离散代数Riccati方程及其耦合方程解特征值估计

离散代数Riccati方程及其耦合方程解特征值估计 学校代号 学 号 10530 200909051055 分类号 密 级 O231.1 硕士学位 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 离散代数 Riccati方程及其耦合方程 解的特征值估计 查亚玲 学位申请人 刘 建 州 教授 指导教师 数学与计算科学学院 学院名称 运筹学与控制论 学科专业 最优控制理论与计算 研究方向 二零一二年四月十八日 离散代数 Riccati方程及其耦合方程 解的特征值估计 学位申请人 查 亚 玲 导师姓名和职称 刘 建 州 教授 学院名称 数学与计算科学学院 学科专业 运筹学与控制论 研究方向 最优控制理论与计算 学位申请级别 理 学 硕 士 学位授予单位 湘 潭 大 学 论文提交日期 2012–4–18 On Eigenvalue Bounds of the Discrete Algebraic Riccati Equations and the Discrete Coupled Algebraic Riccati Equation Yaling Zha Candidate Supervisor and Rank Prof. Jianzhou Liu College Mathematics and Computational Science Program Operational Research and Cybernetics Specialization Optimal Control Theory and Computation Degree Master of Science University Xiangtan University Date April 18th, 2012 湘潭大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识 到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名: 日期: 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅。本人授权湘潭大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名: 日期: 年 月 日 导师签名: 日期: 年 月 日 摘 要 对控制系统进行稳定性分析、最优控制等研究中, 许多问题可以归结为Riccati 矩阵方程的求解和解的上下界估计. 因而, 离散代数Riccati 矩阵方程及其耦合方 程的研究引起了国内外不少学者的关注, 并取得了不少成果. 本文在离散代数Riccati 矩阵方程存在唯一对称正定解的情况下, 对方程的解 的特征值、特征值的和与积进行估计, 改进了已有结论, 并用数值例子说明其有效 性. 本文主要内容有以下几个方面: 第一章介绍了Riccati 矩阵方程的应用背景和研究的现状, 给出了本文的主要 工作, 并引入了一些基本符号与定义. 第二章利用矩阵特征值不等式和Riccati 矩阵方程正定解的性质, 获得了该矩 阵方程解的特征值的上下界估计, 进一步利用控制不等式、特征值和与积的不等 式和不等式的放缩技巧, 结合所获得的Riccati 矩阵方程解的特征值不等式, 给出 了Riccati 矩阵方程半正定解的特征值和与积的上下界估计, 改进了已有结果, 并 用数值例子说明其有效性. 第三章在近期文献的基础上, 结合函数的单调性和凹函数的性质, 利用不等 式的性质, 研究了耦合形式的离散代数Riccati 矩阵方程解的上界与解的特征值的 上界, 并用数值例子说明其有效性. 关键词: Riccati矩阵方程;正定解;不等式;特征值. I ABSTRACT Riccati equations are widely applied to various engineering areas, for example, in the area of control system stability analysis, optimal and robust controllers, etc. Thus, lots of scholars pay much attention to the discrete algebraic Riccati equations and its coupled equations, meanwhile they have obtained plenty of achievements. If those equations exist unique symmetric positive de,nite solutions, we improve the bounds about the eigenvalues , certain sums and products of the eigenvalues for the solutions. Main contents as follows: In chapter one, we introduce the background and the recent works for the discrete algebraic Riccati equations, then we showed the main work and some symbols which will be used in our paper. In chapter two, we obtain the bounds about the eigenvalues for the unique symmet- ric positive de,nite solutions by using inequality theory and the nature of the symmetric positive de,nite solutions for the Riccati matrix equations. Moreover by combining the derived results with the inequality theory, we obtain certain sums or products of the eigenvalues for the solutions. Examples explain the e,ectiveness. In chapter three, on the basis of the recent references, combining the monotonicity of the function with the properties of concave function, we obtain the upper bounds about the solutions and its’ eigenvalues. Examples explain the e,ectiveness. Key words: Riccati matrix equation; Hermitian positive de,nite solution; In- equality; Eigenvalue. II 目录 第一章绪论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 背 景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 ?1.1 本文的主要工作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ?1.2 基本符号与定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ?1.3 第二章离散代数Riccati矩阵方程解的特征值估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ?2.1 离散Riccati 方程解的特征值的界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ?2.2 离散Riccati 方程解的特征值和的界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ?2.3 离散Riccati 方程解的特征值乘积的界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ?2.4 数值例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ?2.5 第三章耦合离散代数Riccati方程解的估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ?3.1 耦合离散代数Riccati方程解及特征值的界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ?3.2 数值例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ?3.3 结束语 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 致谢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 第一章 绪论 背景 ?1.1 现代控制理论[1] 的成果广泛应用于近代工业生产、航空航天、机械化工、网 络控制[2]等领域中, 近年来, 以线性系统[3] 和非线性系统[4][5] 为研究对象的现代控 制理论成为了国内外研究的重要领域之一. 