二阶系统

3－4 二阶系统 3－4 二阶系统 用二阶微分方程描述的系统，称二阶系统。它在控制系统中应用极为广泛。例如， 网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧－质量－阻尼器系统、扭转弹簧系统等等。此外，许多高阶系统，在一定条件下，往往可以简化成二阶系统。因此，详细研究和分析二阶系统的特性，具有重要的实际意义。 以图1-7、图2-21所示随动系统为例进行研究。这里把图2-21进一步简化成图3-9(a)。图中 ，系统闭环传递函数为 （3-9） 为了使研究的结论具有普遍性，将上式写成典型形式或 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式 或 （3-10） 图3-9(b)为二阶系统的一般结构图形式。式中 ； ； 可见，二阶系统的响应特性完全可以由阻尼比 和自然频率 (或时间常数 )两个参数确定。一般形式的闭环特征方程为 方程的特征根(系统闭环极点)为 当阻尼比较小，即 时，方程有一对实部为负的共轭复根 系统时间响应具有振荡特性，称为欠阻尼状态。 当 时，系统有一对相等的负实根 系统时间响应开始失去振荡特性，或者说，处于振荡与不振荡的临界状态，故称为临界阻尼状态。 当阻尼比较大，即 时，系统有两个不相等的负实根 这时系统时间响应具有单调特性，称为过阻尼状态。 当 时，系统有一对纯虚根，即 ，称为无阻尼状态。系统时间响应为等幅振荡，其幅值取决于初始条件，而频率则取决于系统本身的参数。 上述各种情况对应的闭环极点分布及对应的脉冲响应，如图3-10所示。 下面分别研究欠阻尼和过阻尼两种情况的响应及其性能指标。 一、 二阶系统的阶跃响应 1、欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 二阶系统中，欠阻尼二阶系统最为常见。由于这种系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈现衰减振荡特性，故又称振荡环节。 当阻尼比 时，二阶系统的闭环特征方程有一对共轭复根，即 式中 ，称为有阻尼振荡角频率，且 。 当输入信号为单位阶跃函数时，输出的拉氏变换式由式(3-10)可得 对上式进行拉氏反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应，并用 表示，即 （3-11） 式中 由图3-11所示。 或 由式(3-11)可见，系统的响应由稳态分量与瞬态分量两部分组成，稳态分量值等于1，瞬态分量是一个随着时间 的增长而衰减的振荡过程。振荡角频率为 ，其值取决于阻尼比 及无阻尼自然频率 。我们采用无因次时间 作为横坐标，这样，时间响应仅仅为阻尼比 的函数，如图3-12所示。 由图可见，阻尼比 越大，超调量越小，响应的振荡越弱，系统平稳性越好。反之，阻尼比 越小，振荡越强烈，平稳性越差。 当 时，系统阶跃响应 不出现峰值( )，单调地趋于稳态值。 当 时， ，调节时间最小， ，若按5%的误差带考虑，可认为 。 当 时， 随 减小而增大。过渡过程峰值和调节时间也随 减小而增大。 当 时(即 ， 表示系统具有一对纯虚根)，方程式(3-11)就成为 （3-12） 显然，这时响应具有频率为 的等幅振荡，即无阻尼振荡。 此外，当 过大时，系统响应滞缓，调节时间 很长，系统快速性差；反之， 过小，虽然响应的起始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间 亦长，快速性也差。由图3-12可见，对于5%的误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好，这时超调量 ，故平稳性也是很好的，所以把 称为最佳阻尼比。 关于稳态精度：由于随时间 的增长，瞬态分量趋于零，而稳态分量恰好与输入量相等，因此稳态时系统是无差的。 