浙江省专升本历年真题卷

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷、填空题函数y*ex的连续区间是。limX1x(xyX4)(1)X轴在空间中的直线方程是。(2)过原点且与x轴垂直的平面方程是设函数f(x)1(X1)2e(i)2a,x,b时，函数f(x)在点x1处连续。bx1,x15.设参数方程y(1)当r是常数，(2)当是常数，二.选择题r2cos2r3sin2'是参数时，则dydxr是参数时，则dydxf(x)在［a,b］上连续可导,c(a,b),且f'(c)0,则当()时,f(x)ftxc处取得极大值。(A)当axc时，f(x)(B)当axc时，f'(x)(C)当axc时，f'(x)(D)当axc时，f'(x)0,当cx0,当cx0,当cx0,当cxb时，f(x)0,b时，f(x)0,b时，f(x)0,b时，f(x)0.2.设函数yf(x)在点xx0处可导，则f(x03h)f(x02h)3.设函数f(x)2xe,x010,x0,则积分fxdx,x21e,x0()5.设级数为和级数bn都发散，则级数(a。n1n1n1bn)是()(A)发散(B)条件U^敛(C)绝对U^敛(D)可能发散或者可能收敛三.计算题1.求函数y(x2x1)x的导数。2.求函数yx32x21在区间(一1,2)中的极大值，极小值3.求函数f(x)x2ex的n阶导数dnfodxn4.计算积分f(2x1)exdx=2一(3edxo1x23x25.计算积分一~^dx°2x1e1c6.计算积分xx2exdx01_..把函数y——展开成x1的幕级数，并求出它的收敛区问x1.求二阶微分方程察2dxyx的通解、.22a的模。.设a,b是两个向量，且a2,b3,求a2b|a2b的值，其中|a 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示向量四.综合题.计算积分sin2n_1xsin2m_1xdx,其中n,m是整数。0222,已知函数f(x)4ax33bx22cxd,其中常数a,b,c,d满足abcd0,(1) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 函数f(x)在(0,1)内至少有一个根，(2)当3b28ac时，证明函数f(x)在(0,1)内只有一个根2005年高数(一)答案(A)卷一.填空题1.连续区间是(，0)(0,1)(1,)(2)xTOC\o"1-5"\h\z(1)y0或者xy2，或者xt,y0,z0(其中t是参数)，z0100a0,b12(D5,⑵|4y2x・选择题题号12345答案BDBD三.计算题1.解：令lnyxln(x2x1),(3分)贝[jy'[x(2x1)in(x2x1)](x2x1)x(7分)xx12.解:3x24x4八x(3x4),驻点为x10,x2-(2分)3(法一)y(0)”，4、y(一)3(法二)0,6x4y(0),4、y㈠31（极大值），（5分）5......—（极小值）.（7分）27-1(-1,0)02P正01负0正-2递增1递减递增(5分)当x0时，y1（极大值），当x%时,3.解：利用莱布尼兹公式y%7（极小值）（7分）[x122nxn(n1)]ex(7分)xln4(7分)3dxdx1(x1)(x2)dnfdxn2x2x1：2xedx(3分)1e6.解:1(x201ln(12e2x）C（其中C是任意常数）x2)exdx=(x2x2)ex11(2x00(7分)1)exdx(3分)=2—1)+2ex=33e2e21e。(7分)8:解:2[;(1)n0n(x1)―](2分)2n收敛区间为（-19.解：特征方程为齐次方程吗dx22n13).222dydx，（5分）（7分）10,特征值为y0的通解是~（二重根），C2x）ex,其中c1,c2是任意常数.(3分)d2ydy22ydxdxx的特解是yx2,(6分)所以微分方程的通解是yy（c1c2x）ex,其中c1,c2是任意常数(7分)10.解:a22(a22ba2b2=(a2b)26.(7分)(a2b)(a2b)(a2b)(3分)四.综合题：1.解：(法一)sin02m12-sin(n11r/一[cos(n2。(法二)当nsin0,1r，xdx=——[cos(n2011)xsin(nnm1]dx2,m1)x2n1_._2m1」xdxsinxdx=sin(nm1)x1r/一—[cos(n2乙01•/sin(nnmm1)xcos(nm)x]dx(4分)m)x]0,nm(10分)mm1)xm)x]0cos(nm)x]dx(4分)0(7分)nm时.2n1..2m1sinxdxsin022xdx=2.