从欧几里得到罗巴切夫斯基_非欧几何诞生史的若干哲学问题

齐齐哈尔师范学院学报 一九八六年 第一期 从 欧 几 里 得 到 罗 巴 切 夫 斯 基 —非欧几何诞生史的若干哲学问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 董 驹 翔 罗巴 切夫斯基说 “无论哪一门科学做为起点的初始概念 , 都应该是明确的 , 并且为致 也应该是很少 均。 只有如比 , 这些初冶溉念 才能够成为学说的率固 为和充分的基础 ” 。 〔 , 公 幻 罗 三 刀尼 斯基公理主其 河笋中就 育这冲故为 “ 起点为初冶溉念 ” 约作用 。 罗巴 切夫斯 基公理兑 通过一已知直线外一点 , 在由此直线和比点决之为平 可上至少可以引出二直线与 已知直线不 旧交 。 罗巴切夫 听基就 是旧透个公理代替了欧几里得为第五公设 。 并由此建立超 整个罗己切夫祈基几何 , 这样 , 罗巴 切夫听基公理就成了一个新的几何体系的 “ 牢固的和充 分的基础 ,, 了。 但是 , 若不改变欢几里得几何为观念 , 不 发浑想象力和摆脱直观经验 , 罗巴切夫斯基的 公理是 很难理界的 , 因为它不是 由直浚圣应引出来为 , 因此必须靠油象思维和逻辑 推 理 才 行 。 为了说明这一点 , 我们设想一个圆 。 图一 在圆内有一条直线 弦 , 同时有不在 上的一点 , 显然过 点可 以做出无限多直线在圆内不与旦 相交 。 若 把圆的直径不断增大 圆的范围当然随之增大 , 过点 仍然有无限多直线与 不相交 。 并且可以准论出 , 不 论圆的直径怎样增大 , 只要是有限的 , 也就是说只要国 是一个有限的平面 , 那 么过点 就一直可 以做无限多的 直线与直线 不相交 。 但是 , 若设想平面 无 限 大 , 那 么过 点是否仍然可 以做无限多的直线与直线 不相交 呢 这个问题显然与我们上面在有限国 平面 内讨恋 点 与直线 的关系有原则的区别 上面的讨论是在有限范围内的讨论 , 因此可 以做 出 直 斑 上为回 咨 , 现 生是无限 节面上为可题 。 这扰 通月了直观 自范司 , 听 以过 氛 到 鼠有多少直线 会与直埃 相交 , 直观上无法判定 , 于是就变成了只能从逻辑上讨论的问题 , 这也就等于又 回 可了公里可否 七 , 正姐 生次几里 得儿 河 卜, 无需证 刃可 以采用第五公设一样 , 当然也可 以 不经证 月毛用罗巴 切夫 断基公理 , 欧几 里得几 何勺第五 公及决乏圣 盒七为不证自明 的 显 然 性 , 罗巴 盯戈 沂基 公里 也不脂火直 麦纽脸作出刘 之 , 二者 邵是逻揖几何孕为基础 , 只是分属 于两仲截然不同 为几 何沐系而 已 。 为了说明罗巴 叨夫 听基公理 , 我力作如下讨论。 首先假定已知直线 与点 。 在过点 的所有直线从 与 的关系来看可有两类 , 与人 湘交的 , 与 不相交的 。 直线 与 是不相交的 , 显然 与 因此而构成以上两类直线的边界 线。 这两条边界线叫做 的平行线 。 在图上 , 容易看出 , 在由直线 和 所形成的角 范医 一一誓一 。 圈 二 内 , 过 点可以 有无穷多直线与 平行 。 、 这也就是说从罗巴切 夫斯基公理出发 , 过平面上已知一点可 以有无穷多直线与另外一 已知直线不相交。 