欠阻尼二阶系统性能指标的计算如下： 延迟时间 ①：根据定义，令式(3-11)等于0.5，即 =0.5，整理后可得 取 为不同值，可以计算出相应的 值，然后绘出 与 的关系曲线，如图3-13所示。利用曲线拟合方法，可得延迟时间的近似表达式 （3-13） 或 (3-14) 上述两式表明，增大 或减小 ，都可以减小延迟时间 。或者说，当阻尼比不变时，闭环极点离［s］平面的坐标原点越远，系统的延迟时间越短；而当自然频率不变时，闭环极点离［s］平面的虚轴越近，系统的延迟时间越短。 上升时间 ：②根据定义，令式（3-11）等于1。即 ， 可得 因为 所以 则有 由图3－11可见 所以 （3-15） 显然，当阻尼比 不变时， 角也不变。如果无阻尼振荡频率 增大，即增大闭环极 点到坐标原点的距离，那么上升时间 就会缩短，从而加快了系统的响应速度；阻尼比越小( 越大)，上升时间就越短。 峰值时间 ：将式(3-11)对时间求导并令其为零，可得峰值时间 将上式整理得 则有 ， ， ， ， …。根据峰值时间的定义， 是指 越过稳态值，到达第一个峰值所需要的时间，所以应取 。因此峰值时间的计算公式为 或 （3-16） 上式表明，峰值时间等于阻尼振荡周期一半。当阻尼比不变时，极点离实轴的距离越远，系统的峰值时间越短，或者说，极点离坐标原点的距离越远，系统的峰值时间越短。 超调量 ：将峰值时间式(3-16)代入式(3-11)，得输出量的最大值 由图3-11可知 代入上式，则 根据超调量的定义式，并在 条件下，可得 （3-17） 显然，超调量仅与阻尼比 有关，与自然频率 的大小无关。图3-14表示了超调量 与阻尼比 的关系曲线。由图可见，阻尼比越大( 越小)，超调量越小；反之亦然。或者说，闭环极点越接近虚轴，超调量越大。通常，对于随动系统取阻尼比为 ，相应的超调量为 。 调节时间 ： 写出调节时间 的准确表达式是相当困难的。在初步分析和设计中，经常采用近似方法计算。对于欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 来说，指数曲线 是阶跃响应衰减振荡的上下二条包络线，整个响应曲线总是包含在这二条包络线之内，该包络线对称于阶跃响应的稳态分量。在图3-15中，采用无因次时间 作横坐标，给出了 时的单位阶跃响应以及相应的包络线。可见，实际响应的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此采用包络线代替实际响应曲线来估算调节时间是可靠的。 根据上述分析，当 时，经常采用下列近似公式 取5%误差带 (3-18) 或 取2%误差带 (3-19) 上式表明，调节时间与闭环极点的实部数值( )成反比，实部数值越大，即极点离虚轴的距离越远，系统的调节时间越短，过渡过程结束得越快。 综上所述，从各动态性能指标的计算公式及有关说明可以看出，各指标之间往往是有矛盾的。如上升时间和超调量，即响应速度和阻尼程度，要求上升时间小，必定使超调量加大，反之亦然。当阻尼比 一定时，如果允许加大 ，则可以减小所有时间指标( 、 、 和 )的数值，同时超调量可保持不变。 因此，在实际系统中，往往需要综合全面考虑各方面的因素，然后再作正确的抉择。即所谓“最佳”设计。 【例3-1】 在图3－16所示的随动系统中，当给定系统输入为单位阶跃函数时，试计算当放大器增益 时，输出位置响应的性能指标： 、 和 。如果将放大器增益增大到 或减小到 ，那么对响应的动态性能又有什么影响? 解 将图3-16与二阶系统典型结构图形式图3-9(b)进行比较，可得 ， 将 代入上两式得 ， 则系统闭环传递函数为 （3-20） 上式也可直接由图3-16求得。然后，对照标准形式求得 、 ，并把 、 值代入相应公式(3-16)、(3-18)和(3-17)求得 当 时，同样可计算出 则有 可见， 增大，使 减小而 增大，因而使 增大， 减小，而调节时间 则没有多大变化。 