证明：(1)考虑函数F(x),22n1sin02ax4bx3.1.xdx-[1cos(2n20cx2dx,(2分)1)x]dx2x0=3(10分)F(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，由罗尔定理知，存在(0,1),使得F’()’32F()f()0,航是f()4a3b所以函数f(x)在(0,1)内至少有一个根.(2)f(x)F(x)12ax2因为3b28ac,所以(6b)26bx2cF(0)F(1)0,0,即2cd0,(7分)4(12a)(2c)36b296ac12(3b28ac)f'(x)保持定号，f(x)函数f(x)在(0,1)内只有一个根.(10分)2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》0,试卷1.2.3.4.、填空题limn2n-3n-5nn函数f(x)26x(x22x什—(.1x右f(x)x'A,x28的间断点是。3)(x5)1x),x0在x0处连续，则A0设yxln(x&_1),则dydx5.2(1x3)cosxsin2xdxo8.微分方程dy(2x1)e*xy的通解y。dx二.选择题.函数f(x)的定义域为0,1,则函数f(x))f(x1)的定义域()55.当x0时，与x不是等价无穷小量的是()。x3.设F(x)°f(t)dt,其中f(x)x2,01,1,则下面结论中正确()0AF(x)3x3,0x1BF(x)x,1x23，0x,1x24.曲线yx(x1)(2x),(0x2)与x轴所围图形的面积可表示为()2A°x(x1)(2x)dxrrr5.设a,b为非零向量，且arb,则必有()。三.计算题x1.计算lim(心产。xx6.设yx[cos(lnx)sin(lnx)],求dy。dx2t23,设函数xe28s2t,求dy。yesintdx.计算不定积分—2~^—2—dx°sinxcosx.计算定积分xx0ee26.求微分方程驾3立2y2ex满足y。1,5dx2dxx0dxx00的特解。7.求过直线3x2y2x3yz2z10,且垂直于已知平面20x2y3z50的平面方程。8.将函数f(x)ln(x23x2)展开成x的幕级数，并指出收敛半径。10.当a为何值时，抛物线yx2与三直线xa,xa1,y0所围成的图形面积最小，求将--在二此图形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积。线-封二密二四.综合题.(本题8分)设函数f(t)在［0,1］上连续，且f(x)1,证明方程:x2x0f(t)dt1在(0,1)内有且仅有一实根。2.(本题7分)证明：若m0,n0,a0,则xm(ax)nmnmn/一9、mn(mn)3.(本题5分)设f(x)是连续函数，求证积分,一f(Sinx)―dx_o0f(sinx)f(cosx)42006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷(A卷)答案一.填空题.lim也03n5n5n-.函数f(x)'6乂x28—的间断点是x3(x2x3)(x5)2…/、1(、。yx),x.右f(x)xA,x.。设yxln(x&_1),则dydx0在x0处连续，则A10ln(xVx1),_ox21.3、2(1x)cosx,22——dx21sinx8.微分方程dy(2x1)ex2xy的通解为yln(ex2xC),其中C为任意常数dx二.选择题1、C2、D3D4C5B三.计算题1.计算lim(xcx1X3三°x6解：lim(xC八1x-)2=lim(16x_6(_3_)(x2))3x62LLL3分又因为lim(1x六)xim(六1-)x13所以lim(-——)2=e2。Lxx6.设yx[cos(lnx)sin(lnx)],求上。dx解；dy[cos(lnx)sin(lnx)]x[sin(lnx)-dxx=2coslnxLLL7分1一一一八cos(lnx)—]LLL4分x.设函数2t2•ecost+dy2t.2.，求j。esintdx解：dx2e2tcos212e2tsintcostLLL2分dt一2e2tsin212e2tsintcostLLL4分dtdy2t22dydt2e(costsintcost)(costsintcost)dxdx2e2t(sin2tsintcost)(sin2tsintcost)dt.计算不定积分——2-^——2—dx.sinxcosx解：-2-^—―dxsinxcosx一•一2-2sinxcosx.22—dxLLL3分sinxcosx[+sinx12cos.