现代控制理论的分析、综合和设计都 是建立在时间域的数学模型基础之上, 其中涉及到现代数学的许多领域, 比如线 性代数、微分方程理论、矩阵方程、李代数理论等, 因而与数学的研究密不可分. 在控制系统的分析和设计中, 人们关注的主要是系统的最优化控制和稳定性分析, 在对控制系统进行稳定性分析和优化控制综合中, 许多系统的控制问题往往可以 转化为讨论某些矩阵方程的求解问题, 因此对矩阵方程的研究具有重要的理论意 义和很高的应用价值. 例如: 我们经常会遇到如下离散的控制系统[4][5] k+1 = A(rk)xk + B(rk)uk, 0 ? k ? N yk = C(rk)xk, 其中A(rk) ? Rn×n, B(rk) ? Rn×m, C(rk) ? Rq×n, x0是初始状态, xk ? Rn 是一个状态变 量, uk ? Rm是一个控制变量, yk ? Rq是一个输出变量, k是时刻指标, rk是取值于有 限集合S = {1, 2, ? ? ? , s}上的离散时间的马尔科夫链, 转移函数如下 {+1 =| =} = π ? 0, 1 ?, ?, Prrk jrk ii j i j s 存在最优控制 uk, 使得性能指标函数 (1.1.1) N?? k=0 ? j?S 阵, R(rk)是m × m阶对称正定矩阵, P(rk)是n × n阶对称半正定矩阵. 系统 (1.1.1) 的最小性能指标函数 J(x0, r0) 最终可以转化为求下面的耦合代 数Riccati 矩阵方程组 P(rk) = AT (rk)Gk A(rk) + Q(rk) ? AT (rk)Gk B(rk) ( )?1 (1.1.2) R(rk) + BT (rk)Gk B(rk) BT (rk)Gk A(rk) i如?S ? rk = i时刻, 引入以下记号 Ai := 果我们在 ? πi j , Bi := πii A(rk) ? Rn×n, πi j := πii 1 x ? N1 T T T ? T (xk Q(rk)xk + uk R(rk)uk) + xN P (rN )xN , J(x0, r0) = lim E 最小, 其中πi j ? [0, 1], πii > 0且 πi j = 1, 对任意的k, Q(rk)是n × n阶对称半正定矩 πki P(ri) ? Rn×n, 1 ? k ? s. 的正定解, 其中Gk = ? 1 ? π + ? i j P j Pij i Rn×n, 则方程 (1.1.2) 就可以简化为耦合离散代数Riccati 方程(DCARE) (1.1.3) Pi = ATi Fi Ai ? ATi Fi Bi(I + BTi Fi Bi)?1 BTi Fi Ai + Qi, 所以通过化简把复杂的最优控制问题(1.1.1) 转化成了关于耦合Riccati 方程(1.1.3) 的求解问题. 特别地, 当 s = 1时, 系统(1.1.1)变就成单输入、单输出的控制系统, 其相应的 方程 (1.1.3) 就可简化为离散代数Riccati 矩阵方程(DARE) (1.1.4) P = AT PA ? AT PB(I + BT PB)?1 BT PA + Q, 其中A ? Rn×n, B ? Rn×m, Q是n × n的对称半正定矩阵, 为了保证方程(1.1.4) 有正定 解, 我们需要假设 (,)是可稳定的矩阵对, (,)是可观的矩阵对. A BQ A 若 = 0, 则离散代数Riccati 矩阵方程 (1.1.4) 就可简化为离散代数Lyapunov B 矩阵方程(DALE) (1.1.5) P = AT PA + Q. 另外, 我们也常常会遇到如下的线性系统[3] x?(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0, 使得性能指标函数 ? ? J = (xT Qx + uT u)dt 0 n×n n×m ,B ? R , x0 ? Rn是系统的初始状态变量, 此系统的最优问题 最终可以转化为求连续代数Riccati 矩阵方程(CARE) (1.1.6) AT X + XA ? XRX + Q = 0 的正定解问题, 其中R = BBT ? Rn×n和 Q是n × n阶对称正定矩阵, (A, R)是可稳定 的, (Q, A)是可观的. 若B = 0, 则连续代数Riccati 矩阵方程就简化为连续代数Lyapunov 矩阵方 程(CALE) (1.1.7) AT X + XA + Q = 0. 由于Riccati 矩阵方程广泛应用于控制问题的许多方面, 所以对这类矩阵方程 的研究越来越广泛, 近年来, 随着数学和计算机等各方面的发展, 对估计Riccati 矩 阵方程的解和解的特征值等也成为诸多学者研究的热点. πii B(rk)R(rk)? 2 ? Rn×m, Pi := P(rk) ? Rn×n, Qi := Q(rk) ? Rn×n, Fi = 2 最优, 其中 ? R A 本文的主要工作 ?1.2 本文在离散代数Riccati 矩阵方程存在唯一对称半正定解的情况下, 研究了有 关方程半正定解的特征值的一些性质, 改进了已有结论, 并用数值例子说明其有 效性. 本文主要内容有以下几个方面: 第一章介绍了Riccati 方程的应用背景和研究的现状, 给出了本文的主要工作, 并引入了一些基本符号与定义. 第二章利用矩阵特征值不等式和Riccati 矩阵方程正定解的性质, 获得了该矩 阵方程解的特征值的上下界估计, 进一步利用控制不等式、特征值和与积的不等 式和不等式的放缩技巧, 结合所获得的Riccati 矩阵方程解的特征值不等式, 给出 了Riccati 矩阵方程半正定解的特征值和与积的上下界估计, 改进了已有结果, 并 用数值例子说明其有效性. 第三章在近期文献的基础上, 结合函数的单调性和凹函数[6] 的性质, 利用不 等式的性质, 研究了耦合形式的离散代数Riccati 矩阵方程解的上界与解的特征值 的上界, 并用数值例子说明其有效性. 基本符号与定义 ?1.3 记 Rm×n(Cm×n) 为 m × n 阶实(复)矩阵的全体, Rn为实数域上n维行向量的全体, Rn+为正实数域上n维行向量的全体, Sn为实数域上 n × n 阶对称矩阵的全体, Sn+为实 数域上 n × n 阶对称半正定矩阵的全体, 且对任意的矩阵S , T ? Sn, 如果S ? T ? Sn+, 则记为:S ? T ; 如果S ? T是正定矩阵, 则记为:S ? T . 向量a = (a1, a2, ? ? ? , an)T > 0, 表示每个分量ai > 0(i = 1, 2, ? ? ? , n). 设 A = (ai j) ? Cn×n, AT 表示实矩阵 A 的转置, A? 表示复矩阵A的共轭转置, A为非奇异矩阵, 此 0, 则称det(A)表示矩阵A的行列式, In表示单位矩阵, 若det(A) 时用A?1表示矩阵A的逆, tr(A)表示矩阵A的迹, rank(A)表示矩阵A的秩, 矩阵A的特 征值记为λi(A), i = 1, ? ? ? , n, Reλi(A)表示矩阵A的第i个特征值的实部, 且按非增顺 序排列, 即 Reλ1(A) ? Reλ2(A) ? ? ? ? ? Reλn(A), 矩阵A的奇异值记为 σi(A), i = 1, ? ? ? , n, 也按非增顺序排列; 如果 λi(A), σi(A), i = 1, ? ? ? , n, 非零, 则 [λi(A)]?1 和 [σi(A)]?1 分别简记为: λ?i 1(A) , σ?i 1(A), i = 1, ? ? ? , n; [λi(A)]2 和[σi(A)]2分别简记为:λ2i (A) , σ2i (A), i = 1, ? ? ? , n. 对于任意的 x = (x1, x2, ? ? ? , xn) ? Rn, 把 x的分量排成递减的次序后记作 x ?= (x[1], x[2], ? ? ? , x[n]), 即 x[1] ? x[2] ? ? ? ? ? x[n]. 3 把 x的分量排成递增的次序后记作 x ?= (x(1), x(2), ? ? ? , x(n)), 即 x(1) ? x(2) ? ? ? ? ? x(n). [7] 定义 1.1 若x, y ? Rn满足 k k x[t] ? y[t], k = 1, ? ? ? , n ? 1, t=1 t=1 且 n n x[t] = y[t], t=1 t=1 则称 x被 y所(强)控制, 或说 y控制了 x, 记作 x ? y. [7] 定义 1.2 若x, y ? Rn满足 k k x[t] ? y[t], k = 1, ? ? ? , n, t=1 t=1 则称 x被 y下(弱)控制, 记作 x ?ω y. [7] 定义 1.3 若x, y ? Rn满足 k k () ? (), = 1, ? ? ? ,, xtyt k n t=1 t=1 则称 x被 y上(弱)控制, 记作 ?