人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳（拔高）：极坐标与参数方程

目录目录.....................................................................................................................................................1一、总论.....................................................................................................................................2二、考纲解读.............................................................................................................................2三、命题趋势探究.....................................................................................................................2四、知识讲解.............................................................................................................................31.极坐标系..................................................................................................................32.极坐标与直角坐标的互化.....................................................................................33.极坐标的几何意义.................................................................................................34.直线的参数方程.....................................................................................................45.圆的参数方程.........................................................................................................46.椭圆的参数方程.....................................................................................................57.双曲线的参数方程.................................................................................................58.抛物线的参数方程.................................................................................................5五、解答题题型归纳.................................................................................................................5核心考点1:参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化.................5核心考点2:参数方程中参数的几何意义............................................................10一、总论坐标系与参数方程它以函数、方程等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现参数的几何意义问题，其形式逐渐多样化，但只要知其本质，便可举一反三，金枪不倒.二、考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程,了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.8.掌握参数方程化普通方程的方法.三、命题趋势探究本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现.参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注.四、知识讲解1.极坐标系在平面上取一个定点O，由点O出发的一条射线Ox、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度(弧度制)来刻画(如图1和图2所示).这两个实数组成的有序实数对(,)称为点M的极坐标.称为极径，称为极角.xO(,)M图1yxO(,)Mxy图22.极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，其直角坐标为(,)xy，极坐标为(,)，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cossinxy或222tan(0)xyyxx（对0也成立）.3.极坐标的几何意义r——表示以O为圆心，r为半径的圆；0——表示过原点(极点)倾斜角为0的直线，0(0)为射线；2cosa表示以(,0)a为圆心过O点的圆.(可化直角坐标:22cosa222xyax222()xaya.)4.直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()yykxx，其中tan(k为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin()()cos2yyxx,即00cossinxxyy.记上式的比值为t,整理后得00costsinxxtyy,2也成立，故直线的参数方程为00costsinxxtyy(t为参数，为倾斜角，直线上定点000(,)Mxy，动点(,)Mxy，t为0MM的数量，向上向右为正(如图3所示).000(,)MxyO(,)Mxytyx图35.圆的参数方程若圆心为点00(,)Mxy，半径为r，则圆的参数方程为00cos(02)sinxxryyr.6.椭圆的参数方程椭圆2222C:1xyab的参数方程为cossinxayb（为参数，(02)）.7.双曲线的参数方程双曲线2222C:1xyab的参数方程为sectanxayb(,)2kkZ.8.抛物线的参数方程抛物线22ypx的参数方程为222xptypt（t为参数，参数t的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.五、解答题题型归纳核心考点1:参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化1.在直角坐标系xOy中，圆1C：224xy，圆2C：22(2)4xy.（1）在以O为极点，x轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆1C,2C的极坐标方程，并求出圆1C,2C的交点坐标（用极坐标表示）;（2）求出1C与2C的公共弦的参数方程.解析（1）圆1C的极坐标方程为2，圆2C的极坐标方程为4cos.24cos解得2，3，故圆1C与圆2C的交点的坐标为(2,),(2,)33.注：极坐标系下点的表示不唯一.（2）解法一：由cossinxy，得圆1C与圆2C的交点的坐标分别为(1,3),(1,3).故圆1C与2C的公共弦的参数方程为1(33)xtyt.解法二：将1x代入cossinxy得cos1，从而1cos.于是圆1C与2C的公共弦的参数方程为1()tan33xy.2.曲线C的直角坐标方程为2220xyx，以原点为极点，x轴的正半轴为极抽建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_.解析利用 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 法转化求解，直角坐标方程2220xyx可化为222xyx，将222xy，cosx代入整理得2cos。3.在庄角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程cossinxayb（为参数，0ab），在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为2sin()42m（m为非零数）与b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为.解析由已知可得椭圆 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程为22221xyab0ab。由2sin42m，可得sincosm。即直线的普通方程为xym。又圆的普通方程为222xyb，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点,co，则得cm，又因为直线l与圆O相切，所以2mb，因此2cb，即2222cac。