力学第一篇 理论力学

第一章静力学第一节静力学基本概念一、力和力偶 力是物体间的相互作用。物体受到力的作用后产生的反应称为力的作用效应。根据受力物体反应的不同，力的作用效应：内效应和外效应。使物体的机械运动状态发生变化的效应称为力的外效应，力的外效：移动效应和转动效应。使物体发生形状和 尺寸 手机海报尺寸公章尺寸朋友圈海报尺寸停车场尺寸印章尺寸 变化的效应，称为力的内效应。力的三要素：力的大小、方向、作用点，即力图1-2力偶实例MF/F是一个矢量。力矢量可用一条沿着力作用线的有向线段来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示（图1-1），线段的长度代表力的大小，线段的起点或终点代表力的作用点；线段的方位和箭头指向代表力的作用方向。 力偶是指大小相等、方向相反、作用线相互平行的一对力，记作（F、F/）。如图1-2所示，车辆驾驶员操纵方向盘、轮机员操纵阀盘开关阀门、钳工操作丝锥时的盘面受力均为力偶的实际例子。力偶的外效应是使物体发生纯转动；内效应是使物体发生扭转变形。力和力偶构成静力学的两个基本要素。 F/ F图1-1力矢量的图示ABF二、平衡静力学只研究物体的平衡问题。所谓平衡是指物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动的状态。平衡是相对而言的，没有绝对平衡的物体，一切平衡只是相对的和暂时的。平衡是机械运动的一种特殊形式。必须注意的是，物体作匀速直线运动时的状态是平衡态，但物体作匀速转动时的状态则是非平衡态。三、刚体和刚化原理在外力作用下不发生变形的物体称为刚体。将在外力作用下会发生变形的物体称为变形体，实际物体都是变形体，所以刚体是一种抽象化的、忽略了力的内效应的、实际中并不存在的理想物体。若变形体在某一外力的作用下处于平衡状态，如将此变形体换成刚体，则其平衡状态保持不变，这就是刚化原理。如一弹性绳索在两等值、反向、共线的拉力作用下保持平衡，如将绳索刚化成刚体，则其平衡状态不变。而绳索在两个等值、反向、共线的压力作用下则不能平衡，这时绳索就不能刚化为刚体。但刚体在拉力和压力作用下都是平衡的。可见，变形体的平衡条件包含了刚体的平衡条件，而刚体的平衡条件只是变形体平衡的必要条件，而不是充分条件。即在外力作用处于平衡状态的刚体，当将刚体换成变形体时，就不一定平衡了。四、力系和等效力系同时作用在物体上的一组力称为力系。若物体在某力系作用下处于平衡状态，则称这样的力系为平衡力系。平衡力系应满足的条件称为平衡条件。静力学研究刚体的平衡规律，即研究作用在刚体上的力系的平衡条件。 若一个力系对物体的作用效应可用另一个力系来代替，而不改变原力系对物体的作用效应，则称这两个力系为等效力系。若一个力与一个力系等效，则称此力为该力系的合力，该力系中所有的各个力称为该合力的分力。将一个力系简化成一个合力的过程称为力的合成；反之，将一个力分解为几个分力的过程称为力的分解。第二节静力学公理一、力的三要素公理 力对物体的作用效应取决于力的三要素：力的大小、方向和作用点。对刚体来说，作用点可换成作用线。力的作用线是指过力的作用点沿力的方向所画的直线。力的作用点可沿作用线移动到刚体上的任意一点而不改变力对刚体的作用效果，这一结论称为力的可传性。这一性质不适用于变形体。因此，对刚体来说，力一个滑动矢量。在本书中力矢量均用黑体字母表示，力矢量的大小用普通字母表示。二、二力平衡公理 作用于同一刚体上的两个力，使物体处于平衡状态的充分必要条件：两力大小相等，方向相反，并作用于同一直线上。该公理指出了作用于刚体上最简单的力系的平衡条件。对刚体而言，这个条件是充图1-3柔软体的二力平衡F1F1F2F2F1=F2拉压分必要条件，但对变形体来讲，这个条件并不充分。如弹性绳索两端受等值、反向、共线的拉力时可处于平衡（如图1-3），但若受到等值、反向、共线的压力时，就不平衡了。 对只受两个力作用而处于平衡的刚体，称为二力构件。根据二力平衡条件：二力构件不论其形状如何，所受两个力的作用线必在两力作用点的连线上。若一根直杆只在两端点受力作用而处于平衡，则此两力作用线必与杆的轴线重合。这样的受力杆件称为二力杆。如柴油机中的连杆。二力杆也可以是曲杆，如图1-4所示的结构中的曲杆BC就是二力杆。三、加减平衡力系公理 在作用于刚体的任意力系上，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。如图1-5（a）所 图1-5加减平衡力系公理示，某物体受三个力F1、F2、F3的作用，其中F2、F3是一对大小相等、方向相反、作用线重合的平衡力系，从原力系中减去这一对平衡力系后，原力系对刚体的作用效应并未改变，如图1-5（b）所示。这一公理只适用于刚体而不适用于变形体。F2F1F1 F3（a）（b）图1-4二力构件ABFBFCCCF1F1F2F2 F1=F2图1-3柔软体的二力平衡 FB拉压四、平行四边形公理 作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个力。合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向可用这两个力为边所作的平行四边形的对角线来表示（图1-6）。这种合成力的方法称为矢量加法，合力称为这两个力的矢量和，可用公式表示为FR=F1+F2（1-1）刚体受三个共面但互不平行的力作用而处于平衡的充分必要条件：三力的作用线必须汇交于一点。 证明：如图1-7所示，刚体在F1、F2、F3三个力作用下处于平衡，图1-7三力平衡汇交的条件(a) 图1-6平行四边形法则(b)F1F1F2 F2ACFR BDABDF1F2该公理是力的合成法则，也是力的分解法则，是复杂力系简化的理论基础。为了方便，在用矢量加法求合力时，往往不必画出整个平行四边形，如图1-6（b）所示，可从任选一点A点作一个与力F1大小相等，方向相同的向量AB，过B点作一个与F2大小相等，方向相同的向量BD，则AD即表示力F1、F2的合力FR。