ω. x y 4? ? ? ? ? ? ? ? 第二章 离散代数Riccati矩阵方程解的特征值估计 引言 ?2.1 Riccati 方程在线性二次型高斯控制系统[8]和线性最优滤波系统[8]的分析、综 合、设计中起到了关键作用, 但在实际问题中参数变量常常受到各种干扰, 所以需 要考虑并估计这种变化对系统的影响的大小以便分析产生的原因及其误差, 而且 当方程中矩阵的维数增大时, 对方程的求解将变得相当复杂, 所以对它的估计比 较难, 这就使得对Riccati 矩阵方程解的特征值估计的研究有了实际意义. 近几十年来许多学者已经对CARE解的界[9]、解的特征值的界[10-15] 、迹的 界[9-18]等不同的方面进行研究, 得到了大量的结果, 其中这些结果大部分都必须 要满足假设A + AT < 0. 在离散代数Riccati 矩阵方程(DARE) (1.1.4) 中, 令R = BBT ? Rn×n, 运用Sherman- Morrison-Woodbury 公式 (I + S T )?1 = I ? S (I + T S )?1T , 方程 (1.1.4) 可等价改写为 (2.1.1) P = AT (P?1 + R)?1 A + Q. 许多学者对DARE (1.1.4) 式或 (2.1.1) 式解的界[19-24]、解的特征值的界[11] [19-24] 、迹[19-24]等不同的方面进行研究, 得到了大量的结果, 部分学者还研 究了DARE方程解的牛顿迭代法[25, 26]、Shur法[27-29] 及其衍生的方法[30-36], 给出了一些求方程近似解的方法, 其中在这许多研究的成果中都要求满足假设 σ1(A) < 1 或 R ? 0或 Q ? 0. 为了克服σ1(A) < 1这个条件限制, Lee等在文献[37]介 绍了对 DARE (1.1.4) 的一种相似变换, 改进了部分结果; 戴华在文献[38]中不要求 R ? 0、Q ? 0, 对(DARE) (2.1.1) 进行了研究, 得到了方程解的特征值和的上下界、 积的上界、不动点迭代算法等. 本章主要利用控制不等式等的一些性质对DARE (2.1.1) 作进一步的研究, 改 进了已有结果, 并用数值例子说明其有效性. 离散Riccati方程解的特征值的界 ?2.2 引 2.1 理 [39][40] 若 ,S ? T Sn, X ? Rn×m, 则 (i) 如果 S ? T , 那么 λk(S ) ? λk(T ) (k = 1, ? ? ? , n); 5 ) ? ? λ( )(ii) λ1(SI SnSI; (iii) 如果 S ? T , 那么X T S X ? X T T X; (iv) 如果 S ? T ? 0, 那么T ?1 ? S ?1. 引理 2.2 [7] 设 G, H ? Cn×n 是Hermite矩阵, 1 ? i1 < ? ? ? < ik ? n, 则 ? ? ? (i) t=1 t=1 t=1 ? ? ? (ii) t=1 t=1 t=1 当且仅当 k = n 时, (i)(ii)中等号成立; 如果G, H都是半正定的, 则 ? ? (iii) t=1 t=1 ? ? (iv) t=1 t=1 [40] 引理 2.3 设 xi, yi是按非增次序排列的正实数, 如果对任意的 k = 1, ? ? ? , n, 成立 k k ?+1 ? ?+1, xniyni i=1 i=1 则 k k xn??i+11 ? y?n?1i+1 . i=1 i=1 [7] ? ? t=1 t=1 ? ? t=1 t=1 ? ? t=1 t=1 (iv) 若 x ? y, 则 ( x11 , x12 , ? ? ? , x1n ) ?ω ( y11 , y12 , ? ? ? , y1n ), k k 即 ? , k = 1, ? ? ? , n. t=1 t=1 [41] 引理 2.5 设 A, B ? Cn×n是Hermite 矩阵, 对任意的 t = 1, ? ? ? , n, 有 i+ j=t+n + j=t+1 i i+ j=t+n i+ j=t+1 6 k k k λit (G + H) ? λit (G) + λ?+1()ntH, k k k λit (G + H) ? λit (G) + λt(H), k k λit (GH) ? iλt (G)λn?t+1(H), k k λit (GH) ? iλt (G)λt(H). ? ? ? ? 引理 2.4 设x, y ? Rn, k k x[t]u[t] ? (i) 若 x ?ω y, 则 y[t]u[t], ?u ? Rn+, k = 1, ? ? ? , n; k k (ii) 若 x ? y, 则 x[t]u(t) ? y[t]u(t), ?u ? Rn, k = 1, ? ? ? , n; k k (iii) 若 ?ω 则 ()[] ? x y,xtuty(t)u[t], ?u ? Rn+, k = 1, ? ? ? , n; ? 1 ? 1 x[t] y[t] (i) λt(A + B) ? max {λi(A) + λ j(B)}; (ii) λt(A + B) ? min {λi(A) + λ j(B)}; (iii) σt(AB) ? max {σi(A)σ j(B)}; (iv) σt(AB) ? min {σi(A)σ j(B)}. t () = 在[0, +?)上是单调不减的其中 > 0引理 2.6 函数 ft, a. 1+at 证明: 因为对任意的 0 ? t1 ? t2 有 t1 t2 1 + at1 1 + at2 t1 ? t2 (1 + at1)(1 + at2) ? 0, 所以 f (t)在[0, +?)上是单调不减的. [42] 设 A, B ? Cn×n 是半正定的 Hermite 矩阵, 则对任意的k = 1, ? ? ? , n, 引理 2.7 有 k k k λn?t+1(A + B) ? λn?t+1(A) + λn?t+1(B). t=1 t=1 t=1 引理 2.8 设P ? Rn×n 是DARE (2.1.1) 的对称正定解,则对任意的t = 1, ? ? ? , n,有 σ2()λ() nAnQ(i) λt(P) ? + λt(Q) := αt, 1 + λn(Q)λ1(R) 当1 + λn(Q)λn(R) ? σ21(A) > 0时,有 ′ λ1(Q)(1 + λt(Q)λn(R)) (ii) λt(P) ? 2 证明:因为 P 是DARE (2.1.1) 的对称正定解,则 P ? Q,利用引理 2.1有 λt(P) ? λt(Q), t = 1, ? ? ? , n, 又由于对任意的可逆矩阵X ? Rn×n有 (2.2.1) λ?n?1t+1(X) = λt(X ?1), t = 1, ? ? ? , n, (i)利用引理 (2.2) (iii)和 (2.2.1) 式有 λn(AT (P?1 + R)?1 A) = λn(AAT (P?1 + R)?1) ? σ2n(A)λn(P?1 + R)?1 = σ2n(A)λ?1 1(P?1 + R), 又有R ? λ1(R)I, 利用引理2.2(i)(iv)和引理2.6, 有 λ?1 1(P?1 + R) ? λ?1 1(P?1 + λ1(R)I) = ? = 1 )λ1(R) λ 1 (7 P ?f (t1) ? f (t2) = ? 1) += λ 1 ( R ) ? ? ? λ n ( P ) 1 + t . := α 1 + λt(Q)λn(R) ? σ1(A) λ n ( P ) λ 1 ( R ) λ n ( Q ) 1 + λ n (, Q 所以 σ2n(A)λn(Q) T ?1 ?1 , 1 + λn(Q)λ1(R) 又因为P 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 根据引理2.2(i)有 λt(P) = λt(AT (P?1 + R)?1 A + Q) ? λn(AT (P?1 + R)?1 A) + λt(Q) σ2n(A)λn(Q) ? + λ() := α. tQt1 + λn(Q)λ1(R) (ii) 利用引理 (2.2) (iv)和 (2.2.1) 式有 λt(AT (P?1 + R)?1 A) = λt(AAT (P?1 + R)?1) ? σ21(A)λt(P?1 + R)?1 = σ21(A)λ?n?1t+1(P?1 + R), 又有R ? λn(R)I, 利用引理2.2(i)(iv)和引理2.6, 有 λ?n?1t+1(P?1 + R) ? λ?n?1t+1(P?1 + λn(R)I) 1 = λn?t+1(P?1) + λn(R) λt(P) = 1 + λt(P)λn(R) λt(P) ? 1 + λt(Q)λn(R) 所以 σ21()λ() AtPλt(AT (P?1 + R)?1 A) ? , 1 + λt(Q)λn(R) 又因为P 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 根据引理2.2(ii)有 λt(P) = λt(AT (P?1 + R)?1 A + Q) ? λt(AT (P?1 + R)?1 A) + λ1(Q) σ21(A)λt(P) ? + λ1(Q), 1 + λt(Q)λn(R) 所以有 ( ) σ21(A) λ() 1 ? tP? λ1(Q), 1 + λt(Q)λn(R) 又因为 1 + λt(Q)λn(R) ? σ21(A) > 0, 所以 λt( ) ? Pλ1(Q)(1 + λt(Q)λn(R)) ′1 + λ()λ() ? σ21() tQnRA λn(A (P + R) A) ? 