初中数学几何模型

经典模型系列手册温故而知新~1~熟能生巧模型一：手拉手模型—全等等边三角形条件：OAB,OCD均为等边三角形结论：①OACOBD≌;②60AEB③OE平分AED（易忘）EODCBAABCDOEOABEABCDOE滴水穿石~2~锲而不舍等腰RT条件：OAB,OCD均为等腰直角三角形结论：①OACOBD≌;②90AEB③OE平分AED（易忘）OABECDDCEBAOABEO导角核心图形经典模型系列手册温故而知新~3~熟能生巧任意等腰三角形条件：OAB,OCD均为等腰三角形且AOBCOD结论：①OACOBD≌;②AEBAOB③OE平分AED（易忘）模型 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：核心图形如右图，核心条件如下：①OAOB，OCOD②AOBCODOABCDEOABCD滴水穿石~4~锲而不舍模型二：手拉手模型—相似条件：CDAB∥，将OCD旋转至右图位置结论：右图OCDOABOACOBD∽∽且延长AC交BD与点E必有BECBOA非常重要的结论，必须会熟练 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 OABCDOABCD经典模型系列手册温故而知新~5~熟能生巧手拉手相似（特殊情况）当90AOB时，除OCDOABOACOBD∽∽之外还会隐藏tanBDODOBOCDACOCOA满足BDAC,若连结AD、BC,则必有2222ADBCABCD12ABCDSACBD（对角线互相垂直四边形）EOCABDOCABD滴水穿石~6~锲而不舍模型三：对角互补模型（全等型—90°）条件：①90AOBDCE②OC平分AOB结论：①CDCE；②2ODOEOC③212ODCEOCDOCESSSOC辅助线之一：作垂直，证明CDMCEN≌EDCBOANMAOBCDE经典模型系列手册温故而知新~7~熟能生巧条件：①90AOBDCE②OC平分AOB结论：①CDCE；②2ODOEOC③212ODCEOCDOCESSSOC辅助线之二：过点C作CFOC证明ODCFEC≌FAOBCDE滴水穿石~8~锲而不舍当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之一）①CDCE不变②2OEODOC（重点）③212OCEOCDSSOC（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握MNEDCBOA经典模型系列手册温故而知新~9~熟能生巧当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二）①CDCE不变②2OEODOC（重点）③212OCEOCDSSOC（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握FAOBCDE滴水穿石~10~锲而不舍细节变化：若将条件“OC平分AOB”与结论“CDCE”互换条件：①90AOBDCE②CDCE结论：①OC平分AOB；②2ODOEOC③212ODCEOCDOCESSSOCEDCBOA经典模型系列手册温故而知新~11~熟能生巧（全等型—120°）条件：①2120AOBDCE②OC平分AOB结论：①CDCE；②ODOEOC③234ODCEOCDOCESSSOC请模仿（全等形—90°）辅助线之一完成证明ODACEB滴水穿石~12~锲而不舍辅助线之二：在OB上取一点F，使OFOC证明OCF为等边三角形（重要）结论：①CDCE；②ODOEOC③234ODCEOCDOCESSSOC必须熟练，自己独立完成证明FBECADO经典模型系列手册温故而知新~13~熟能生巧当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二）①____________________②_______________________（重点）③________________________（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握ODACEBF滴水穿石~14~锲而不舍（全等型—任意角）条件：①2AOB,1802DCE②CDCE结论：①OC平分AOB；②2cosODOEOC③2sincosODCEOCDOCESSSOC难度较大，记得经常复习OBECDA经典模型系列手册温故而知新~15~熟能生巧当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二）①____________________②_______________________（重点）③________________________（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握请思考初始条件的变化，对模型的影响OBECDA滴水穿石~16~锲而不舍（对角互补模型--相似型）如图，若将条件“OC平分AOB”去掉条件：①90AOBDCE不变，COE，结论中三个条件又该如何变化？