理论攻坚-数学运算1徐月春（全部讲义本节课笔记）

理论攻坚-数学运算1（全部讲义+本节课笔记）主讲教师：徐月春授课时间：2020.05.11粉笔公考·官方微信第三篇 数量关系与资料分析第二章  数学运算第一节 工程问题一、给完工时间型特征：给多个完成时间方法：（1）赋工作量（时间的公倍数）（2）计算效率（效率=工作量÷时间）（3）根据工作过程列式【例1】单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项工作。那么，甲实际工作了（）小时。A.2B.4C.5D.3【例2】一项工程由A与B两人合作完成，若由A、B独立完成，则分别需要18天和27天。现规定按如下 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 实施工程，先由A做一天，B接着做两天，再由A做一天，B接着做两天……如此反复，直到工程全部完成为止。则B实际做的天数为（）。A.13B.14C.15D.16118三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1182020-04-2718:30:08第二章  数学运算二、给效率比例型特征：给多个效率的比例关系方法：（1）赋效率（尽量赋为整数）（2）计算工作量（工作量=效率×时间）（3）根据工作过程列式【例3】甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比是5∶4∶6。先由甲、乙两人合作6天，再由乙单独做9天，完成全部工程的60%，若剩下的工程由丙单独完成，则丙所需要的天数是（）。A.9B.11C.10D.15【例4】某项工程，若王强单独做，需40天完成；若李雷单独做30天后，王强、李雷再合作20天可以完成。如两人合作完成该工程，王强第一天工作但每工作一天休息一天，问整个工程将会在第几天完成？（）A.44B.45C.46D.47【例5】某工程50人进行施工。如连续施工20天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇原料短缺，有5天时间无法施工。工期还剩8天时，工程队增派15人并加班施工。若工程队想按期完成，则平均每天需工作（）小时。A.12.5B.11C.13.5D.11.5三、给具体数值型特征：给效率的具体值或工作总量的具体值方法：方程法119三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1192020-04-2718:30:08第三篇 数量关系与资料分析【例6】甲、乙、丙三员工共同修剪6060平方米草地，甲的修剪效率为30平方米/分钟，乙的修剪效率为40平方米/分钟，丙的效率为60平方米/分钟。上午，甲7点30分开始修剪，乙7点45分开始，丙8点15分开始，他们同一时间完成工作，乙用了（）分钟。A.56B.57C.58D.59第二节 行程问题一、基础行程问题1.利用公式直接运算：路程=速度×时间2.火车过桥：路程=桥长+火车长2vv3.等距离平均速度：v=12vv12+【例1】某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，这列火车完全在桥上的时间是80秒，则火车速度是（）。A.10.2米/秒B.12.8米/秒C.550米/分D.600米/分【例2】甲去北京出差，去时坐飞机，返回时坐高铁。若飞机的速度比高铁快3倍，且往返平均速度为480千米/小时，问甲乘坐的飞机速度为多少千米/小时？（）A.720千米/小时B.768千米/小时C.960千米/小时D.1200千米/小时120三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1202020-04-2718:30:09第二章  数学运算二、相对行程问题1.相遇：同时出发，相向而行。路程和=（大速度+小速度）×相遇时间2.追及：同时出发，同向而行。路程差=（大速度–小速度）×追及时间3.环形：相遇n次，路程和为n圈；追及n次，路程差为n圈4.流水行船：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速–水速【例3】甲、乙两人从相距10千米的地方相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。甲出发时带着一只狗，狗每小时跑10千米，当狗碰到乙的时候就往回跑向甲，碰到甲的时候又折回跑向乙，如此反复。当甲、乙两人相遇时，狗跑的路程是（）。A.10千米B.12千米C.15千米D.20千米【例4】某宣讲团甲宣传员骑摩托车从红星村出发以20公里/小时的速度去相距60公里的八一村，1小时后由于路面湿滑，速度减少一半，在甲出发1小时后，乙宣传员以50公里/小时的速度开车从红星村出发追甲，当乙追上甲时，他们与八一村的距离为（）。A.25公里B.30公里C.35公里D.40公里【例5】甲、乙两人在600米的环形跑道上赛跑，两人从起跑线同时出发，若反向而跑，1分钟后相遇，若同向而跑，10分钟后甲超过乙一圈。问甲的速度是每分钟多少米？（）A.270B.300C.330D.360【例6】在一次航海模型展示活动中，甲、乙两款模型在长100米的水池两边同时开始相向匀速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若调头转身时间略去不计，在12分钟内甲、乙两款模型相遇次数是（）。A.9B.10C.11D.12【例7】一艘轮船先顺水航行40千米，再逆水航行24千米，共用了8小时。若121三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1212020-04-2718:30:09第三篇 数量关系与资料分析该船先逆水航行20千米，再顺水航行60千米，也用了8小时，则在静水中，这艘船每小时航行（）千米。