8 , := αt . 定理 2.1 设 P ? Rn×n 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 则对任意的t = 1, ? ? ? , n, 有 { } max { } + λ j(Q) , i+ j=t+n 当1 + λn(Q)λn(R) ? σ21(A) > 0时,有 ′ { } max { } + λ j(Q) , i+ j=t+1 ′ 证明: 因为P 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 则 P ? Q, 利用引理2.1有 λt(P) ? λt(Q), t = 1, ? ? ? , n, 且对任意的矩阵U, V ? Rn×n, 都有λi(UV ) = λi(VU ). (i)利用 (2.2.1) 式和引理2.5(iii), 有 λi(AT (P?1 + R)?1 A) = σi(AT (P?1 + R)?1 A) ? u+v=i+n = u+v=i+n 又有R ? λ1(R)I, 利用引理2.2(i)、(2.2.1) 式、引理2.6 和引理2.8, 有 λ?n?1v+1(P?1 + R) ? λ?n?1v+1(P?1 + λ1(R)I) 1 = λn?v+1(P?1) + λ1(R) λv(P) = 1 + λv(P)λ1(R) αv ? 1 + αvλ1(R) 所以 σ2u(A)αv }, t = 1, ? ? ? , n, u+v=i+n 1 + αλ1() vR 又因为P 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 根据引理2.5(i)有 λt(P) = λt(AT (P?1 + R)?1 A + Q) ? i+ j=t+n 所以 { } max λt(P) ? max { } + λ j(Q) . i+ j=t+n 9 σ2u(A)αv (i) λt(P) ? max u+v=i+n 1 + αvλ1(R) σ2u(A)αv (ii) λ() ? min tPu+v=i+1 1 + αvλn(R) 其中 αv, αv由引理2.8中所给出. max {σ2u(A)λv((P?1 + R)?1)} max {σ2u(A)λ?n?1v+1(P?1 + R)}, , λi(AT (P?1 + R)?1 A) ? max { max {λi(AT (P?1 + R)?1 A) + λ j(Q)}, σ2u(A)αv u+v=i+n 1 + αvλ1(R) (ii)利用 (2.2.1) 式和引理2.5(iv), 有 λi(AT (P?1 + R)?1 A) = σi(AT (P?1 + R)?1 A) ? u+v=i+1 = u+v=i+1 又有R ? λn(R)I, 利用引理2.1 (i)和(2.2.1) 式, 有 λ?n?1v+1(P?1 + R) ? λ?n?1v+1(P?1 + λn(R)I) 1 = λn?v+1(P?1) + λn(R) λv(P) = 1 + λv(P)λn(R) ′ , ? 所以 ′ T ?1 ?1 min { }, 又因为P 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 根据引理2.5(ii)有 λt(P) = λt(AT (P?1 + R)?1 A + Q) ? i+ j=t+1 所以 ′ { } min λt(P) ? max { } + λ j(Q) . +=+1 i jt 离散Riccati方程解的特征值和的界 ?2.3 定理 2.2 设 P ? Rn×n 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 则对任意的 k = 1, ? ? ? , n, 有 k k t λit (P) ? + λn?t+1(Q) , t=1 t = 1 其中αt由由引理2.8中所给出. 10 min {σ2u(A)λv((P?1 + R)?1)} min {σ2u(A)λ?n?1v+1(P?1 + R)}, αv 1 + αvλn(R) σ2u(A)αv λ( (+)) ? iAP R Au+v=i+1 1 + αvλn(R) min {λi(AT (P?1 + R)?1 A) + λ j(Q)}, σ2u(A)αv +=+1 1 + αλ() uvivnR ? ? σ2i (A)αn?t+1 1 + α n?t+1λt(R) 证明:由于对任意的矩阵U, V ? Rn×n, 都有λi(UV ) = λi(VU ), 利用 (2.2.1) 式和 引理2.2(iii), 有 k k λit (AT (P?1 + R)?1 A) = λit ((P?1 + R)?1 AAT ) t=1 t=1 k ? λ ()λ?+1((?1 +)?1) itAT AntP R =1 t k = σ2it (A)λ?t 1(P?1 + R), t=1 由引理2.2(ii), 我们可以得到 k k λt(P?1 + R) ? (λt(P?1) + λt(R)), k = 1, 2, ? ? ? , n ? 1, t=1 t=1 且 n λt(P?1 + R) = tr(P?1 + R) =1 t = tr(P?1) + tr(R) n ?1 t=1 因为有 λ1(P?1 + R) ? λ2(P?1 + R) ? ? ? ? ? λn(P?1 + R), λ1(P?1) + λ1(R) ? λ2(P?1) + λ2(R) ? ? ? ? ? λn(P?1) + λn(R), 所以我们可以分别记 x[t] = λt(P?1 + R), y[t] = λt(P?1) + λt(R), 由定义1.1知有 ?, 再利用引理2.4(iv), 我们可以得到 x y k k (λt(P?1) + λt(R))?1, k = 1, 2, ? ? ? , n, λ?t 1(P?1 + R) ? t=1 t=1 又因为有 λ?1 1(?1 +) ? λ?2 1(?1 +) ? ? ? ? ? λ? 1(?1 +), P RP RnP R )?1 ( )?1 ( )?1 ( , λ1(P?1) + λ1(R) ? λ2(P?1) + λ2(R) ? ? ? ? ? λn(P?1) + λn(R) 此时我们分别记 ( )?1 x(t) = λ?t 1(P?1 + R), y(t) = λt(P?1) + λt(R) , u[t] = σ2it (A), 11 ? ? ? ? ? ? ? ? = λt(P ) + λt(R) . ( ) ? ? ?, 利用 (2.2.1) 式和引理2.4 (iii), 有 由定义1.3知有:xw y k k + R) ? σ2it (A)λ?t 1(P?1 σ2it (A)(λt(P?1) + λt(R))?1 t=1 t=1 k σ2it (A)λn?t+1(P) = , 1 + λn?t+1(P)λt(R) t=1 所以 k k t T ?1 ?1 . t=1 t=1 又因为P 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 根据引理2.2(i), 有 k k λit (P) = λit (AT (P?1 + R)?1 A + Q) =1 =1 tt k k T ?1 ?1 ? λn?t+1(Q) t=1 t=1 k k σ2it (A)λn?t+1(P) (2.3.1) ? + λn?t+1(Q), 1 + λn?t+1(P)λt(R) t=1 t=1 利用引理2.6和引理2.8(i), 可以得到 λn?t+1(P) αn?t+1 ? , 1 + λn?t+1(P)λt(R) 1 + αn?t+1λt(R) 更进一步地有 k k λn?t+1(P) αn?t+1 ? , σ2it (A) σ2it (A) 1 + λn?t+1(P)λt(R) 1 + αn?t+1λt(R) t=1 t=1 代入 (2.3.1)式就可以得到 k k k t λit (P) ? + λn?t+1(Q). t=1 t=1 t=1 定理 2.3 设{P ? Rn×n 是DARE (2.1.1)}的对称正定解, 如果 1 + λn(Q)λn(R) ? ′ 1?t?k?n ?k k =1 t (i) , λn?t+1(P) ? ? 2?+tk) (Aσ=1 t) ′ t=1 ?k t=1 λn+1(Q) k t=1 (ii) λn?t+1(P) ? ( ?t?k σ2n?k+t (A) t=1 (1 ? ′ ) )2 21 , ? ? ′ ? 12 ? 2 ()λ?+1() ? σiAntPλit (A (P + R) A) ? 1 + λn?t+1(P)λt(R) ? ? ? ? λit (A (P + R) A) + ? ? ? ? ? ? ? σ2i (A)αn?t+1 1 + αn?t+1λt(R) σ21(A) > 0, min 1 + αn?t+1λt(R) ? σ2n?k+t(A) > 0,则对任意的k = 1, ? ? ? , n,有 λn?t+1(Q) ? k n (1 ? 