这是从罗巴切夫斯基公理直接推导出的第一个 重要的罗巴切夫斯基几何命题。 除了上述命题之外 , 罗巴切夫斯基几何还有一系列不同于欧 几里得几何的命题 。 例如 , 在锐角内 , 一个边的垂直线不与另一边相交 不与第三条直线相交的二条直线可 以彼此相交 , 二条不相交的直线被第三条直线所截 , 构成的内错角不相等 连接三角形两边中点的直线小于第三边 , 同一条直线上的垂线与斜线二者不一定相交 , 两条平行线之间不是处处等距的 , 在一直线同侧与此直线有一定距离的点的轨迹是一条曲线 称为等距曲线 , 并且此曲 线上的任何三个点都不在一直线上 , 垂直于同一条直线的两条直线 , 当它们的两端延长时 , 此两直线则呈无穷分散 , 毕达哥拉斯定理不再成立 , 三角形三个内角和小于 。 , 而且三角形的面积越大 , 则内角和越小 , 一个三介形的三个内角若对应地等于另一个三角形的三个内角 , 贝、此两个三角形全等 投有相似形 , 线段与角有杯依关系 匆个有不同边长的等边三角形 , 它们的角不相等 即每一个具体 的等边三角形 , 都各有共牡定的角 , 两个不全等的等边三角形 , 其角不等 , 等等 。 岁巴切大共基几柯是多么 奇特啊 , 然而这些许许多多不 同于欧儿里得几何的命题 , 在这 个几何逻辑体系 中 , 却没有任何矛盾 。 罗巴切夫势‘基本人也曾株刻地指出过这一点 , 他说 骤然看来 , 仿佛被我叫做脱想几何学 也可译为 “ 虚几何学 ” 一引者注 的许多 几 何 定 理 , 往社是有牙 尼的 。 然而 , 我发觉 , 它们纵然与我们的观念和习惯相背谬 , 可是在逻辑方 面 , 那是完全无可声难的 。 , 〔 , 〕当然同时也就与相应的欧几里得几何命题处处 相 矛 盾 。 这种几何是可能的吗 按照形式逻辑规则 , 两个相矛尼的命题或者都错 , 或者一个对一 个错 , 但不能两个都对 , 那么欧几里得几何与罗巴切夫斯基几何是否也必有一真一伪呢 形 式逻辑在此处无能为力 了 , 这已不是一个简单的形式逻辑的真伪问题 。 罗巴切夫斯基几何与 歇几里得几何有女此大的差别 , 归根到底是因大在罗巴切夫斯基几何中采取了完全不同于欧 几里得几何的平行公设 , 形成了两个不同的公理系统 。 也正因为两种几何的差别由平行公设 的不同引起来的 , 所 以在两种几何中 , 凡是不与平行公议有关的命题 , 就又投有了差别 , 在 歇几里得几何中成立 , 在罗巴切大斯基几何中也成立 。 这些在两种几何中都成立的命题叫作 绝对命题 相应的 , 作图则叫作绝对作图 , 概念则叫作绝对概念 。 根据这一点就可 以判断 任何一个命题 或作图 , 或概念 是不是绝对命题 或作图 , 或概念 , 凡是关涉到平行公 设的 , 即不能与平行公设无关的 , 就不是绝对命题 , 或说这样的命题 或作图 , 或概念 在 罗巴切夫斯基几何中不能成立或不存在。 例如 , ‘ 我们 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 一下为什么在罗巴切夫斯基几何中 不能有相似形 。 这首先要分析什么是相似形 , 在欧几里得几何中 , 所谓相似形就是指两个各 对应兔用等 , 各对应边成比例的多边形 。 所以证明有相似形 , 就先要来证明边数相等的多边 形其内角和相等。 