量子化学习题解（仅供参考）

量子化学习题解(仅供参考)第一章量子力学基础1.1如果g=Âf对每一组Â与f求g。(1)Â=d/dx,f=cos(x2+1)；(2)Â=5,f=sinx；(3)Â=()2,f=sinx；(4)Â=exp,f=lnx；(5)Â=d2/dx2,f=ln3x；(6)Â=d2/dx2+3xd/dx,f=4x3；(1)2xsin(x2+1)(2)5sinx(3)sin2x(4)x(5)1/x2(6)Â=24x+36x31.2如Âf(x)=3x2f(x)+2xdf/dx，f(x)为任意函数，给出Â的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式Â=3x2+2xd/dx1.3给出3个满足Âex=ex的Â的表达式Â=d/dxÂ=1ˆÂ=d2/dx21.4如果Â=d2/dx2,B=ˆx2,计算(1)ÂBˆx3；(2)Bˆx3；(3)ÂBˆf(x)；(4)Bˆf(x)；(1)ÂBˆx3=d2/dx2(x5)=20x3(2)Bˆx3=6x3(3)ÂBˆf(x)=d2/dx2[x2f(x)]=x2f"(x)+4xf'(x)+2f(x)(4)Bˆf(x)=x2f"(x)1.5计算下列对易子2n(1)[x,y](2)[,pˆxpˆy](3)[,xpˆx](4)[,xpˆx](5)[,xpˆx]2222(6)[1x,pˆx](7)[1x,pˆx](8)[,]xpypypzpˆˆyxzyˆˆ(9)[(xyy),(x)](10)[sinx,d/dx]；(11)[d2/dx2,ax2+bx+c](a,b,c为常数)；(12)[d/dx,d2/dx2](1)[x,y]=0(2)[,pˆˆxpy]=0(3)[,xpxppxxpxpiiˆxxxxx]ˆˆˆ(ˆ)i(4)[,x22pxppxixˆ]ˆˆ22(5)[,xnnpnixˆ]1(6)[1xp,ˆ]xxxxxx22(7)[1x,pixpˆˆ2]xx3x[,]()()()()xpˆyxzyypˆˆypzpˆxpˆyxzyypˆypˆzpˆypˆzyyxzpˆxpˆypˆ[()xpˆˆypy2pˆˆpxzpˆ2yzpˆˆp][xypˆˆpy2pˆˆpxzpˆ2zpˆˆ()]yp(8)yzxzyxyzyzxyyxxypˆˆyzpixpˆˆˆzxyyzppxypˆˆzypyzpˆˆyxpizpˆxizpxp()ˆˆxz222232222222[(xyyxxyyx),()]22xyyxx222yxxyyxxyyxy(9)2232322xx22xy22xyx2y22xxy2xyxyxy2yxy22xyy2(10)[sinx,d/dx]=cosx(11)[d2/dx2,ax2+bx+c]=2a+2(2ax+b)d/dx(12)[d/dx,d2/dx2]=01.6证明，对于线性算符，有Â(B+ˆĈ)=ÂB+ˆĈ证明:Â(B+ˆĈ)f=Â(Bˆf+Ĉf)=ÂBˆf+ÂĈf=(ÂB+ˆĈ)f.1.7如果Â是线性算符，b,c为常数，f,g为任意函数，证明Â(bf+cg)=bÂf+cÂg；证明若Â(bf+cg)=bÂf+cÂg，则Â一定是线性算符。1)证明:Â是线性算符Â(bf+cg)=Â(bf)+Â(cg)=bÂf+cÂg2)证明:Â(bf+cg)=bÂf+cÂgb,c为常数设c=0则有Â(bf)=bÂf设c=1,b=1则有Â(f+g)=Âf+Âg因此Â是线性算符.1.8证明：(1)[Â,B]=ˆ[B,ˆÂ](2)[Âm,Ân]=0(3)[Â2,B]=ˆÂ[Â,B]+[Â,ˆB]ˆ(4)[Â,[B,ˆĈ]]+[B,ˆ[Ĉ,Â]]+[Ĉ,[Â,B]]=0ˆ证明：(1)[Â,B]=ˆÂBˆBÂ=ˆ(BˆÂB)ˆ=[B,ˆÂ](2)[Âm,Ân]=ÂmÂnÂnÂm=Âm+nÂm+n=0(3)[Â2,B]=ˆÂ2BˆBˆ2Â[Â,B]+[Â,ˆB]Â=ˆÂ(ÂBˆBÂ)+ˆ(ÂBˆBÂ)ˆ=Â2BˆÂBÂ+ˆÂBˆBˆ2=Â2BˆBˆ2[Â2,B]=ˆÂ[Â,B]+[Â,ˆB]ˆ(4)[Â,[B,ˆĈ]]+[B,ˆ[Ĉ,Â]]+[Ĉ,[Â,B]]ˆ=[Â,(BˆĈĈB)]+[ˆB,ˆ(ĈÂÂĈ)]+[Ĉ,(ÂBˆBÂ)]ˆ=ÂBˆĈÂĈBˆBˆĈÂ+ĈBÂ+ˆBˆĈÂBˆĈĈÂB+ˆÂĈB+ˆĈÂBˆĈBˆÂBˆĈ+BˆĈ=0ˆ2221.9Hpˆx2()mVx，分别计算(1)当V(x)=V(常数)，(2)当V(x)=kx/2，(3)当V(x)V(r)=e/40rˆˆ时的对易子[,Hpˆx]与[,]Hx1.10拉普拉斯变换算符Lˆ定义为Lfˆ()xepxf()xdx0(1)Lˆ是否是线性算符，(2)计算Lˆ(1)；计算Leˆax，假定p>aˆˆ1.11定义平移算符Th为Thf(x)=f(x+h)，ˆˆ2ˆ2(1)Th是否是线性算符？(2)计算(T13T1+2)x.1.12下面哪些函数是d/dx的本征函数，哪些是d2/dx2的本征函数？2(1)eax(2)eax(3)x(4)x2(5)ax+b(6)sinx(7)sinx+cosx(1)deax/dx=aeax是d2eax/dx2=a2eax是eax是d/dx与d2/dx2的本征函数222222(2)d()eaxdx2axeax不是d22()eaxdxd(2)axeaxdx2aeax4a22xeax不是(3)d(x)/dx=1不是d2(x)/dx2=0是(4)d(x2)/dx=2x不是d2(x2)/dx2=2不是(5)d(ax+b)/dx=a不是d2(ax+b)/dx2=0是(6)dsin(x)/dx=cos(x)不是d2sin(x)/dx2=sin(x)是d(sinx+cosx)/dx=cosxsinx不是d2(sinx+cosx)/dx2=sinxcosx=(sinx+cosx)是(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)d/dx√XXXXXXd2/dx2√X√X√√√.1.13如果Â,Bˆ为厄米算符，证明：(1)ÂiBˆ不是厄米(2)cÂ和Â+Bˆ是厄米的算符(c为实常数)证明AiBˆˆAˆiBˆ(1)***AiBˆˆAˆˆˆiBˆAiBˆˆAiB**(2)cAˆc*AˆˆˆcAcAABˆˆAˆBˆ***ABˆˆAˆˆˆBˆˆˆABAB1如果ˆ是厄米算符，证明只有当与ˆ对易时乘积ˆ是厄米的；证明ˆˆ.1.14Â,B(1)ÂBÂB(2)2(ÂB+B1是厄米的；ˆˆ是厄米的吗？ˆˆˆˆ是厄米的吗？Â)(3)xpx(4)2(xpx+pxx)证明:**ABˆˆˆˆˆˆABBAˆˆBA*BAˆˆˆˆˆˆBAABˆˆBA*(1)ABˆˆˆˆBA*ifABˆˆˆBAˆˆABˆABˆˆˆˆABisHermitian*ifABˆˆBAˆˆˆˆABABˆˆˆABˆisnotHermitian111111()ABˆˆˆˆBAABˆˆBAˆˆABˆˆˆˆˆBAˆABˆBˆA222222(2)*111111**()ABˆˆˆˆBAAˆBˆBˆAˆBˆˆˆˆAˆAˆB()ABˆˆBA222222(3)[,xpxppxxpxpiiˆxxxxx]ˆˆˆ(ˆ)不是(4)是.1.15给出一个算符，使其满足Â[f(x)+g(x)]=Âf(x)+Âg(x)而不满足Â[cf(x)]=cÂf(x)；给出一个算符，使其满足Â[cf(x)]=cÂf(x)；而不满足Â[f(x)+g(x)]=Âf(x)+Âg(x)2解:1)共轭算符()*x+；2)eln()()1.16证明两个线性算符的积仍然是线性算符.1.17下列哪些算符是厄米的？d/dx；i(d/dx)；4d2/dx2；i(d2/dx2)dd*****dxdddxdxdx*****ididdxidiiddxdxdx.1.18下列哪些算符满足力学量算符的要求(1)()½，(2)d/dx，(3)d2/dx2，(4)id/dx(1)不满足,因为不是线性算符;(2)不满足,不是厄米算符(3)满足(4)满足.1.19在长度为l的一维箱中处于非定态的粒子，假定在时刻t0，它的状态函数是(t0)=Nx(lx)(0xl)。