应用随机过程课后知识题解答毛用才胡奇英

..PAGE第一章习题解答设随机变量X服从几何分布，即：。求X的特征函数，EX及DX。其中是已知参数。解=又（其中）令则同理令则）2、（1）求参数为的分布的特征函数，其概率密度函数为其期望和方差；证明对具有相同的参数的b的分布，关于参数p具有可加性。解（1）设X服从分布，则（2）若则同理可得：3、设X是一随机变量，是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。（1）（2）解（1）（）在区间[0，1]上服从均匀分布的特征函数为（2）==4、设相互独立，且有相同的几何分布，试求的分布。解====5、试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。证（1）为连续函数====非负定（2）==（）6、证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。解（1）=（）且连续为特征函数（2）===7、设相互独立同服从正态分布，试求n维随机向量的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的率密度函数。解又的特征函数为：均值向量为协方差矩阵为又8、设X．Y相互独立，且（1）分别具有参数为及分布；（2）分别服从参数为。求X+Y的分布。解（1）====则（2）9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为求其特征函数。解　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　＝　　　　　　　　　＝10、已知四维随机向量服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为　　　　　解　　　　　　　　　又　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　其中　　　　　　　　11、设相互独立，且都服从，试求随机变量组成的随机向量的特征函数。　　　　解　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　＝＝12、设相互独立，都服正态分布，试求：随机向量的特征函数。设，求随机向量的特征函数。组成的随机向量的特征函数。解（１）　（２）　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　＝（３）　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　＝13、设服从三维正态分布，其中协方差矩阵为，且试求。解　　　＝　　　又　　　　　同理可得　　　　　　　　　　　　　　　　　　14、设相互独立同服从分布。试求的期望。解　　　　令　　　　则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　＝　　　　　15、设X．Y相互独立同分布的随机变量，讨论的独立性。解有或则又服从指数分布，　服从柯西分布，且对有相互独立。16、设X．Y相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论的独立性。解（1）(2)(3)对均成立相互独立17、设二维随机变量的概率密度函数分别如下，试求（1）（2）证（1）=（2）18、设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为的指数分布。试求（1）X与X+Y的联合概率密度；（2）解令则（2）19、设是一列随机变量，且，其中K是正常数。试证：当。当均方收敛于0；当证令0(当，)几乎肯定收敛于0当均方收敛于0当时，即20、设证=第二章习题解答1.设是独立的随机变量列，且有相同的两点分布，令，试求：随机过程的一个样本函数；之值；；均值函数；协方差函数；解：（1）当时，，（2）　2　　　0　　　　-2　　　　　　　　　　　　　　当n为奇数时　　　　　　　　当n为偶数时　　　０　　　　　　　　　　　　　　　　（４）　　　　而　　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　若即有2.设，其中A、B是相互独立且有相同的分布的随机变量，是常数，，试求：（1）X（t）的一个样本函数；（2）X（t）的一维概率密度函数；（3）均值函数和协方差函数。解：（1）当A=B=1时，（2）～（3）3.设随机过程。其中是相互独立的随机变量，且～。（1）求{X(t)}的均值函数和相关函数；（2）证明{X(t)}是正态过程。解：（1）（2）其中，由n维正态分布的线性性质得～因此X(t)是正态过程。4.设是参数为的Wiener过程，求下列过程的均值函数和相关函数：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）5.设到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流，每个顾客购买商品的概率为p,且与其他顾客是否购买商品无关，若是购买商品的顾客流，证明是强度为的Poisson流。证：令 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示“第个顾客购买商品”，则且。其中为时间段内到达商店的顾客人数，则的特征函数为是强度为的Poisson流。