1+αn?t+1λt (R) ? 1+αn?t+1 λt (R) 其中αt由引理2.8中所给出. 证明:利用 (2.3.1) 式和引理2.8(ii), 可以得到 k k λn?t+1(P) = λn?k+t(P) t=1 t=1 k k σ2n?k+t(A)λn?t+1(P) ? + λn?t+1(Q) 1 + λn?t+1(P)λt(R) t=1 t=1 k k ? + λn?t+1(Q), ′ t=1 t=1 进一步整理, 有 k ) k σ2?+() nktA(2.3.2) 1 ? λn?t+1(Q), λn?t+1(P) ? ′ t=1 t=1 ′ k k k ( xt)( yt) ? xtyt, xt ? 0, yt ? 0, t=1 t=1 t=1 可以得到 k k k 1 ? λn?t+1(P) ? λn?t+1(Q), ′ =1 =1 tt 进一步整理有 ?k k =1 t . λn?t+1(P) ? ?k σ2?+ () nktAt=1 ) ′ t=1 (ii) 对 (2.3.2)式利用Cauchy-Schwarz不等式, 有 k k k ) 12 σ2n?k+t(A) 2 2 (1 ? ? ? λn?t+1(Q), ′ t=1 t=1 t=1 ?k λn?t+1(Q) k ) 21 t=1 2 (2.3.3) ? ( ) 21 , ?k σ2n?k+t (A) t=1 )2 ′ =1 t 对(2.3.3)式利用不等式 k k )2 t=1 ? λn?t+1(P) λ2?+1(), ntP t=1 13? ? ? ? ? ? σ2?k+t(A)λn?t+1(P) 1 + αn?t+1λt(R) ? ( ? 1 + αn?t+1λt(R) (i)因为1 + αn?t+1λt(R) ? σ2n?k+t(A) > 0, 对 (2.3.2)式可以利用不等式 ? ? ? ? ( ) ? ? σ2n?k+t(A) 1 + αn?t+1λt(R) t=1 λn?t+1(Q) ? (1 ? 1+αn?t+1 λt (R) ( ? ) 12 ( ? ? ) λ?+1() ntP1 + αn?t+1λt(R) ( ? λn?t+1(P) (1 ? 1+αn?t+1λt (R) ( ? ? 可以得到 ?k λ?+1() ntQk t=1 λn?t+1(P) ? ( ) 21 . ?k σ2n?k+t (A) =1 t)′ =1 t2 由定理2.2, 我们可以得到以下推论. 推论 2.1 设 P ? Rn×n 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 则对任意的 k = 1, ? ? ? , n, 有 k k k t λt(P) ? + λn?t+1(Q), t=1 t=1 t=1 k k k λn?t+1(P) ? + λn?t+1(Q), t=1 t=1 t=1 n tr(P) ? tr(Q) + . t=1 有 > 0时,特别地, 当1 + λn(Q)λn(R) ? σ21(A) tr(Q) tr(P) ? ( ) 21 , n ?σ2n?k+1(A) )2 (1 ? ′ t=1 ′ 定理 2.4 设P ? Rn×n 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 如果1 + λn(Q)λn(R) ? σ21(A) > 0, 则 ′ k k λit (P) ? ′ + λt(Q) , k = 1, 2, ? ? ? , n, t=1 t = 1 k ′ k λ () ? itP (R) =1t t=1 t i ?t+n 1 t(Q) , k = 1, 2, ? ? ? , n, + λ ′ 证明:由于对任意的矩阵U, V ? Rn×n, 都有λi(UV ) = λi(VU ), 利用 (2.2.1) 式和 ? 引理2.2 (iv), 有 k k T ?1 ?1 (1 ? λit ((P?1 + R)?1 AAT ) 1+α?+1 λ () nttR t=1 t=1 k λit (AT A)λt((P?1 + R)?1) ? t=1 k = σ2 ()λ??1+1(?1 +), itAntP R? ? ? σ2(A)αn?t+1 =1 t 1 + αn?t+1λt(R) 14? ? ? σ2?k+t(A)αn?t+1 1 + αn?t+1λt(R) ? σ2t (A)αn?t+1 1 + α?+1λ() nttR 1+αn?t+1 λt (R) 其中αt, αt由引理2.8中所给出. ? ? σ2 ()αitAt 1 + αt λn?t+1(R) ? ? σ2t (A)αit 1 + α′ λ 其中αt由引理2.8中所给出. ? ? λit (A (P + R) A) = ? ? 由引理2.2(i), 我们可以得到 k k λn?t+1(P?1 + R) ? (λn?t+1(P?1) + λn?t+1(R)), =1 =1 tt 又因为对任意的 k = 1, ? ? ? , n, λt(P?1 + R)和λt(P?1) + λt(R)都是按非增次序排列的 正实数, 所以利用引理2.3, 我们可以得到 k k (λn?t+1(P?1) + λn?t+1(R))?1, λ?n?1t+1(P?1 + R) ? t=1 t=1 因为 σ2i1 (A) ? σ2i2 (A) ? ? ? ? ? σ2ik (A), λ?k 1(P?1 + R) ? ? ? ? ? λ?2 1(P?1 + R) ? λ?1 1(P?1 + R), (λ(?1) + λ())?1 ? ? ? ? ? (λ2(?1) + λ2())?1 ? (λ1(?1) + λ1())?1, kPkRPRPR 所以我们可以分别记 u[t] = σ2it (A), x[t] = λ?n?1t+1(P?1 + R) , y[t] = (λn?t+1(P?1) + λn?t+1(R))?1, 由定义1.2知有:x ?w y, 利用 (2.2.1) 式和引理2.4(i), 我们可以得到 k k ( ?1 + R) ? σ2it (A)λ?n?1t+1(P?1 σ2it (A) )?1 t=1 t=1 k σ2 ()λ() itAtP= , 1 + λt(P)λn?t+1(R) =1 t 所以有 k k σ2it (A)λt(P) T ?1 ?1 , 1 + λt(P)λn?t+1(R) t=1 t=1 又因为P 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 根据引理2.2 (ii), 有 k k λit (AT (P?1 + R)?1 A + Q) λit (P) = t=1 t=1 k k λit (AT (P?1 + R)?1 A) + ? λt(Q) t=1 t=1 k k σ2it (A)λt(P) (2.3.4) ? + λt(Q), 1 + λt(P)λn?t+1(R) t=1 t=1 利用引理2.6和引理2.8(ii), 可以得到 ′ λt(P) ? , ′ 1 + λt(P)λn?t+1(R) 15 ? ? ? ? ? ? λn?t+1(P ) + λn?t+1(R) ? ? ? λit (A (P + R) A) ? ? ? ? ? ? ? αt 1 + αt λn?t+1(R) 更进一步地有 ′ k k λt(P) (2.3.5) ? , σ2it (A) σ2it (A) ′ 1 + λt(P)λn?t+1(R) t=1 t=1 将 (2.3.5)式代入 (2.3.4)式, 有 ′ k k k λit (P) ? + λt(Q). σ2 () itA′ =1 =1 =1 ttt 同理可类似的证明第二个不等式. 由定理2.3我们可以得到以下推论. ? R× 是DARE (2.1.1) 的对称正定解 如果1 + λ()λ() ? 推论 2.2 设Pnn,nQnR σ21(A) > 0, 那么 ′ k k k λt(P) ? ′λt(Q), k = 1, 2, ? ? ? , n, t=1 t=1 =1 t n ′ + tr(P) ? tr(Q) + ′ . t=1 ′ 离散Riccati方程解的特征值乘积的界 ?2.4 引理 2.9 设 P ? Rn×n 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 如果 Q ? 0, 则 P ? AT (α?n 1 I + R)?1 A + Q := Nα, 其中α由引理2.8中所给出n. 证明:由于 Q ? 0, 根据引理2.8有 λn(P) ? αn ? λn(Q) > 0, 根据引理2.1(ii)有 P ? λn(P)I ? αn I ? 0, 因为P 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 根据引理2.1(iii)(iv)有 P = AT (P?1 I + R)?1 A + Q ? AT (α?n 1 I + R)?1 A + Q := Nα. 16 ? ? αt 1 + αt λn?t+1(R) ? ? ? αt 1 + αt λn?t+1(R) ? ? σ2 ()αtAt ? 1 + αt λn?t+1(R) ? σ2t (A)αt αt λn?t+1(R) + 1 其中αt由引理2.8中所给出. 