当 减小到 时，经过同样的计算可得到 ， 。系统成为过阻尼二阶系统。峰值和超调量不再存在。而 必须按下面将要介绍的过阻尼二阶系统来计算。由响应曲线图3-17可见，上升时间 比上面两种情况大得多，虽然响应无超调，但过渡过程过于缓慢，也就是系统跟踪输入很慢，这也是不希望的。 2. 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应 当 时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根。可写成 式中 且 , ，于是闭环传递函数为 因此，过阻尼二阶系统可以看成二个时间常数不同的惯性环节的串联。 当输入信号为单位阶跃函数时，系统的输出为 （3-21） 式中稳态分量为1，瞬态分量为后两项指数项。可以看出，瞬态分量随时间t的增长而衰减到零，故系统在稳态时为无差的。其响应曲线如图3-18所示。 由图3-18看出，响应是非振荡的，但它是由两个惯性环节串联而产生的，所以又不同于一阶系统的单位阶跃响应，其起始阶段速度很小，然后逐渐加大到某一值后又减小，直到趋于零。因此，整个响应曲线有一个拐点。 对于过阻尼二阶系统的性能指标，同样可以用 、 等来描述。这里着重讨论调节时间 ，它反映系统响应的快速性。确定 的准确表达式同样是很困难的。一般可根据(3-21)式，令 为不同值，计算出相应的无因次调节时间 。图3-19给出了误差带为5%的调节时间曲线。由图可见： 当 ， 即 的临界阻尼情况， 当 ，即 时， 当 ，即 时， 上述分析说明，当系统的一个负实根比另一个大4倍以上时，即两个惯性环节的时间常数相差4倍以上，则系统可以等效为一阶系统，其调节时间 可近似等于 (误差不大于10%)。这也可以由式(3-21)看出，由于 ，所以 项比 项衰减快得多，即响应曲线主要取决于大时间常数 确定的环节，或者说主要取决于离虚轴较近的极点。这样，过阻尼二阶系统调节时间 的计算，实际上只局限于 的范围。 当 时，就可将系统等效成一阶系统，其传递函数可近似地表示为 这一近似函数形式也可根据下述条件直接得到，即原来的传递函数 与近似函数的初始值和最终值，二者对应相等。 对于近似传递函数 ，其单位阶跃响应的拉氏变换式 时间响应 为 上式就是当 中，有一个极点可以忽略时的近似的单位阶跃响应。图3-20示出了 , 时的近似响应函数曲线，在图中还画出了系统过阻尼时的准确响应函数曲线。这时，系统的近似解为 而这时的准确解，则为 准确曲线和近似曲线之间，只是在响应曲线的起始段上有比较显著的差别。 【例3-2】 已知系统结构图如图3－21所示。其中 ，若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间 ，问增益 应取何值? 解 根据题意，应取 ，但考虑到在过阻尼范围内 时响应速度最快，所以在图3-19的曲线上，试取 ，对应 ，查得 。题意要求 ，故 ； 由系统闭环特征方程 得 因为 ，所以 。所得结果是否满足要求，必须进行验算。验算结果表明 满足了特征方程的要求。如果不满足，应重复上述过程，重新选择 的比值。 应当指出，如果两个二阶系统具有相同的 值，但具有不同的 值，那么响应曲线将有相同的超调量和相同的振荡形式。在方程(3-11)、(3-12)和(3-21)中，自变量 总是与参数 (即 )结合成 出现。因此，系统响应 可以用 作为时间 的计量单位。换句话说，参数 具有时间尺度的性质。如果 增大(即 减小)若干倍，那么只要 增大同样倍数，使 保持不变， 的值也就保持不变。就是说，如果参数 增大( 减小)几倍，则 的曲线就在横坐标轴方向“展宽”同样倍数；相反，如果 减小( 增大)几倍，则 的曲线就在横坐标轴方向“压缩”同样倍数(图3－22所示)。所以对于 值相同的系统来说，响应时间长短就正比于 。显然， 也是描述系统动态性能的一个重要参数。 