这种求合力的方法称为力的三角形法则。但应注意，力的三角形只表明力的大小和方向。它不表示力的作用点或作用线。 应用平行四边形公理可推导出三力平衡汇交定理。 F1F1F2F2F3F3根据力的可传性原理，将力移到两力作用线的交点O，并按平行四边形法则合成一个合力FR，这样，刚体就在FR和F3的作用下处于平衡。由二力平衡公理，FR和F3必共线，即力F3的作用线必通过F1、F2的交点O。 三力构件是指受三个力作用并处于平衡的构件。三力构件的三个力的作用线交于一点。若已知两个力的作用线，由此可确定另一个未知力的方位。五、作用力和反作用力公理 两个物体间的作用力和反作用力总时同时存在的，两力的大小相等、方向相反、沿着同一作用线，分别作用在两个物体上。 这个公理是力学中的一个基本规律。它 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 力总是成对出现的，有作用力必有反作用力。该公理无论是对刚体还是变形体都成立。 作用力与反作用力的关系与二力平衡条件有本质的区别：作用力和反作用力是分别作用在两个不同物体上的力，不能说是一对平衡力；而二力平衡条件中的两个力是作用在同一物体上的，它们是一对平衡力。第三节约束和约束力 作用于物体的力一般可分为两类：一类是使物体产生运动或运动趋势的力，称为主动力，例如重力、风力、水压力等。另一类是约束给非自由体的限制其运动的力，称为约束反力。NBB图1-9光滑面约束实例（a）（b）（c）（d）FAFAFBFBABoABA 图1-8柔性约束实例根据柔性体约束反力的特点，绳索作用于重物的约束反力是沿绳索的拉力FA和FB。图1-8（b）所示为带传动装置，皮带对带轮的约束反力分别为F1、F2。二、光滑面约束 当两物体接触面上的摩擦力与其他作用力相比很小时，摩擦力成为次要因素，可以忽略不计，这样的接触面就认为是光滑的。此时，不论接触面是平面还是曲面，都不能限制物体沿接触面切线方向运一、柔性约束 凡由绳索、链条、皮带等柔性体所形成的约束，称为柔性约束。柔性体对物体的约束反力只能是通过接触点，沿着柔性体拉直后的中心线并背离非自由体的拉力，如图1-8（a）为两根绳索吊挂一重物。 FABBFBFAGAGF B连杆小端只能绕活塞销摆动。图1-10（b）为轴承装置，轴可在孔内任意转动，也可沿孔的中心线移动。这两种装置中的活塞销或轴承座都阻碍了连杆或轴沿径向的位移。在忽略摩擦的情况下，都可简化成图1-10（c）所示的模型，其约束反力R应作用在接触点上，沿接触点处的公法线且指向铰链中心。通常将一个方向不能预先确定的约束反力，用通过铰链中心的两个大小未知的正交分力XA、YA来表示，指向可任意假定，具体方向应通过静力平衡计算确定。图1-10（a） （b）固定铰链约束实例（c）气缸活塞 轴承曲轴活塞销连杆动，而只能限制物体沿接触面的公法线且指向约束物体方向的运动。因此，光滑面约束反力的方向就应沿接触面接触点处的公法线且指向物体。所以，光滑面的约束反力也称法向反力。图1-9中，（a）表示支撑面对球体的约束；（b）表示两支撑面对杆件的约束；（c）表示支撑面对滑块的约束；（d）表示齿轮啮合时一个齿受到的约束。三、固定铰链约束 将构件和固定支座在连接处钻上圆孔，再用圆柱形销子（又叫销钉）串连起来，使构件只能绕销钉的轴线转动，这种约束称为固定铰链约束或称固定支座。如图1-10（a）所示的活塞与连杆的连接装置， FAYAXAAA四、活动铰链约束 将构件的铰链支座用几个辊轴支承在光滑面上，就成为活动铰链约束（也称辊轴支座）。在桥梁、屋架结构中经常采用这种支座，支座下的圆柱形辊轴可沿支承面滚动，以便当温度变化引起桥梁跨度伸长或缩短时，允许两支座间的距离有微小变化。显然，这种支座只能限制物体在与支座接触处向着支承面或离开支承面的运动，而不能阻止沿着支承面的运动或绕着销钉的转动。因此，活动铰链约束的约束反力应通过铰链中心，垂直于支承面，它的指向待定。图1-11（a）是辊轴支座的结构，（b）是其简化表示法，（c）是约束反力的表示法。第四节物体的受力 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和受力图 在工程实际中，首先要确定构件受几个力，每个力的作用位置和方向，这个过程称为物体的受力分析。在静力学中，主要是研究非自由体的平衡问题。为清楚表示物体的受力情况，需要将研究的物体（称为受力体）从周围的物体（称为施力体）中分离出现，单独画出它的简图，这个步骤叫做取研究对象或取分离体。然后将施力物体对分离体的作用力（包括主动力和约束反力）全部画出来。这种表示物体受力的简明图形称为受力图。图1-11光滑铰链约束（a）（c）AFFAA或AA 或A（b）【例1-1】如图1-12所示，水平梁AB用斜杆CD支撑，A、C、D三处均为光滑铰链连接。在均质梁重为P，梁上放置一重为Q的电动机。如不计CD杆的自重，试分别画出斜杆CD和水平梁AB（包括电动机）的受力图。解：（1）先分析斜杆CD的受力情况。由于斜杆的自重不计，因此只在杆的两端分别受到铰链的约束反力FC和FD的作用。根据二力杆的平衡条件可知，这两个力必定在同一直线上，且等值反向。它们的作用线均应沿着直杆CD的轴线（根据经验判断，此处CD受到的应是压力。但在一般情况下，力的指向不能确定时，可先假设其方向，再根据平衡条件进行计算确定）。斜杆CD的最终受力图如图1-12（b）所示。（2）取水平梁AB（包括电动机）为研究对象。作用在水平梁上的力有主动力P和Q，还有斜杆CD在铰支点D给它的约束反力F/D的作用。根据作用力和反作用力定律，F/D＝－FD。梁在A处受有固定铰链给它的约束反力的作用，由于方向未知，可用两个未定的正交分力XA和YA代替。梁AB的受力图如图1-12（c）所示。图1-12例1-1用图（a）（b）（c）AABBCCDDQQPXAPDYAFCFD'FD,【例1-2】如图1-13（a）所示的三铰拱桥，由左、右两拱铰接而成。设各拱自重不计，在拱AC上作用有载荷P，试分别画出拱AC和CB的受力图。