A.11B.12C.13D.14三、比例行程1.s相等（不变），v、t成反比2.t相等（不变），s、v成正比3.v相等（不变），s、t成正比【例8】小王和小赵分别从甲、乙两地同时出发相向而行。相遇后又继续前行，小王又经过1小时到达乙地，小赵又经过9小时到达甲地。那么，小王走完全程用了（）个小时。A.4B.3C.9D.12第三节 经济利润问题一、基础经济问题公式：售价=成本+利润利润=成本×利润率售价=成本×（1+利润率）折扣=现价÷原价方法：方程法、赋值法122三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1222020-04-2718:30:09第二章  数学运算【例1】甲、乙两人在不同的商场销售同款篮球，如果按照篮球的标价销售，每个利润100元。恰逢端午节促销活动，甲打8折销售了篮球10个，乙每个篮球便宜40元销售了9个，结果甲、乙两人的获利一样多。问该款篮球的进价为多少元？（）A.130B.133C.160D.166【例2】根据商场活动需要，将两块售价不同的移动硬盘售价均调整为a元/块，结果在原来售价的基础上，一块盈利20%，而另一块亏损20%，因而总体亏损20元，则a的值为（）。A.200B.240C.260D.280【例3】某书店从图书批发商那里以图书定价的四折购进一批图书，又以定价的八折售出这批图书的60%，剩下40%的图书以六折的价格售完。那么这批图书的利润率是多少？（）A.68%B.70%C.72%D.80%二、分段计费问题特征：每一段的收费价格不同例如，出租车费、水费、电费、停车费、税费等方法：先分段计算，再汇总求和【例4】某市自来水公司实行阶梯收费，规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按每吨1.2元收费，超过15吨的部分按每吨3.5元收费，张大妈家10月份缴水费28.5元，则张大妈家10月份用水（）。A.17吨B.18吨C.19吨D.21吨123三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1232020-04-2718:30:09第三篇 数量关系与资料分析三、函数最值问题特征：单价与销量此消彼长，求利润/销售额最大方法：两点式【例5】某企业将进货单价为80元的服装按100元一件出售时能卖出800件，这种服装如果每件涨价10元，其销售量就会减少100件，为了获得最大利润，售价应定为每件（）元。A.110B.120C.130D.140第四节 排列组合与概率一、基础排列组合1.加法原理：分类用加法（要么……要么……）2.乘法原理：分步用乘法（既……又……）3.排列：与顺序有关（改变顺序，结果变化）4.组合：与顺序无关（改变顺序，结果不变）【例1】小李今天上午有a、b、c、d这4项工作要完成，下午有e、f、g这3项工作要完成，每半天内各项工作的顺序可以随意调整，则他今天有（）种完成工作的顺序。A.30B.60C.72D.144【例2】厨师要从6种主料中选取2种，8种辅料中选取3种烹制一道菜肴，问最多可以烹制多少种不同的菜肴？（）124三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1242020-04-2718:30:09第二章  数学运算A.288B.360C.420D.840【例3】从19、20、21、…、98、99这81个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法有（）种。A.1620B.1580C.1540D.1600【例4】某单位要从8名职员中选派4人去总公司参加培训，其中甲和乙两人不能同时参加。问共有多少种选派方法？（）A.40B.45C.55D.60二、常用方法1.捆绑法：相邻问题2.插空法：不相邻问题n-13.隔板法：m个相同物体分给n个不同主体，每个主体至少分得1个，则有Cm-1种分法4.错位排列：每个元素都不在原来位置上。D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44【例5】某场科技论坛有5G、人工智能、区块链、大数据和云计算5个主题，每个主题有2位发言嘉宾。如果 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，问共有多少种不同的发言次序？（）A.120B.240C.1200D.3840【例6】某地组织9名政协委员负责调研农民工子弟小学教学情况。调研结束合影前有3名委员因紧急工作已经离开，学校决定安排3名小学生代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 与委员一起坐在前排。现要求每位小学生的两边都坐着政协委员，一共有（）种不同的方式。A.7200B.29600C.43200D.362880125三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1252020-04-2718:30:09第三篇 数量关系与资料分析【例7】将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有（）种分配方法。A.14B.20C.18D.22【例8】四位同学的手机完全相同，他们将四部手机混放在一起再取回，只有一人拿到自己的手机，而其他三人均没有拿到自己的手机。这样的拿法共有多少种？（）A.6B.8C.10D.12三、概率满足条件的情况数1.给情况求概率：概率概率=总情况数2.给概率求概率：分步：概率=各步概率的乘积分类：概率=各类概率的和3.逆向思维概率公式：概率=1–不满足条件的概率【例9】某敬老院为了丰富广大老年人的晚年生活，决定本周的周一至周六每天播放一个戏曲选段。