定理 2.5 设 P ? Rn×n 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 如果存在正定矩阵 N, 使得N ? P, 则对任意的k = 1, ? ? ? , n, 有 k k k σ2()λ? 1( ?1 +) + nAtN Rλn?t+1(P) ? λn?t+1(Q). =1 =1 =1 ttt 证明: 因为P 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 根据引理2.2 (iii)、(2.2.1)式和引 理2.7, 有 k k λn?t+1(AT (P?1 + R)?1 A + Q) λn?t+1(P) = t=1 t=1 k k T ?1 ?1 ? λn?t+1(Q) =1 =1 tt k k ? σ2n(A)λn?t+1((P?1 + R)?1) + λn?t+1(Q) t=1 t=1 k k (2.4.1) = + R) + σ2n(A)λ?t 1(P?1 λn?t+1(Q), t=1 t=1 由于0 ? N ? P, 利用引理2.1(i)(iv), 可以得到 (2.4.2) λ?t 1(P?1 + R) ? λ?t 1(N ?1 + R), 把 (2.4.2)式代入(2.4.1)式, 就可以得到 k k k σ2n(A)λ?t 1(N ?1 + R) + λn?t+1(P) ? λn?t+1(Q). t=1 t=1 t=1 注: 由引理2.9我们知道正定矩阵 N是存在的. 推论 2.3 设 P ? Rn×n 是DARE (2.1.1) 的对称正定解, 如果 Q ? 0, 则对任意 的k = 1, ? ? ? , n, 有 k k k + R) + σ2n(A)λ?t 1(Nn?1 λ?+1() ? λ?+1(), ntPntQ t=1 t=1 t=1 其中Nα由引理2.9中所给出. 对定理2.2中的不等式应用几何平均不等式, 我们可以得到 DARE (2.1.1) 解的 特征值乘积的上界. 定理 2.6 设 P ? Rn×n 是 DARE (2.1.1) 的对称正定解, 如果满足 1+λn(Q)λn(R)? σ21(A) > 0, 则对任意的 k = 1, ? ? ? , n, 有 k k t=1 + λt(Q) , k = 1, 2, ? ? ? , n,k t=1 1 + αt λn?t+1(R) k 17 ? ? ? ? ? ? ? + R) A) + λ?+1( (ntAP ? ? ? ? ′ ? ? ? ? ? ? ? σ2it (A)αt 1 ? λit P() ? ′ k k + λt(Q) , k = 1, 2, ? ? ? , n, k t=1 1 + αit λn?t+1(R) t=1 k ′ ′ 推论 2.4 设 ? R× 是 DARE (2.1.1) 的对称正定解 如果满足 1+λ()λ()? Pnn,nQnR σ21(A) > 0, 则对任意的 k = 1, ? ? ? , n, 有 k ) k k σ2t (A)αt ′ + λt(Q) , k = 1, 2, ? ? ? , n, ( ′ t=1 特别地有 n ) n σ2t (A)αt ′ (+ λt(Q) , k = 1, 2, ? ? ? , n, ′ ′ 数值例子 ?2.5 我们分别用R是奇异的和R是非奇异矩阵的数值例子来说明结论的有效性,这 些数值算例都是是用MATLAB 7.1计算的, 并取误差限? = 1.0e ? 008. 在n = 5时,为了和戴华在文献[38]中的结论相比较,特别的在本章定理2.2、定 理2.3、定理2.4 和定理2.6中, 我们取k = 3, i1 = 1, i2 = 2, i3 = 3, 利用以下例子说 明我们结论的优越性. 例2.1 考虑DARE(2.1.1) P = AT (P?1 + R)?1 A + Q, 其中 0 .0 0.1 0 0 2 0 0 0 .1 1 1 0 4 0 2 0 0 0 0 . 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 1 0 1 ? 18σ2t (A)αit 1 ? λit P() ? ′ 其中αt由引理2.8中所给出. ? 1 ? λt(P) ? k t=1 1 + αt λn?t+1(R) 1 ? det(P) ? n t=1 1 + αt λn?t+1(R) 其中αt由引理2.8中所给出. 0.4 5 1 1 1 1 1 4 0 0 1 ?0.6 , A = Q = 1 0 4 0 1 , 1 0 0 4 0 0 0.5 ?0.2 0 0.1 0.2 1 0 1 2 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 , B = 0 R = BBT = 0 0 1 0 0 . 0 0 0 1 0 1 0 0 计算得到 ?0.2200 0.0200 0 0 0 0 0 0 0 0.2900 0.0100 0 0 0 0.0100 0.0500 λ(Q) = {7.0861, 4.4280, 4.0000, 3.0000, 2.4859} , σ2(A) = {0.5344, 0.2904, 0.0823, 0.0496, 0.0033} , λ(R) = {4.0000, 1.0000, 1.0000, 1.0000, 0} , 由于例子中R是奇异矩阵, 利用以上结果, 结合引理2.8中的公式可以对应的得到 α = {7.0869, 4.4288, 4.0080, 3.0008, 2.4867} , ′ 在文献[38]的定理2.1中有 σ25(A)λ1(Q) σ24(A)λ2(Q) + λ5() + ) Q+ λ4(Q1 + λ1(Q)λ1(R) 1 + λ2(Q)λ1(R) σ23(A)λ3(Q) + + λ3(Q) = 9.5178, 1 + λ3(Q)λ1(R) σ21(A)λ5(Q) σ22(A)λ4(Q) + λ5() + + λ4() QQ1 + λ5(Q)λ1(R) 1 + λ4(Q)λ1(R) + + λ3() = 9.6937, Q ? θ + θ21)(λ 5) + λ((RQ4) + λ(Q3))(Q+ 4λ = 3.0216, 2λ1(R) 在本文定理2.2中有 σ21(A)α5 σ22(A)α4 + λ5(Q) + + λ4(Q) 1 + α5λ1(R) 1 + α4λ2(R) σ23(A)α3 + λ3(Q) = 9.8910, + 1 + α3λ3(R) 所以有 λ 1 ) + λ2() + λ3() ? 9.8910 ? max{9.5178 , 9.6937 , 3.0216}, PPP( (2.5.1) 19 0.2400 ?0.2200 0.3700 0.0100 0 , AAT = 0.0200 0.0100 0.0100 0 α ? 15.2193. σ23(A)λ3(Q) 1 + λ3(Q)λ1(R) 在文献[38]的定理2.2中有 1 ? 3[Θ + Θ2 + 4λ4(R)η/3] 2λ4() R 在本文定理2.4中有 ′ + λ1(Q) = 15.2193, ′ ) + + λ1(Q+ λ2(Q) ′ + + λ3() = 23.9970, Q 所以有 λ1(P) ? 15.2193, ′ (2.5.2) λ1(P) + λ2(P) + λ3(P) ? 23.9970 ? 32.6569, 在文献[38]的定理2.3中有 ( [Θ + ?Θ2 + 4λ4(R)η/3] )3 = 1289.9212, 2λ4(R) 在本文定理2.6中有 ′ 1 + λ2(Q) 3 1 + α′ λ5(R) 1 + α′ λ4(R) ′ + + λ3(Q) = 511.8080, 所以有 (2.5.3) λ1(P)λ2(P)λ3(P) ? 511.8080 ? 1289.9212, 不等式(2.5.1)、(2.5.2)、(2.5.3)验证了本章定理2.2、定理2.4 和定理2.6的优越性. 对于同样的例子, 在本文定理2.3中有 λ5(Q) + λ4(Q) + λ3(Q) = 5.4762, 1 σ23 (A) σ25 (A) [(1 ? ′ ′ 1?α λ2 (R) 所以有 (2.5.4)λ5(P) + λ4(P) + λ3(P) ? 5.4762, 不等式(2.5.4)给出了方程解的后3个特征值和的一个下界估计. λ1(Q) = 15.2193, 20 1 ? σ21() A = 32.6569, σ21()α A 1 + α′ λ5(R) σ21(A)α 22σ(A)α 1 + α′ λ5(R) 1 + α′ λ4(R) σ23(A)α 1 + α′ λ3(R) [ 1 ( σ2(A)α′ σ22(A)α + λ1(Q) + )]3 σ24(A)α 1 + α′ λ3(R) σ24 (A) )2 )2] 2 + (1 ? + (1 ? 1?α λ1(R) 1?