解：（1）先分析拱BC的受力。由于拱BC自重不计，且只在B、C两处受到铰链约束，因此拱BC为二力构件。在铰链中心B、C两处分别受FB、FC两力的作用，且FB=−FC，这两个力的方向如图1-13（b）1所示。 （2）取拱AC为研究对象。由于自重不计，因此主动力只有载荷P。拱在铰链C处受有拱BC给它的约束反力FC/的作用，根据作用力和反作用力定律， A处受有固定铰 FC/=−FC。拱在支给它的约束反力FA的作用，可用两个大小未知的正交分力XA和YA代替。拱AC的受力图如图1-13（c）所示。 / C故可根据三力平衡汇交定理，确定铰链A处约束反力FA的方向。点 / C通过点D（图1-13（d））；至于FA的指向，暂且假设如图，以后由平衡条件确定。（a）（d）PCABBFC CFBF/CXAAYA （c） 图1-13P A FA例1-2用图C （b）PDC画受力图应注意的要点归纳如下： （1）首先必须明确研究对象。根据需要，可以取单个物体为研究对象，也可以取由几个物体组成的系统为研究对象。不同研究对象的受力图是不同的。 （2）正确确定研究对象受力的数目。由于力是物体之间相互的机械作用，对每一个力都应该明确它是哪一个施力物体施加给研究对象的，决不能凭空产生。只画出周围物体给分离体的力，而不画分离体给周围物体的力。 （3）正确画出约束反力。一个物体往往同时受几个约束的作用，这时应分别根据每个约束单独作用时，由该约束本身的特性来确定约束反力的方向，而不能凭主观臆测。画约束反力时，要注意运用二力平衡定理和三力平衡汇交定理来帮助确定约束反力的方位。 （4）当几个物体相互接触时，它们之间的相互作用关系按作用力和反作用力定律来分析。当画整个系统的受力图时，由于内力成对出现，组成平衡力系，因此不必画出。只画出全部外力。第五节平面汇交力系 凡各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系。凡各力作用线不在同一平面内的力系称为空间力系。平面力系按作用线的分布不同又可分为平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系和平面任意力系几大类。若作用在刚体上的各力的作用线都在同一平面内，且汇交于同一点，该力系称为平面汇交力系。若作用于刚体上的各力偶的作用面均为同一平面，这种力偶系称为平面力偶系。若作用在刚体上各力的作用线都分布在同一平面内，且作用线相互平行，这样的力系称为平面平行力系。若作用在刚体上的各力的作用线都在同一平面内，且任意分布，这样的力系称为平面任意力系。一、平面汇交力系简化与平衡的几何法1．平面汇交力系合成的几何法 设在刚体上的A点作用一个由力F1、F2、F3、F4组成的平面汇交力系（图1-14(a)），为求该力系的合力，可连续应用力的平行四边形法则，依次两两合成各力，最后求得一个作用线也通过力系汇交点的合力FR。其几何法作图过程如下：在力系所在平面内，任取一点a，按一定的比例，先作矢量ab平行且等于力矢F1，再以所作用矢量的末端b作矢量bc平行且等于F2，连接矢量ac求得它们的合力FR1=ac，再过FR1的末端c作矢量cd平行且等于F3，连接矢量ad求得它们的合力FR2=ad，依此类推，最后将FR2与F4合成，即可得到该平面汇交力系的合力大小和方向FR，如图1-14（b）所示。多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形，矢量ae称为力多边形的封闭边。封闭边矢量ae表示此平面汇交力系合力FR的大小和方向，合力FR的作用线通过原力系的汇交点a。上述求合力的几何作图方法，称为力多边形法则（力三图1-14平面汇交力系合成的几何法（a）（b）F2F3 F2F1F1A F4abdF4 ecF3FR1FR2 FRFR=∑FiFR=∑Fi=0角形法则的推广）。作图时可改变各分力的相接顺序，多边形的形状会发生变化，但合力矢量不会发生变化。即矢量相加符合交换律。推而广之，若平面汇交力系由n个力组成，则其合力矢量为 ni=1（1-2）即：平面汇交力系合成的结果为一合力，该力等于平面汇交力系各分力的矢量和（几何和），它仍作用在原力系的汇交点上，其大小和方向可由各分力首尾相连得到的力多边形的封闭边确定。 若力系中各力的作用线都沿同一条直线，则此力系称为共线力系，它是平面汇交力系的特殊情况，它的力多边形在同一直线上。其合力的大小与方向取决于各分力的代数和。2．平面汇交力系平衡的几何条件 由力多边形法则可知，平面汇交力系可用其合力进行等效，显然，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如果用矢量式表示，即 ni=1（1-3） 对力的多边形而言，平衡时合力为零的条件就是力多边形中最后一个力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。因此可得出如下结论：平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何条件。二、平面汇交力系简化与平衡的解析法1．力在坐标轴上的投影 设在刚体上的点A作用一个力F，如图1-15所示。在力的同一平面内取一水平线为x轴，从力矢量F的两端A和B分别向x轴作垂线，垂足为a和b，线段ab的长度加上正负号，就表示这个力在x轴上的投影，记为X。如果从a到b的指向与投影轴x的正方向一致，则力F在x轴上的投影X为正值（图1-15（a）），反之为负值（图1-15（b））。如力F与x轴的正向间夹角为α，则有X=Fcosα（1-4）即力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与投影正向间夹角的余弦。当α为锐角时，X为正值；当α为钝角时，X为负值。故力在坐标轴上的投影是个代数量。