6.在题5中，进一步设是不购买商品的顾客流，试证明与是强度分别为和的相互独立的Poisson流。证：（1）与独立且强度为的Poisson流。7.设和分别是强度为和的独立Poisson流。试证明：（1）是强度为的Poisson流；（2）在的任一到达时间间隔内，恰有k个时间发生的概率为证：（1）是强度为的Poisson流。（2）令T表示过程任两质点到达的时间间隔。A表示恰有1个事件发生在的任一到达时间间隔内，则8.设是Poisson过程，和分别是的第n个事件的到达时间和点间间隔。试证明：（1）；（2）。证：9.设某电报局接收的电报数组成Poisson流，平均每小时接到3次电报，求：（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率；（2）下午第一个电报的到达时间的分布。解：10.设和分别是强度为和的独立Poisson过程，令，求的均值函数与相关函数。解：11.设是强度为的Poisson过程，T是服从参数为的指数分布的随机变量，且与独立，求内事件数N的分布律。解：由内N的分布律为：第三章习题解答1．证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量。证：令是Poisson随机变量序列，则对又，其中X为Poisson随机变量。2．设，是独立同分布的随机变量序列，均值为，方差为1，定义，证明。证：。3．研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。（1），其中A、B是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b，方差为；（2），其中A、B、C是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b、c，方差为；（3）是Poisson过程；（4）是Wiener过程。解：（1）是关于s,t的多项式函数存在任意阶的偏导数过程是均方连续，均方可导，均方可积。(2)（3）由知Poisson过程是均方连续，均方可积的。不存在，即均方不可导。（4）由知Wiener过程是均方连续，均方可积的。不存在，即均方不可导。4．试研究上题中过程的均方可导性，当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。解：（1）均方可导又均方可微。（2）均方可导，且（3）Poisson过程均方不可导。（4）Wiener过程均方不可导。5．求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判断其均方连续性和均方可微性。（1），其中是常数，服从上的均匀分布；（2），其中参数为1的Wiener过程；（3），其中参数为的Wiener过程。解：（1）。（2）当，均方连续，但均方不可微，均方可积。（3）均方连续，但均方不可微，均方可积。6．均值函数为、相关函数为的随机过程输入微分电路，该电路输出随机过程，试求的均值函数和相关函数、和的互相关函数。解：7．试求第3题中可积过程的如下积分：的均值函数和相关函数。解：（1）又（2）(3)当时当当时(4)8．设随机过程，其中是均值为5、方差为1的随机变量，试求随机过程的均值函数、相关函数、协方差函数与方差函数。解:9．设是参数为的Wiener过程，求下列随机过程的均值函数和相关函数。（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）10．求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数及解的一维概率密度函数，其中是均值为0、方差为的正态随机变量。解：（1）解过程为：（2）11．求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数。（1），其中是一已知的二阶均方连续过程，是与独立的均值为、方差为的随机变量。（2），其中是一已知的均值函数为、相关函数为的二阶均方连续过程。解：（1）即方程的解为：（2）均方解为：（当时）第四章习题解答1.随机过程，其中A具有Rayleigh分布，即其概率密度函数为式中服从区间上的均匀分布，且、相互独立，试研究X是否为平稳过程。解:是平稳过程.2、X是一平稳过程，且满足，称X为周期平稳过程，T为其周期，试求X的相关函数也是以T为周期的周期函数。解：是平稳过程，又以T为周期.3、设X、Y是两个相互独立的实平稳过程，试证明也是平稳过程。解也是平稳过程4、设是n阶均方可微的平稳过程，证明是平稳过程，且解：利用归纳法可得平稳过程5、设是一均值为0的平稳时间序列，证明：（1）扔是一平稳时间序列；（2）若数列绝对收敛，即，则扔是一平稳时间序列；（3）若是一白噪声，试求的相关函数及其谱函数。解（1）==是一平稳时间序列(2)(又)仍是一平稳时间序列（3）（注：白噪声过程X的谱密度为，其中）6、设是雷达在时的发射信号，遇目标返回接收的微弱信号是，，是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声的，记噪声为，于是接收机收到的全信号为：，若X、Y是平稳相关的平稳过程，试求；进而，若的均值为0，且与相互独立，试求。解：（1）（2）7设，其中是服从区间上均匀分布的随机变量，试证：（1）是一平稳时间序列；（2）不是平稳过程。解：（1）是一平稳时间序列（2）不是平稳过程8、设为零均值的正交增量过程，，试证是一平稳过程。