考研数学二真题

2004年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设2(1)()lim1nnxfxnx→∞−=+,则()fx的间断点为x=____.【答】0【详解】显然当0x=时,()0fx=;当0x≠时,2221(1)(1)1()limlim11nnxnxxnfxnxxxxn→∞→∞−−====++,所以()fx0,01,0xxx=⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为001lim()lim(0)xxfxfx→→==∞≠故0x=为()fx的间断点.（2）设函数()yx由参数方程333131xttytt⎧=++⎪⎨=−+⎪⎩确定,则曲线()yyx=向上凸的x取值范围为_______.【答】1−∞∞（，）（或（-，1]）【详解】由题意得：22222331213311dydyttdtdxdxtttdt−−====−+++,222223214113(1)3(1)dyddydttdtdxdxdxttt′⎛⎞⎛⎞==−⋅=⎜⎟⎜⎟+++⎝⎠⎝⎠,令220dydx<⇒0t<.又331xtt=++单调增,在0t<时,(,1)x∈−∞。(∵0t=时，1x=⇒x∈(,1]−∞时，曲线凸.)考研数学助手您考研的忠实伴侣（3）121dxxx+∞=−∫______.【答】2π【详解】方法一：221002sectansecsectan21dxttxtdtdtttxxπππ+∞⋅===⋅−∫∫∫.【详解】方法二：01120110222111()arcsin21111dxtxdtdttttxxttπ+∞=−===−−−∫∫∫（4）设函数(,)zzxy=由方程232xzzey−=+确定,则3zzxy∂∂+=∂∂______.【答】2【详解】方法一：在232xzzey−=+的两边分别对x,y求偏导,z为,xy的函数.23(23)xzzzexx−∂∂=−∂∂,23(3)2xzzzeyy−∂∂=−+∂∂,从而2323213xzxzzexe−−∂=∂+,23213xzzye−∂=∂+所以2323132213xzxzzzexye−−∂∂++=⋅=∂∂+方法二：令23(,,)20xzFxyzeyz−=+−=则232xzFex−∂=⋅∂,2Fy∂=∂,23(3)1xzFez−∂=−−∂2323232322(13)13xzxzxzxzFzeexFxeez−−−−∂∂⋅∂∴=−=−=∂∂−++∂,232322(13)13xzxzFzyFyeez−−∂∂∂=−=−=∂∂−++∂,从而232323313221313xzxzxzzzexyee−−−⎛⎞∂∂+=+=⎜⎟∂∂++⎝⎠方法三：利用全微分公式,得23(23)2xzdzedxdzdy−=−+2323223xzxzedxdyedz−−=+−2323(13)22xzxzedzedxdy−−+=+232323221313xzxzxzedzdxdyee−−−∴=+++即2323213xzxzzexe−−∂=∂+,23213xzzye−∂=∂+从而32zzxy∂∂+=∂∂（5）微分方程3()20yxdxxdy+−=满足165xy==的特解为______.【答】315yxx=+【详解】方法一：原方程变形为21122dyyxdxx−=,先求齐次方程102dyydxx−=的通解:12dydxyx=积分得1lnlnln2yxc=+ycx⇒=设()ycxx=为非齐次方程的通解,代入方程得2111()()()222cxxcxcxxxxx′+−=从而321()2cxx′=,积分得352211()25cxxdxCxC=+=+∫,于是非齐次方程的通解为53211()55yxxCCxx=+=+1615xyC==⇒=,故所求通解为315yxx=+.方法二：原方程变形为21122dyyxdxx−=,由一阶线性方程通解公式得1122212dxdxxxyexedxC−⎡⎤∫∫=+⎢⎥⎣⎦∫11lnln22212xxexedxC−⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∫35221125xxdxCxxC⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫6(1)15yC=⇒=,从而所求的解为315yxx=+.（6）设矩阵210120001A⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,矩阵B满足2ABABAE∗∗=+,其中A∗为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B=_______.【答】19【详解】方法一：2ABABAE∗∗=+2ABABAE∗∗⇔−=,(2)AEBAE∗⇔−=,21AEBAE∗∴−==,221111010(1)(1)392100001BAEAA∗====−⋅−−−.【详解】方法二：由1AAA∗−=,得11122ABABAEABAABAAAA∗∗−−−=+⇒=+2AABABA⇒=+(2)AAEBA⇒−=32AAEBA⇒−=21192BAAE∴==−二.选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把0x+→时的无穷小量20cosxtdtα=∫,20tanxtdtβ=∫,30sinxtdtγ=∫排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是（A）,,.αβγ（B）,,.αγβ（C）,,.βαγ（D）,,.