如图1-16所示，将力F分别在两正交坐标轴ox、oy上投影，则有 X=Fx=FcosαY=Fy=Fsinα（1-5）图1-15力在轴上的投影AabxFB X（a）abxα AB X（b）F α图1-17FybFYybαβ FFxyYFy Aax X力在正交坐标上的投影xO Fx X力在斜交坐标上的投影 O图1-16F4FRx=X1+X2+LL+Xn=∑Xi 如果已知一力在正交坐标轴上的投影分别为X和Y，则该力的大小和方向为X2+Y2F=（1-6）cosα=X/F（1-7） 由图1-16可见，当力F沿两个正交坐标轴Ox、Oy分解为Fx、Fy两力时，这两个分力的大小分别等于F在两轴上的投影X、Y的绝对值。但是当Ox、Oy两轴不相互垂直时，如图1-17所示，则沿两轴的分力Fx、Fy在数值上不等于力F在两轴上的投影X、Y。2．合力投影定理 图1-18表示平面汇交力系的各力F1、F2、F3、F4组成的力多边形，FR为合力。将力多边形中各力矢量投影到x轴上，由图可见ae=ab+bc+cd−de(1-8) 按投影定理，上式左端为合力FR的投影，右端为四个分力的投影的代数和，即FRx=X1+X2+X3+X4(1-9)上式可推广到任意多个力的情况，即 ni=1（1-10） 于是可得结论：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。3．平面汇交力系合成的解析法及平衡条件图1-18合力投影定理F2 F3EdeFR F1A aB bC cD∑X∑YiFR=(∑Xi)2+(∑Yi)2=0FRx+FRy=(∑Xi)2+(∑Yi)2 设在刚体上的点O，作用了由n个力F1、F2、…、Fn组成的平面汇交力系，如图1-19（a）所示，现求合力的大小及方向。 设X1和Y1、X2和Y2、Xn和Yn分别表示F1、F2、…、Fn在正交轴Ox和Oy上的投影。根据合力投影定理，如图1-22（b），可求得合力FR在两轴上的投影为：i ni=1FRx=X1+X2+L+Xn= nFRy=Y1+Y2+L+Yn= i=1根据平行四力形法则，可求得合力的大小及方向为：FR= nni=1i=122（1-12）（1-13） tgα=FRy/FRx式中α表示合力与x轴间的夹角。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力FR等于零，即有（1-14） nn i=1i=1欲使上式成立，必须同时满足：（a） 图1-19 （b）平面汇交力系合成的解析法F1F2F3FnFRxFRyxxyyβ(1-11)FR∑X∑Yii ni=1 ni=1 =0=0（1-15）所以，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两坐标轴上的投影的代数和分别等于零。式（1-11）称为平面汇交力系的平衡方程。它有两个独立方程，可以求解两个未知量。【例1-3】曲柄冲压机如图1-20所示，冲压工件时，冲头B受到工 0束反力。解：（1）画受力图。选取冲头B为研究对象。作用于冲头B上的力有工件的阻力Q，导轨的约束反力N，连杆AB给十字头的力SAB。因为连杆AB只在两端受力，是二力杆，所以力SAB方向必沿连杆AB的轴线，方向先进行假设。冲头的受力图如图1-20（b）所示。（2）列平衡方程。选坐标轴如图所示，可列出平衡方程如下 ∑X=0，N−SABsinα=0 ∑Y=0，Q−SABcosα=0（3）求未知量。由上述两平衡方程可得mAABQQBNSABS/AByx(a) S/AB(c)图1-20(b)例1-3用图B 300.866 Qcos300=34.64KN=SAB= N=SABsin300=17.32KN 计算结果SAB为正值，表明假设的指向与实际指向相同。而连杆受的力与SAB等值反向，即连杆受压力，如图1-20（c）所示。第六节力矩和力偶矩的性质一、力对点的矩 以扳手拧螺母为例（图1-21），作用于扳手一端的力F使扳手绕O点转动的效应，不仅与力F的大小有关，而且与O点到力的作用线的垂直距离h有关。因此在静力学中以乘积F⋅h作为量度力F使物体绕O点转动效应的物理量，称这个物理量为力F对O点的矩，简称为力矩，以符号m0（F）表示，即：（1-16） mO(F)=±Fh=±2ΔABOO点称为力矩中心（简称矩心）；O点到力F作用线的垂直距离h称为力臂；ΔABO为三角形ABO的面积。通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正；作顺时针方向转动时，力矩为负。平面内力对点的矩是一个代数量，而非矢量。力矩的国际单位是牛顿·米或千牛顿·米，其代号为N·m或kN·m。 力矩具有下列特性：（1）力F对O点的矩不仅取决于F的大小，同时还与矩心的位置有图1-21扳手拧螺母时的转动效应hAF关；（2）力F对任一点的矩，不会因为该力沿作用线移动而改变，因此时力和力臂的大小均没改变；（3）力的作用线通过矩心时，力矩等于零；（4）相互平衡的两力对同一点的力矩的代数和等于零。二、合力矩定理 平面力系的合力对平面内任一点的矩等于所有各分力对该点取矩的代数和。即m0(F)=m0(F1)+m0(F2)+LL+m0(Fn)=∑m0(Fi)（1-17） 合力矩定理可以用来确定物体的重心位置，也可用来简化力矩的计算。三、力偶矩 由于力偶中的两力大小相等、方向相反、作用线平行，因此这两个力在任何坐标轴上的投影之和等于零（图1-22）。可见，力偶无合力，即力偶对刚体不产生移动效应。力偶对刚体的转动效应，可用力偶矩来度量，即用力偶的两个力对其作用面内某点之矩的代数和来度量。 如图1-22所示，设在平面内存在力偶（F、F/），两力作用线间的垂直距离d称为力偶臂。任取平面内一点O为矩心，则力偶的两个力对点O之矩的代数和为mO(F)+mO(F/)=F⋅ao−F/bo=F(ao−bo)=Fd（1-18）力偶对刚体的转动效应只取决于力偶图1-22力偶矩AFBCF/Oabd中力的大小和两力之间的垂直距离（力偶臂）。在力学中将力和力偶臂的乘积作为度量力偶对刚体作用效应的物理量，这个量称为力偶矩。