如果在t0时刻我们测量粒子的能量，此时测量的可能结果是什么，每个结果的概率是多少？llN22x()lx2dxN2x42lx3l22xdx00l5423522xlxlx2lNN1543300N2=30/l522dddN22222Htˆ()Nxlx()N(lxx2)N(l2)x0222mdx22mdxmdxm不是本征函数，没有确定值。一维势箱波函数构成正交归一的完备集，因此(t0)可展开为：2kx()ta0kkaksinkklllll22kxkxkxaNxlxdxNxldxxdx()sinsin2sinkk000llllllllkxl22kxlkxlkxl3coskxlsindxxdcosxcoscosdxlklkllk0000llkxlkxxdxxd22sincos00lklllkxlllkxl322lkxxxdxkxd2cos2coscossin22klklkk000llllkx322lkxl332lcoskx22sinsindxcosk33(cosk1)kkllkk002coslkl332l3aNkcosk33(1cosk)lkkk22l3Nk(1cos)lk33k=偶ak=03022l3815kh22960k=奇数a(11)Pa2kllk53333k8ml2kk66第二章量子力学简单体系2.1对于简并能级，任意波函数的线性组合都是Hˆ的具有同意本征值的本征函数，因此对于任何简并能级，可写出无限多个不同的本征函数。实际上我们只关心线性独立的本征函数，所谓线性独立，是指如果cc1122cnn0只在c1,c2,...,cn均为零时才成立，那么1,2,...,n称为线性独立，能级的简并度即为线性独立的波函数的个数。请判断，下列函数集那些是线性独立函数集：(1)x,x2,x6;(2)x,x2,3x21;(3)sinx,cosx;(4)sinx,cosx,tanx;(5)sin2x,2ix22cosx,1;(6)sinx,cosx,e(7)sinx,cosy,1(1)(2)(3)(4)(7)(1)是(2)是(3)是(4)是(5)不是(6)不是(7)是2.2三维势箱中一粒子的波函数是下列那些算符的本征函数？22ˆˆˆˆ(1)px(2)px(3)pz(4)x(1)不是(2)是(3)是(4)不是2.3对于边长为a,b,c的三维势箱，求量子数为nx,ny,nz的状态下的(1)x；(2)y和z；(3)px；(4)x2；(5)计算判断等式是否成立：x2=x2，xy=xyabc82xxnxnynzanxxsin22xxsinysin2zdxdydzsin2dx000abcabc0aa(1)aaaxx22nx21nxa(1cosxx)dxxdsindx00aaana220x2(2)y=b/2z=c/2abcnxnynz8nxnynzpsinxxsinyysinzz(id/dx)sinsinsindxdydzx000abcabcabc(3)a2iinnxnxninxaa22nxxxxsincosdxxsinxdxcosx02aa00aaaa2aa0abc82xx22nxnynzanxx2222sinxxsinysinzdxdydzsin2dxabcabcaa(4)00002aa33aa222222an64xx32n(5)x2x2(6)xy=xy=02.4对一维谐振子的基态，求动能和势能的平均值，验证此情况下T=V114x220e1111112444xxx222dd002222222ex2exex0dxdxkk22VVdxdxedxkxedxˆ222xx20022002!kkhk21!3344m42221khTTdˆ222xd20000222444mmmmT=V2.5若函数f(x)=f(x)，则f是x的偶函数，若g(x)=g(x)，则g是x的奇函数。判断下列函数那些是偶函数，那些是奇函数？