βγα【】【答】应选（B）【详解】302000sinlimlimcosxxxxtdttdtγα++→→=∫∫∵32201sin2limcosxxxx+→⋅=3200limlim022xxxxx++→→===,即o()γα=.又200030tanlimlimsinxxxxtdttdtβγ++→→=∫∫23002tan22limlim011sin22xxxxxxxx++→→⋅===⋅,即o()βγ=.从而按要求排列的顺序为αγβ、、,故选（B）.（8）设()(1)fxxx=−,则（A）0x=是()fx的极值点,但(0,0)不是曲线()yfx=的拐点.（B）0x=不是()fx的极值点,但(0,0)是曲线()yfx=的拐点.（C）0x=是()fx的极值点,且(0,0)是曲线()yfx=的拐点.（D）0x=不是()fx的极值点,(0,0)也不是曲线()yfx=的拐点.【】【答】应选（C）【详解】()fx=(1),10(1),01xxxxxx−−−<≤⎧⎨−<<⎩,()fx′=12,1012,01xxxx−+−<<⎧⎨−<<⎩,()fx′′=2,102,01xx−<<⎧⎨−<<⎩,从而10x−<<时,()fx凹,10x>>时,()fx凸,于是(0,0)为拐点.又(0)0f=,01x≠、时,()0fx>,从而0x=为极小值点.所以,0x=是极值点,(0,0)是曲线()yfx=的拐点,故选（C）.（9）22212limln(1)(1)(1)nnnnnn→∞+++"等于（A）221lnxdx∫.（B）212lnxdx∫.（C）212ln(1)xdx+∫.（D）221ln(1)xdx+∫【】【答】应选（B）【详解】22212limln(1)(1)(1)nnnnnn→∞+++"212limln(1)(1)(1)nnnnnn→∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦"212limln(1)ln(1)(1)nnnnnn→∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦"11lim2ln(1)nniinn→∞==+∑102ln(1)xdx=+∫2112lnxttdt+=∫212lnxdx=∫故选（B）.（10）设函数()fx连续,且(0)0f′>,则存在0δ>,使得（A）()fx在(0,)δ内单调增加.（B）()fx在(,0)δ−内单调减小.（C）对任意的(0,)xδ∈有()(0)fxf>.（D）对任意的(,0)xδ∈−有()(0)fxf>.【】【答】应选（C）【详解】由导数的定义知0()(0)(0)lim00xfxffx→−′=>−,由极限的性质,0δ∃>,使xδ<时,有()(0)0fxfx−>即0xδ>>时,()(0)fxf>，0xδ−<<时,()(0)fxf<,故选（C）.（11）微分方程21sinyyxx′′+=++的特解形式可设为（A）2(sincos)yaxbxcxAxBx∗=++++.（B）2(sincos)yxaxbxcAxBx∗=++++.（C）2sinyaxbxcAx∗=+++.（D）2cosyaxbxcAx∗=+++【】【答】应选（A）【详解】对应齐次方程0yy′′+=的特征方程为210λ+=,特征根为iλ=±,对2021(1)yyxex′′+=+=+而言,因0不是特征根,从而其特解形式可设为21yaxbxc∗=++对sin()ixmyyxIe′′+==,因i为特征根,从而其特解形式可设为2(sincos)yxAxBx∗=+从而21sinyyxx′′+=++的特解形式可设为2(sincos)yaxbxcxAxBx∗=++++（12）设函数()fu连续,区域{}22(,)2Dxyxyy=+≤,则()Dfxydxdy∫∫等于（A）221111()xxdxfxydy−−−−∫∫.（B）222002()yydyfxydx−∫∫.（C）2sin200(sincos)dfrdrπθθθθ∫∫.（D）2sin200(sincos)dfrrdrπθθθθ∫∫【】【答】应选（D）【详解】积分区域见图.在直角坐标系下,2221(1)01(1)()()yyDfxydxdydyfxydx−−−−−=∫∫∫∫22111111()xxdxfxydy+−−−−=∫∫故应排除（A）、（B）.在极坐标系下,cossinxryrθθ=⎧⎨=⎩,xyo⋅121−12sin200()(sincos)Dfxydxdydfrrdrπθθθθ=∫∫∫∫,故应选（D）.（13）设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQC=的可逆矩阵Q为（A）010100101⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠.（B）010101001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠.（C）010100011⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠.（D）011100001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠.【】【答】应选（D）【详解】由题意010100001BA⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,100011001CB⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,010100100011001001CA⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟∴=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠011100001AAQ⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠,从而011100001Q⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,故选（D）.（14）设A,B为满足0AB=的任意两个非零矩阵,则必有（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.（B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.（C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.【】【答】应选（A）【详解】方法一：设(),ijlmAa×=()ijmnBb×=,记()12mAAAA="0AB=⇒()11121212221212nnmmmmnbbbbbbAAAbbb⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋅⋅⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠"""""()1111110mmnmnmbAbAbAbA=++++="""（1）由于0B≠,所以至少有一0ijb≠(1,1imjn≤≤≤≤),从而由（1）知,112210jjijimmbAbAbAbA+++++="",于是12,,,mAAA"线性相关.又记12mBBBB⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠#,则0AB=⇒11121121222212mmlllmmaaaBaaaBaaaB⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋅⋅⋅⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠"""#"1111221211222211220mmmmlllmmaBaBaBaBaBaBaBaBaB+++⎛⎞⎜⎟+++⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟+++⎝⎠""""由于0A≠,则至少存在一0ija≠(1,1iljm≤≤≤≤),使11220iiijjimmaBaBaBaB++++=",从而12,,,mBBB"线性相关,故应选（A）.方法二：设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，则由AB＝0知，r(A)+r(B)<n.又A、B为非零矩阵，所以r(A)>0,r(B)>0,从而r(A)<n,r(B)<n,即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，故应选（A）.三.解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）求极限3012coslim13xxxx→⎡⎤+⎛⎞−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦.【详解】方法一：3012coslim13xxxx→⎡⎤+⎛⎞−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦2cosln3301limxxxex+⎛⎞⎜⎟⎝⎠→−=202cosln3limxxx→+⎛⎞⎜⎟⎝⎠=20ln2cosln3limxxx→+−=（）01sin2coslim2xxxx→⋅−+=（）011sin1lim22cos6xxxx→=−⋅=−+【详解】方法二：3012coslim13xxxx→⎡⎤+⎛⎞−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦2cosln3301limxxxex+⎛⎞⎜⎟⎝⎠→−=202cosln3limxxx→+⎛⎞⎜⎟⎝⎠=20cos1ln3limxxx→−+=（1）20cos11lim36xxx→−==−（16）（本题满分10分）设函数()fx在（,−∞+∞）上有定义,在区间[0,2]上,2()(4)fxxx=−,若对任意的x都满足()(2)fxkfx=+,其中k为常数.(Ⅰ)写出()fx在[2,0]−上的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式;(Ⅱ)问k为何值时,()fx在0x=处可导.【详解】(Ⅰ)当20x−≤<,即022x≤+<时,()(2)fxkfx=+2(2)[(2)4](2)(4)kxxkxxx=++−=++.(Ⅱ)由题设知(0)0f=.200()(0)(4)(0)limlim40xxfxfxxfxx+++→→−−′===−−00()(0)(2)(4)(0)limlim80xxfxfkxxxfkxx−−−→→−++′===−.令(0)(0)ff−+′′=,得12k=−.即当12k=−时,()fx在0x=处可导.（17）（本题满分11分）设2()sinxxfxtdtπ+=∫,(Ⅰ)证明()fx是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()fx的值域.