整理，得2223ca，故椭圆的的离心率为63e。4.已知直线11cos:sinxtCyt（t为参数），2cos:sinxCy（为参数）.(1)当3时，求1C与2C的交点坐标；(2)过坐标原点O作1C的垂线，垂足为A，P为OA的中点.当变化时，求点P轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解析（1）当3a时，1C的普通方程为31yx。2C的普通方程为221xy。联立方程组22311yxxy，解得1C与2C的交点坐标为1,0，13,22。（2）设点,Pxy，2,2Axy，1,0B，由题意0OABA，得221240xxy，整理得2211416xy。故点P的轨迹是以104，为圆心，半径为14的圆。5.已知抛物线2:4Cyx，点(,0)Mm在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于,AB两点，O为坐标原点.(1)若1m时，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)若存在直线l使得||,||,||AMOMMB成等比数列，求实数m的取值范围.解析（1）若m=1时，M0,1，直线l的斜率为1，则直线l的方程为1xy,设1,1yxA,22,yxB,圆心001,yxO，联立方程142xyxy，消去y建立x的一元二次方程得0162xx，所以621xx，AB过焦点（1,0）,所以8221xxAB，那么以AB为直径的圆的方程为162322yx.（2）设直线l的参数方程为atmxatycossin（t为参数），代入抛物线方程中得：atmatcos4sin22，即04cos4sin22matat，amtt221sin4，且BMOMAM,,成等比数列，则BMAMOM2,即amm22sin4，得am2sin4，,0a，故m4.因此实数m的取值范围为,4.6.[选修4–4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30.(1)求2C的直角坐标方程；(2)若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程.6.【解析】(1)由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22(1)4xy.(2)由(1)知2C是圆心为(1,0)A，半径为2的圆.由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l.由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点.当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故43k或0k.经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，1l与2C只有一个公共点，2l与2C有两个公共点.当2l与2C只有一个公共点时，A到2l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故0k或43k.经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，2l与2C没有公共点.综上，所求1C的方程为4||23yx.7.在直角坐标系xOy中，直线1l的参数方程为2xtykt(t为参数)，直线2l的参数方程为2xmmyk(m为参数).设1l与2l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l：(cossin)20，M为3l与C的交点，求M的极径.7.【解析】(1)消去参数t得1l的普通方程:lykx12；消去参数m得2l的普通方程:lyxk212.设(,)Pxy，由题设得ykxyxk212，消去k得xyy2240.所以C的普通方程为xyy2240(2)C的极坐标方程为cossin2224,0＜＜2联立cossincossin2224+-2=0得cossincossin=2+.故tan13，从而cossin2291=，=1010代入cossin222-=4得2=5，所以交点M的极径为5.核心考点2:参数方程中参数的几何意义1.已知直线11:3xtlyt（t为参数），曲线13cos:2sinxCy（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求曲线1C的极坐标方程，直线1l的普通方程；（2）把直线1l向左平移一个单位得到直线2l，设2l与曲线1C的交点为M，N，P为曲线1C上任意一点，求PMN△面积的最大值．【解析】（1）把曲线13cos:2sinxCy消去参数可得22321xy，令cosx，siny，代入可得曲线1C的极坐标方程为223cos4sin60．把直线11:3xtlyt化为普通方程31yx．（2）把直线1l向左平移一个单位得到直线2l的方程为3yx，其极坐标方程为π3．联立223cos4sin60π3所以23360，所以1212336，故212121243．圆心到直线2l的距离为232122d，圆上一点到直线2l的最大距离为13122，所以PMN△面积的最大值为13333224S．2.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cossinxtyt（t为参数，0π），以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设1,0A，直线l交曲线C于M，N两点，P是直线l上的点，且211APAMAN，当AP最大时，求点P的坐标．【解析】（1）（t为参数）消去参数可得tan1yx，∴直线l的普通方程为tan1yx．由4cos可得24cos，将222xy，cosx代入上式可得2240xyx，∴曲线C的直角坐标方程为2240xyx．（2）设直线l上的三点M，N，P所对应的参数分别为1t，2t，t，将1cossinxtyt代入2240xyx，整理得22cos30tt，则122costt，123tt，1t与2t异号，由211APAMAN，得1212121212211ttttttttttt，122212121222330πcos34ttttttttt，当cos0，即π2时，t最大，此时AP最大，且max3t，此时3t，代入1cossinxtyt可得此时点P的坐标为1,3或1,3．3.在直角坐标系xOy中，曲线1C：cos,sin,xtyt(t为参数，t≠0)其中0≤，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C：2sin，3C：23cos.(Ⅰ)求2C与3C交点的直角坐标；(Ⅱ)若1C与2C相交于点A，1C与3C相交于点B，求||AB的最大值.3.【解析】(Ⅰ)曲线2C的直角坐标方程为2220xyy，曲线3C的直角坐标方程为22230xyx.联立222220,230,xyyxyx解得0,0,xy或3,23,2xy所以2C与1C交点的直角坐标为(0,0)和33(,)22.(Ⅱ)曲线1C的极坐标方程为(,0)R，其中0.因此A得到极坐标为(2sin,)，B的极坐标为(23cos,).所以2sin23cosAB4in()3s，当56时，AB取得最大值，最大值为4.4.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4.(1)M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足||||16OMOP，求点P的轨迹2C的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为(2,)3，点B在曲线2C上，求OAB面积的最大值.4.【解析】(1)设P的极坐标为(,)(0)，M的极坐标为1(,)1(0).由椭圆知||OP，14||cosOM.由||||16OMOP得2C的极坐标方程4cos(0).因此2C的直角坐标方程为22(2)4(0)xyx.(2)设点B的极坐标为(,)B(0)B.由题设知||2OA，4cosB，于是OAB面积1||sin2BSOAAOB4cos|sin()|332|sin(2)|3223≤.当12时，S取得最大值23.所以OAB面积的最大值为23.5.[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为cossinxy，(为参数)，过点(0,2)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点.(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.5.【解析】(1)O的直角坐标方程为221xy.当2时，l与O交于两点.当2时，记tank，则l的方程为2ykx.l与O交于两点当且仅当22||11k，解得1k或1k，即(,)42或(,)24.综上，的取值范围是(,)44.(2)l的参数方程为cos,(2sinxttyt为参数，44).设A，B，P对应的参数分别为At，Bt，Pt，则2ABPttt，且At，Bt满足222sin10tt.于是22sinABtt，2sinPt.又点P的坐标(,)xy满足cos,2sin.PPxtyt所以点P的轨迹的参数方程是2sin2,222cos222xy(为参数，44). 目录 一、总论 二、考纲解读 三、命题趋势探究 四、知识讲解 1.极坐标系 2.极坐标与直角坐标的互化 3.极坐标的几何意义 4.直线的参数方程 5.圆的参数方程 6.椭圆的参数方程 7.双曲线的参数方程 8.抛物线的参数方程 五、解答题题型归纳 核心考点1:参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化 核心考点2:参数方程中参数的几何意义