(1)sinx(2)cosx(3)tanx(4)ex(5)12(6)22x(1)奇(2)偶(3)奇(4)非(5)偶(6)非2.6对谐振子v=1的态，求粒子最可能的位置12121x222xe22xe2x1122x22dxed221102(2)00;xexxx23exxxxxdxdxx=0为极小2.7对氢原子的基态，求(1)r的平均值；(2)r的最可几值；(3)求2p态的r2.8证明对于定态，T+V=E2.9计算氢原子基态的T，V22.10已知,力学量A的不确定度为A，A2AAA2A2，用一维势箱，验证x和px的不确定关系。2222aa2a2222x22xpx=0px=2mE=nxh/4a32nx4222222222aaaaaaaa11x2222xa222232nnxx412232nnxx4122222nhnhpxpxx4a2x2a22nhxx11n1xpx220.56786(nx1)2122nx1222第三章角动量和自旋→3.1对l=2，计算L与z轴之间可能的夹角。Lll(1)6Lz2,,0,,2cos26,16,0,16,26=35.26°,65.91°,90.00°,114.09°,144.74°ˆ2ˆ23.2证明球谐函数是算符Mx+My的本征函数，并求其本征值。证明:Mˆ2YaYˆˆ22ˆˆ22ˆˆ22ˆ2ˆ222MzzYbYMYbY()()MxyMYMMYzMYMYaYbYabYz()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ3.3证明角动量的三个对易 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf [Mx,My]=iMz[My,Mz]=iMx[Mz,Mx]=iMy可合并写成MˆMˆ=iMˆˆˆˆˆMiMjMkMxyzˆˆˆˆiMiiM()()()xyzjiMkiMijkˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆMMMMMxyziMMMMjMMMMkMMMM()()()yzzyzxxzxyyz证明ˆˆˆMMMxyzˆˆˆˆˆˆiM[,][,][,]yzMjMzxMkMxyMˆˆˆiiM()()(xyjiMkiMz)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,]MyzMiMx[,]MzxMiMy[,]MxyMiMzˆˆˆ3.4证明：Mx,My,Mz为厄米算符。3.5如果两个力学量算符不对易([Fˆ,Gˆ]0)，设为体系的某一状态，则有12()()FG22[,]FGˆˆ，该式为Heisenberg不等式；证明：41()()MM2224mxy41111222()()MM22YMMY[,]ˆˆYiMYmYYmˆ24|24xy4444xyz10ˆˆˆˆˆ3.6.以{,}为基矢，,可分别表示为，对Sz，(Sz)11=|Sz|=/2;(Sz)12=|S01ˆˆˆˆˆˆ10z|=0;(Sz)21=|Sz|=0;(Sz)22=|Sz|=/2;由此，Sz的矩阵表示为Sz201ˆˆˆˆˆ2(1)请推求Sx,Sy,S+,S和S的矩阵表达式ˆˆˆˆˆ01|Sx|=0|Sx|=/2,|Sx|=0|Sx|=/2Sx210ˆˆˆˆˆ0i|Sy|=0|Sy|=i/2,|Sy|=0|Sy|=i/2Sy2i0ˆˆˆˆˆ01|S+|=0|S+|=,|S+|=0|S+|=0S00ˆˆˆˆˆ00|S|=0|S|=0,|S|=0|S|=,S102ˆ22ˆ2ˆ22ˆ2ˆ2310|S|=3/4|S|=0,|S|=3/4|S|=0,S401ˆˆˆˆ2ˆ2ˆ2ˆ2ˆ2(2)化简下面算符：SxSy,SxSySz,SxSySz22ˆˆˆ010ii0iSSxyzS44210ii0022244ˆ200ii10ˆ210ˆˆˆ2201ˆSySzSSSxyzSx44ii0001401162101626ˆ210ˆˆˆ22210SxSSSxyz40164013.7计算下列积分:ˆˆˆ2(1)0,0|Mz|0,0;(2)2,1|M+|2,0;(3)2,2|M+|2,0;ˆˆˆˆˆ2ˆˆ2(4)2,0|M+M|2,0;(5)2,0|MM+|2,0(6)2,0|