以符号m（F、F/）表示，简记成m，即m(F,F/)=m=±F⋅d（1-19）式中，正负号表示力偶的转动方向，即逆时针方向转动时为正；顺时针方向转动时为负。力偶矩的单位是牛顿·米或千牛顿·米，其代号为N·m或kN·m。 力偶对物体的作用效应，取决于下列三个要素：力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面。此三个因素称为力偶的三要素。四、力偶的等效变换 在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、转动方向相同、则两个力偶必等效。这就是平面力偶的等效定理。 力偶的等效性可形象表示为图1-23所示。图（a）中作用在方向盘上的力偶（F1，F1/）或（F2，F2/），虽然它们的作用位置不同，但如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则对方向盘的作用效果就一样。又如图（b）中作用在攻丝扳手上的力偶（F1，F1/）或（F2，它们对物体的作用效果相同。 结论：（a） （b） /如果力偶矩相等，F1⋅d1=F2⋅d2，则 （c）图1-23等效力偶F2/F2/F1/F1/F1F2F1F2d2 d1P （1）力偶可在其作用面内任意移动，而不改变它对刚体的作用效应。即力偶对刚体的作用效应与它在作用面内的位置无关。 （2）在力偶矩不变的前提下，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用效应。 （3）在力偶三要素不改变的条件下，可以任意选定组成力偶的两个等值、反向、平行力的大小或力偶臂的长度，如图1-23（c）所示。 由上述结论可知，在同一平面内研究有关力偶的问题时，只需考虑力偶矩，而不必研究其中力的大小和力偶臂的长短。第七节平面力偶系 设在同一平面内的两个力偶（F1，F1/）和（F2，F2/），它们的力偶臂各为d1和d2（图1-24），其力偶矩分别为m1和m2，m1=F1⋅d1，m2=F2⋅d2。现将此两力偶合成。 在力偶的作用面内任取一线段AB=d，在不改变力偶矩的条件下将各力臂都化为d。得到与原力偶等效的两个力偶（P1，P1/）和（P2，P2/）。P1和P2的大小可由下列等式算出m1=P1⋅d，m2=P2⋅d（1-20）然后转移各力偶使它们的力臂都与AB重合，如图1-24所示。再将作用于A点的各力合成，这些力沿同一直线作用，可得合力FR，其大（a）（b）F1F2 /21P2FRFR′AP1/B d APBd 1dF1/2dF2/图1-24两个力偶的合成（c）小为FR=P1+P2（1-21）同样，可将作用于B点的各力合成为一个合力FR/，它与力FR大小相等、方向相反、且不在同一直线上。因此，FR/和FR组成一个力偶（FR/,FR）（图1-24（c）），这就是两个力偶的合力偶，其力偶矩为m=FRd=(P1+P2)d=P1d+P2d=m1+m2（1-22）一般地，若作用在同一平面内有n个力偶，则其力偶矩应为m=m1+m2+L+mn=∑mi（1-23） 平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。平面力偶系合成的结果既然为一合力偶，欲使力偶系平衡，则合力偶矩必须等于零，即=0i∑m（1-24） 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。【例1-4】图1-25所示，船舶中间轴连接法兰上四个A、B、C、D螺栓，螺孔均匀分布在同一圆周上，此圆的直径AC=BD=150mm，柴油机传给法兰盘的力偶矩m=2.5kN.m，试求每个螺栓所受的力为多少？解：取法兰盘为研究对象。作用于法兰盘上的力有柴油机传递过来的力偶，每个螺栓的反力，其方向如图所示。如假设四个螺栓的受力图1-25例1-4用图P1P3P4 P2CDAmB均匀，即P1=P2=P3=P4=P，则组成两个力偶并与柴油机的力偶平衡。于是由∑m=0，有 m−P×AC−P×BD=0而AC=BD=150mm故 m2AC=8.33kN 2.52×0.15=P=第八节平面一般力系一、力的平移定理 定理：作用在刚体上的力F可以平行移动到刚体上的任一点。但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对平移点之矩。 证明：设一力F作用于A点，如图1-26（a）所示。在刚体上任取一点B，在B点加上大小相等、方向相反且与力F平行的两个力F/和 ///F//=F（图1-26（b））。由加减平衡力系公理可知，力系（F、F/、F//）与力F是等效的。但力系（F、F/、F//）可当作是一个作用于B点的力F/和一个力偶（F、F//）。于是原来作用在A点的力F，现在被一个作用在B点的力F/和一个力偶（F、F//）所代替（图1-24（c））。也就是说可以将作用于A点的力F的作用线平移到B点，但必须同（a）（c） （b）图1-26 力的平移定理点的汇交力系F1、F2、F3以及相应的时附加一个力偶，其附加力偶矩为m=Fd，而乘积Fd又是F对B点之矩，即因此得mB(F)=Fdm=mB(F) （1-25）（1-26） 即力线向一点平移时所得附加力偶等于原力对平移点之矩。二、平面一般力系的简化 设刚体受一个平面一般力系F1、F2、F3的作用，如图1-27（a）所示。在力系所在平面内任取一点O，称为简化中心。根据力的平移定理，将各力平移到O点，得到作用于O ///附加力偶系m1、m2和m3，它们的力偶矩分别为m1=m0(F1)=F1d1；m2=mo(F2)=F2d2和 m3=m0(F3)=F3d3。平面一般力系分解成了两个力系：平面汇交力系和平面力偶系。 平面汇交力系F/1、F/2、F/3可按多边形法则合成为一个合力，作用于点O，其矢量FR等于F/1、F/2、F/3的矢量和。