怎样来证 妇内角 用相等呢 由于在欧几里 得几何巾已知三角形内角和是常 数 , 故待证均多边形内角 和间题扰改换为三角形的内角租司题 。 而三角形内角扣是常数 , 或者不是常数 , 这又回到了是以欧几里得的平行公设 , 还是以罗巴切夫斯基为平行公理为墓 础了。 显然 , 若以欧几里得平行公设为基础 , 那么三角形内角和为常数 , 由此得出有相 慨形 结沦 , 若以罗巴 切夫斯基平行公理为基础 , 那么三角形内角和不是常数 , 由此得出不存在相 似形结沦 。 可见存在相以形的命题就不是绝对命题 。 由这样的几何命题列证中 , 我们可体会到 , 罗巴切夫斯墓几何与欧几里得儿何二者的关 系 , 绝不是一个简单机械 为谁真谁伪的问题 。 我们已知在罗巴 切夫听堪几何 朴, 三角形内角 和小 于 ” 。 而且这个和 在 “ 一 “ 之间 为减小 髦与三角形 为雨积 是正 叱 , 那 么由此可 以 容易也准沦出 , 三角形越 卜, 则其内角和越 妾近 于 。 , 即越 妾近 于欢几里得几何 为结果 。 由这个例子 可看出罗巴 切夫斯基几何与欧几里 得有一种特别 均联系 , 说明欧几 甩得几何是罗 巴切夫斯基几何 为一个特例 。 这种关系当然也就不是真伪的关系。 若是一定要回答两种几何 的真 为问题 沟话 , 那 么只能说 , 两 仲几何都真 、 这归很列嗓是因 为两 冲几何都有各自无矛盾 的公 吧逻揖 系究 , 它们各自在自己 也公理 系先婆础 上 , 遵循着逻揖上 龙密为相关性原理 , 推 演出完整的几何命题 , 每一个命题 主逻辑 上都 也格地建立在其他 箱应 为命题 墓础之上 , 这些 命题 之间 是绝无矛盾的 。 可见 , 罗 巴切尺斯基儿 何 , 更不月浇整个非欢几何 , 使数学真理间 题变得十分突出了 , 引起了数学家们 为执大关注和激烈讨论 。 罗巴 切夫斯基逮立了他沟非 次几何冰系 以后 , 在 全不多三十年长为才胡中不被理娜 , 遭 到冷落 祖攻击 , 人们一时还认识 不到它更深刻也揭示了真理 , 是 几何 孕约新绝完 。 罗巴切夫 斯基几何延主以后 , 数学思想史 七出现了极为复杂为局面 。 在历史上人们曾经认为 非 欧 何“似乎决乏与物质世界的关系” , 非欢几何钩首创者们高斯 、 罗巴 叨夫斯基 、 鲍耶 “ 确曾想 到在天 文学中随着研究工作的深入 , 可能证崛非欢几里得几何是可 以应用灼 ” , “但是在后一时 期工作为数学家们无人相信这些 墓本约非欢几里得几何必然有物理意 义。 凯利 了 、 和澎加勒 , 虽然他们考虑过这事 , 但他们确信戎们从不需要改进或放弃欧几里克莱 因 得 几 何。 ” 意大利数学家贝特拉米 · , 的伪球面模型吏得非欧几里得 几何 生数学 虽 银不是物理 意义下是真实的 , 因为它给罗巴切夫听基几何立即可以从数学 上看出灼一个解释 。 “ 沮是在直线的通常解释下或者甚至在其池某种解释下 , 物质空间能够 是非欧几里得的思想是无人间津的 。 事实上 , 大多数的数学家把非欧几里得几何当作逻辑上 的珍奇玩艺 。 ” 上面提列的凯利是欧几里 得空间 为坚定支持者 , 在 年对池还说 “ 非欧几 里得空间是一个光验性的错误思患” , 不承 汰非欧几何浊立存台注 〔 , 一 〕。 但是 , 非欧几里得儿何书竟是春天到 了就要开放 为紫罗兰 。 一些 人不能凄受非欧几何 , 往往和 一种不够全 面的认识 沦有关 , 这种 认识 沦简唯的认为科学只是积 累。 