M+MzM|2,0ˆˆˆ22解:0,0|Mz|0,0=02,1|M+|2,0=62,2|M+|2,0=26ˆˆ2ˆˆ22,0|M+M|2,0=62,0|MM+|2,0=6ˆ2ˆˆ22ˆ2ˆ3ˆ252,0|M+MzM|2,0=262,0|M+Mz|2,2=462,0|M+|2,2=483.8计算下列积分:ˆˆˆ(1)px|Mz|py=i(2)px|M+|py=0(3)pz|My|px=iˆˆ(4)pz|Mx|py=i(5)pz|Mx|px=033xiyYesini1,188r1ippp()ppp()x211y211ˆˆˆˆˆMMxyiMMMxyiM11Mˆ()MMˆˆMˆ()MMˆˆxy22ii(1)pMˆppppip|pixzy2x1xxˆˆˆii2ˆ(2)MpMpMppipy1100px|M+|py=022111i(3)MˆˆpMMpMpp()ˆˆMppˆ(22)ppipyx2ix22ii11221122000ˆˆˆpz|My|px=i=px|Mz|py=py|Mx|pz1iii(4)MˆˆˆˆpMMpMpp()()Mppˆ()(22)ppipxy2y2211221122000ˆˆ*pz|Mx|py=py|Mx|pz=i111(5)Mpˆˆ()MMˆpMˆ()ppMˆ()(22)0ppppxx2x221122112200ˆpz|Mx|px=03.9写出2p2组态中3P谱项的全部波函数3P|1111>=(1+0+)|1011>=(1+1+)|1111>=(0+1+)|1111>=(10)|1011>=(11)|1111>=(01)ˆˆSSMSM1011(SS1)()101121010S(11)(11)(11)11010(11)(11)2ˆˆSS111121110(10)=(10)+(10)111110(10)(10)1110(01)(01)22第四章近似 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 24.1用尝试变分函数ebx求谐振子的基态能级和波函数。2ˆd22Hx22mdx212(2n)!edxbxb0xe2nbxdxb0,n1,2,3...21nn2102b02!nb2bx2222de()2HeHedxeˆbxˆbxbx22xedx2bx2mdx222(4bx2222b22xe)2bxdx2m22222bx222bx222bx242bxedxbedxxedx2m21118b2242b224m3322b42b2b21bb222mb4b21b22mb4b2bˆH2111Wbhb()()2424mbbdW11h(1)0b=1/2db24b2111Whb()h242b2ex2224.2对一维势箱中粒子应用线性变分函数cxlxcxlx12()()，计算n=1和n=2时能级及波函数，并计算能级的百分误差。22dHˆ2mdx2利用线性变分法HSWHSW111112120HSWHSW21212222ll22d2Hxlx22()xlxdxxlxlxdx()2()(26)1122mdx2m00222ll(43)lx22lx3x4dxmm015ll22d2HHxl()x22x()lxdxxl()(26)x2lxdx122122mdx2m0022525l32234ll1573(5lxlx73)lxxdxmmm0234560ll22d2Hxlx()22xlxdxxlxlxdx()()(46)22222mdx2m00225ll(2lx322347lx8lx3x)dxmm015ll121l7Sx42()lxdxx422(2lxx)dxl7()1100567105lll7Sxlxdxxllxxdx24()2222(2)2200105ll7SSxlxdx33()12210140HH551022hh21112误差W1222221.32%S11S12ml48mlmlHH212221hh4221112误差W2222226.38%S11S12ml48mlml24.3对氢原子基态，用Gauss尝试函数ecr，求c的最佳值和能量的百分误差(使用原子单位制)。