人教A版高中数学必修二《第八章 立体几何初步》单元导学案

人教版高中数学必修二《第八章立体几何初步》单元导学案8.1基本几何图形第1课时棱柱、棱锥、棱台【学习目标】知识目标1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型．3．与平面几何体的有关概念、图形和性质进行适当类比，初步学会用类比的思想分析问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 和解决问题．核心素养1.数学抽象：多面体与旋转体等概念的理解；2.逻辑推理：棱柱、棱锥、棱台的结构特点；3.直观想象：判断空间几何体；4.数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转化的思想方法.【学习重点】：掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征；【学习难点】：棱柱、棱锥和棱台的侧面展开图问题.【学习过程】一、预习导入阅读课本97-100页，填写。1、空间几何体定义：如果只考虑物体的_________和_________，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的_________就叫做空间几何体。2、多面体与旋转体多面体的定义：由__________________围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的______；相邻两个面的__________叫做多面体的棱；棱与棱的__________叫做多面体的顶点．旋转体的定义：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定_________旋转所形成的_________叫做旋转体．3、、几种基本空间几何体的结构特征（1）棱柱：有两个面互相_________，其余各面都是_________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相_________。棱柱中，两个互相_________的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的_________叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的_________叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……用各顶点_________ 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示棱柱，如棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。（2）棱锥：有一个面是_________，其余各面都是__________________的三角形.底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫_________。棱锥也用顶点和底面_________表示，如棱锥S-ABCD。（3）棱台：用一个_________于棱锥底面的平面区截棱锥，_________之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点。由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……用各_________表示棱柱，如棱台ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。小试牛刀1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形．(　　)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．(　　)(3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．(　　)2．下面图形中，为棱锥的是(　　)A．①③　　B．①③④C．①②④D．①②3．下列图形中，是棱台的是(　　)4．一个棱柱至少有______个面，顶点最少的一个棱台有______条侧棱．【自主探究】题型一棱柱、棱锥、棱台的结构特点例1　(1)下列命题中正确的是________．(填序号)①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面；③三棱锥的任何一个面都可看作底面；④棱台各侧棱的延长线交于一点．(2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．①这是一个六面体.②这是一个四棱台.③这是一个四棱柱.④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到．⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．　跟踪训练一1、棱台不具备的特点是(　　)A．两底面相似　B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点2、给出下列几个命题，其中错误的命题是(　　)A．棱柱的侧面都是平行四边形B．棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点C．多面体至少有四个面D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台题型二简单结合体的判断例2　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．跟踪训练二1、如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体有几个面、几个顶点、几条棱？题型三空间几何体的侧面展开图例3　如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？例4　长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．跟踪训练三1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是(　　)2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是(　　)A．1B．2C．快D．乐【达标检测】1．下面图形中，为棱锥的是(　　)A．①③B．①③④C．①②④D．①②2．下列说法正确的是(　　)A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱3．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．4．一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.5．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．答案小试牛刀1.(1)√(2)×(3)×2．C.3．C.4.53.自主探究例1　【答案】(1)③④　(2)①③④⑤.【解析】(1)结合有关多面体的定义及性质判断．对于①，还可能是棱台；对于②，只要看一个正六棱柱模型即知是错的；对于③，显然是正确的；④显然符合定义．故填③④.(2)①正确．因为有六个面，属于六面体的范围．②错误．因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．③正确．如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱．④⑤都正确．如图所示．跟踪训练一【答案】1、C.2、D.【解析】1.由棱台的定义及特征知，A、B、D是棱台的特点，故选C.2.根据各种几何体的概念与结构特征判断命题的真假．A、B均为真命题；对于C，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故C也是真命题；对于D，只有当截面与底面平行时才对．例2　【答案】(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，祥见解析．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.【解析】(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.　跟踪训练二1、【答案】这个几何体有8个面；6个顶点；12条棱．【解析】这个几何体有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．例3　【答案】①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．【解析】　①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．例4　【答案】最短路线长为eq\r(74).【解析】沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝eq\r(42＋5＋32)＝eq\r(80)＝4eq\r(5).(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝eq\r(32＋5＋42)＝eq\r(90)＝3eq\r(10).(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝eq\r(4＋32＋52)＝eq\r(74).相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为eq\r(74).跟踪训练三【答案】1、C.2、B.【解析】1、选C　将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．2、选B　由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.