6天分别播放了彼此不同的3个川剧和3个京剧选段，那么刘大爷在周五、周六都看到川剧的概率是多少？（）A.10%B.20%C.30%D.40%【例10】甲参加某项知识竞赛，题目均为选择题，若甲答对每道题的概率为0.8，则在前3道题中，甲只答对一道题的概率为（）。A.0.64B.0.512C.0.096D.0.032【例11】一辆公交车从甲地开往乙地需经过三个红绿灯路口，在这三个路口遇到红灯的概率分别是0.4、0.5、0.6，则该车从甲地开往乙地遇到红灯的概率是（）。A.0.12B.0.50C.0.88D.0.89126三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1262020-04-2718:30:09第二章  数学运算第五节 计算问题一、简单计算1.尾数法什么时候用：（1）做加、减、乘、乘方计算；（2）选项的尾数不同怎么用：只取最后一位进行计算，结果也只保留最后一位2.基础公式提取公因式：ac+bc=（a+b）c平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）3.定义新运算新的运算符号，按规定计算。原有规则：先算括号，再算乘除，最后算加减22【例1】58+62＝（）A.7206B.7202C.7204D.7208【例2】16×48+72×15+24×23=（）A.2000B.2324C.2400D.2480【例3】在初等数学加、减、乘、除运算的基础上，假设一种新的运算符号“*”，规定x*y=（x+y）÷4，若（3*a）–2=10*2，则a的值是（）。22A.17B.35C.93D.3127三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1272020-04-2718:30:09第三篇 数量关系与资料分析二、数列1.等差数列通项公式：an=a1+（n－1）×d=am+（n-m）daa+2.等差数列求和公式：Sn=1n×=中位数×nn2n-1nm-3.等比数列通项公式:an=aq1=aqm×aq（）1-n4.等比数列求和公式:S=1（q≠1）n1-q【例4】前100个既能被2整除又能被3整除的正整数之和为（）。A.30296B.30300C.30312D.30306【例5】一个空箱子，每次往里放1、2、4、8、16、…个小球，从第5次开始，每次放入后便取出11、15、19、23、27、…个小球。问第几次操作后箱子内小球数多于900个？（）A.6次B.7次C.10次D.11次第六节 容斥问题一、公式法1.两集合容斥：A+B–A∩B=总数–都不2.三集合容斥：标准：A+B+C–A∩B–A∩C–B∩C+A∩B∩C=总数–都不非标准：A+B+C–满足两项–满足三项×2=总数–都不128三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1282020-04-2718:30:09第二章  数学运算二、画图法【例1】某班学生总数是32人，在第一次考试中有25人及格，第二次考试中有22人及格，若两次考试中，都及格的有20人，那么两次考试都不及格的人数有（）人。A.28B.4C.5D.6【例2】31个学生参加体育课期末考评，学生可以从铅球、100米短跑和跳远三个项目中任选至多两个项目。参加铅球、100米短跑和跳远的人数分别是15人、22人、20人，其中铅球和100米短跑都参加的有9人，铅球和跳远都参加的有6人，则100米短跑和跳远都参加的有几人？（）A.10B.12C.15D.11【例3】某小学开设了航模、美术、书法3个兴趣小组。已知四年级有43人报名参加航模小组，62人报名参加美术小组，90人报名参加书法小组，三个小组都报名的有20人，报名参加两个小组的有48人，不报名参加其中任何一个小组的有21人。问四年级共有多少名学生？（）A.107B.128C.148D.176【例4】某单位有72名职工，为丰富业余生活，拟举办书法、乒乓球和围棋培训班，要求每个职工至少参加一个班。已知三个班报名人数分别为36、20、28，则同时报名三个班的职工数至多是（）。A.6人B.12人C.16人D.20人公式无法解决，题目中出现“只满足一个”的条件从里到外，不重不漏129三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1292020-04-2718:30:09第三篇 数量关系与资料分析【例5】某单位派出80名职工参加三个项目的比赛：篮球、乒乓球、排球。其中有8个人只能参加乒乓球比赛，有52人能参加篮球比赛，62人能参加排球比赛。那么既能参加篮球比赛又能参加排球比赛的有多少人？（）A.42B.28C.78D.34第七节 高频几何问题一、公式类1.规则图形：套公式2.不规则图形：转化为规则图形3.常用公式（1）常用周长公式C正方形=4a；C长方形=2（a+b）；C圆形=2πR（2）常用面积公式2S正方形=a；S菱形=对角线乘积÷2；S长方形=ab；S平行四边形=ah；11nS=ah；S=（abh+）；S=πR2；SR=π2三角形2梯形2圆形扇形360（3）常用表面积公式222Sa正方体=6；S长方体=2ab+2bc+2ac；SR球=4π；S圆柱=2πR+2πRh（4）常用体积公式14V=a3；V=abc；V=Sh；V=Sh；V=πR3正方体长方体柱体锥体3球3130三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1302020-04-2718:30:09第二章  数学运算【例1】如图所示，在长为64米、宽为40米的长方形耕地上修建宽度相同的两条道路（一条横向、一条纵向），把耕地分为大小不等的四块。已知修路后耕地总面积为1377平方米，则该道路路面宽度为多少米？（）A.10B.11C.12D.13【例2】设一矩形ABCD的长与宽分别为a、b，点E是长边上的黄金分割点，即AE51−AG51−=。