3. 欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应 单位斜坡输入信号的拉氏变换式为 ，将其代入式(3-10)，可得系统输出的变换式 对上式进行拉氏反变换得单位斜坡响应 ， （3-22） 式中 （3-23） 显然，系统的单位斜坡响应式(3-22)由两部分组成，一部分是稳态分量 另一部分是瞬态分量 其中，瞬态分量随着时间增长而振荡衰减，最终趋于零。所以，系统的稳态误差为 。图3-23为二阶系统单位斜坡响应曲线。 由图可见，系统的稳态输出是一个与输入量具有相同斜率的斜坡函数。但是，在输出位置上有一个常值误差值 ，即系统在斜坡输入时的稳态误差，显然这误差并不是指稳态时输入、输出上的速度之差，而是指位置上的差别。此误差值只能通过改变系统参数来减小，如加大自然频率 或减小阻尼比 来减小稳态误差，但不能消除。并且，这样改变系统参数，将会使系统响应的平稳性变差。因此，仅靠改变系统参数是无法解决上述矛盾的。在系统设计时，一般可先根据稳态误差要求确定系统参数，然后再引入控制装置(校正装置)来改善系统的性能(即用改变系统结构来改善系统性能)。 二、系统性能的改善 我们仍以二阶位置随动系统为例。图3-24(a)为系统阶跃响应曲线 ；(b)为阶跃响应的导数 ； (c)为偏差响应曲线；(d)为偏差响应的导数 。由曲线(a)可看出，单位阶跃响应具有较大的超调量。在 的时间间隔内，由于正的偏差信号 ，使电机产生正向力矩。但因为系统阻尼较小，电机的正向加速度、速度较大，因此将会出现较大超调量。在 时间间隔内，虽然偏差信号 为负，电机产生反向力矩，但由于开始反向力矩不够大，而系统原来已具有较大的速度，所以输出量继续上升直至 达到最大值 ，这时速度为零。在 时间间隔内，由于反向力矩的继续作用，使输出量开始减小，并在 时再次穿过稳态值形成反向超调。在 时间间隔内，偏差信号又重新为正，电机产生正向力矩，又力图使输出量恢复到稳态值。如此，使动态过程强烈振荡，产生较大超调。可以看出，造成响应振荡、过调的原因是： 第一、 在 时间间隔内，正向力矩较大，而且没有在 之前及时提前制动； 第二、 在 时间内，反向制动力矩不足。显然，要设法在 时间内削弱正向力矩，应加入一个与 相反的信号；在 时间内，要设法加强反向制动力矩，应加一个与 相同的信号；同理，在 时间内，应加一个与 相反的信号；在 时间内，应加一个与 相同的信号，……等。 观察图3-24中 、 的极性，恰好能起到这样的作用。所以引入 或负的 作为控制信号，将有可能改善系统性能。实践已经 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ，恰当地引入微分信号，将会大大改善系统的性能。这就是所谓比例－微分控制和测速反馈控制。 1．比例-微分控制 设比例-微分控制系统如图3-25所示，其中微分时间常数为 。 由图3-25可见，系统输出量同时受偏差信号及其微分信号的双重控制。由于加入了偏差的微分信号，它可以敏感偏差信号的变化，因此比例－微分控制可以在出现位置偏差以前，提前产生控制作用，即使控制作用带有一定程度的“预见性”，从而达到改善系统动态性能的目的。由于偏差微分信号只反映偏差信号变化的速率，因此，微分控制并不影响稳态偏差的大小。 图3-25系统闭环传递函数为 (3-24) 式中 (3－24a) 上两式表明，比例微分控制不改变系统的自然频率，但是增加了系统阻尼比(即 )；另外给二阶系统增添了闭环零点( )。因此，具有比例－微分控制的二阶系统常称为有零点的二阶系统，而原系统称为无零点的二阶系统。下面我们对这两种系统进行粗略的分析比较。 若两个二阶系统只是阻尼比不同，其阶跃响应如图3－26所示。可见，比例微分增加了系统阻尼比，可以改善系统动态性能。 若两个二阶系统只是有无零点的不同，它们的动态性能又是如何呢?设无零点的二阶系统其闭环传递函数为 比例－微分控制系统是有零点的二阶系统，其闭环传递函数为(3-24)式，即 为了估算比例－微分控制二阶系统的动态性能，应求其阶跃响应。