当堂检测1-2.CD3.569.4.60°.5．【答案】见解析【解析】过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一).8.1基本几何图形第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体【学习目标】知识目标1．认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．2．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．核心素养1.数学抽象：简单组合体概念的理解；2.逻辑推理：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特点；3.直观想象：判断空间几何体；4.数学运算：球的相关计算、最短距离等；5.数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转化的思想方法.【学习重点】：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；【学习难点】：旋转体的相关计算.【学习过程】一、预习导入阅读课本101-104页，填写。一、常见的旋转体1、圆柱：定义：以_______的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。旋转轴叫做圆柱的_______；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的_______；平行于轴的边旋转而成曲面叫做圆柱的_______；无论旋转到什么位置，_______于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。圆柱用表示它的_______的字母表示，如圆柱O’O。2、圆锥：以______________的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体。圆锥也有_______、_______、_______和_______。圆锥也用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO。3、圆台：用平行于_______底面的平面去截圆锥，_______和_______之间的部分叫做圆台。圆台也有轴、底面、侧面、母线。圆台也用表示它的轴的字母表示，如圆台O’O。4、球：以半圆的_______所在的直线为旋转轴，半圆面旋转_______形成的旋转体叫做球体。半圆的圆心叫做_______，半圆的半径叫做球的_______，半圆的直径叫做球的_______，球常用球心字母O表示，如球O。小结：常见空间几何体有棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球。其中_______、_______统称为柱体，_______、_______统称为锥体，_______、_______统称为台体，所以简单空间几何体概括分类为：柱体、锥体、台体和球体。二、简单组合体1．简单组合体的定义由___________________组合而成的几何体叫作简单组合体．2．简单组合体的两种基本形式(1)由简单几何体_______而成；(2)由简单几何体_____________________而成。小试牛刀1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．(　　)(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(　　)(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．(　　)(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(　　)2．下列说法不正确的是(　　)A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的侧面展开图是一个扇形C．圆台的侧面展开图是一个梯形D．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径3．如图所示，其中为圆柱体的是(　　)4．如图所示，已知圆锥SO的母线长为5，底面直径为8，则圆锥SO的高h＝________.【自主探究】题型一旋转体的结构特点给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．跟踪训练一1、判断下列各命题是否正确．(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．题型二简单组合体例2　观察下列几何体的结构特点，完成以下问题：(1)几何体①是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，使得旋转该图形180°后得到几何体①.(2)几何体②的结构特点是什么？试画出几何图形，使得旋转该图形360°得到几何体②.(3)几何体③是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数．跟踪训练二1、下列组合体是由哪些几何体组成的？题型三旋转体的有关计算例3　已知球的半径为10cm，若它的一个截面圆的面积为36πcm2，则球心与截面圆圆心的距离是________cm.例4如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？跟踪训练三如图,圆台侧面的母线AB的长为20cm,上、下底面的半径分别为5cm,10cm,从母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.【达标检测】1．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)A．圆柱　　　　　　　　　B．圆锥C．球D．圆台2．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是(　　)A．4πB．8πC．2πD．π3．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．4．在半径为25cm的球内有一个截面,它的面积是49πcm2,则球心到这个截面的距离为________. 5．如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单几何体组成的.答案小试牛刀1.(1)×(2)×(3)√(4)×2．C.3．C.4.3.自主探究例1　【答案】（1）（2）.【解析】解析　(1)正确，圆柱的底面是圆面．(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．跟踪训练一1、【答案】(1)错误．(2)正确．(3)错误．【解析】(1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(2)正确．(3)错误．应为球面．例2　【答案】　(1)几何体①是由圆锥和圆台组合而成的．图见解析.(2)几何体②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥而得到，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．图见解析.(3)几何体③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．该几何体共有9个面、9个顶点、16条棱.【解析】　(1)几何体①是由圆锥和圆台组合而成的．可旋转如下图(a)180°得到几何体①.(2)几何体②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥而得到，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．可旋转如图(b)360°得到几何体②.(3)几何体③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．该几何体共有9个面、9个顶点、16条棱.　跟踪训练二1、【答案】(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．.【解析】(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．例3　【答案】8.【解析】如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可．由已知，R＝10cm，由πr2＝36πcm2，得r＝6cm，所以d＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(100－36)＝8(cm)．例4【答案】2eq\r(1＋π2).【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝eq\r(A′B′2＋AA′2)＝eq\r(4＋2π2)＝2eq\r(1＋π2)，跟踪训练三1、【答案】50cm.【解析】作出圆台的侧面展开图,如图所示,由Rt△OPA与Rt△OQB相似,得=,即=,解得OA=20,所以OB=40.设∠BOB′=α,由弧BB′的长与底面圆Q的周长相等，得2×10×π=π·OB·,解得α=90°.所以在Rt△B′OM中,B′M2=OB′2+OM2=402+302=502,所以B′M=50.即所求绳长的最小值为50cm.当堂检测1-2.CC3.①②③⑤.4.24cm.5．【答案】该组合体是由一个圆柱、两个圆台拼接而成的.【解析】如图1所示,①是矩形,旋转后形成圆柱,②③是梯形,旋转后形成圆台.所以旋转后形成的几何体如图2所示,通过观察可知,该组合体是由一个圆柱、两个圆台拼接而成的.8.2立体图形的直观图【学习目标】知识目标1．掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图．2．通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图．