１２０ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§１４．３ 抛物线及其性质对应学生用书起始页码Ｐ２０４考点一抛物线定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（１）在平面内；（２）动点到定点Ｆ的距离与到定直线ｌ的距离相等；（３）定点不在定直线上．考点二抛物线的方程与几何性质标准方程ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）ｙ２＝－２ｐｘ（ｐ＞０）ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）ｘ２＝－２ｐｙ（ｐ＞０）图形范围ｘ≥０，ｙ∈Ｒｘ≤０，ｙ∈Ｒｘ∈Ｒ，ｙ≥０ｘ∈Ｒ，ｙ≤０准线ｘ＝－ｐ２ｘ＝ｐ２ｙ＝－ｐ２ｙ＝ｐ２续
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焦点ｐ２，０()－ｐ２，０()０，ｐ２()０，－ｐ２()对称性关于ｘ轴对称关于ｙ轴对称顶点（０，０）离心率ｅ＝１焦半径长ｘ０＋ｐ２－ｘ０＋ｐ２ｙ０＋ｐ２－ｙ０＋ｐ２焦点弦长ｘ０＋ｘ１＋ｐ－（ｘ０＋ｘ１）＋ｐｙ０＋ｙ１＋ｐ－（ｙ０＋ｙ１）＋ｐ 其中Ｐ（ｘ０，ｙ０），Ｑ（ｘ１，ｙ１）是抛物线上两动点，且ＰＱ过焦点Ｆ，线段ＰＦ称为抛物线的焦半径，线段ＰＱ称为抛物线的焦点弦．对应学生用书起始页码Ｐ２０５一、应用抛物线定义解题的策略 抛物线是到定点和到定直线（定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹，利用抛物线的定义解决问题时，应灵活进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线焦点弦的有关问题的有效途径．（１）（２０１７课标全国Ⅱ理，１６，５分）已知Ｆ是抛物线Ｃ：ｙ２＝８ｘ的焦点，Ｍ是Ｃ上一点，ＦＭ的延长线交ｙ轴于点Ｎ．若Ｍ为ＦＮ的中点，则｜ＦＮ｜＝ ．（２）（２０１７江苏六市联考，６）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知抛物线ｙ２＝４ｘ上一点Ｐ到焦点的距离为３，则点Ｐ的横坐标是 ．解析 （１）如图，过Ｍ、Ｎ分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为Ｍ１、Ｎ１，设抛物线的准线与ｘ轴的交点为Ｆ１，则｜ＮＮ１｜＝｜ＯＦ１｜＝２，｜ＦＦ１｜＝４．因为Ｍ为ＦＮ的中点，所以｜ＭＭ１｜＝３，由抛物线的定义知｜ＦＭ｜＝｜ＭＭ１｜＝３，从而｜ＦＮ｜＝２｜ＦＭ｜＝６．（２）设Ｐ（ｍ，ｎ），ｍ＞０，由ｙ２＝４ｘ得准线方程为ｘ＝－１，由抛物线的定义得１＋ｍ＝３，所以ｍ＝２．答案 （１）６ （２）２ １－１ 如果Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｎ是抛物线Ｃ：ｙ２＝４ｘ上的点，它们的横坐标依次为ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，Ｆ是抛物线Ｃ的焦点，若ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ＝１０，则｜Ｐ１Ｆ｜＋｜Ｐ２Ｆ｜＋…＋｜ＰｎＦ｜＝ ．１－１答案 ｎ＋１０解析 由抛物线的方程ｙ２＝４ｘ可知焦点为Ｆ（１，０），准线为ｘ＝－１，由抛物线的定义可知｜Ｐ１Ｆ｜＝ｘ１＋１，｜Ｐ２Ｆ｜＝ｘ２＋１，……，｜ＰｎＦ｜＝ｘｎ＋１，所以｜Ｐ１Ｆ｜＋｜Ｐ２Ｆ｜＋…＋｜ＰｎＦ｜＝ｘ１＋１＋ｘ２＋１＋…＋ｘｎ＋１＝（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）＋ｎ＝ｎ＋１０． １－２ 已知抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，准线为ｌ，且ｌ过点（－２，３），Ｍ在抛物线Ｃ上，若点Ｎ（１，２），则｜ＭＮ｜＋｜ＭＦ｜的最小值为 ．１－２答案 ３解析 依题意，ｌ：ｘ＝－２，则抛物线Ｃ：ｙ２＝８ｘ，过点Ｍ作ＭＭ′⊥ｌ，垂足为Ｍ′，过点Ｎ作ＮＮ′⊥ｌ，垂足为Ｎ′，则｜ＭＮ｜＋｜ＭＦ｜＝｜ＭＮ｜＋｜ＭＭ′｜≥｜ＮＮ′｜＝３．第十四章 圆锥曲线与方程１２１ 二、抛物线焦点弦问题的求解