点G是短边上的黄金分割点，即=，则矩形DGHF与矩形EB2GD2BCFE的面积之比为（）。EABGHDCFA.（）51−∶2B.（）35−∶1C.（）52−∶1D.（）35−∶2【例3】两个侧面积相等的圆柱，它们的体积之比为V1∶V2=4∶3，则它们的底面积之比S1∶S2为（）。A.9∶4B.3∶2C.25∶16D.16∶9【例4】如图所示，一个小区的道路围成了一个五边形，经实地勘测，五边形内有三个角为直角，AD边、BC边和CD边长度相等，且OA边长度为其一半。已知AD边长20米，问道路围成的五边形面积为多少平方米？（）131三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1312020-04-2718:30:10第三篇 数量关系与资料分析OABDCA.（502+200）平方米B.（503+200）平方米C.（502+400）平方米D.（503+400）平方米二、几何计数1.枚举类：不重不漏2.涂色类：角、棱、面【例5】某人决定从西安到北京自驾游，可供他选择的道路如下图所示，如果他每次只能由西南到东北方向行驶，则他到北京有多少种不同的行驶路线？（）北京保定忻州阳泉延安运城临汾西安A.8B.9C.10D.11132三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1322020-04-2718:30:10第二章  数学运算【例6】将一个长为10厘米、宽为6厘米的长方体的所有外表面涂上蓝色颜料，然后将其恰好切成若干个棱长为1厘米的小立方体，已知在切成的小立方体中，有两面涂有颜料的小立方体个数是有三面涂有颜料的小立方体个数的8倍。则该长方体的高为多少厘米？（）A.4B.5C.6D.7133三支一扶考试职业能力倾向测验系统讲义.indb1332020-04-2718:30:10理论攻坚-数学运算1（本节课笔记）【注意】课堂小贴士：1.课程时间长，每节课休息5～10分钟。2.课前预习：建议大家课前预习，不预习不建议听课。预习时不要求所有题目都会做，但要对所有题目都有印象、有所了解，这样上课就不用浪费时间再读题。3.如果某道题没跟上，记下时间，课下听回放，不要影响下一道题听讲。4.听了回放还有疑问的题目，下节课提前15分钟来，有课前答疑。5.上课互动：听懂打1，不懂打0。第二章数学运算【注意】课程安排：1.第一天：工程问题、行程问题。这两种题型在考试中考频非常高。2.第二天：经济利润问题、排列组合与概率。3.第三天：计算问题、容斥问题、高频几何问题。第一节工程问题【知识点】工程问题：特征明显，套路性比较强。题目中出现做一项工程、加工一些零件、修一条路等表述的题目是工程问题。1.三量关系：总量=效率*时间。例：我每天做8个零件，现在做了5天，问一共做了多少零件？答：总量=8*5=40，8指的是效率，5指的是时间，40指的是工作总量。2.切入点：也就是三种常见考法。（1）给定完工时间型。（2）给定效率比例型。（3）给定具体单位型。一、给完工时间型特征：给多个完成时间方法：（1）赋工作量（时间的公倍数）（2）计算效率（效率=工作量÷时间）（3）根据工作过程列式【知识点】给定完工时间型（给多个完工时间）：时间一定要多个，“多个”即“不止1个（至少2个）”。1.例：搬完一车砖，小徐需要2小时，小龙需要3小时，现俩人合作搬完，需要多久？答：题目中给出多个时间，而且2小时和3小时都是完工时间，所以本题为给完工时间型工程问题。方法一：小学时的做法。设工作总量=1，则小徐效率=1/2，小龙效率=1/3，合作时间=总量/合作效率=1÷（1/2+1/3）。方法二：方法一中工作总量1是人为设定的值，可以设为任意值，都不影响最终结果。因为小徐效率=总量/2，小龙效率=总量/3，所以为了方便计算，避免出现分数，可以设总量为2和3的公倍数6，得到小徐效率=3，小龙效率=3，时间t=6/（3+2）=1.2。2.给定完工时间型工程问题三步走：（1）赋总量：为了方便计算，通常赋值总量为时间的公倍数。（2）算效率：效率＝总量/时间。（3）根据过程列式求解。3.找（最小）公倍数训练：用短除法，不断找几个数的公因子，除到不能约为止。（1）25、30：25和30的公因子为5，除以5，剩余5和6，5和6没有公1因子，外围所有数相乘，最小公倍数=5*5*6=150。（2）10、12、15：三个数之间没有公因子，改为两两之间找公因子。10和12之间有公因子2，除完之后剩余5和6，15自然下落；5和15之间有公因子5，除完之后剩余1和3，6自然下落；6和3之间有公因子3，除完之后剩余2和1，1自然下落。不能继续除，外围所有数相乘，最小公倍数=2*5*3*1*2*1=60。（3）有些人可以一眼看出最小公倍数，那样说明数字敏感性比较高，对于这样的同学，如果可以一口报出公倍数是非常好的，如果不能报出可以用短除法。如果认为短除法也很麻烦，可以直接几个数相乘，比如25*30一定是25、30的公倍数，但不是最小公倍数，同理，10*12*15一定是10、12、15的公倍数。【例1】单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项工作。那么，甲实际工作了（）小时。A.2B.4C.5D.3【解析】例1.题目中出现“工程”，所以本题为工程问题。给出多个完工时间（甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时），所以本题为给完工时间型工程问题，三步走：（1）赋总量：赋值总量为10、15、20的最小公倍数，本题三个数比较特别，因为20是10的倍数，所以只需要找15和20的公倍数，用短除法，公因子为5，剩余3和4，总量=最小公倍数=5*3*4=60。2（2）算效率：效率=总量/时间，甲的效率=60/10=6，乙的效率=60/15=4，丙的效率=60/20=3。