核心素养1.数学抽象：斜二测画法的理解；2.数学运算：与直观图还原的有关计算；3.数学建模：画平面几何和空间几何体的直观图.【学习重点】：用斜二测画法画空间几何值的直观图；【学习难点】：用斜二测画法画空间几何值的直观图.【学习过程】一、预习导入阅读课本107-111页，填写。1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使____________________________，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_____于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中_______________，平行于y轴的线段，______________________.2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出__________(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．(3)擦去辅助线，__________用虚线表示．小试牛刀1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°(　　)(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变(　　)2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(　　)3.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．【自主探究】题型一水平放置的平面图形直观图的画法例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.跟踪训练一1.画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图.题型二几何体的直观图画法例2　用斜二测画法画长、宽、高分别是3cm、2cm、1.5cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．例3已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长为3cm的圆柱的直观图.跟踪训练二1．用斜二测画法画一个底面边长为4cm，高为6cm的正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图．2.一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3cm,高为4cm,圆锥的高为3cm,画出此几何体的直观图.题型三与直观图还原有关的计算问题例4　如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形O′A′B′C′，则原图形的周长是______cm.跟踪训练三1、已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2【达标检测】1．利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（）①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.A．①②B．③④C．①③D．②④2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）．A．B．C．D．3．用斜二测画法画出的水平放置的一角为60°，边长是4的菱形的直观图的面积是______.4．如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是______.（填序号）①；②；③；④.5．画棱长为2cm的正方体的直观图．答案小试牛刀1.(1)×(2)×2．A.3．9.自主探究例1【答案】见解析.【解析】（1）如图（1），在正六边形中，取所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O.在图（2）中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使.（2）在图（2）中，以为中点，在x轴上取，在轴上取以点为中点，画平行于轴，并且等于；再以为中点，画平行于轴，并且等于.（3）连接，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形水平放置的直观图图（3）.　　跟踪训练一1.【答案】见解析【解析】　(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′轴上截取O′A′＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(\r(3),4)cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．(3)擦去坐标轴得直观图△A′B′C′.例2　【答案】见解析【解析】　(1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝3cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱，过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．例3【答案】见解析【解析】(1)画轴.如图所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.(2)画下底面.在x轴上取A,B两点,使OA=OB=1cm.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.(3)画上底面.在Oz上截取点O′,使OO′=3cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.(4)成图.连接AA′，BB′,整理得到圆柱的直观图.跟踪训练二1．【答案】见解析【解析】(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O，如图①所示．(2)画底面：按x′轴、y′轴画边长为4cm的正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，使它们都等于6cm.(4)成图：顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图，如图②所示．2.【答案】见解析【解析】(1)画轴.如图1所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.(2)画圆柱的两底面.在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′,使OO′=4cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于圆锥的高3cm.(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此几何体的直观图,如图2所示.例4　【答案】8．【解析】将直观图还原为原图形，如图所示，可知原图形为平行四边形，且AO⊥BO.又OA＝O′A′＝1cm，OB＝2O′B′＝2cm，所以AB＝＝3cm.故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm)．跟踪训练三1、【答案】D.【解析】选D　由于S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，且eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\f(\r(2),4)，所以S△A′B′C′＝eq\f(\r(2),4)S△ABC＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.当堂检测1-2.BA3..4.③.5．【答案】见解析【解析】(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2cm，AD＝1cm.(2)过点A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2cm.(3)连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【学习目标】知识目标1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．核心素养1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【学习重点】：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；【学习难点】：棱台的体积公式的理解.【学习过程】一、预习导入阅读课本114-115页，填写。（一）　棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个_______图形围成的多面体，因此它们的表面积等于_______的面积之和，也就是_______的面积．（二）　棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝_______.2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝_______.3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝______________.小试牛刀1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个几何体的展开图有多种形式,所以其表面积是不确定的.(　　)(2)锥体的体积等于底面面积与高之积.