其实科学总是以 两种方式 发展的 , 既有量变也有质变 , 既有平稳的新知识的积累 , 也有飞跃式的科学革命。 哥 白尼建立的太阳中心说是科学革命 , 爱因斯坦建立的相对论物理学也是科学革命 。 当然理 解罗巴 切夫斯基几何也是革命不能离开数学的特点。 由于数学完全舍弃掉具体性 , 使得在数 学中研寒的不只是直接从现实界抽象出来的量的关系和空间形式 , 而且还研究那些在数学内 部用已经形成的数学概念或理论为基础定义出来的关系和形式‘ 虚数、 非欧几何就正是如 此 , 这样一来 , 也就使虚数 、 非欧几何等这些数学形式成了人类创造性思维的积极预见性的 表现 。 虽然当初罗巴切夫斯基自己也把他的革命性的新几何叫做 “ 虚几何学” , 但后来其他 人的一些工作使得它越来越不虚了 , 正如爱因斯坦所说 “人的形象思维对于非欧几里得几 何沙不注定是无能为力的 。 ” 〔 , 〕贝特拉米关于非欧几何的伪球面模型 , 就是一次成 功的罗巴切夫斯基几何的数学直观化尝试 。 它给罗巴切夫斯基几何立 即可 以从数学上看出的 一个解释 , 从而使人们理解到非欧几何在数学意义下的真实性 。 年贝特拉米指出 , 在称 作伪球面的这种曲面上 , 罗巴切夫斯基几何成立 。 什么是伪球面呢 在图三 , 左边的曲线川 曳物线 , 其注质是在它的 切线上从切点到与 。 轴交点的线段对 于所有的点均为常数 , 轴为其渐近线 , 曳物线环绕 。 轴旋转 , 听形成的曲面即为伪球面如图四 。 伪球面也就是曳物线的回转曲 图三 面 。 贝特拉米说明在罗巴切夫斯基局 部平面上 , 所有的罗巴切夫斯基尸何 中的几何性质关系与局部伪球面上的 几何性质 、 关系一致 。 用一个例子来 说明这种情况 。 我们已知在罗巴切夫 斯基几何中 “ 两平行线之间不是处处 等距的 , , 这种情况在伪球面上极容易理解到 。 在图 上 , 通过 线段 两端点垂直于 卫的两直线 与 显然不等距 。 并且二直线离开直 图四 线 , 越近 , 它们之间的距离也越大 。 可见 , 在伪球面上存在的 正是罗巴切夫斯基几何 。 当然 , 在伪球面上实现的是罗巴切夫斯 基片断平面上的几何 , 因此也只是罗巴切夫斯基几何的局部数学 模型 , 并没有把这种几何全面直观化 , 这无疑是贝特拉米伪面球 模型的局限性。 这个问题后来被德国著名数学家 克 莱 因 · 过 一 所解决 , 其具体内容这里就不进一步涉及了 。 匀、一一五‘,才叭一︸图 我们已经知道 , 欧几里得几何是最早发展起来的公理方法体系 , 但有一些缺点而不完全 成熟 。 随着罗巴切夫斯基非欧几何的诞生 , 扩大了几何学的意义 , 从而也进一步促进了公理 方法的完善和发展 。 由于罗巴切夫斯基儿何是 以基本的平行公理为基础发展起来的 , 所 以它 的诞生同时也又是一个密切关系到凡何基础的问题 。 在这方面做出突出贡献的是希尔伯待 , 他在 年的《几何基础 》一书中系统的阐述了几何基础问题 。 希尔伯特克服了欧几里得几 何中所运旧的公 里方法的缺点 , 使之更加科学化 、 系统化和完善化 , 分析了公理系统的无矛 盾性 从公理出发的推论不会导致矛盾命题司时成立 , 独立性 在公理系统中 , 每个公理 都独立存在 , 而不是从其他公理用逻辑方法推论出 , 完备性 这个公理系统已有的公理已 使这个系统不能再增加其他公理 。 