α λ3 (R) ′ 2 ) 例2.2 考虑DARE(2.1.1) P = AT (P?1 + R)?1 A + Q, 其中 5 1 1 1 1 1 3 0 0 1 0 0 0.1 0 0 1 0 3 0 1 1 0 0 4 1 0 0 0 0.1 0.2 1 1 1 1 5 0 1 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 1 2 0 0 0 5 计算得到 ?0.2200 0.0200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0100 0.0500 λ(Q) = {7.4709, 4.0000, 3.7393, 3.0000, 1.7898} , σ2(A) = {0.5344, 0.2904, 0.0823, 0.0496, 0.0033} , λ(R) = {5.8284, 2.6180, 2.0000, 0.3820, 0.1716} , 0.4 0.2 0.2 0 0 利用以上结果, 结合引理2.8中的公式可以对应的得到 ?0.6 0 0.1 0 0 α = {7.4714, 4.0005, 3.7398, 3.0005, 1.7903} , , , Q = A = ′ 0 0 0 0.5 ?0.2 在文献[38]的定理2.1中有 σ25(A)λ1(Q) σ24(A)λ2(Q) 1 0 0 0 + λ5(Q) + + λ4(Q) 1 + λ1(Q)λ1(R) 1 + λ2(Q)λ1(R) 0 0 0 1.4142 0 σ23(A)λ3(Q) + + λ3(Q) = 8.5513, . B = 0 0 1.4142 0 0 ,R = BBT = 1 + λ3(Q)λ1(R) 0 0 0.7071 0.7071 0 21 0.2400 ?0.2200 0.3700 0.0100 0 , AAT = 0.0200 0.0100 0.0100 0 0 0.2900 0.0100 α = {9.7554, 10.9366, 11.0766, 11.5432, 12.6376} , σ21(A)λ5(Q) σ22(A)λ4(Q) + λ5() + + λ4() QQ1 + λ5(Q)λ1(R) 1 + λ4(Q)λ1(R) + + λ3(Q) = 8.6734, ? θ +21)(λ 5) + λ(RQ(4) + λ(Q3))(Q+ 4λ θ = 1.8198, 2λ1(R) 在本文定理2.2中有 σ21(A)α5 σ22(A)α4 + λ5(Q) + + λ4(Q) 1 + α5λ1(R) 1 + α4λ2(R) σ23(A)α3 + λ3(Q) = 8.7475, + 1 + α3λ3(R) 所以有 (2.5.5) λ1(P) + λ2(P) + λ3(P) ? 8.7475 ? max{8.5513 , 8.6734 , 1.8198}, 在文献[38]的定理2.2中有 ? 3[Θ + Θ2 + 4λ4(R)η/3] = 24.9364, 2λ4(R) 在本文定理2.4中有 ′ ′ + λ1(Q) + ′ + λ2(Q) ′ + 3(Q) = 17.8126, ′+ λ 所以有 ′ 在文λ1(P) + λ2(P) + λ3(P) ? 17.8126 ? 24.9364, 献[38] 的定理2.3中有 (2.5.6) ( [Θ + ?Θ2 + 4λ4(R)η/3] )3 = 574.2837, 2λ4(R) σ23()λ3() AQ 在本文定理2.6中有 1 + λ3(Q)λ1(R) ′ 1 + λ2(Q) 1 ′ ′ + 3(Q) = 209.3236, ′+ λ 所以有 ′ (2.5.7)λ1(P)λ2(P)λ3(P) ? 209.3236 ? 574.2837, 22 σ21()α1 σ22()α2 AA 1 + α1λ5(R) 1 + α2λ4(R) σ23(A)α3 1 + α3λ3(R) [ 1 ( σ2(A)α′ σ22()α2 A+ λ1(Q) + 3 1 + α1λ5(R) 1 + α2λ4(R) )]3 σ24(A)α3 1 + α3λ3(R) 不等式(2.5.5)、(2.5.6)、(2.5.7)验证了本章定理2.2、定理2.4 和定理2.6的优越性. 对于同样的例子, 在本文定理2.3中有 λ5(Q) + λ4(Q) + λ3(Q) = 4.9240, 1 σ24 (A) σ23(A) σ25 (A) [(1 ? ′ ′ ′ 所以有 λ5(P) + λ4(P) + λ3(P) ? 4.9240, 不等式(2.5.8)给出了方程解的后3个特征值和的一个下界估计. 2 3 (2.5.8) )2] 2 )2 + (1 ? 2 + (1 ?) 1?α4 λ2 (R) 1?α3 λ3 (R) 1?α5λ1(R) 第三章 耦合离散代数Riccati方程解的估计 引言 ?3.1 在耦合离散代数Riccati 方程(DCARE)(1.1.3) 中, 令Ri = Bi BTi , 运用Sherman- Morrison-Woodbury 公式, 方程 (1.1.3) 就可等价的写为 ? (3.1.1) πi j P j + Pi. Pi = ATi (Fi?1 + Ri)?1 Ai + Qi, Fi = j i Adam Czornik等在文献[45]中对耦合的Riccati 矩阵方程进行研究, 利用函数 的性质、不等式的放缩技巧,得到了方程解的下界; Richard Davies等在文献[46]中 对耦合的Riccati 矩阵方程进行研究, 利用解的最大特征值的上界与解的关系,得到 了方程解的上界;本章主要对耦合离散代数Riccati 方程(DCARE)的(3.1.1)形式进 行研究, 得到了方程(3.1.1) 的对称正定解的上界、解的特征值的上界. 耦合离散代数Riccati方程解及特征值的界 ?3.2 为了得到本章中的结论, 首先我们给出以下记号和引理. 本章中要用到的记号有 πi = max{πi j, j ? S , j i}, = σ21(), aiAi k ri = λn(Ri), qi = λt(Qi), =1 t au = max{ai, i ? S }, ru = min{ri, i ? S }, ? ? qu = qi, πu = max{ πi j, i ? S }, i?S j?s, j i ? ?a + a2 + bc (,,) = , (0). fa b cb b 引理 3.1 对任意的r > 0, xi > 0, (i = 1, 2, ? ? ? , k), 有 ?k xi k i=1 xi ? . ?k 1 + rxi r i=1 xi k i=1 证明:构造函数 x g(x) = , (x > 0, r > 0) 1 + rx 24 ? ? 1 + 有 ′ ′′ 1 2r < 0, 2 (1 + rx)3 由凹函数的性质可知g(x)是单调递增的凹函数, 有 k k g g(xi), k ? i=1 =1 i k k () ? , gxi kg ki=1 i=1 代入函数g(x)的定义式中, 整理就可得到结论. 定理 3.1 设正定矩阵 Pi, i ? S 是DCARE (3.1.1) 的对称正定解, 且对任意 的 = 1, 2, ? ? ? ,, ? 如果存在一正常数β使得 k n i S , k (3.2.1) λt(Pi) ? β, i?s t=1 则对任意的k = 1, 2, ? ? ? , n, i ? S , 有 k 2ri (3.2.2) λt(Pi) ? θ(β, k, i) := f (Mi, (1 ? πi), 2Ni), k t=1 其中 Mi = 1 + rki πiβ + aiπi ? ai ? rki qi + rki qiπi, Ni = aiπiβ + qi + rki qiπiβ. 证明:对任意的矩阵U, V ? Rn×n, 有 λi(UV ) = λi(VU ), 矩阵 Pi 是DCARE(3.1.1) 的对称正定解, 利用引理2.1 (v)和引理2.2 (iv), 有 k k λt(Pi) = λt(ATi (Fi?1 + Ri)?1 Ai + Qi) t=1 t=1 k k ? λt((Fi?1 + Ri)?1 Ai ATi ) + λt(Qi) t=1 t=1 k k ? λt(Qi) λt((Fi?1 + Ri)?1)λt(Ai ATi ) + t=1 t=1 k k (3.2.3) ? λt(Qi), λt((Fi?1 + Ri)?1)σ21(Ai) + t=1 t=1 25 g (x) = > 0, g (x) = ? (1 + rx) ? 1 ? ix k ? ? ix ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 根据引理2.5 (i)、(2.2.1)式和引理3.1, 有 k k 1 ?1 λt((Fi?1 () + λnRiλn?t+1(Fi?1) t=1 t=1 k λt(Fi) ? 1 + λn(Ri)λt(Fi) t=1 ?k =1 t (3.2.4) ? , λn (Ri) ? 1 + k ? 对Fi = πi j P j + Pi利用引理2.1(v), 有 j i k k ? λt(Fi) = πi j P j + Pi) λt( j i t=1 t=1 k k ? ? λt(Pi) + πi j P j) λt( j i t=1 t=1 k k (3.2.5) ? λt(Pi) + πi λt(P j), t=1 j i t=1 利用不等式(3.2.1), 可以得到 k k (3.2.6) λt(P j) ? β ? λt(Pi), j i t=1 t=1 将不等式(3.2.6)代入不等式(3.2.5)中得到 k k (3.2.7) λt(Fi) ? πiβ + (1 ? πi) λt(Pi), t=1 t=1 利用引理3.1, 将不等式(3.2.7)代入不等式(3.2.4)中, 可以得到 ?k k =1 t ?1 (3.2.8) λt((Fi?1 , λn(Ri) ? t=1 1 + k 将不等式(3.2.8)代入不等式(3.2.3)中, 可以得到 t? = k 1 k λt(Pi) ?k =1 t(3.2.