结论：①tanCECD；②(tan)cosODOEOC③221tantan2OCDOCESSOCOADCEBMNBECDAO经典模型系列手册温故而知新~17~熟能生巧证明：过点C作CFOC，交OB于点F∵90DCEOCF∴DCOECF∵180AOBDCE∴180CDOCEO∴CDOCEF∴CDOCEF∽∴tanEFCECFDOCDCO（关键步）FOADCEB滴水穿石~18~锲而不舍∴结论①得证∴tanEFOD∵()cosOEEFOC∴结论②得证∴22()tanCEFCDOSCFSCO∴2tanCEFCDOSS∵OCECEFOCFSSS且21tan2OCFSOC∴结论③得证难度非常大，请仔细认真复习经典模型系列手册温故而知新~19~熟能生巧对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线②初始条件：角平分线与两边相等的区别③常见两种辅助线的作法④注意下图中“OC平分AOB”CDECEDCOACOB相等是如何推导EDCBOA滴水穿石~20~锲而不舍角含半角模型(90°)条件：①正方形ABCD；②45EAF结论：①EFDFBE②CEF周长为正方形ABCD周长一半也可以这样：条件：①正方形ABCD；②EFDFBE结论：①45EAF口诀：角含半角要旋转FEDCBAGABCDEF经典模型系列手册温故而知新~21~熟能生巧角含半角模型(90°)条件：①正方形ABCD；②45EAF结论：①EFDFBE辅助线：ABCDEFABCDEFFEDCBA滴水穿石~22~锲而不舍角含半角模型(90°)条件：①等腰直角ABC；②45DAE结论：222BDCEDE若DAE旋转到ABC外部时结论：222BDCEDE仍然成立EDCBAFABCDEFEDCBAABCDE经典模型系列手册温故而知新~23~熟能生巧角含半角模型(90°)变形条件：①45EAF;结论：AHE为等腰直角三角形（重点/难点）证明：连接AC（方法不唯一）∵45DACEAF,∴DAHCAE∵45ADHACE,∴ADHACE∽∴DAACAHAE∴AHEADC∽HGABCDEFHGABCDEF滴水穿石~24~锲而不舍倍长中线类模型条件：①矩形ABCD；②BDBE③DFEF结论：AFCF模型提取：①有平行线ADBE∥②平行线间线段有中点DFEF可以构造8字全等ADFHEF≌HHBEFDAFEDCBA经典模型系列手册温故而知新~25~熟能生巧倍长中线类模型条件：①平行四边形；ABCD②2BCAB；③AMDM；④CEAD结论：3EMDMEA辅助线:有平行ABCD∥，有中点AMDM延长EM，构造AMEDMF≌，连接CM构造等腰EMC,MCF通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化FABCDEMMEDCBA滴水穿石~26~锲而不舍相似三角形360度旋转模型（倍长中线法）条件：①ADE、ABC均为等腰直角②EFCF结论：①DFBF；②DFBF辅助线：延长DF到点G，使FGDF，连接CG、BG、BD证明BDG为等腰直角突破点：ABDCBG≌难点：证明BADBCGGABCDEFFEDCBA经典模型系列手册温故而知新~27~熟能生巧相似三角形360度旋转模型（补全法）条件：①ADE、ABC均为等腰直角②EFCF结论：①DFBF；②DFBF辅助线：构造等腰直角AEG、AHC辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EHHGFEDCBAABCDEF滴水穿石~28~锲而不舍任意相似直角三角形360度旋转模型（补全法）条件：①OABODC∽②90OABODC；③BECE结论：①AEDE；②2AEDABO辅助线：延长BA到点G，使AGAB，延长CD到点H使DHCD，补全OGB、OCH构造旋转模型，转化AE与DE到CG与BH，难点在转化AEDOHGABECDEDCBAO经典模型系列手册温故而知新~29~熟能生巧任意相似直角三角形360度旋转模型（倍长法）条件：①OABODC∽②90OABODC；③BECE结论：①AEDE；②2AEDABO辅助线：延长DE至M，使MEDE，将结论的两个条件转化为证明AMDABO∽，此为难点，将AMDABO∽继续转化为证明ABMAOD∽,使用两边成比且夹角等此处难点在证明ABMAODMABECDOABECDO滴水穿石~30~锲而不舍最短路程模型之一（将军饮马类）\总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决特点：①动点在直线上；②起点，终点固定PA+PQ+BQPA+PBl2l1B'A'QPBAPlB'BAAP+PQ+QBAP+PQ+QBl1l2A'QPBAlA'QPB'BA经典模型系列手册温故而知新~31~熟能生巧最短路程模型之二（