(　　)(3)任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥.(　　)2．若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm，则长方体的体积为(　　)A．27cm3　　　　　　　　B．60cm3C．64cm3D．125cm33．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积等于________．【自主探究】题型一棱柱、棱锥、棱台的表面积例1已知如图，四面体的棱长均为，求它的表面积．跟踪训练一1、如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.46m，问：制造这个滚筒需要________m2铁板(精确到0.1m2)．题型二棱柱、棱锥、棱台的体积例2如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．例3如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？跟踪训练二1、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________；2、　如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．【达标检测】1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为(　　)A．22　　B．20C．10D．112．已知高为3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B－AB1C的体积为(　　)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),4)3．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．4．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．5．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．答案小试牛刀1.(1)×(2)×(3)√2．B.3．6＋2eq\r(2).自主探究例1【答案】【解析】因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．因为BC＝SB＝a，SD＝,所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.故四面体S－ABC的表面积S＝4×a2＝a2.　　跟踪训练一1、【答案】5.6【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46m，所以底面正六边形的边长是0.46m.所以S侧＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝4.416＋2×eq\f(\r(3),4)×0.462×6≈5.6(m2)．故制造这个滚筒约需要5.6m2铁板．例2【答案】eq\f(1,6).【解析】　V三棱锥A－DED1＝V三棱锥E－DD1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).例3【答案】【解析】由题意知长方体的体积，棱锥的体积，所以这个漏斗的容积.跟踪训练二1、【答案】8eq\r(3).【解析】由题意，设AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，则BD＝C1D＝eq\r(a2＋\f(b2,4))，BC1＝eq\r(a2＋b2)，由△BC1D是面积为6的直角三角形，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4)b2))×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又eq\f(1,2)×eq\f(3,2)a2＝6，∴a2＝8，∴b2＝16，即b＝4.∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，∴V＝eq\f(\r(3),4)×8×4＝8eq\r(3).2、　【答案】见解析【解析】如图，连接EB，EC.四棱锥E－ABCD的体积V四棱锥E－ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝eq\f(1,2)V三棱锥C－ABE＝eq\f(1,2)V三棱锥E－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱锥E－ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.当堂检测1-2.AD3.9eq\r(3).4.8.5．【答案】(1)如图所示．(2)表面积(22＋4eq\r(2))cm2，体积10(cm3)．【解析】(1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝(22＋4eq\r(2))cm2，所求几何体的体积V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积【学习目标】知识目标1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．核心素养1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【学习重点】：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；【学习难点】：圆台的体积公式的理解.【学习过程】一、预习导入阅读课本116-119页，填写。（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l)圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)侧面展开图底面积S底＝2πr2S底＝____S底＝________侧面积S侧＝____S侧＝____S侧＝________表面积S表＝________S表＝________S表＝______________________（二）　棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝_________.2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝_________.3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝__________________.(三)球的体积公式与表面积公式　1．球的体积公式V＝_________(其中R为球的半径)．2．球的表面积公式S＝_________.小试牛刀1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个球的半径之比为1：3，则其表面积之比为1：9.(　　)(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．(　　)(3)圆台的高就是相应母线的长.(　　)2．直径为1的球的体积是(　　)A．1　　　B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,3)　　　　D．π3.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2,高为4cm,现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗),那么铸成的铜块的棱长是(　　)A.2cm　　　B.3cm　　　C.4cm　　　D.8cm4．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是________．【自主探究】题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例1　若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.跟踪训练一1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　)A．81πB．100πC．168πD．169π题型二圆柱、圆锥、圆台的体积例2如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）跟踪训练二1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．2.　梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．题型三球的表面积与体积例3如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.例4　平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为eq\r(2)，则此球的体积为(　　)A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π跟踪训练三1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)A.eq\f(4π,3)B.eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2)D.eq\f(π,6)2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．πa2B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2D．5πa2【达标检测】1．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　)A．