（3）列式求解：整个工作过程分两个阶段，第一阶段甲乙丙三人工作，第二阶段甲调走，剩余乙丙工作，问甲工作多久，也就是问第一阶段的时间，设第一阶段的时间为t。方法一：全程总时间为6小时，所以第二阶段时间为6-t。总量=第一阶段+第二阶段=（6+4+3）*t+（4+3）*（6-t）=60，13t+42+7t=60，6t=18，解得t=3。方法二：甲工作时间为t，乙和丙的工作时间都是6小时，总量=6t+（4+3）*6=60，解得t=3。【选D】【注意】每个人思维习惯不同，考场中想到哪种方法就用哪种方法。【例2】一项工程由A与B两人合作完成，若由A、B独立完成，则分别需要18天和27天。现规定按如下方案实施工程，先由A做一天，B接着做两天，再由A做一天，B接着做两天……如此反复，直到工程全部完成为止。则B实际做的天数为（）。A.13B.14C.15D.16【解析】例2.题目中出现“工程”，所以本题为工程问题。给出多个完工时间（A、B独立完成，则分别需要18天和27天），所以本题为给完工时间型工程问题，三步走：（1）赋总量：赋值总量为18和27的公倍数。①用短除法求18和27的最小公倍数，两个数有公因子9，剩余2和3，最小公倍数=9*2*3=54。3②将较大的数扩大2倍、3倍……：27*2=54，54也是18的倍数，所以最小公倍数=54。（2）算效率：A效率=54/18=3，B效率=54/27=2。（3）列式求解：“先由A做一天，B接着做两天，再由A做一天，B接着做两天……如此反复”，工作是有规律的，工作形式为ABB、ABB……，具有周期性，要先将一个周期的工作量分析清楚。一个周期工作量=3+2+2=7，周期数=总量/一个周期的工作量=54/7=7轮……5，经过7轮然后重新开始，A做一天为3，B做一天为2，3+2=5，不需要最后一个B（只需要再一个A和一个B）。问B实际做的天数，每轮中B做了2天，最后还需要做1天，共需要2*7+1=15天。【选C】【注意】有时候出题人会在选项中设置8（7+1=8）为陷阱，注意每轮中B做2天，要乘以2。二、给效率比例型特征：给多个效率的比例关系方法：（1）赋效率（尽量赋为整数）（2）计算工作量（工作量=效率×时间）（3）根据工作过程列式【知识点】给效率比例型：1.例：小徐和小张的效率之比为2：3，两人合作完成一项工程需要4天，则小徐单独做需要几天？答：问题是求小徐单独做需要的天数，需要知道工作总量和工作效率。题目中没有工作总量，只给出效率比，所以根据效率比例进行赋值，赋值时只要满足比例即可，赋值小徐效率=2，小张效率=3。“两人合作完成一项工程需要4天”，总量=（2+3）*4=20。小徐单独做的时间t=总量/效率=20/2=10天。2.给效率比例型工程问题三步走：（1）赋效率：满足比例即可，为方便计算，建议赋最简整数比。（2）算总量：效率*时间=总量。（3）根据工作过程列式求解。43.效率比例72变（给效率比的不同形式）：（1）直接给：甲：乙=3：4；甲的效率是乙的3/4，可以推导出甲/乙=3/4，即甲：乙=3：4。（2）间接给：甲4天的工作量等于乙3天的工作量。列式为：甲*4天=乙*3天，推出效率比，甲：乙=3：4。（3）特殊形式（赋1）：30台机器，40个人。例：一项工程需要30台机器工作15小时才能完成。这种题目默认每台机器的效率相同，也就是机器之间的效率比为1：1：1，所以赋值每台机器的效率为1（遇到多个人修路，赋值每个人的效率为1）。【例3】甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比是5：4：6。先由甲、乙两人合作6天，再由乙单独做9天，完成全部工程的60%，若剩下的工程由丙单独完成，则丙所需要的天数是（）。A.9B.11C.10D.15【解析】例3.题目中出现“工程”，所以本题为工程问题。直接给出效率比为5：4：6。（1）赋效率：甲效率=5，乙效率=4，丙效率=6。（2）算总量：“先由甲、乙两人合作6天，再由乙单独做9天，完成全部工程的60%”，（5+4）*6+4*9=总量*60%，总量=90/60%=150。（3）列式求解：求剩余工作量有两种方法。方法一：已经完成60%，剩余40%，剩余工作量=150*40%=60。方法二：已经完成90，剩余工作量=150-90=60。丙需要的天数=剩余工作量/丙效率=60/6=10天。【选C】【例4】某项工程，若王强单独做，需40天完成；若李雷单独做30天后，王强、李雷再合作20天可以完成。如两人合作完成该工程，王强第一天工作但每工作一天休息一天，问整个工程将会在第几天完成？（）A.44B.45C.46D.47【解析】例4.题目中出现“工程”，所以本题为工程问题。出现多个时间，540天、30天、20天，第一个40天是完工时间，但30天和20天不是完工时间，所以本题不是给完工时间型工程问题，应属于间接给效率比例型工程问题。先推出效率比例关系：方法一：“若王强单独做，需40天完成；若李雷单独做30天后，王强、李雷再合作20天可以完成”，有两种方式可以将整个工作做完，列式为：40王=30李+20*（王+李），4王=3李+2*（王+李），2王=5李，王：李=5：2。方法二：对于整个工程，有两种方法。①王强单独做需要40天；③李雷做50天+王强做20天。因为①=②，所以推出王强做20天=李雷做50天，得到王：李=5：2。得到效率比例，三步走：（1）赋效率：王=5，李=2；（2）算总量：总量=5*40=200；（3）列式求解：第一天王李合作、第二天李单独做，第一天王李合作、第二天李做……，以此循环，出现周期性，要先求出一个周期的工作量，一个周期工作量=王李+李=7+2=9。总量/一个周期的工作量=200/9=22轮……2，王李合作一天可以完成7，所以剩余的部分只需要1天就可以完成。问第几天完成，前面22轮每一轮有2天，共有44天，接下来王和李再工作1天就可以完成，44+1=45天。【选B】【注意】如果问王强参与多少天？