点到直线类）条件：如右图①OC平分AOB②M为OB上一定点③P为OC上动点④Q为OB上动点求：MPPQ最小时，P、Q的位置辅助线：将作Q关于OC对称点'Q，转化'PQPQ，过点M作MHOA'MPPAMPPQMH（垂线段最短）HQ'QPMCBOAPA垂线段最短滴水穿石~32~锲而不舍最短路程模型之二（点到直线类）条件：如图，点A、B为定点，P为动点问题：点P在何处，12BPAP最短结论：以A为顶点作30PAC，过点P作PQAC，转化12PQAP,过点B作AC的垂线与AP的交点为所求（垂线段最短）所求点定点动点定点CQABPllPBA经典模型系列手册温故而知新~33~熟能生巧最短路程模型之二（点到直线类）条件：如图，点A、B为定点，P为动点问题：点P在何处，22BPAP最短结论：以A为顶点作45PAC，过点P作PQAC，转化12PQAP,过点B作AC的垂线与AP的交点为所求所求点定点动点定点CQABPllPBA滴水穿石~34~锲而不舍最短路程模型之二（点到直线类）条件：(0,4)A、(2,0)B，(0,)Pn问题：n为何值时，55PBPA值最小结论：①x上取点(2,0)C，使5sin5OAC②过点B作BDAC，交y轴于点E为所求③1tantan2EBOOAC，即(0,1)EEDCABxyOPPOyxBA经典模型系列手册温故而知新~35~熟能生巧最短路程模型之三（旋转类最值模型）条件：①线段4OA,2OB()OAOB②OB绕点O在平面内360旋转问题：AB的最大值，最小值分别为多少？结论：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”最大值：OAOB；最小值：OAOB最大值位置最小值位置BOA滴水穿石~36~锲而不舍最短路程模型之三（旋转类最值模型）条件：①线段4OA,2OB②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点问题：若PA的最大值为10，则6OC若PA的最小值为1，则3OC若PA的最小值为2，则PC的取值范围是02PCPCAOB经典模型系列手册温故而知新~37~熟能生巧最短路程模型之三（旋转类最值模型）条件：①RtOBC，30OBC②2OC;③1OA；④点P为BC上动点（可与端点重合）；⑤OBC绕点O旋转结论：PA最大值为123OAOBPA最小值为1312OBOA如右图,圆的最小半径为O到BC垂线段长POCBAABCOP滴水穿石~38~锲而不舍最短路程模型之四（动点在圆上）条件：以点O为圆心三个圆，OA、OD固定OP绕点O旋转问题：点Q在什么位置时，EPMB最小辅助线：连接DQ、QC，当Q、D、C三点共线时，EPMBDQQCDC最小OABCDPQMEF经典模型系列手册温故而知新~39~熟能生巧最短路程模型之四（动点在圆上）条件：①正方形ABCD且边长为4；②B的半径为2；③P为B上动点问题：求(/2)PDPC最小值辅助线:过点E作EMPC∥，取BE中点N转化思路：将/2PC转化ME，将ME转化为MN，因此MDMN的最小值为DN长度总结：/2PC的比值不是随意给出的，而是圆的半径/rBCENMABCDPPDCBA滴水穿石~40~锲而不舍二倍角模型条件：ABC中，2BC辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点'A，连接'AA、'BA、'CA则'BA为ABC的角平分线，那么''BAAACA（注意这个结论）此种辅助线的作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，但并不是唯一作法A'CBACBA经典模型系列手册温故而知新~41~熟能生巧相似三角形模型（基本型）平行类：DEBC∥结论：ADAEDEABACBC(注意对应边要对应)模型应用：经常在选择，填空中直接考查，在第20题的第二问也经常会考查“A字型”“8字型”相似，建立方程。A字型8字型A字型ADBCEEDCBAEDCBA滴水穿石~42~锲而不舍相似三角形模型（斜交型）条件：如左面两个图90AEDACB结论：AEABACAD条件：如右面两个图ACEABC结论：2ACAEAB第四个图还存在ABECBCAC2BCBEBA,2CEBEAE斜交型AEBCD斜交型ABCEECBA双垂型斜交型ADBCE经典模型系列手册温故而知新~43~熟能生巧相似三角形模型（一线三角型）条件：左图：90ABCACECDE中图：60ABCACECDE右图：45ABCACECDE结论：所有图形都存在的结论①ABCCDE∽；②ABDEBCCD一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系ABCDEABCDEEDCBA滴水穿石~44~锲而不舍相似三角形模型（圆幂定理型）条件：中图，PA为圆的切线结论：左图：PAPBPCPD中图：2PAPCPB右图：PAPBPCPD以上结论均可以通过相似三角形进行证明DCPDABPABCCBAP