计算定积分-]dxx10excotxtanxCLLL7分dx乙1解：-0e01xe—27dxLLL3分e1d(ex)01(ex)2dxLx一arctanearctane—。LLL7分46求微分方程?喙2y2ex满足yx。噎0。，的特解。解：微分方程吗dx23dx2y2ex对应的特征方程为特征根为口1,r22LLL1分而1,所以ri1为单根，LLL2分对应的齐次方程的通解为YGexC2e2xLLL3分非齐次万程的通解为yCxex代入原万程得C2LLL4分有通解yC1exC2e2x2xexLLL5分有空dxxo0,yCiC21C12C220C10,C21有解ye2x2xexLLL7分7.求过直线3x2yz10且垂直于已知平面x2y3z50的平面方程。2x3y2z20解：通过直线3x2yz10%的平面束方程为2x3y2z203x2yz1(2x3y2z2)(32)x(23)y()z(12)0LLL3分要求与平面x2y3z50垂直，则必须所求平面方程为x8y2L5z50LLL7分8.将函数f(x)ln(x23x2)展开成x的幕级数，并指出收敛半径。解：f(x)ln(x1)(x2)ln(x1)ln(x2)LLL2分=ln2ln(1ln(1x)LLL3分=ln21)n上yn0(1n11)n—xn1=ln2叱1J2n1n11)二(Rx收敛半径R1LLL7分10.当a为何值时，抛物线yx2与三直线xa,xa1,y0所围成的图形面积最小，求将此图形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积。解：设所围面积为S(a)a12S(a)axdx33(a1)aLLL2分令S'(a)0a1L21S(a)20,所以S(1)2工为最小的面积LLL4分Vx112224,,ydx2xdx了0122x5—LLL7分80四；综合题1•设函数f(t)在［0,1］上连续，且f(x)1,证明方程x2x°f(t)dt1在(0,1)内有且仅有一实根。x证明：令F(x)2x°f(t)dt1,则在[0,1]上F(x)连续，LLL2分1F(0)10,F(1)20f(t)dt1110f(t)dt0,LLL4分由闭区间上连续函数的介值定理知道在(0,1)内至少存在一点C,使得F(C)0LLL5分又因为F'(x)2f(x)10,所以F(x)单调上升,F(x)0在0,1内最多有一个根,x所以2x0f(t)dt1在0,1内有且仅有一个实根。LLmn2.证明：若m0,n0,a0,则xm(ax)nmnmn(mn)证明：令F(x)xm(ax)nLLL2分'm1nmn1m1n1F(x)mx(ax)nx(ax)x(ax)[m(ax)nx]n1(ax)[ma(mn)x]令F'(x)0x-^a-,(当mnm,n1时，x0,xa,止匕时F(0)F⑻0)ma、m/+n(n1)()(mnnan)n1n1mn2mnamn3(mn)0LLL5分所以F(』a-)是F(x)在mn上的极大值，有唯一性定理知:F(^^)是最大值，故mnmnma、mnF(x)F()m^nmn(mn)3.设f(x)是连续函数，求积分IW—flsinx)—d*的值。0f(sinx)f(cosx)解：令xt,dxdt2f（sinx）f（cosx）।21dx—I—.0f（sinx）f（cosx）242007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷一、填空题1.函数y—1一的定义域是。lgx2.设yy，则dx1.极限limxn/fdxn0.积分cotxdx1sinxL、几11坟y产产,贝Uyx1、x积分&in7xsin9xdx。08.微分方程xdxx2yy3ydy0的通解二.选择题1.设fx3x1sinnx\则x1是fx的（）。TOC\o"1-5"\h\zx13x2lnx（A）连续点（B）跳跃间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点2.下列结论中正确的是（）(A)若lima」1,则liman存在，nnana4liman1(B)若limanA,则lim^n-1,nnanlimann(C)若limanA,limbnB,则lim(an)bnAB,nnn（D）若数列a2n收敛，且a2na2n1,则数列an收敛q二八xsintsin3.坟x0—dt,x011ttdt,则当x0时，x是x的（）。4.已知函数(A)e2(B)tx——lntlntyT4(C)e,则limdyxedxe2(D)（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）低阶无穷小・计算题1.设yln2cosx,1ln4x2.由方程arctanyln.x2y2x所确定的y是x的函数，求dyodx3.4.计算积分3sinx2ecosxdx。