答：前面22轮王强做1天休1天，共工作22天，后面再工作1天，王强共工作22+1=23天。【例5】某工程50人进行施工。如连续施工20天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇原料短缺，有5天时间无法施工。工期还剩8天时，工程队增派15人并加班施工。若工程队想按期完成，则平均每天需工作（）小时。A.12.5B.11C.13.5D.11.5【解析】例5.题目中出现“工程”，所以本题为工程问题。题目中出现人数（或机器台数），为给效率比例型工程问题。（1）赋效率：默认每人效率相同，6赋值每人每小时效率为1。（2）算总量：“如连续施工20天，每天工作10小时，正好按期完成”，总量=1*50*20*10（先尽量不算，后面能约分先约分）。（3）列式求解：方法一：计划用20天，“有5天时间无法施工”，所以实际工作时间为20-5=15天。“工期还剩8天时，工程队增派15人并加班施工”，分为两部分：①后面8天时，每天50+15=65人，每天工作t小时；②前面15-8=7天，每天50人，每天工作10小时。总量=①+②=1*50*10*7+1*65*t*8=1*50*20*10，1*65*t*8=1*50*13*10，8t=10*10，解得t=100/8=12.5，对应A项。方法二：原计划需要20天，其中按计划做了7天，剩余13天的工作量，现在需要8天完成。列式：1*50*10*13=1*65*t*8，解得t=12.5。【选A】三、给具体数值型特征：给效率的具体值或工作总量的具体值方法：方程法【知识点】给定具体单位型：给效率或者工作量的具体值。例：甲每天比乙多做5个零件；甲和乙共做600朵花。1.设未知数。2.根据工作过程列方程。因为工作量=效率*时间，通常情况下根据工作量为定值进行列式。【例6】甲、乙、丙三员工共同修剪6060平方米草地，甲的修剪效率为30平方米/分钟，乙的修剪效率为40平方米/分钟，丙的效率为60平方米/分钟。上午，甲7点30分开始修剪，乙7点45分开始，丙8点15分开始，他们同一时间完成工作，乙用了（）分钟。A.56B.57C.58D.59【解析】例6.修剪草地相当于做一项工作，所以本题为工程问题。题目中给出工作量和效率的具体值，属于给具体单位型工程问题，设未知数、列方程解题。已知工作量为6060，工作总量=甲+乙+丙，分别分析甲、乙、丙。题目中给7出甲、乙、丙的效率分别为30、40、60，缺少时间，题目问的也是时间，设乙用了t分钟。“甲7点30分开始修剪，乙7点45分开始，丙8点15分开始，他们同一时间完成工作”，所以甲用了t+15分钟，丙用了t-30分钟。工作总量=30*（t+15）+40t+60*（t-30）=6060，13t+45-180=606，13t=741。方法一：直除，解得t=57。方法二：结合选项，13*一个数尾数为1，只有B项（3*7尾数为1）满足。【选B】【注意】工程问题：1.给完工时间型：（1）特征：给多个完成时间。（2）方法：①赋工作量。②计算效率。③列方程求解。（3）技巧：工作量一般赋公倍数。2.给效率比例型：（1）特征：给效率的比例关系。（2）方法：①赋效率。②计算工作量。8③列方程求解。（3）技巧：按比例赋效率，尽量赋整数。3.给具体数值型：（1）特征：给效率或工作量的具体值。（2）方法：找等量关系列方程。（3）技巧：以工作量为等量关系。第二节行程问题【知识点】行程问题：比工程问题稍难一些，但行程问题并不是所有题都难（简单的很简单、难的很难），套公式的题目一定要得分。1.三量关系：路程=速度*时间。2.题型：（1）基础行程问题：不涉及相遇、追及等复杂情况，就是一个人在走。（2）相对行程问题（重点）：相遇、追及、流水行船。（3）比例行程：对基础行程和相对行程的补充。一、基础行程问题1.利用公式直接运算：路程=速度×时间2.火车过桥：路程=桥长+火车长3.等距离平均速度：V=2V1*V2/（V1+V2）【知识点】基础行程：1.基本公式考查：路程=速度*时间。例：求一个人从A地到B地的时间，找到这个人从A地到B地的路程和速度即可。2.火车过桥（经典考法）：（1）火车过桥（车头上桥到车尾离开桥）：看车头到车头（或者车尾到车尾），路程=桥长+火车长。9（2）火车完全在桥上（车尾上桥到车头下桥）：看车头到车头（或者车尾到车尾），路程=桥长-火车长。【例1】某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，这列火车完全在桥上的时间是80秒，则火车速度是（）。A.10.2米/秒B.12.8米/秒C.550米/分D.600米/分【解析】例1.火车过桥问题，属于基础行程问题，路程=速度*时间。给出两个过桥时间，求速度。（1）第一种情况：S=S桥+S车=V*120，1000+S车=120V①；（2）第二种情况：S=S桥-S车=V*80，1000-S车=80V②。①+②得：2000=200V，解得V=10米/秒，排除A、B项。转化为分钟，1分钟=60秒，10米/秒=600米/分。【选D】【注意】注意单位坑，如果出现E项10米/分，很容易错选。【知识点】基础行程：1.基本公式考查：路程=速度*时间。2.火车过桥：（1）从开始上桥到完全下桥：S路程=S车长度+S桥长度。10（2）完全在桥上：S路程=S桥长度-S车长度。3.等距离平均速度公式：（1）例：下课之后老师去做足疗，去时速度为80，回来时平均速度为60，问往返的平均速度是多少？答：若用（80+60）/2=70则错误，去和回的时间不同，因速度=路程/时间，往返平均速度=总路程/总时间，总路程未知，假设从A到B为S，则B到A也为S，总路程为2S，列式：2S÷（S/80+S/60）=（2*60*80）/（60+80）。假设去时速度80为v1，回来时速度60为v2，则公式为（2*v1*v2）/（v1+v2）。（2）应用：一定要等距。①直线往返。②上下坡往返：假设上山速度为v1，沿原路下山，下山速度为v2，问上下坡的平均速度。