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正余弦定理第4讲正、余弦定理及解三角形考纲展示命题探究考点一正、余弦定理1正、余弦定理定理正弦定理余弦定理abca2＝b2＋c2－2bccosA；＝＝＝2R内容sinAsinBsinCb2＝a2＋c2－2accosB；(其中R是△ABC外接圆的半径)c2＝a2＋b2－2abcosCa＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝ab；＝，＝，2RsinCsinA2RsinB2Rb2＋c2－a2ccosA＝；＝；2bcsinC2R变形a2＋c2－b2∶∶＝∶∶；cosB＝；形式abcsinAsinBsinC2acasinB＝bsinA...

第4讲正、余弦定理及解三角形考纲展示命题探究考点一正、余弦定理1正、余弦定理定理正弦定理余弦定理abca2＝b2＋c2－2bccosA；＝＝＝2R内容sinAsinBsinCb2＝a2＋c2－2accosB；(其中R是△ABC外接圆的半径)c2＝a2＋b2－2abcosCa＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝ab；＝，＝，2RsinCsinA2RsinB2Rb2＋c2－a2ccosA＝；＝；2bcsinC2R变形a2＋c2－b2∶∶＝∶∶；cosB＝；形式abcsinAsinBsinC2acasinB＝bsinA，bsinC＝csinB，a2＋b2－c2cosC＝asinC＝csinA；2aba＋b＋c＝2RsinA＋sinB＋sinC2利用正、余弦定理解三角形(1)已知两角一边，用正弦定理，只有一解．(2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAb解的个数一解两解一解一解上表中A为锐角时，asinB，则A>B.()(6)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(3，2)．()3．在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________．[考法综述]正、余弦定理是每年高考的必考内容，客观题与解答题均可出现．客观题以正、余弦定理的简单应用为主，解三角形、判断三角形的形状，而解答题常与三角恒等变换相结合，属于解答题中的中低档题型，难度一般不会太大．命题法利用正余弦定理解三角形或判断其形状典例(1)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝()π2πA.3B.33π5πC.4D.6Ba＋c在△中，2＝，，分别为角，，的对边，(2)ABCcos22c(abcABC)则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【解题法】1.解三角形的常见题型及求解方法abc＝＝，(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及sinAsinBsinC可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.ab＝可(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理sinAsinBa求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝sinAcab可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无sinCsinAsinB解的情况．2．利用正、余弦定理判定三角形形状三角形中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)三角形内的诱导公式：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；A＋BC＝cos；tan(A＋B)＝－tanC；sin22A＋BC＝sincos22.(5)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.(6)△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.(7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．1．在△ABC中，若sin2A＋sin2B8B．ab(a＋b)>162C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24π．设△的内角，，所对的边分别为，，，且＝，3ABCABCabcC3a＋b＝λ，若△ABC面积的最大值为93，则λ的值为()A．8B．124.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若4a＝，＝，△的面积为，则＋的值等于．cosB5a10ABC42bsinA________7．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．8．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin2C的值．9.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角．π 证明：－＝；(1)BA2(2)求sinA＋sinC的取值范围．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已π1知＝，2－2＝2A4ba2c.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．11.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．12.π如图，在△中，∠＝，＝，点在边上，且ABCB3AB8DBCCD1＝，∠＝2cosADC7.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．13．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；π(2)求sinA＋的值．414．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.1已知→→＝，＝，＝求：BA·BC2cosB3b3.(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．[错解]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·武邑中学月考]在△ABC中，若a＝2b，面积记作S，则下列结论中一定成立的是()A．B>30°B．A＝2BC．c1)(1)若λ＝3时，证明△ABC为直角三角形；→→9若＝λ2，且＝，求的值．(2)AC·BC8c3λ能力组13.[2016·衡水二中模拟]已知△ABC的三边长为a，b，c，且面积1S＝(b2＋c2－a2)，则A＝()△ABC4ππA.4B.62ππC.3D.1214.[2016·枣强中学期末]若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形15．[2016·衡水二中仿真]在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2cos(B－C)＝4sinBsinC－1.(1)求A；B1若＝，＝，求(2)a3sin23b.16．[2016·衡水二中热身]风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，∠PAB＝75°，∠QAB＝45°，∠PBA＝60°，∠QBA＝90°，如图所示．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？

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