1cosxlim。x0xx5.计算积分xe」2dx。x21e.计算积分4e2xtanx12dx。0.求经过点1,1,1且平行于直线2xy3z0的直线方程。x2y5z1.x.任给有理数a,函数fx满足fxfatdt1,求fx0.将函数fx工」在点x。1处展开成幕级数，并指出收敛区间（端点不考虑）3x四.综合题1.设直线yax与抛物线yx2所围成的图形的面积为&,直线yax,x1与抛物线yx2所围成的面积为S2,当a1时，，试确定a的值，使得SS8最小3.当0x时，求证sin--2《高等数学（一）》答案一.填空题：2,33.y'3sin2xcosx5sinxIn50/।sinx0InCsinx5.5!-6x6.228.Inxyy2C二.选择题：1、A2、D3、C4、D三.计算题：1.2。1.4解。y2lncosxIn1Inx2解：方程两边对x求导数，得x2yy2x2xyo2y3.解：令tJx,xim01costlimsint2t4.解：原式=133sinxed3sin13sinx—e35.解：一1xxex2edx=xd(ex1)lnxd-dx1ln1exC6.解:04e2xtanx12.dx=42x4e02secx2tanxdx042xe2secxdx"xtanxdx2x.=etanx204e2xtanxdx04e2xtanxdxe2xtanxe27.解：平行于直线2xyx2y3z5z0的直线的方向向量应是1所求直线方程为土」空17.解：原方程两边对x求导数，得fxfax(1)fxfaxfaaxfx,所以fx满足fxfx0（2）由原方程令x0,得f01,由方程（1）得f0fa方程（2）对应的特征方程为210,即i,所以(2)有通解fxC1cosxC2sinx。f01,得C11,即fxcosxC2sinx。sinxC2cosx,f0C2facosaC2sina,cosacosxsinx。1sinacosa所以C2，贝Ufx1sina.解：fxx111x112x12dx112收敛区间为x_」1,即1x3。2四、综合题：1.解：当0a1时，yax与yx2的交点坐标是0,0和a,a2,则33,33aa1aaa23320,1忑。2a0,所以在0a1时，Smin当a0时，yax与yx2的交点坐标是0,0和a,a2,则33d3daa1aaa1233262301-0,则Sa在a0时单调减少。2故在a0时,S0为Sa的最小值，即S0Smin又因为2%261-,所以在a1时，S的取小值在a31.-12时取到，即&nS_3、证明：令fxxsin2xIfxxxxcostan-2222x时，cosx0,tan--,fx2220,从而fx在0,内单调减少，所以fxf0,(0x)xxsin——o2_•xsin即一2x2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷.选择题.函数fxx21cosx是（）。（A）奇函数（B）偶函数（C）有界函数（D）周期函数.设函数fxx,则函数在x0处是（）。（A）可导但不连续（B）不连续且不可导（C）连续且可导（D）连续但不可导.设函数fx在0,1上，。0,则成立（）odx.方程zx2y2表示的二次曲面是（）。（A）椭球面（B）柱面（C）圆锥面（D）抛物面.设fx在a,b上连续，在a,b内可导，fafb,则在a,b内，曲线yfx上平行于x轴的切线（）。（A）至少有一条（B）仅有一条（C）不一定存在（D）不存在二.填空题.计算lim1sin上。x0x2.设函数fx在x1可导，且d±1,则limf12xf1dxxox0x.设函数f2xInx,则dL%0dx.曲线yx33x2x的拐点坐标。.设arctanx为fx的一个原函数，则fxcd2.ftdxx7.定积分x2xdxo10.设平面过点1,0,1且与平面4xy2z80平行，则平面的方程为。.计算题:（每小题6分，共60分）.计算lxm0ex1o.设函数fxex,gxcosx,且yfdxdy，求一。dx.计算不定积分dx＜，rx1x.计算广义积分°xexdx.设函数fxcosx,x0-1x4,x0，求2fxdx。6.设fx在0,1上连续，且满足fxx1e20ftdt，求fx.求微分方程吗或ex的通解。dxdx.将函数fxx2ln1x展开成x的幕级数。四.综合题.设平面图形由曲线yex及直线ye,x0所线围成，用1求此平面图形的面积；产2求上述平面图形绕x轴旋转一周而得到的旋转体的体积.求函数yx33x21的单调区间、极值及曲线的凹凸区间x1.求证：当x0时，1一e.x《高等数学（一）答案.选择题：（每小题4分，共20分）题号12345答案BDCCA二..填空题:(每小题4分，共40分)111.1;;3.1；4.