直线和椭圆相交求过定点的动弦中点的轨迹方程Word版含解析(数理化网)今天我们研究直线和椭圆相交过定点的动弦中点的轨迹方程。当定点在椭圆上,可以用点差法或相关点法求轨迹方程。当定点在椭圆外,可以用点差法或韦达定理消参求轨迹方程,此时一定要验证直线与椭圆相交的条件,并求出变量的取值范围。先看例题:例:过椭圆上一点P(-8,0)作直线交椭圆于Q点,求PQ中点的轨迹方程。解:设弦中点M(),Q(),由,,可得,,又因为Q在椭圆上,所以有,所以中点M轨迹方程为:,所以PQ中点M的轨迹方程为()。注意:PQ两点不会重合,所以M不会取到(-8,0)点。规律整理:(1)当定点在椭圆上,可用相关点法,求椭圆上点P作直线交椭圆于Q点,PQ中点的轨迹方程。思路:设弦中点M(),Q(),,,又因为Q在椭圆上,代入椭圆方程整理得轨迹方程。(2)当定点在椭圆外,求过点P作直线交椭圆于A、B,求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。思路:验证直线与椭圆相交,联立方程,整理为一元二次方程,在时,求出x或y的取值范围。(3)先验证斜率不存在的情况是否符合题意。再看一个例题,加深印象例:已知椭圆,过点引椭圆的割线,求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。解:先判断斜率不存在的情况,即直线x=2,与椭圆无交点。即当不存在时,不满足题设要求。则可设过点的直线方程为,联立方程,消去,整理得,因为直线与椭圆相交,所以解得设弦的两个端点为、,中点,则由韦达定理知:,反
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示为:,由上述求得k2的范围,则有,解得。由直线方程,两边平方得代入有,即求得轨迹方程为:注意:(1)过定点的动弦中点的轨迹方程时,当定点在椭圆外的时候一定要验证直线与椭圆相交的条件,并求出(或)的取值范围;(2)验证斜率不存在的情况是否符合题意。总结:1.直线与椭圆相交求过定点的动弦中点的轨迹方程时,当定点在椭圆上,可以用点差法或相关点法求轨迹方程。2.直线与椭圆相交求过定点的动弦中点的轨迹方程时,当定点在椭圆外,可以用点差法或韦达定理消参求轨迹方程,此时一定要验证直线与椭圆相交的条件,并求出(或)的取值范围。练习:1.过椭圆上一点P(-8,0)作直线交椭圆于Q点,用点差法求PQ中点的轨迹方程。2.已知椭圆,过点引椭圆的割线,用点差法求求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。3.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,且过点D(2,0).(1)求该椭圆的标准方程;(2)设点,若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.答案:1.解:设弦PQ中点M(),弦端点P(),Q(),则有,两式相减得,又因为,,所以,所以,而,故。化简可得()。2.解:设弦的两个端点为、,中点,则两式相减得,整理得,由题意知,所以,又,所以,整理得。过点的直线方程为,联立方程,消去,整理得,又过点的直线与椭圆相交,所以解得,即,解得。所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是()本文档内字体为阿里巴巴普惠体R,CTRL+A全选可调整字体属性及字体大小-CAL-FENGHAI.NetworkInformationTechnologyCompany.2020YEAR