权价格主要位于区间[3.5679-0.2，3.5679+0.2]内。 参考文献: [1]Cox J C，Ross SandRubinstein. Optionpricing:a simplifiedapproach[J]. Journal of Finacial Economics，1979，7:229263 [2]Black F and Scholes. The pricing of options andcorporate liabities[J]. Journal of Political Economy，1973，81:637659 [3]新型二叉树参数模型在亚式期权定价中的应用.连颖颖.河南师范大学学报(自然科学版)[J]，第38卷，第2期，2010年3月 文档资料:考虑随机因素的欧式期权二叉树定价 完整下载 完整阅读 全文下载 全文阅读 免费阅读及下载 阅读相关文档:浅析内部审计的定位 企业内部审计存在的问题及对策研究 准金融机构接入征信系统的可行性研究 社会责任会计及其财务 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 体系探讨 浅析担保会计准则对担保行业的影响 当前农村金融服务存在的问题及建议 我国内部控制信息披露文献综述 对新三板做市商准入 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 的思考 试论农村经济的可持续发展 对农民工城市住房问题的现状及解决措施的分析 市场经济与政府经济管理职能探究 农产品价格波动的投入产出分析 路政人员身体健康与社会经济价值的几点思考 贫困女大学生消费研究 乐山旅游业与新型城镇化的关系研究 浅谈顾客让渡价值视角下的社会化媒体营销模式创新 我国房地产行业发展的周期性波动研究 最新最全【学术论文】【总结报告】 【演讲致辞】【领导讲话】 【心得体会】 【党建 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 】 【常用范文】【分析报告】 【应用文档】 免费阅读下载 *本文收集于因特网，所有权为原作者所有。若侵犯了您的权益，请留言。我将尽快处理，多谢。*