(1,3);5.」^;2x1x23一6.fx;7.—;10.4xy2z2.3三.计算题(每小题6分，共60分)1.解法.由洛必达法则，得到lim。xelim—x01..4分1.TOC\o"1-5"\h\z解法二.令ex1t,则xIn1t..2分e1t八于是，limlim16分xoxt0In1t.解.也sinx,yf-fsinxesinxdxdx故业esinxcosx...6分dx.解法一.令Txt,,则xtarctanMxC.6分,..2分dxf,x1x2tdtt1t2dt1t22arctantC..5分4.解.xexdxxex0exdx00.3分2arctanvxC.6分解法二.1x—2d(4)2.4分x1x1X..6分i5.解.fxdx20fxdx21fxdx01x4dxcosxdx20.3分0TOC\o"1-5"\h\z15i32八-xsinxn——sin1.6分520516.解.设fxdxA,两边对已给等式关于x从0到1积分，得到01111vv1八fxdxedx2Adxe2Ae12fxdx.4分000001从而解得fxdx1e....5分0代入原式得fxex21e.6分..1分7.解.特征方程为k2k0,得到特征根K0,k21,故对应的齐次方程的通解为yc1c2ex,..3分由观察法，可知非齐次方程的特解是y1x-e，2..5分因而，所求方程的通解为yOfc2exlex,其中o,c2是任意常数.2234n18.解.因为In1xx———1n—234n1.6分(1x1),,.3分所以x2In1xx2(x453xx=x—一23n31n—(1x1).……..6分n1四.综合题:（每小题10分，共30分）1TOC\o"1-5"\h\z.解法一⑴.Seexdx.4分01exexee11..6分012).Ve2e2xdx..9分01(1,2)2+0一一0十一一十十极大值—1极小值-5..8分解法二.（1）S(2).V2.解.定义域为（212xex-e21eexdx012xe0dx2x),.3..6.9分5e21..12分12分dx3x26x3xx0,得到x10,x22（驻点），…….2分嗓6xdx21,由唳0,得到x31,…….3分dx.10分故（,0）（2,）为单调增加区间，（0,2）为单调减少区间；极大值为—1,极小值为—5,..11分（,1）为凸区间,(1,）为凹区问12分3.证明.令FxxIn1x[ln(x1)lnx],尤ln1dxlnxIn1xInx.2分利用中值定理Inx其中x1,…….4分dF1所以dF1dx0,因此，当x0时,x是单调增加的,一1而lim1e,xx1x所以当x0时，11e...6分x2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷、填空题.写出函数的水平渐近线和垂直渐近线。二.选择题4．可微函数在点处有是函数在点处取得极值的（）必要条件,充分必要条件,既非充分又非必要条件三.计算题.计算极限limexe(x1)x1sin(x1)7．函数方程的函数,是变量.求微分方程cosxdy(sinx)ysinx的通解.dx.直线x1把圆x2y24分成左，右两部分，求右面部分绕y轴旋转一周所得的旋转体体积.四.综合题：(本题共2个小题，每小题10分，共20分)1.设n,m是整数，计算积分cosnxcosmxdx.02005年高数(二)答案(A卷)一.填空题(1)y0,(2)x2二.选择题4、D三.计算题exe(x1)ex1.斛：lim=lim=e1x1sin(x1)x1cos(x1)7.解:4x2y2xdydx2(2xy)2(xdydx2xyxyddy2y3dx、dyy)-dxx(3分)d2ydx2(xy)x(1(xy)(x(x、22y)x3(xy)xxxxxy(xy)2_2_22x2xyy30(xy)(7分)9.解：(—)‛cosx§n：(5分)cosxyCcosx1（其中C为任意常数）（7分）10.解：直线x1与圆x2y24的交点是巳（1,73）,P2（1,73）,（2分）右面部分绕y轴旋转一周的所得几何体的体积.、3[(4.3)i]dy(5分)=2(3y3L)34用（7分）四.综合题:,1rcosnxcosmxdx=—[cos(nm)xcos(nm)x]dx(3分)=2o2’分）、填空题1.若f(x)2.曲线xy3.设函数y0,2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷sin4xe3ax11t2t3(2x0在x0连续，WJa02处的切线方程为。1)「则其导数为。24.2(1xcosx)dx=。5.设ycos(sinx),则dydx。m0m0(10nm6.