方法
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（１）求抛物线的焦点弦长时，可应用公式求解，解题时，需要依据抛物线的标准方程确定弦长是由ｐ与交点横坐标确定，还是由ｐ与交点纵坐标确定，进一步还要确定是ｐ与交点横（纵）坐标的和还是差，这是正确解题的关键．（２）熟练掌握与焦点弦有关的结论是快速解决与焦点弦有关的填空题的关键．（１）（２０１８课标全国Ⅲ理，１６，５分）已知点Ｍ（－１，１）和抛物线Ｃ：ｙ２＝４ｘ，过Ｃ的焦点且斜率为ｋ的直线与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点．若∠ＡＭＢ＝９０°，则ｋ＝ ．（２）过抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点Ｆ且倾斜角为６０°的直线ｌ与抛物线在第一、四象限分别交于Ａ、Ｂ两点，则｜ＡＦ｜｜ＢＦ｜等于 ．解析 （１）由题意可知Ｃ的焦点坐标为（１，０），所以过焦点（１，０），斜率为ｋ的直线方程为ｘ＝ｙｋ＋１（ｋ≠０），设Ａｙ１ｋ＋１，ｙ１æèçöø÷，Ｂｙ２ｋ＋１，ｙ２æèçöø÷，将直线方程与抛物线方程联立得ｘ＝ｙｋ＋１，ｙ２＝４ｘ，{整理得ｙ２－４ｋｙ－４＝０，从而得ｙ１＋ｙ２＝４ｋ，ｙ１·ｙ２＝－４．∵Ｍ（－１，１），∠ＡＭＢ＝９０°，∴ＭＡ→·ＭＢ→＝０，即ｙ１ｋ＋２æèçöø÷·ｙ２ｋ＋２æèçöø÷＋（ｙ１－１）（ｙ２－１）＝０，即ｋ２－４ｋ＋４＝０，解得ｋ＝２．（２）如图，过Ａ、Ｂ作准线的垂线，垂足分别为Ａ１、Ｂ１，过Ｂ作ＢＣ⊥ＡＡ１于点Ｃ，由直线ｌ的倾斜角为６０°可知∠ＣＡＢ＝６０°，所以｜ＡＢ｜＝２｜ＡＣ｜，所以｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝２（｜Ａ１Ａ｜－｜Ａ１Ｃ｜）＝２（｜ＡＦ｜－｜ＢＦ｜），所以｜ＡＦ｜｜ＢＦ｜＝３．答案 （１）２ （２）３ ２－１ 已知过抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点，｜ＡＦ｜＝２，则｜ＢＦ｜＝ ．２－１答案 ２解析 由抛物线方程可知焦点Ｆ为（１，０），ｐ＝２，设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）．则｜ＡＦ｜＝ｘ１＋ｐ２＝２，∴ｘ１＝１．故直线ＡＢ的方程为ｘ＝１．则｜ＢＦ｜＝ｘ２＋１＝２． ２－２ 如图，已知：圆Ｆ：（ｘ－１）２＋ｙ２＝１和抛物线ｘ＝ｙ２４，过Ｆ的直线与抛物线和圆依次交于Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点，则｜ＡＢ｜·｜ＣＤ｜的值是 ．２－２答案 １解析 易得Ｆ（１，０）．若直线的斜率不存在，则直线方程为ｘ＝１，分别代入抛物线方程和圆的方程，可得Ａ（１，２），Ｂ（１，１），Ｃ（１，－１），Ｄ（１，－２），所以｜ＡＢ｜＝１，｜ＣＤ｜＝１，从而｜ＡＢ｜｜ＣＤ｜＝１．若直线的斜率存在，设为ｋ，则直线方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），不妨设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２），过Ａ、Ｄ分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得｜ＡＦ｜＝ｘ１＋１，｜ＤＦ｜＝ｘ２＋１，把直线方程与抛物线方程联立，消去ｙ可得ｋ２ｘ２－（２ｋ２＋４）ｘ＋ｋ２＝０，则ｘ１ｘ２＝１，又抛物线的焦点Ｆ是已知圆的圆心，所以｜ＢＦ｜＝｜ＣＦ｜＝Ｒ＝１．从而有｜ＡＢ｜＝｜ＡＦ｜－｜ＢＦ｜＝ｘ１，｜ＣＤ｜＝｜ＤＦ｜－｜ＣＦ｜＝ｘ２．所以｜ＡＢ｜·｜ＣＤ｜＝ｘ１ｘ２＝１．综上，｜ＡＢ｜·｜ＣＤ｜的值为１．
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