因为F/1、F/2、F/3各力分别与F1、F2、F3各力大小相等、方向相同，所以FR=F1+F2+F3（1-27）根据前述，平面力偶系m1、m2和m3可合成为一个力偶，这个力图1-27平面一般力系的简化过程F1F2F3F1/F3/αm1F2/m2m3xxyyFR′ M0ooo(a)(b)(c)FR=∑Fim0=∑m0(Fi)FR=∑Fim0=∑m0(Fi)偶的矩m0等于各力偶矩的代数和。注意到附加力偶矩等于力对简化中心的矩，故m0=m1+m2+m3=m0(F1)+m0(F2)+m0(F3)（1-28）即力偶的矩等于原来各力对简化中心O的矩的代数和。对于力的数目为n的平面一般力系，可将上述结果推广为 ni=1 n i=1 （1-29）（1-30） 平面一般力系中所有各力的矢量和FR称为该力系的主矢；而这些力对于任意简化中心O的矩的代数和m0称该力系对简化中心的主矩。 结论： 平面一般力系向作用面内任一点O简化，可得到一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢 ni=1（1-31）作用在简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩 ni=1（1-32） 现在讨论主矢FR的解析求法。通过O点作直角坐标轴Oxy（图1-27（c）），根据合力投影定理有 FRx=X1+X2+L+Xn=∑Xi FRy=Y1+Y2+L+Yn=∑Yi于是主矢的大小和方向可由下式确定(1-33)FR=FRx+FRy=(∑X)2+(∑Y)2FR22(1-34)= ∑Y∑XFRyFRxtgα=(1-35)式中，α为FR与x轴所夹锐角。三、平面一般力系简化结果分析 平面一般力系向一点简化，可得到一个主矢FR和一个主矩m0。 （1）若FR=0，m0≠0，则原力系简化为一个力偶，力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。在这种情况下，简化结果与简化中心的选择无关。即不论向哪一点简化都有是一个力偶，而且力偶矩保持不变。 （2）若FR≠0，m0=0，则主矢FR为原力系的合力，通过简化中心。 （3）若FR≠0，m0≠0，则力系仍然可简化为一个合力。为此，只要将简化所得的力偶加以改变，使其力的大小等于主矢FR的大小，0力偶臂d=m/FR，然后转移此力偶，使其中一个力FR//作用在简化中心，并与主矢FR取相反方向，于是FR与FR//抵消，而只剩下作用在O1点的力FR/，这便是原力系的合力（图1-28）。合力FR/的大小和方向与主矢FR相同，而合力的作用线与简化中心O的距离为m0 /m0FR=d=(1-36)图1-28平面一般力系的进一步简化M0FRoo FR oFR′′dd FR′o1 FR′o1四、平面一般力系的平衡条件与平衡方程 平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢FR和力系对作用面内任一点的主矩m0都等于零。即FR=(∑X)2+(∑Y)2=0m0=∑mo(F)=0(1-37) (1-38)故∑X=0∑Y=0∑mo(F)=0（1-39）即平面一般力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在两个任选正交坐标系的每个轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于平面内任意一点之矩的代数和也等于零。式（1-39）称为平面一般力系的平衡方程。【例1-5】悬臂吊车如图1-29所示，横梁AB长l=2.5m，自重 0重Q=7.5kN。试求当电动葫芦在图示位置时（a=2m），拉杆的拉力和铰链A的约束反力。 解：（1）画受力图。选横梁AB为研究对象，作用于横梁上的力有重力P（在横梁的中点）、载荷Q、拉杆的拉力T和铰链A的约束反力RA。因CD是二力杆，故拉力T沿CD边线；RA方向未知，故分解为两个分力XA、YA。显然各力的作用线分布在同一平面内，在系力作用下横梁AB处于平衡。 （2）列平衡方程，求未知量。选坐标如图所示，应用平面力系的平衡方程得： ∑X=0，XA−Tcosα=0∑Y=0，YA−P−Q+Tsinα=0（a） （b）∑mA−Qa=0l2(F)=0，Tsinα⋅l−P⋅（c）l2 12.5sin300(1.2×1.25+7.5×2)=13.2kN+Qa)=(P⋅T= 1lsinα将T值代入（a）、（b）两式得XA=Tcosα=11.43kN YA=P+Q−Tsinα=2.1kN算得XA、YA皆为正值，表示假设的指向与实际的指向相同。五、固定端的约束反力 图1-30（a）和（b）所示，车床上车刀和工件夹持在刀架或卡盘上是固定不动的（如图1-30（c）所示）。这种约束称为固定端或插入端支座。 固定端支座对物体的约束作用，是在接触面上作用了一群约束反力。在平面问题中，这一群力为一平面一般力系，如图1-31（a）所示。将这群力向作用平面内的点A简化得到一个力和一个力偶，如图1-31图1-30车刀和工件在刀架和卡盘上的固定(a)(b)(c)图1-29例1-5用图BPTQYA AXAα=300la2l由式（c）解得 C y（a）（c）图1-31 （b）固定端约束反力（b）所示。一般情况下这个力的大小和方向均为未知量，可用两个未知分力XA、YA来代替，如图1-31（c）所示。因此，固定端A处的约束反力作用可简化为一个约束反力NA和一个力偶矩为mA的约束反力偶。 比较固定端支座和固定铰链支座的约束性质可知，固定端支座除了限制物体在水平方向和垂直方向的移动外，还能限制物体在平面内的转动。因此，除了约束反力XA、YA外，还有约束反力偶，其矩为mA。而固定铰链支座没有约束反力偶，因为它不能限制物体在平面内的转动。六、平面平行力系的简化与平衡 所谓平面平行力系是指各力的作用线都在同一平面内且互相平行的力系。设物体受平面平行力系F1、F2、…、Fn的作用（图1-32）。若取Ox轴与诸力垂直，Oy轴与诸力平行，则不论平面平行力系是否平衡，各力在x轴上的投影为零，即∑X=0。因此平面平行力系的平衡方程为∑Y=0∑mo(F)=0（1-40）即平面平行力系平衡的必要充分条件是：力系中各力的代数和等于零及各力对于任一点之矩的代数和等于零。