4πSB．2πSC．πSD.eq\f(2\r(3),3)πS2．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(　　)A．7B．6C．5D．33．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．4．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.5．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1cm，求球的体积．答案小试牛刀1.(1)√(2)√(2)×2．B.3．C4.54π.自主探究例1【答案】8π　12π.【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4cm的等边三角形，∴OB＝2cm，PB＝4cm，∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π(cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π(cm2)．跟踪训练一1．【答案】C【解析】选C　先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.例2【答案】423.9kg【解析】一个浮标的表面积是，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料.跟踪训练二1.【答案】10π.【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.2.　【答案】见解析【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由上述计算知，圆柱的母线长为eq\r(3)a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3，V锥＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3.∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.例3【答案】【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.球的体积，圆柱的体积，.例4　【答案】B【解析】如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝eq\r(2)，O′M＝1.∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3).即球的半径为eq\r(3).∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.跟踪训练三1.【答案】A.【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V球＝eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4π,3).2．【答案】B.【解析】选B　由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，OP＝eq\f(1,2)a，所以球的半径R＝OA满足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＝eq\f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq\f(7,3)πa2.当堂检测1-2.AA3.eq\f(\r(3),3)π.4.4.5．【答案】eq\f(4\r(3),27)πcm3.【解析】如图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC，AC相切于点D，E.连接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝eq\f(1,2)AC.∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC).∵CD＝1cm，∴AC＝2cm，AD＝eq\r(3)cm，设OE＝r，则AO＝(eq\r(3)－r)，∴eq\f(r,\r(3)－r)＝eq\f(1,2)，∴r＝eq\f(\r(3),3)cm，V球＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))3＝eq\f(4\r(3),27)π(cm3)，即球的体积等于eq\f(4\r(3),27)πcm3.8.4.1平面【学习目标】知识目标1.正确理解平面的概念；2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,理解三个基本事实和三个推论的地位与作用.核心素养1.数学抽象：平面概念的理解；2.逻辑推理：点线共面、多点共线，多线共点问题；3.直观想象：点、直线、平面之间的位置关系.【学习重点】：1、平面的概念及表示；2、平面的三个基本事实和推论，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.【学习难点】：平面的三个基本事实的掌握与运用.【学习过程】一、预习导入阅读课本124-127页，填写。1、平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是__________________的.(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成_______,且横边长等于其邻边长的_______.如图(1).②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用_______画出来或者不画.如图(2).(3)平面的表示平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等.2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达点A在直线l上，则_______，点A在直线l外，则_______;点A在平面α内，则_______，点A在平面α外，则_______;直线l在平面α内，则_______，直线l在平面α外，则_______;平面α与平面β相交直线l，则______________.3、平面的基本事实文字语言图形语言符号语言基本事实1过______________的三点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α,使A,B,C∈α基本事实2如果一条直线上的_______在一个平面内,那么这条直线在此平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有_______公共点,那么它们有且只有一条_______的公共直线P∈α,P∈β⇒α∩β=l,且P∈l基本事实1的三个推论推论1：经过____________________________，有且只有一个平面.推论2：经过_____________________，有且只有一个平面.推论3：经过_____________________，有且只有一个平面.小试牛刀1.下列说法:①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面的长是100m,宽是90m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.其中正确的个数为(　　)(A)0(B)1(C)2(D)32.三条直线两两相交,可以确定平面的个数是(　　)(A)1个(B)1个或2个(C)1个或3个(D)3个3.若A∈平面α,B∈平面α,C∈直线AB,则(　　)(A)C∈α(B)C∉α(C)AB⊄α(D)AB∩α=C4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是____________________________. 【自主探究】题型一文字语言、图形语言、符号语言的转换例1　根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应图形:(1)A∈α,B∉α;(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α．跟踪训练一1、A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正确的是(　　)(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α⇒α∩β=直线AB(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合(D)l∈α,n∈α,l∩n=A⇒l与n确定唯一平面2、如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.题型二点线共面例2如图,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求证直线l1,l2,l3在同一平面内.　跟踪训练二1、空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的平面数是(　　)(A)1(B)2(C)3(D)1或3题型三多点共线、多线共点问题例3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.跟踪训练三1．如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)(A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面【达标检测】1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平面内”改成