【详解】(Ⅰ)32()sinxxfxtdtπππ+++=∫,设tuπ=+,则有22()sin()sin()xxxxfxuduudufxππππ+++=+==∫∫,故()fx是以π为周期的周期函数.(Ⅱ)因为sinx在(,)−∞+∞上连续且周期为π,故只需在[0,]π上讨论其值域.因为()sin()sincossin2fxxxxxπ′=+−=−,令()0fx′=,得14xπ=,234xπ=,且344()sin24ftdtπππ==∫,554433443()sinsinsin224ftdttdttdtπππππππ==−=−∫∫∫,又20(0)sin1ftdtπ==∫,32()(sin)1ftdtπππ=−=∫,∴()fx的最小值是22−,最大值是2,故()fx的值域是[22,2]−.（18）（本题满分12分）曲线2xxeey−+=与直线0,(0)xxtt==>及0y=围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为()Vt,侧面积为()St,在xt=处的底面积为()Ft.(Ⅰ)求()()StVt的值;(Ⅱ)计算极限()lim()tStFt→+∞.【详解】(Ⅰ)20()21tStyydxπ′=+∫22022124xxxxteeeedxπ−−⎛⎞+−+=+⎜⎟⎝⎠∫2022xxteedxπ−⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠∫,2200()2xxtteeVtydxdxππ−⎛⎞+==⎜⎟⎝⎠∫∫,()2()StVt∴=.(Ⅱ)22()2ttxteeFtyππ−=⎛⎞+==⎜⎟⎝⎠,20222()limlim()2xxttttteedxStFteeππ−→+∞→+∞−⎛⎞+⎜⎟⎝⎠=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∫222lim222ttttttteeeeee−−−→+∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠=⎛⎞⎛⎞+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠lim1ttttteeee−−→+∞+==−（19）（本题满分12分）设2eabe<<<,证明2224lnln()babae−>−.【详证】方法一：设224()lnxxxeϕ=−,则2ln4()2xxxeϕ′=−21ln()2xxxϕ−′′=,所以当xe>时,()0xϕ′′<,故()xϕ′单调减小,从而当2exe<<时,22244()()0xeeeϕϕ′′>=−=,即当2exe<<时,()xϕ单调增加.因此,当2eabe<<<时,()()baϕϕ>,即222244lnlnbbaaee−>−故2224lnln()babae−>−.方法二：设2224()lnln()xxaxaeϕ=−−−,则2ln4()2xxxeϕ′=−21ln()2xxxϕ−′′=,∴xe>时,()0xϕ′′<()xϕ′⇒2,从而当2exe<<时,22244()()0xeeeϕϕ′′>=−=,2exe⇒<<时,()xϕ单调增加.2eabe⇒<<<时,()()0xaϕϕ>=。令xb=有()0bϕ>即2224lnln()babae−>−.方法三：对函数2lnx在[,]ab上应用拉格朗日定理,得222lnlnln()babaξξ−>−,abξ<<.设ln()tttϕ=,则21ln()tttϕ−′=,当te>时,()0tϕ′<,所以()tϕ单调减小,从而2()()eϕξϕ>,即222lnln2eeeξξ>=,故2224lnln()babae−>−（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700/kmh.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k=×).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注kg表示千克,/kmh表示千米/小时.【详解】方法一：由题设,飞机的质量9000mkg=,着陆时的水平速度0700/vkmh=.从飞机接触跑道开始记时,设t时刻飞机的滑行距离为()xt,速度为()vt.根据牛顿第二定律,得dvmkvdt=−.又dvdvdxdvvdtdxdtdx=⋅=,mdxdvk∴=−,积分得()mxtvCk=−+,由于0(0)vv=,(0)0x=,故得0mCvk=,从而0()(())mxtvvtk=−.当()0vt→时,069000700()1.05()6.010mvxtkmk×→==×.所以,飞机滑行的最长距离为1.05km.方法二：根据牛顿第二定律,得dvmkvdt=−.所以dvkdtvm=−,两边积分得ktmvCe−=,代入初始条件00tvv==,得0Cv=,0()ktmvtve−∴=,故飞机滑行的最长距离为0000()1.05()ktmmvmvxvtdtekmkk+∞−+∞==−==∫.方法三：根据牛顿第二定律,得22dxdxmkdtdt=−,220dxkdxdtmdt+=,其特征方程为20krrm+=,解得10r=,2krm=−，故12ktmxCCe−=+，由(0)0x=,2000(0)ktmttkCdxvevdtm−====−=，得012mvCCk=−=，0()(1)ktmmvxtek−∴=−.当t→+∞时,069000700()1.05()6.010mvxtkmk×→==×.所以,飞机滑行的最长距离为1.05km.