希尔伯冷的公理化思想 , 对几何基础问题研究作出了重 要贡献 , 特别是对说明罗巴切夫斯基几何灼无矛盾性起了重要作用 , 因此希尔伯待在 年 成为罗巴切夫斯基国际数学奖的首次荣获者是当之无愧的 。 希尔伯特在《几何基础 》中所建立的公理系统主要内容为五类公理 , 联系公理 或称 “结合公理 ” 例如 通过每个点有一条直线 , 等。 、 顺序公理 或称 “位于 ⋯ ⋯之间的公理 ” 例如 在直线上的任意三个点中 , 只有一个点在另外两个点之间 , 等 。 、 迭合公理 或称 “移动公理 ” 、 “ 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 公理 ” 例如 如果两线段与第三线段迭合 , 那么这两线段全等 , 等 。 、 连续公理 例如 如果有 和 任意两直线 , 那么在直线 上存在若干有限点 , , , , 一 , 各点使线段 , , , , , , 。 ‘ ·一 。 一 都与 迭合 , 并使 位于 和 之间 , 等 。 、 平行公理 也就是欧几里得平行公理与罗巴切夫斯基平行公理 , 有这样两个矛盾的平行公理 。 有了希尔伯特公理体系 , 几何学就可 以从这些公理作为重要依据进行严谨的逻辑推理 , 由此推导出前后一贯的几何学来 。 前四个公理既适用于欧几里得几何也适用于罗巴切夫斯基 几何 , 因此这四个公理与欧几里得平行公理结合起来 , 推导出来的是欧几里得几何 若与罗 巴切夫斯基平行公理结合起来 , 推导出来的则是罗巴 切夫斯基几何 。 若把平行公设改为既不 同于欧几里得的 , 也不同于罗巴切夫斯基的 , 代之 以下两条 第一 , 在同一平面的任何两条 直线必有公共点 第二 , 一条直线可 以无限延长 , 但是定长 , 那么再结合前四个公理 , 就又 构成一个各 白独立 、 不相矛盾的公理集合 , 由此所推导出来的几何便是另一类非欧几何一黎 曼儿何 。这样 , 希尔伯特在《儿何基本 》一书中说儿何学所说的东西 , 其性质是由公理规定的 〔 , 〕就是有道理的 。 这种看法决不会导致否认 由公理所反映的对象的客观性 , 但是毕 竟数学客体一般都是理想化的客体 , 它们既是反映现实世界的结果 , 又是逻辑构造的结果 。 因此非欧几何学的诞生也就说明 , 数学的发展不仅仅是 由于研究白然现象乃至 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 技术方面 的要求 , 而是数学中新理论的产生有时只是由于数学内在的需要 , 由于对某个数学系统的逻 辑结构的研究 。 我 们在公理法中正是看到了这种情形 , 在公理方法中 , 正是把一些概念作为 原始概念 , 把一些命题 作为公理 , 对它们不作形式逻辑定义和证明 , 而宜接用来作为数学的 逻辑演绎的基础 。 可见 , 恩洛斯说 “ 数学上的所设公理 , 是数学需要用作自己出 发 点 的 少数思想上的规定” 〔 , 〕, 这话极恰当地揭示了公理的实质 。 希尔伯特的如 下 说 法 , 也是有根据的 “ 不管在哪个领域里 , 对于任何产正灼研究精神来说 , 公理化方法都是并且 始终是一个合适 的不 可缺少的助手 , 它在逻辑上是无懈可击的 , 同时也是富有成果的 ⋯ ⋯用 公理化方法进行研究就等于用已掌握了的东西进行思考 。 ” 〔 , 〕希尔伯特非常看重公 理方法的作用 , 他认为 “ 能够成为数学的思名对象的任何事物 , 在一个理论的建立一旦成 熟时 , 就开始服从于公理化方法 , 从而进入了数学。 通过突进到公理的更深层次 ⋯ ⋯我们能 够获得科学思维的更深入的洞察力 , 并弄清楚我们的知识的统一性 。 特别是 , 得力于公理化 方法 , 数学似乎就被请来在一切学间中起领导的作用 。 ” 〔 , 。〕可见公理化方法作为一 个成熟发达的数学理论不仅仅反映客观对象的外在的量的方面 , 也在极大的程度上反映现实 对象的内在的 、 质的方面 。 当然在公理方法中 , 现实对象这种内在的、 质的方面 以一种极为 抽象的、 一般化的形式表达出来 。 有了发达的几何公理化方法 , 不仅改进了古老的欧几里得 几何 , 而且也为几何的未来开拓了新的广阔前景 , 这使我们深信 “几何学是一门源远流长的 学科 , 它是人类文明中最古老的学科之一 。 但是它依然是一门方兴未艾 、 蓬 勃 发 展 的 学 科 。 ” 〔 , 〕 几何学经过两千年 的持续发展 , 到十九世纪产生出非欧几何 , 就数学范围来说 , 它是 自 古希腊 以来最重大的划时代的发展 。 非欧几何诞生的这段历史 , 也是数学发展史上的又一次 黎明。 数学家们似乎一下子明白了在几何 学中毫不怀疑而深信欧几里得几何对 , 不知不觉地 以直观 、 经验和实用作为数学基础了 , 数学二千多年以来的发展并不总是一贯建立在严密的 论证上的 。 就这个意义说 , 非欧几何的诞生也就是人类理性认识上的一次大飞跃 , 进一步显 示了理性的认识价值 、 作用和力量 。 非欧几何的诞生 , 使人类再一次发展了空间观念 , 认识 到欧几里得几何所反映的空间并不是唯一的空间 , 认识到空间是有结构的 , 它是依赖于具体 物质存在的 , 因此非欧几何也是人类认识空间历程中的一个飞跃 。 非欧几何为意义远远不限于数学 。 空间观念的变化 , 实际上也是辩证法思想的一个新胜 利 , 它有力地冲击了牛顿的绝对空间观点 , 它有利 于克服形而上学 , 而激发人类的 辩 证 思 维 。 非欧几何为涎生不只是使人类在油象数学形式上改变和发展了空间观念 , 也在空间的物 质结构、 物理意义上丰富了人类的认识 , 黎曼儿何成为爱因斯坦广义相对论 引力理论 的 工具正是如此 。 同时 , 现代科学也认识到 “ 黎曼几何在我们的鼻子一一或脚底下是千真万确 的 。 这些看上去奇怪的结论却适用于地球表面上所画的三角形 。 ” 〔 , 〕所 以 , “数 学 从欧几里得几何发展到黎曼几何或罗巴切夫斯基几何 , 正是由于后二者具有丰富的物理表现 力 , 并 一 且实验和观测解决了就宇宙而言数学所描述的一切是 否 真 实 。 ” 〔 , 〕事实证 明 , 十九世纪初期一些人对数学所持的怀疑看法没有根据 , 数学这口井完全可 以继续深挖下 去 , 数学的矿脉仍然很丰富 至于数学家 、 唯心主义哲学家罗素认为数学是一 门既不知道说 些什么 、 也不知道说的是否真实的学科 , 就被证明更是站不住脚的了 。 非欧几何的意义还有一点不容忽视 。 