2ˆ1112221ˆ1HL2222rrrrrr2cr2222222ˆcr1211(2)21ddcrcrcrdcrecrcrHe2eee(2cre)e22drrdrrdrrr11122222424)(32)crececee22crcrcrcrccre22cr2rr21122Hccrerdrddccrerdrˆ(3222)2cr2sin4(3222)2cr2000rr022cr222242cr2cr43credr2credrredr00021edxbxb02b02(2n)!xe2nbxdxb0,n1,2,3...21nn2102!nb22!1re22crdr3302(2)82ccc24!312211re42crdrre222crdrecrd(2cr)=552022(2)842ccc0044cc33131Hˆ4482ccc1624162cc42144re22crdr082ccˆH32ccW22dW3284440cW2dc2c9333误差=15.12%132如果对一维势箱中粒子用归一化的尝试变分函数，求其基态能量，讨4.43x0xll论其是否合理，为什么？1332ˆ，不合理，因为，H0x=l()ll30llbxL0/24.5宽度为L的一维势箱中的粒子，若有一微扰势能Vx()bL/2xL求能量的一级微扰修正值E'k和一级近似波函数k。L222nxLnxExVxxb()()()sin22bsin0knn02LLLLL22bnxkxbnxkxL2L(0)*Hdˆ(0)sinsindxsinsindxnkLLLLLL02LbnkxbnkxbnkxbnkxLL22()()LL()()cosdxcosdxcosdxcosdxLLLLLLLL00LL22bnkbknb()()(nk)()bknsinsinbsinsin()nk2()nk2()nk2()nk22()2bnkb()knsinsin()nk2()nk2()knh222EE(0)(0)kn8mL2(0)*ˆ(0)2nkHd216()()kxmLbnkbkn(0)(0)sinsinsinkk(0)(0)k222nkEEknLLnkknh()nk2()nk222d14.6非线性谐振子的Hkxxˆ24，求能量的一级微扰修正项。22mdx2mm1dxxmmm11mnmn22mmmm11()xxdxdxdxnmnm2222nm1111nmnm,,nmmm1()x22xdxxdxxdxnmnm22nm11nmmm12m1mmm122nm,,,222nm2nm22nm,33mm123mmm122mm1mm1()xxdxnmnmnm,,,311nmnm222222222mmm11112mmmmmmnm,,11nmnm,3222222222mm1234mmmmm123m21mm()xxdx43nmnmn,m4nm,22222222222mm12m1mmmmm11nm,22222222mm11mmm1m2mm123mmnm,2nm,4222222222222kk12k1kkkkk11k1k3233222221kk2222222244433E()04x()0()()221kk2221kk2kkk4424.7考虑各向同性介质在外电场作用下的极化现象。当没有外电场作用时，介质中的离子在其平衡位置附近作小振动，可看成是简谐振动。现在沿x方向加上一均匀外电场，对于带电q22d12的离子，其Hkxqxˆ，求一级近似能量E'k和一级近似波函数k，求微粒坐标22mdx2平均值xxkk。mmmm11()xxdxdxdxnmnm2222nm1111nmnm,,nmHqk1kEqx()00()0()00nk()Hkkkkk()00()nnknk,,11nknkEEkn22kk1qqkk111()00000022()()()()()kkk11kkk11k0kk()11kk()0222kk1211qkkxc()000()cxdxxx()kkk221122kkkk,,11021qkk111kkq11qq22002222m0kk是弹力系数