（21）（本题满分10分）设22(,)xyzfxye=−,其中f具有连续二阶偏导数,求2,,zzzxyxy∂∂∂∂∂∂∂.【详解】122xyzxfyefx∂′′=+∂,122xyzyfxefy∂′′=−+∂21112222[(2)]xyxyxyzxfyfxeefxyefxy∂′′′′′′=⋅−+⋅++∂∂2122[(2)]xyxyyefyfxe′′′′+⋅−+⋅222111222242()(1)xyxyxyxyfxyefxyefexyf′′′′′′′=−+−++++.（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,axxxxxaxxxxxaxxxxxax++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.【详解】方法一：对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有11111111222220033333004444400aaaaaBaaaaaa++⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟+−⎜⎟⎜⎟→=⎜⎟⎜⎟+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠⎝⎠当0a=时,()14rA=<,故方程组有非零解,其同解方程组为12340xxxx+++=.由此得基础解系为1(1,1,0,0)Tη=−,2(1,0,1,0)Tη=−,3(1,0,0,1)Tη=−,于是所求方程组的通解为112233xkkkηηη=++,其中123,,kkk为任意常数.当0a≠时,111110000210021003010301040014001aaB++⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟→→⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠当10a=−时,()34rA=<,故方程组也有非零解,其同解方程组为12131420,30,40,xxxxxx−+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=⎩由此得基础解系为(1,2,3,4)Tη=,所以所求方程组的通解为xkη=,其中k为任意常数.方法二：方程组的系数行列式311112222(10)33334444aaAaaaa+⎛⎞⎜⎟+⎜⎟==+⎜⎟+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠.当0A=,即0a=或10a=−时,方程组有非零解.当0a=时,对系数矩阵A作初等行变换,有11111111222200003333000044440000A⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠故方程组的同解方程组为12340xxxx+++=.其基础解系为1(1,1,0,0)Tη=−,2(1,0,1,0)Tη=−,3(1,0,0,1)Tη=−,于是所求方程组的通解为112233xkkkηηη=++,其中123,,kkk为任意常数.当10a=−时,对A作初等行变换,有91119111282220100033733001004446400010A−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟=→⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠91110000210021003010301040014001−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟→→⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠故方程组的同解方程组为2131412,3,4,xxxxxx=⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为(1,2,3,4)Tη=,所以所求方程组的通解为xkη=,其中k为任意常数.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.【详解】A的特征多项式为1232201431431515aaλλλλλλλ−−−−−=−−−−−−−110100(2)143(2)13315115aaλλλλλλ−=−−=−−−−−−−−−2(2)(8183)aλλλ=−−++.若2λ=是特征方程的二重根,则有22161830a−++=,解得2a=−.当2a=−时,A的特征值为2,2,6,矩阵1232123123EA−⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠的秩为1,故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个,从而A可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根,则28183aλλ−++为完全平方,从而18316a+=,解得23a=−.当23a=−时,A的特征值为2,4,4,矩阵32321032113EA⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎝⎠的秩为2,故4λ=对应的线性无关的特征向量只有一个,从而A不可相似对角化.