③等距离两段：从A到C点，B为中点，AB的速度为v1，BC的速度为v2，问全程的平均速度，此时可以运用，因用v1和v2速度走的路程一样。【例2】甲去北京出差，去时坐飞机，返回时坐高铁。若飞机的速度比高铁快3倍，且往返平均速度为480千米/小时，问甲乘坐的飞机速度为多少千米/小时？（）A.720千米/小时B.768千米/小时C.960千米/小时D.1200千米/小时11【解析】例2.行程问题。出现“往返”，虽然去时坐飞机，回来时坐高铁，但是我们考试考虑的是两个城市之间的直线距离，因此默认等距，故为等距离往返问题。运用公式：（2*v1*v2）/（v1+v2），此题v1、v2未知，但已知平均速度。因“飞机的速度比高铁快3倍”，假设高铁的速度为v，“快3倍”即多3，因此为4倍关系，则飞机的速度为4v，代入数据：（2*v*4v）/（v+4v）=480，8v²/5v=480，解得v=300，此题求的是飞机的速度，则4v=1200，对应D项。【选D】【注意】1.此题可以使用等距离平均速度公式，只考虑直线距离。2.题目已知平均速度，故假设高铁速度。3.“快3倍”为4倍关系，若不注意则会选择C项。【注意】基础行程：1.基本公式：路程=速度*时间（S=v*t）。2.火车过桥：（1）过桥：路程=车长+桥长。（2）完全在桥上：路程=桥长-火车长。3.平均速度：（1）总路程/总时间（2）等距离平均速度：（2*v1*v2）/（v1+v2）。12二、相对行程【知识点】相对行程：小的知识点很多，本节课的大头。1.相遇问题。2.追及问题。3.流水行船问题。【知识点】相遇问题：1.直线相遇：两人从两端同时相向而行（面对面的走）。（1）公式：S和=V和*t。（2）例：假设甲的速度为v1，乙的速度为v2，则S甲=v1*t，S乙=v2*t，因此S和=（v1+v2）*t。（3）S和：两人走的路程之和。2.直线追及：两人同时同向而行。（1）公式：S差=V差*t。（2）S差：追及刚开始时两人相差的距离，若想不清楚可以画图理解。（3）例：两人存在一段距离，甲追乙，甲从A地出发，乙从B地出发，到C点追上，甲的路程为AC，乙的路程为BC，二者的路程差为AB，假设甲的速度为v1，乙的速度为v2，则S差=v1t-v2t=（v1-v2）t。【例3】甲、乙两人从相距10千米的地方相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。甲出发时带着一只狗，狗每小时跑10千米，当狗碰到乙的13时候就往回跑向甲，碰到甲的时候又折回跑向乙，如此反复。当甲、乙两人相遇时，狗跑的路程是（）。A.10千米B.12千米C.15千米D.20千米【解析】例3.画图理解，因S狗=v狗*t，狗的速度已知，则求出t即可。问甲乙两人相遇时，狗跑的路程，因此狗跑的时间为甲乙两个相遇的时间。相遇问题：S和=（v1+v2）*t，路程和为10，甲的速度为6，乙的速度为4，代入数据：10=（6+4）*t，解得t=1，S狗=v狗*t=10*1=10，对应A项。【选A】【注意】因出发的时候就带了狗，狗来来回回往返跑，因此不用管狗的轨迹，问甲乙两人相遇时狗跑的路程，因此从出发到相遇时就是狗走的时间。【例4】某宣讲团甲宣传员骑摩托车从红星村出发以20公里/小时的速度去相距60公里的八一村，1小时后由于路面湿滑，速度减少一半，在甲出发1小时后，乙宣传员以50公里/小时的速度开车从红星村出发追甲，当乙追上甲时，他们与八一村的距离为（）。A.25公里B.30公里C.35公里D.40公里【解析】例4.问乙追上甲时，与八一村的距离，因总路程为60，则所求=60-相遇时与红新村距离。根据题意，甲以20km/h的速度出发，1小时后速度为20*1/2=10km/h，在此时乙以50km/h的速度开始追甲，此为追及问题。S差=（v乙-v甲）*t，追的过程时甲的速度为10km/h，S差为甲以20km/h的速度走了一个小时，代入数据：20=（50-10）*t，解得t=0.5，即追了0.5小时，乙的路程14=50*0.5=25，距离八一村=60-25=35，对应C项。【选C】【注意】以坑治坑：总路程为60，A项+C项=60km，则一个是距离红星村的，一个是距离八一村的，可以二者选一个蒙。【知识点】环形跑道：1.环形相遇（同一点出发、反向而行）：（1）公式：S和=V和*t。一个的路程为v1*t，一个路程为v2*t，S和=v1*t+v2*t。（3）路程关系：相遇1次，S和=（v1+v2）*t=1圈；相遇2次，走了2圈；相遇3次，走了3圈；相遇n次，S和=n圈。152.环形追及（同一点出发、同向而行）：追及要从后面追（1）公式：S差=V差*t。例：快的人速度为v1，慢的人速度为v2，差值=v1*t-v2*t=（v1-v2）*t。慢的人慢慢走，快的人跑前面去了，走了一圈又从后面追上慢的人，因此会有追上的过程，故快的人比慢的人多跑了一圈。（2）路程关系：追上1次，S差=1圈；追上n次，S差=n圈。第二次追上，多跑两圈，追上3次多跑3圈。【例5】甲、乙两人在600米的环形跑道上赛跑，两人从起跑线同时出发，若反向而跑，1分钟后相遇，若同向而跑，10分钟后甲超过乙一圈。问甲的速度是每分钟多少米？（）A.270B.300C.330D.360【解析】例5.环形跑道，涉及相遇，运用公式：S和=（v1+v2）*t，因1分钟后相遇，则600=（v1+v2）*1，v1+v2=600①；同向而跑是追及，第一次追上的时候花了10分钟，S差=（v1-v2）*t，600=（v1-v2）*10，v1-v2=60②。因甲超过乙，则甲的速度快，要求快的甲，因此消v2，①+②得出，2v1=660，解得v1=330，对应C项。【选C】16【注意】若计算乙则会选择A项。【补例】小李和小麦两人从同一起跑线上绕400米的环形跑道跑步，小李的速度是8米/秒，小麦的速度是6米/秒。问第二次追上小麦时小李跑了几圈。A.10B.8C.6D.4【解析】补例.