【例1-6】如图1-33(a)所示，一端固定的梁长l=4m，受集中力P=10kN，均布载荷 （a） （b）图1-33例1-6用图q=5kN/m，求固定端的约束反力。 解：画出梁的受力图，如图1-33（b）所示，因无水平载荷，梁无水平运动的趋势，梁上的力系为一平行力系，故反力RA是铅垂方向的。均布载荷的合力为 Q=ql=5×4=20kN 列出平衡方程：∑MA(F)=0，mA−2Q−4P=0 mA=80kN⋅m∑Fy=0，RA−P−Q=0， 第九节 RA=30kN摩擦 按接触物体之间的运动情况，摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦两大类。当两物体接触处存在相对滑动或有相对滑动趋势时，在接触处的公切面内将受到一定的阻力阻碍其运动，这种现象称为滑动摩擦。如活塞在气缸中运动，就有滑动摩擦。当两物体间有相对滚动或有相对滚动趋势时，物体间产生相对滚动的阻碍称为滚动摩擦（简称滚阻）。如车轮在地面上滚动，就有滚动摩擦阻力。一、滑动摩擦1．静滑动摩擦 将两接触物体间有相对滑趋势而没有真正滑动时的滑动摩擦称为静滑动摩擦；将两接触物体间已产生一定速度的相对滑动时的摩擦称为动滑动摩擦。 在水平面上放置一个重量为G的物体M，如图1-34所示。通过一根不计重量的绳子使物体受一水平拉力P的作用，该力的大小由砝码的重量来决定。静摩擦力F的大小随主动拉力P的增大而相应增大。当拉力增大到某一限度时，物体由静止开始滑动，在物体将动而未动的瞬间，摩擦力也增大到了最大值Fmax。可见静滑动摩擦力的大小是在零与最大静滑动摩擦力间变化的，即0≤F≤Fmax（1-41）大量实验证明，最大静摩擦力的大小与法向反力成正比。即Fmax=fN（1-42）式中，f称为静滑动摩擦系数，它是一个无量纲的量。其大小与接触物体的材料、接触面的情况（温度、湿度、粗糙度等）有关，而与接触面的面积无关。2．动滑动摩擦 当主动拉力增大到大于最大静滑动摩擦力Fmax时，物体的平衡态将被破坏而产生相对滑动。在接触面上也会产生阻碍物体运动的作用力，称为动滑动摩擦力，用Fd表示。动滑动摩擦的方向总是与相对滑动速度的方向相反，其大小与法向反力成正比。即Fd=fdN（1-43）式中，fd称为动滑动摩擦系数，它除了与接触面的材料，表面情况有图1-34静滑动摩擦关外，还与物体的相对滑动速度有关。在相互接触物体的材料及表面情况一定时，一般动滑动摩擦系数小于静滑动摩擦系数。二、摩擦角和自锁现象1．摩擦角 在考虑摩擦的情况下，接触面对物体的约束反力除了法向反力FN外，还应包括沿接触面切线方向的摩擦力F，两者的合力称为全反力，以FRA表示，如图1-35所示。全反力FRA与接触面法线间的夹角α随静摩擦力的增大而增大，当静摩擦力F达到最大值时，此夹角也达到最大值ϕ。全反力与接触面法线间的夹角的最大值ϕ称为摩擦角。由图可知fFNFN=f=Fmax FNtgϕ=（1-44）即摩擦角的正切等于静摩擦系数。当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的方位也随之改变；这时，FRA的作用线将画出一个以接触点A为顶点的锥面，如图1-35（c）所示，称为摩擦锥。设物块与支承面间沿任何方向的摩擦系数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2φ的圆锥。 A(a) A (b)摩擦角的概念 A(c)FRAFRAFRAF Fmax图1-35FmaxFNFNFNϕϕϕαα2．自锁现象 物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大值Fmax之间变化，所以全约束反力与法线间的夹角α也在零与摩擦角ϕ之间变化，即0≤α≤ϕ（1-45） 由于静滑动摩擦力不可能超过最大值，因此全约束反力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束反力必在摩擦角之内。可知：（1）如果作用于物体的全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角ϕ之内，则无论这个力怎样大，物体必保持静止。这种现象称为自锁现象。如图1-36（a）所示。工程实际中常应用自锁原理设计一些机构和夹具，如千斤顶、压榨机、圆锥销等。使它们始终保持在平衡状态下工作。（2）如果全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角ϕ之外，则无论这个力怎样小，物体一定会滑动。如图1-36（b）所示。应用这个道理可以设法避免发生自锁现象。 测定静摩擦系数。如图1-37所示，将要测定的两种材料分别做成斜面和物块，将物块放在斜面上，并逐渐从零起增大斜面的倾角α，直到物块刚开始下滑为止。记下斜面倾角α，这时的α角就是要测定的摩擦角ϕ，其正切就是要测定的摩擦系（a） 图1-36 （b）物体的自锁现象FRϕϕϕϕFRA ϕFRA αFR A ϕ αA数f。当物块处于临界状态时，全约束反力FRA与法线间的夹角等于摩擦角ϕ，即α＝ϕ，由此可求得摩擦系数，即 f=tgϕ=tgα （1-46）三、滚动摩擦 在产生相对滑动的物体下部垫上拖辊进行拖动，一般比直接放在地面上拖动省力得多，这说明滚动摩擦的阻力比滑动摩擦阻力小得图1-37斜面上物体的自锁AFRAFP ϕαBo（a）（c）图1-38 （b）螺纹的自锁条件 AFRA 斜面的自锁条件，即讨论物块A在铅直载荷FP的作用下（图1-37），不沿斜面下滑的条件。只有当α≤ϕ时，物块才不下滑，即斜面的自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角。 斜面的自锁条件就是螺纹（图1-38（a））的自锁条件。因为螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面，如图1-38（b）所示，螺纹升角α就是斜面的倾角，如图1-38（c）所示。