我们知道 , 数学渗透在一切科学 中 , 成为科学研究 的工具 , 但它 自己又有极为抽象的形式与内容 , 形成一套独特的方法 与语言 , 并有 自己在抽 象形式中发展的内在逻辑动力 , 考虑到这些因素 , 数学在人类知识总体中的位置已经不甚清 楚了 , 而非欧几何的诞生 , 使这个问题更加复杂和尖锐了 。 数学是一门自然科学呢 , 还是一 种思维方法论 , 或者是一般方法论 这个问题不仅复杂 , 而且困难 , 特别若是企图用一种界 限分明的确定回答约话 , 就更不易经得住推敲 。 但是 , 这个问题的存在对数学 以及整个科学 的存在与发展也绝不会是件坏事 , 它很可能成为数学 以及整个科学进步的有利因素 。 非欧几何的诞生史 , 使我们深深地认识列 非欧几何的根 , 的确深扎布过去 。 我们若是 以站在非欧几何约高峰来看数学世 界的话 , 那么 “ 找们可 以说建立一种新理论不是象毁 淖一 个旧仓库 , 在那里建起一个摩天大楼 。 它倒是象在爬 山一样 , 愈是往上爬愈能得到新的更宽 广的视野 , 并且愈能显示出我们的出发点与其周围广大地域之间的出乎意外的联系 。 但是我 们出发的地点还是在那里 , 还是可 以看得见 , 不过显现得更小了 , 只成为我们克服种种阻碍 后爬上山巅所得到灼广大视野中的一个极小的部分而已 。 ” 爱因斯坦的这些话 , 似乎正是给 我们从欧几里得几何到罗巴切夫斯基非欧几何的数学史作了一个宫于哲理的恰当总结 。 续完 参 考 〔 〕 发爱 因斯坦 文集 、 第一 卷 , 商务印 书 书‘ , , 年 班 · 克莱因 屯古今数学思想 》 第一 册 海科技出版社 , ‘ 年 《数学 史译 文集 》, 卜海 科技 出版衬 , 一 ‘ 年 《自然科学哲学问题 达刊 》, 年第 期 中国社会科学 出版社 〔 〕《科学 与哲学 》, 一。 年第 辑 中国 科 学 院 《自然辩证 法通 讯 》杂志社 项 武义 《几何学 的源起与演 化 》, 科 学 出 饭书二, 年 斯科牡 数学史 》, 商 务印书馆 , 协 年 〔 康德 《纯 粹理 性批判 》, 商 务印书 馆 〕黑 格‘ 《哲学史讲演录 第一卷 商务 印书馆 〔盆。〕 · · 库 恩 《科 学革 命的结构 》, 上海 科 技 出 饭社 , ‘ 年 , 〕梁 宗 巨 脸界数学史简编 》 辽宁 人 民出版社 , 年 · 中 · 卡冈等 《罗 巴切夫斯基传 》, 《数 学 通 报 》, , 年 , 第 期 文 献 〔 〕亚历 山大罗 夫 数学一一它的内容 方 法 和意 飞 》 第二 卷 科 普 出版社 年 爱 因斯坦 、 英费尔德 《物理学 的进化 》, 卜海科 枝 出版社 , 年 、幻 库图佐夫 《罗 巴切夫斯基几何基础概 要 》 科普 七版社 , 年 厄 〕恩格斯 《自然辩证法 》, 人民 出版社 亡, 幻 班 · 克莱因 《古今数学思想 , 第三册 上海 科 枝 出版社 , 年 班 · 克莱因 《古今数学思想 》 ’ 第四册 , 上协 科技出版社 , 均 ‘年 二幻 · · 柯斯金 《几何基础 》, 俄文版 , 年 , 〔 。 · 巾 卡冈 《罗 巴切夫斯基及其几何 努 俄文版 〔 《罗 巴切夫斯基全集 》, 第二卷 , 俄文版 , 年 , 〔 〕《罗 巴切会斯基全集 》, 第一卷 , 俄文 版 , 勺 年 。 幻 · · 包 尔加尔斯基 嗯叛 学简史 》 俄文 版 , 年 ‘ 〕 · 库 兹涅佐失 《现代 科学均哲学 、 俄文版 , 年 责任编辑 李耕夫