系统输出拉氏变换式为 (3-25) 可见，上式第一项的拉氏反变换是无零点二阶系统的单位阶跃响应，以 表示；根据拉氏变换的微分性质，上式第二项表示了在零初始条件下 对时间的导数乘以 ，从而得 (3-26) (3-25) 式的单位阶跃响应曲线如图3-27所示。 显然有零点系统与无零点系统相比， 上升时间和峰值时间均减小，因而响应速度加快， 超调量会有所增加。 最后，简单归纳比例－微分控制对系统性能的影响。首先，它可以增大系统阻尼，使系统动态过程的超调量下降，调节时间缩短，但不影响常值稳态偏差及自然频率。其次，当系统具有良好的动态性能时，若采用微分控制，就允许选用较高的开环增益，从而可以提高稳态精度，并保持良好的动态性能。但应当指出，当系统输入端噪声较强时，则不宜采用比例－微分控制，因为微分器对于噪声，特别对于高频噪声的放大作用，远大于对缓慢变化输入信号的放大作用，情况严重时，甚至干扰噪声有可能淹没有用信号而起不到控制作用，此时，可考虑采用测速反馈控制为宜。 此外，有零点二阶系统的性能指标估算方法与无零点情况相类似，这里不作详细推导，只给出计算公式。设标准闭环传递函数 性能指标近似计算公式： (3-27) (3-28) 取 ，则 (3-29) 在实际系统中比例－微分控制可由图3-28所示的 网络近似实现。网络传递函数为 式中 选择 、 参数，使 <<1，所以 << ，因此 2．测速反馈控制 测速反馈控制的一般结构图，如图3-29所示。其中 为测速反馈系数，在位置随动系统中，其量纲通常为电压／转速。系统开环传递函数为 (3-30) 系统的开环增益 。显然，加入测速反馈降低了原系统的开环增益，因此，在设计测速反馈控制时，可以适当增大原系统的开环增益，以补偿测速反馈引起的增益下降。为了说明测速反馈对系统动态性能的影响，写出系统闭环传递函数为 (3-31) 式中 (3-32) 很明显，测速反馈与比例－微分控制一样，可增大阻尼比，但不影响系统的自然频率 。将式(3-24a)与(3-32)进行比较，如果 ，则 。另外，由式(3-31)可见，测速反馈控制并不增添闭环零点。因此，测速反馈同样可以改善系统的动态性能。 测速反馈控制可采用测速发电机、速度传感器等部件来实现。 【例3-3】设控制系统如图3-30所示，其中(a)为无测速反馈的原控制系统；(b)为加入测速反馈控制后的系统。试确定使系统阻尼比为 时的 值，并分析系统(a)和(b)的各项性能指标。 解 系统(a)的闭环传递函数为 因而 ， ， 根据式(3-15)、 (3-16)、 (3-17)和 (3-18) 计算出 系统(b)的闭环传递函数为 令 由题意要求及上述计算有 ， 此外，由式(3-30)计算出开环增益 于是根据公式(3-15)、(3-16)、(3-17)和(3-18)算得 根据以上计算结果，画出单位阶跃响应曲线如图3-31所示。 3．比例－微分控制和测速反馈控制的比较 (1) 从工程的实现角度来看，比例－微分装置可以用 网络或模拟运算线路来实现，结构简单，成本低，重量轻；而测速反馈装置通常要用测速发电机，成本高。 (2) 抗干扰能力方面：微分控制对噪声有明显放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜采用微分控制，同时微分器的输入信号是偏差信号，信号电平低，需要相当大的放大作用，为了使信噪比不明显恶化，要求采用高质量的放大器。而测速反馈对噪声有滤波作用，能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数变化等不利影响大大削弱。因此，测速反馈控制在系统中应用很广。 (3) 对动态性能影响： 两者均能改善系统性能，增加系统阻尼比，降低超调量。在相同的阻尼比 和自然频率 条件下，测速反馈控制因不增添闭环零点，所以超调量要低些，但反应速度却慢些。另外测速反馈控制会使系统在斜坡输入下的稳态偏差加大。