小李比较快，小麦比较慢，问“追上”，追及问题。S差=（v1-v2）*t，追上一次路程差为1圈，追上两次路程差为2圈。代入数据：800=（8-6）*t，解得t=400s。题目转化为400s时小李的路程，S李=8*400=3200m=8圈，对应B项。【选B】【知识点】直线两端出发多次相遇：曾经有几年没考，但是最近几年有地区又拿出来考。此知识点过程比之前的复杂，但结论简单。1.推导：从两端出发，假设两地距离为S，第1次迎面相遇，共走1S；两人继续走，第2次迎面相遇，共走3S；继续走，第3次迎面相遇，多了2S，共走5S；第n次迎面相遇，S和=（2n-1）*S。n次为n*2S，但第一次只走了S，因此为（2n-1）*S。172.S：两人起点之间的距离；n为次数。3.因S和=v和*t，则（2n-1）*S=V和*t。【例6】在一次航海模型展示活动中，甲、乙两款模型在长100米的水池两边同时开始相向匀速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若调头转身时间略去不计，在12分钟内甲、乙两款模型相遇次数是（）。A.9B.10C.11D.12【解析】例6.甲乙从水池两边相向而行，直线两端出发，问相遇几次，因此为直线两端出发的多次相遇问题。结论：（2n-1）*S=V和*t，因“甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒”，则甲的速度=100/72m/s，乙的速度=100/60m/s，时间为12分钟，化为秒，代入数据：（100/72+100/60）*12*60=（2n-1）*100，100*（1/72+1/60）*720=（2n-1）*100，（1/72+1/60）*720=2n-1，10+12=2n-1，2n=23，解得n=11.5，相遇次数为整数，说明第12次相遇还没有到，故相遇11次。【选C】【注意】1.没有完成不能算一次。2.辨别题型为直线两端出发的多次相遇问题，直接代入结论。3.时间12分钟需要转化为秒。4.不要硬通分计算，能约分先约分，能展开可以展开。5.小数次数取整数。18【注意】相遇追及：1.相遇追及：（1）相遇：S和=V和*T遇。（2）追及：S差=V差*T追。2.多次运动：（1）线性两端出发第n次相遇：（2n-1）*S=V和*T。（2）环形第n次相遇：n圈=V和*T。（3）环形第n次追及：n圈=V差*T。【知识点】流水行船：船在水中走会受到水的影响。如人在风中骑车，在顺风中走起来很轻快，若逆风则很累。1.V顺=V船+V水。2.V逆=V船-V水。3.若有的时候没有顺水还是逆水，从上游到下游为顺流而行（顺流而上），从下游到上游为逆流而行（逆流而下）。4.注：（1）静水速度（水速为0）=船速。（2）漂流速度=水速：如一个瓶子掉水里了，2分钟后瓶子走了100m，瓶子19本身没有速度。【例7】一艘轮船先顺水航行40千米，再逆水航行24千米，共用了8小时。若该船先逆水航行20千米，再顺水航行60千米，也用了8小时，则在静水中，这艘船每小时航行（）千米。A.11B.12C.13D.14【解析】例7.问静水速度，即求船速。流水行船问题。因v顺=v船+v水，v逆=v船-v水，则v船=（v顺+v逆）/2。根据题意，设顺流速度为v顺，逆流速度为v逆，40/v顺+24/v逆=8h①，60/v顺+20/v逆=8h②，两个方程，①*3-②*2得出，（24*3）/v逆-40/v逆=8，解得v逆=4。代入②式，解得v顺=20，则v船=（v顺+v逆）/2=（20+4）/2=12，对应B项。【选B】【注意】1.抓住流水行船基本公式。2.因v顺=v船+v水①，v逆=v船-v水②，①+②得出，v顺+v逆=2v船，则v船=（v顺+v逆）/2。三、比例行程【知识点】比例行程：前面问题的补充，能用比例的方法都能用前面的方法做。1.比例关系：路程=速度*时间。2.三量关系：做题关键是找谁是不变量。（1）路程一定，速度与时间成反比：同样的路程，速度快，走的时间短，速度慢，走的时间多。（2）速度一定，路程与时间成正比：同样的速度，时间越长，走的越多，假设学习效率一样，谁坚持的久谁就走的远。（3）时间一定，路程与速度成正比：同样的时间，速度越快路程越多，有的人效率高收获多，有的人效率低收获少。20【例8】小王和小赵分别从甲、乙两地同时出发相向而行。相遇后又继续前行，小王又经过1小时到达乙地，小赵又经过9小时到达甲地。那么，小王走完全程用了（）个小时。A.4B.3C.9D.12【解析】例8.问小王走全程的时间，假设相遇之前小王走t小时，与小赵相遇之后又走了一小时。因没有路程和速度，故利用比例求解。假设相遇地点为丙地，路程为定值，速度与时间成反比，甲丙：v王/v赵=9/t，乙丙路程一定：v王/v赵=t/1，二者等价，则9/t=t/1，t²=8，解得t=3，故小王走完全程=3+1=4，对应A项。【选A】【注意】以坑治坑：A项与B项之间差1，因最后需要+1，故猜答案A项。21【注意】行程问题：1.基础行程：（1）路程=速度*时间（S=V*T）。（2）火车过桥：①过桥：路程=车长+桥长。②完全在桥上：路程=桥长-火车长。（3）平均速度：①总路程/总时间②等距离平均速度：（2*v1*v2）/（v1+v2）。2.流水行船：（1）顺水：S=（V船+V水）*T顺。（2）逆水：S=（V船-V水）*T逆。3.相遇追及：（1）相遇追及：①相遇：S和=V和*T遇。②追及：S差=V差*T追。22（2）多次运动：①线性两端出发第n次相遇：（2n-1）*S=V和*T。②环形第n次相遇：n圈=V和*T。③环形第n次追及：n圈=V差*T。4.比例行程：（1）S一定，V、T成反比。（2）T一定，S、V成正比。（3）V一定，S、T成正比。【注意】明天18：45开始答疑，明天预习下经济利润和排列组合问题。【答案汇总】工程问题：1-5：DCCBA；6：B行程问题：1-5：DDACC；6-8：CBA23遇见不一样的自己Beyourbetterself24