(完整版)高考圆锥曲线经典真题

高考圆锥曲线经典真 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.2o1.（江西卷15）过抛物线x2py(p0)的焦点F作倾角为30的直线，与抛物线AF1FB分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则．3222(2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)y1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为()3333[,](,)A.[3,3]B.(3,3)C.33D.3322xy13(2008年海南---宁夏卷)设双曲线916的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB的面积为-___________.热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l第1页共12页的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0(*)(ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)3①当Δ=0,即3－2k=0,k=2时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.33②当Δ＞0,即k＜2,又k≠±2,故当k＜－2或－2＜k＜2或2＜k＜2时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.3③当Δ＜0，即k＞2时，方程(*)无解，l与C无交点.3综上知：当k=±2,或k=2，或k不存在时，l与C只有一个交点；3当2＜k＜2,或－2＜k＜2,或k＜－2时，l与C有两个交点；3当k＞2时，l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1－x2)=y1－y1y1y2即kAB=x1x2=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.第2页共12页(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。22例2直线m：ykx1和双曲线xy1的左支交于A、B两点，直线l过P（2,0）和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围。ykx1(x1)2222解：由xy1消去y得(k1)x2kx20，由题意，有：4k28(1k2)02kx1x201k22x1x2201k1k2x1x2kx021k21ykx1x,y002设M（00），则1kk122,2b2由P（2,0）、M（1k1k）、Q（0,b）三点共线，可求得2kk2121722(k)设f(k)2kk248，则f(k)在(1,2)上为减函数。所以f(2)f(k)f(1)，且f(k)0所以(22)f(k)1所以b(22)或b2考点三：弦长问题涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.第3页共12页例3.如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.yxm2由方程组y4x,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=42(1m).5m点A到直线l的距离为d=2.∴S△=2(5+m)1m,从而S△2=4(1－m)(5+m)222m5m5m=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(3)3=128.∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82.考点4：圆锥曲线关于直线对称问题例4.已知椭圆的中心在圆点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为(4),(I)求椭圆的方程;(II)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上,求的取值范围.第4页共12页22xy221(ab0)【解析】(I)设椭圆的方程为ab22a2c2,且,所以a222由条件知c,bac422xy1(4)故椭圆的方程是4(II)依题意,直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是yk(x1),设/F(x,y)点F(2,0)关于直线l的对称点为00,则y0x022k(1)x0221k2解得y02kk1y02x021k222k2(2)(2)/1k1kF(x,y)1因为00在椭圆上,所以4422即(4)k2(6)k(4)0222故kt,则(4)t2(6)t(4)0(4)24,所以0因为(4)[2(6)]24(4)30,2(6)0,于是,当且仅当(4)(*)上述方程存在正实根,即直线l存在.16,163所以43解(*)得46164即的取值范围是3规律总结1.判定直线与圆锥曲线位置关系时,应将直线l方程与圆锥曲线C的方程联立,第5页共12页2消去y(也可消去x)得一个关于变量x的一元方程axbx20.①当a0时,若有0,则l与C相交;若0,则l与C相切;若0,则l与C相离.②当a0时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线l与C相交,此时只有一个公共点;若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交.2.“设而不求”的方法若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B时,一般地,首先设出交点A(x1,y1)、B(x2,y2),它们是过渡性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.3.韦达定理与弦长公式2斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2)则|AB||x1x2|1k1|y1y2|12(k0)k,然后再结合韦达定理可求出弦长等.专题能力训练：一、选择题x21.斜率为1的直线l与椭圆4+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()45410810A.2B.5C.5D.52.抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有()A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3第6页共12页C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=045t241021.解析：弦长|AB|=5≤5.答案：C2yaxkbb2.解析：解方程组ykxb,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=a,x1x2=－a,x3=－k,代入验证即可.答案：Bx2y2221(a0,b0)3.斜率为2的直线l过双曲线ab的右焦点,且与双曲线的左、右两支分别相交,则双曲线的离心率e的取值范围是(D)A.e2B.1e3C.1e5D.e524.过点A(4,0)的直线与抛物线y4x交于另外两点B、C,O是坐标原点,则三角形BOC是(C)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不确定二、填空题555.已知两点M(1，4)、N(－4，－4)，给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,22xx③2+y2=1,④2－y2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________..解析：点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：②③④6.正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形第7页共12页ABCD的面积为_________.7.在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.6解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长.答案：18或507.解析：设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).y1y216即x1x2y1y2kAB=8.故所求直线方程为y=8x－15.答案：8x－y－15=0三、解答题8.已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.219.知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=3的双曲线过点P(6，6).第8页共12页(1)求双曲线方程.(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.10.已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时B点的坐标.22xy111.已知过双曲线方程42(1)过M(1,1)的直线交双曲线于A、B两点,若M为弦AB的中点,求直线AB的方程;1N(1,)(2)是否存在直线l,使2为l被双曲线所截得弦的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.8解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=022∴|AB|=24(ap)4a≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2p又∵p＞0,∴a≤－4.(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点C(x,y),由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,xxyyxx2a12ap,y1212则有x=222=p.∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）第9页共12页|a2pa|2p点N到AB的距离为2122224(ap)4a2p2p2app从而S△NAB=2p当a有最大值－4时，S有最大值为2p2.222222xy662ab2122221,e29.解：(1)如图，设双曲线方程为ab=1.由已知得aba3,解得a2=9,b2=12.x2y2所以所求双曲线方程为912=1.(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2).则有2212x19y11082212x29y2108y1y2124xx4x1x293124yy412，∴kl=34∴l的方程为y=3(x－2)+2,2212x9y1084y(x2)由3,消去y,整理得x2－4x+28=0.∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在.|2k|210.解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d=k1=1,解得k=±1.第10页共12页即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，2).∴a=2=b,所求双曲线C的方程为x2－y2=2.(2)设直线l：y=k(x－2)(0＜k＜1),依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为2.|2km|22设直线l′：y=kx+m,应有k1,化简得m2+22km=2.②把l′代入双曲线方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.可得m2+2k2=2③21025②、③两式相减得k=2m,代入③得m2=5,解设m=5,k=5,此时mk222x=k1,y=10.故B(22,10).A(x,y),B(x,y)11.解析(1)设1122,xxyyM(12,12)则2222xy111则有42⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..①x2y222142⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..②(xx)(xx)2(yy)(yy)0①-②得12121212xx2,yy2∵1212y1y21kABx1x221直线AB方程为y1(x1)2x2y10212yx∵双曲线的一条渐近线方程为2,而22,第11页共12页直线x2y10与双曲线交于两点.x2y10为所求.C(x,y),D(x,y)(2)假设过N直线l交双曲线于,1122则有2222xyxy11122142,42.两式相减得(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0xx,xx2,yy1∵121212y1y2kCD1x1x222yx,而1∵双曲线的一条渐近线方程为22,直线l与双曲线没有公共点.1N(1,)以2为弦中点的直线不存在.【点评】”设而不求”是保证A、B两交点存在的情况下,所采用整体运算求直线方程的方法,但如果是假定直线与曲线存在两个交点A、B为前提下求出直线l,则必须验证l与圆锥曲线公共点的存在性.第12页共12页