+ qi, ri ? 9) ? ? + Ri) ) ? 26 ? λt(Fi) k λt(Fi) t=1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? πiβ + (1 ? πi) λt(Pi) ? + Ri) ) ? k (πiβ + (1 ? πi) λt(Pi)) t=1 ai(πiβ + (1 ? πi) λt(Pi)) ? k 1 + (πiβ + (1 ? πi) λt(Pi)) t=1 ? 0, 整理不等式(3.2.9)可以得到 利用1 ? πi k 2 k (3.2.10) λ() ? ? 0, tPi Niλt(Pi) + Mi k t=1 =1 t 将 t=1 到不等式(3.2.2). 定理 3.2 假如正定矩阵, ? 满足 DCARE (3.1.1)则对任意的 = 1, 2, ? ? ? ,, ? Pi i S , , k n i S, 有 k 2ru (3.2.11) λt(Pi) ? f (K, (1 + πu), 2qu) := δ, ks ?=1 iS t ru 其中 = 1 ?(π + 1) ? + 1). K auuks u 证明:对不等式(3.2.3)中所有的i ? S 求和, 可以得到 k k k σ2(Ai) λt(Pi) ? λt(Qi) + λt((Fi + Ri) ) ?=1 ?=1 ?=1 iS tiS tiS t k (3.2.12) ? au λt((Fi?1 + Ri)?1)) + qu, ?=1 iS t 接下来, 我们先估计(3.2.12)式右边第一个分量的一部分, ?k k ? =1 t ?1 λt((Fi?1 λn (Ri) ? i?S i?S t=1 1 + k ?k λt(Fi) ? t=1 ? ?k ru i?S k =1 t k ? ? ?S t=1 i(3.2.13) ? , ru ? ? ks 由于 k k k ? ( λt(Fi) ? λt(Pi) + πi j λt(P j)) j i i?S i?S t=1 t=1 =1 t ? ( k + 1) πu (3.2.14) (), λtPi ?=1 iS t 27 ? ri(1 ? πi) ? ?k λt(Pi)看成一个整体作为未知变量, 解这个一元二次不等式(3.2.10), 就可以得 ? ? q (πu ? ? ? ? ? ? ?1 ?1 1 ? ? λt(Fi) ? ? + Ri) )) ? k λt(Fi) t=1 1 + λt(Fi) λt(Fi) k 1 + λt(Fi) ?=1 iS t? ? ? ? ? ? ? 利用引理3.1、(3.2.13)式和(3.2.14)式, 可以得到 k ?1 λt((Fi?1 i?S t=1 利用 ? 0, 将(3.2.15)式代入(3.2.12)式, 有 au ? ?k k ?S t=1 i λt(Pi) ? au + qu, ru ? ? i?S t=1 ks 2 k ru (3.2.16) λt(Pi) ? qu ? 0, λ() + tPi Kks ?=1 ?=1 iS tiS t k (πu + 1) 将 i?S t=1 得到(3.2.11)式. 综合运用定理3.1和定理3.2, 我们可以得到以下结论. 定理 3.3 假如正定矩阵 Pi, i ? S , 满足 DCARE(3.1.1) ,则对任意的 k = 1, 2, ? ? ? , n, i ? S, 有 ( ) k 2λn(Bi BTi ) (3.2.17) λt(Pi) ? f Mi, (1 ? pd), 2Ni := θd(δ, k, i), k t=1 其中 k λn(Bi BTi ) T Mi = 1 + λt(Qi) , k t=1 k k Ni = λt(Qi) + λ1(Ai ATi )πiβd + λt(Qi)πiβd, t=1 t=1 r 2? ks ks 1 = max{λ1(Ai ATi ), i ? S }, π1 = max{ π ji, i ? S , }, a j i k q1 = λt(Qi). r = min{λn(Bi BTi ), i ? S }, i?S t=1 Pi, i ? S ,满足DCARE(3.1.1) ,则对任意的i ? S , 有 定理 3.4 假如正定矩阵 I (3.2.18) + )?1 +, Bi BTi Ai QiPi ? ATi ( ? πi jθd(δ, 1, j) + θd(δ, 1, i) j i (π + 1) λ() utPi? ? 其中δ, θd分别由式(3.2.11),(3.2.17)所给出. + Ri) )) ? k 1 + (πu + 1) λt(Pi) 28i?S t=1 (πu + 1) λt(Pi) ? ? k 1 + (πu + 1) λt(Pi) i?S t=1 ? ? ? ? k ? ?λt(Pi)看成一个整体作为未知变量, 解这个一元二次不等式(3.2.16), 就可以 ? λ( ) ? nBi BTi πβ + (π ? 1) λ1( ) + idiAi Aik ? λn(Bi BTi ) ? k ( ) ? r βd = f ?a?1 + 1 ? a?1π?1 ? q?1(π?1 + 1), (π?1 + 1), 2q?1 , ? ? ? 证明:利用引理2.1 (ii)(iv)和引理2.5 (ii), 有 ? (3.2.19) + ? (?1 )?1πλ1() + λ1())?1 × + )?1, ATiFiBi BTi Ai i jP jPi I Bi BTi AiATi (( j i 把(3.2.19)式代入方程(3.1.1), 我们可以得到 I (3.2.20) + Bi BTi )?1 Ai + Qi, Pi ? ATi ( ? πλ1() + λ1() i jP jPij i 令(3.2.17)式中的k = 1, 可以得到 (3.2.21) λ1(Pi) ? θd(δ, 1, i), i ? S , 将(3.2.21)式代入(3.2.20)式的右边, 就可以得到(3.2.18)式. 数值例子 ?3.3 这一节给出数值例子来说明定理的有效性, 数值算例是利用MATLAB 7.1进 行计算的. 例3.1 针对DCARE(3.1.1), 我们取S = {1, 2},系数矩阵为 1 0 0 0 0.5 0.5 计算得到DCARE(3.1.1)的近似对称正定解是 特征值分别是 λ(P1) = {21.9893 , 1.6772} , λ(P2) = {2.6797 , 1.0000} , 29 1 2 0 1 ?1 1 B1 = , 2A = , 2B = ,A1 = , 1 0 0.5 0.5 1 0 . (π),? = 1 =2 = i ji jSQ Q , 0 1 6.8068 8.8250 , P1 = 8.8250 16.8597 1.8398 ?0.8398 , P2 = ?0.8398 1.8398 利用(3.2.18)式,我们可以得到 ′ , ′ ′ ′ ′ ′ 30 7.5360 8.7658 P1 ? P1 = 8.7658 17.5315 3.6534 0.6534 , P2 ? P2 = 0.6534 3.5400 其中P1, P2的特征值分别是 λ(P1) = {22.6242 , 2.4433} , λ(2) = {4.2526 , 2.9408} . P 结束语 在航空航天、机械化工、工业生产、金融经济、网络控制等领域中都涉及到 以矩阵方程为工具来分析和解决一些控制系统的问题. 因此对于线性矩阵方程的 研究不仅具有很强的理论价值, 而且实际应用价值也弥足珍贵. 近些年来, 此类问 题的研究吸引了国内外的许多学者, 他们采用多种不同的方法从不同的方面得到 了某些矩阵方程的解及其解的一些性质. 本文是在前人研究的基础上, 利用不等式的一些技巧, 研究了离散代数Riccati 矩阵方程及其耦合方程的解及其特征值的一些性质, 得到了方程解的特征值的上 下界、特征值和的上下界、特征值积的上下界. Riccati 矩阵方程正定解更精确的 上下界估计、正定解的数值界更精确的估计、方程求解的高效稳定快速算法等方 面是值得我们进一步探讨和研究的课题. 31 参考文献 [1] 段广仁, 线性系统理论 [M], 哈尔滨工业大学出版社, 2004. [2] B.D.O. Anderson, J.B. Moore, Optimal Filtering [M], Prentice-Hall, Englewood Cli,s, New Jersey,1979. [3] R. Davies, P. shi, R. Wiltshire, New upper solution bounds for perturbed continuous al- gebraic Riccati equations applied to automatic control [J], Chaos, Solitons and Fractals, 32(2007), pp. 487-495. 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