解：是一平稳过程。9、设是一平稳过程，均值，相关函数为，若（1）（2）令，T是固定的正数，分别计算的相关函数。解：（1）当时，（2）当时当时当时当时当时10、设平稳过程的相关函数为，这里为常数。(1)判断X是否均方可导，说明理由；(2)计算解（1）在处可导当时，当时，又在处存在二阶可导数故在处存在二阶可导数由归纳可知在处存在n阶可导.（2）11、过程的相关函数为，对满足随机微分方程的宽平稳过程解。（1）求X的均值函数，自相关函数和功率谱函数；（2）求X与Y的互相关函数和互功率谱函数。解:(1)令，则，代入，有又Y是平稳过程又平稳（2）当时，当时，12、设是均值为0的平稳的正态过程，且二阶均方可导。求证：对任意，与相互独立，但与不相互独立，并求。证:（1）由定理3.6.3（）知，也是正态过程由定理4.2.3知，也是平稳过程又又实平稳过程，为偶函数，则不相关，由正态变量的性质知独立（2）易知也是正态平稳过程又不独立13、设是均方可导实平稳的正态过程，相关函数为，求其导数过程的一维、二维概率密度函数。解:由定理3.6.3（）知仍为正态过程，而且，的一维概率密度函数为：的二维概率密度函数为：其中14.已知平稳过程的相关函数（1）（2）（3）求谱密度。解:（或由傅氏变换可得）（2）（3）15、已知平稳过程（参数连续）谱密度（1）（2）（3）求相关函数和平均功率。解，平均功率（1）（2）（3）16、设X、Y是两平稳相关过程，且，试证，也是平稳过程。又若X、Y的谱密度函数存在，试用X、Y的谱密度及互谱密度表出Z的谱密度。证:其中是平稳过程又17、设，其中为常数，是特征函数为的实随机变量，证明X为平稳过程充要条件为。证:又平稳，18、设X为平稳正态过程，，是其相关函数，试证是一平稳过程，且其 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 相关函数为证:易证Y也是一平稳过程。对于二维正态分布X，Y，若它们均值为0，相关函数r，则有结论，，其中，，所以19、设是平稳过程，为其谱密度函数。试证：对任意的是平稳过程（即平稳过程具有平稳增量），并求Y的谱函数。证是平稳过程又20、设是均值为0，相关函数为实正态平稳过程，证明也是平稳过程，并求其均值及相关函数。证:令则（）也是平稳过程21.设二阶矩过程的均值函数为，相关函数为，其中都为常数。证明是一平稳过程，并求其均值及相关函数。证:是一平稳过程22、设是白噪声序列，试证明是平稳时间序列，并求其相关函数及谱密度。证:是平稳时间序列。23、设为均方连续的平稳过程，具有谱密度，试证对每个是平稳序列，并用表出的谱密度。证:令，则平稳序列24.设是两个相互独立的实随机变量，的分布函数是，试证明：为平稳过程，且其谱函数就是。证：为平稳过程，且的谱函数为。25.设是均方可导的平稳过程，是其谱密度，试证：（1）（2）均为平稳过程，并求它们的谱密度。证：（1）为平稳过程。（其中）（2）又存在谱函数，可知26.设Y是均方二次可导的平稳过程，X是均方连续的平稳过程，且满足：，试用X的谱函数表示Y的谱函数及X与Y的互谱函数。解：（1）取，并代入上式得（2）27.已知如图所示的系统，其输入X为一零均值的平稳正态过程，通过实验测得Z的功率谱密度为试证Y也为平稳的，且；利用（1）的结论分别求X和Y的自相关函数与功率谱密度。证（1）类似第20题（2）令则28.设线性时不变系统的脉冲响应，其中为常数，为单位阶跃函数，系统的输入X是自相关函数为的平稳过程。试求：（1）系统输入与输出的互相关函数；（2）输出的功率谱密度和自相关函数。解,当时；当时；29.设随机过程，其中A和B是相互独立的零均值随机变量，且。试研究X的均值和相关函数是否具有各态历经性。解：是平稳过程。又均值具有各态历经性。又相关函数不具有各态历经性。30.设随机过程，其中是相互独立的随机变量，且服从区间上的均匀分布。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。解：均值函数具有各态历经性，但相关函数不具有各态历经性。31.设随机过程，其中是相互独立的随机变量，其中A是均值为2，方差为4，且服从区间上的均匀分布，服从区间（-5，5）上的均匀分布。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。解为一平稳过程。又的均值具有各态历经性。又的相关函数不具有各态历经性.32.设平稳过程的期望为，自相关函数为，协方差函数为。(1)若，试证明X的均值各态历经性；(2)若且当时，，试证明X的均值各态历经性。解（1）而且的均值具有各态历经性（2）又的均值具有各态历经性33.设平稳过程的均值为，相关函数，其中是常数。问X的均值是否具有各态历经性。解:因为，，所以的均值具有各态历经性。第五章习题解答1．设是相互独立的随机变量序列，试问下列的是否是马氏链，并说明理由：（1）（2）解：（1）易知是独立增量过程。设任取和，则：又又是马尔可夫过程。（2），设，则：又是马尔可夫过程。2.是随机差分方程的解，其中是已知常数，，而是独立同分布的取可数值的随机变量。试证明是马氏链。证：，与独立。又为马氏过程。第三题略P152，第四题解：由于在现在已确定后，下一步所处的状态与它的前一状态无关，所以过程是马氏链。P152,第五题解：P153第六题（只做第三个，其它两个可对照写出 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ）解：（1）（2）设平稳分布为：,且满足方程,则：解方程组得：，，又