螺母相当于斜面上的滑块A，加于螺母的轴向载荷FQ，相当于物块A的重力，要使螺纹自锁，必须使螺纹的升角α小于或等于摩擦角ϕ。因此螺纹的自锁条件是α≤ϕ。 FQαααA多，故工程上常用滚动代替滑动。下面分析车轮在地面上的滚动特性。在中心O上作用一水平驱动力P，如图1-39所示。图中（a）为支撑面及车轮都是刚性表面的情况，支撑面的法向反力FN与重力G大小相等、方向相反、作用在一条直线上，相互平衡，车轮与支撑面接触处产生的摩擦阻力F与水平驱动力P大小相等、方向相反、作用线相互平等，形成一对驱动力偶M（P，F），驱动车轮向前滚动。但实际上当驱动力P不大时，车轮是静止的，这说明支撑面产生的反力除了FN和F外，还应产生与驱动力偶M（P，F）相平衡的反力偶，这个反力偶称为滚动摩擦阻力偶。 当支撑面不是刚性表面时，在压力作用下，车轮与支撑面间都有会产生变形，变形后在车轮与支撑面上会产生如图（b）所示的约束反力。这一约束反力不是作用于一点，而是作用在一段弧线上，可看成一平面约束力系，将这平面力系向车轮与支撑面的法向接触点A简化，可得到一合力FR和一个力偶m，如图（c）所示，合力FR可分解为沿接触面法线方向的支承反力FN和沿接触面切线方向的摩擦阻力F，力偶m与驱动力偶M（P，F）的方向相反，即为滚动摩擦阻力偶。（a）（b） 图1-39 （c）滚动摩擦阻力偶（d）AAPGGGGFFF PFNr P r mFN PAB FN e滚动摩擦阻力偶是随着P·r的增加而增加的，但有一极限值。当m达到极限值mmax时，如P·r继续增加时，车轮开始滚动。mmax称为最大滚动摩擦阻力偶。滚动摩擦阻力偶的最大值mmax与法向反力FN成正比，即mmax=kFN（1-47）式中，k为滚动摩擦阻力系数，其值与接触面材料、表面状况（粗糙度、硬度等）有关，与滚子半径无关。 若将作用于A点的法向反力FN与滚动摩擦阻力偶m合成，如图1-39（d）所示，结果使力FN向滚动方向平移了一个距离e。则有kFN FN=k=e=mmax FN（1-48）故当车轮即将开始滚动时，FN从A点向滚动方向平行移动的距离即为滚动摩擦阻力系数k。四、考虑摩擦的平衡问题 工程中有不少问题只需分析平衡的临界状态，这时静摩擦力达到最大值，补充方程只取等号。有时为计算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。应强调指出，在临界状态下求解有摩擦的平衡问题时，必须根据相对滑动的趋势，正确判断摩擦力的方向。因为补充方程Fmax=fN中，f为正值，摩擦力的方向总是确定的，F永远为正，因而Fmax也为正，即摩擦力Fmax的方向不能假定，必须按其真实方向给出。【例1-7】重量G=20N的物体搁置在与水平方向成300角的粗糙斜面上，如图1-40所示，物体与斜面间的静摩擦系数f=0.6，此时物体是否下滑？若物体质量增加至100N，物体又处于何种状态？ 解：将物体的重力分解为沿斜面的下滑力S和沿斜面法线方向的压力N/。N/与斜面法线方向的支承反力N大小相等，方向相反。分别算出S、N及最大静摩擦力Fmax，比较下滑力N与Fmax的相对大小即可知物体的所处的状态。 根据力的分解法则有： S=Gsinα=20×sin300=10N N/=Gcosα=20×cos300=17.32N 按静滑动摩擦定律有： Fmax=Nf=17.32×0.6=10.4N 因为S<Fmax，所以物体处于静止状态。当重力G增大到100N时，由上述分析过程可知，下滑力N和最大静摩擦力Fmax将增大相同的倍数，物体运动状态不变，仍然处于静止状态。SN/Fmaxα图1-40 G例1-7用图α第二章 第一节 运动学点的运动学一、点的运动方程 点在空间运动时经过的路线称为轨迹。如果点的运动轨迹是直线，称该点的运动为直线运动；如果是曲线，则称为曲线运动。点运动时的几何位置随时间的变动规律可用数学表达式来表示，称为点的运动方程。 若动点M作直线运动，可取此直线为x轴，如图2-1所示。在直线上任选点x=f(t)（2-1） 设动点M沿图2-2所示的曲线轨迹运动，则动点在轨迹上的位置可这样确定：在轨迹上任选一点O作为参考点，并设点 图2-1点的直线运动O为坐标原点，并选某一方向为正方向，则动点M的位置可由它的坐标x确定。 当动点运动时，它的坐标x随时间变化，在一般情况下，坐标x是时间t的单值连续函数，即xxMO图2-2动点轨迹的弧坐标表示法MO(−)S 上式称为动点沿直线运动相对于点O的运动方程。 若动点M作曲线运动，它的几何位置随时间变动的规律，同样可用数学式表示，称为点作曲线运动的运动方程。1．以弧坐标表示的运动方程 (+)⎨y=f2(t)O的某一侧为正方向，动点M在轨迹上的位置由弧长确定，令弧长s为代数量，并称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随时间变化，它是时间的单值连续函数，即（2-2） s=f(t)上式称为以弧坐标表示的点的运动方程。如果已知点的运动方程式（2-2），就可以求得某一瞬时点的弧坐标s的值，也就确定了该瞬时动点在轨迹上的位置。⎩⎧x=f1(t)⎪⎪z=f3(t)（2-3）这些方程称为以直角坐标表示的点的运动方程。如果知道了点的运动方程式（2-3），就可以求得任一瞬时点的坐标x、y、z的值，也就完全确定了该瞬时动点的位置。式（2-3）实际上是点的轨迹的参数方程，只要给定时间t的不同数值，依次得出点的坐标x、y、z的相应数值，就可描出动点的轨迹来。在工程实际上，经常遇到点在某一平面内运动的情况，此时点的轨迹为一平面曲线。取轨迹所在的平面为坐标平面oxy，则点的运动方程为 图2-3动点轨迹的直角坐标表示 2．以直角坐标表示的运动方程 动点M在空间的位置也可由直角坐标系oxyz的在三个坐标x、y、z确定，如图2-3所示。当动点M运动时，它的坐标x、y、z随着时间变化，它们都是时间的函数，即：xxyyzM zO⎩y=f2(t)⎧x=f1(t)⎨（2-4） 特殊情况下，当动