曲线y而又与直线x1x3及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周,所得旋转体体积为。.微分方程y4y5y0的通解为。.若级数『二收敛，则的取值范围是。3n1n二.选择题x，、1.limarctanx()。xx1(A)y(B)-(C)1(D)不存在.当x0时，f(x)xsinx是比x2的().低阶无穷小（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）.级数罕二为（）.n0、n1（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）无法判断2..曲线yx与直线y1所围成的图形的面积为（）.广义积分——x―^dx为().0(1x)3,…11(A)1(B)0(C)2(D)2・计算题x1.计算极限limtantdto20x2.计算函数y3计算由隐函数eyx1ny确定的函数yf（x）的微分dy.判别正项级数vnin（1；）的敛散性。.计算不定积分丁处一。-x（1x）6.求幕级数3nx2n的收敛半径与收敛区间。.计算定积分xsin2xdx。02.计算微分方程dyx(1y2)满足初始条件y(0)1的特解。dxy(1x4.2。xcosx)dx=4.).计算函数ysin(lnx)的二阶导数y。.将函数ylnx展成(x1)的幕级数并指出收敛区间.四.综合题nn.设0ab,证明不等式an1-——bn1(n2,3,L)。n(ba)TOC\o"1-5"\h\zc2.设函数f(x)x2°f(x)dx,求f(x)在区间[0,2]上的最大值与最小值。,1-xsin-,x03.设f(x)x,(为头数)0,x0试问在什么范围时，f(x)在点x0连续；f(x)在点x0可导。x4.若函数f(x)°(xt)f(t)dtex,求f(x)02006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷(A)参考答案及评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 一、填空题sin4xe3axi.若f(x)x,x0在x0连续，则ax0aLx1t2」、.曲线x13t在t2处的切线方程为y3x7.yt.设函数y(2x1)sinx,则其导数为y(2x1)sinx[cosxln(2x1)空nx].2x15.设ycos(sinx),贝Udycosxsin(sinx)dx.6.曲线y加亚与直线x1,x3及x轴所围成的图形绕x轴旋转,所得旋转体体积为(3ln32).7.微分方程y4y5y0的通解为ye2x(C1cosxC2sinx).8.若级数飞二收敛，则的取值范围是n1n二、选择题1、B2、A&三、计算题B4C5D2.计算极限xim0xtantdt02xxtantdt解：lim—―2-lim(5分)x0x2x02x,,=一(6分)2.计算函数yx2F1的导数y.解1：两边取对数，得1lny2lnx-ln(1x)-ln(1x)(1分)2两边求导数y_21yx2(1x)12(1x)(4分)21x1x2z,21xlnx解2:由于ye‘1x(6分)12lnx1[ln(1e2x)ln(1x)]所以x(4分)12lnx[ln(1x)ln(1x)]22ye2一(6分)3计算由隐函数yexlny确定的函数yf(x)的微分dy.解：方程两边关于x求导数，把y看成x的函数.yeylnyxy-（3分）y解得y（4分）yeyx所以函数yf（x）的微分dyy*nydx（6分）yeyx5.判别正项级数Vnln（14）的敛散性.n解1：由于ln（1,所以an、.nln（14）n1n2（3分）已知级数n112n2（P31）收敛（5分）由比较判别法知级数Vnln（14）收敛.（6分）1n2lim电nbnln（1limn13~3n2limn4）n1n1（4分）因为级数n11一一八-3收敛（5分）n2所以原级数而ln（1工）收敛（6分）5.计算不定积分dx-x（1x）dx解1：Txihr2d（、x）（4分）=2arctan&C（6分）解2:设tTx,则xt2,dx2tdt,于是dxx（1x）2tdt7（4分）t（1t2）cdt=221t2=2arctantC（5分）=2arctan、xC（6分）6.求幕级数n3n0x2n的收敛半径与收敛区间.解：当x0时,limnun1unlimn3n1x2（n1）3nx2n所以当3x21,即|x|j时，幕级数，、3n发散，所以幕级数的收敛半径R；，一1一・一由于x石时，级数3nx02n成为n因此幕级数收敛区间为（13,.311.计算定积分xsin2xdx0解：由于公式sin3x2（2分）3nx2n收敛；当3x21,即|x|；时，幕级数3nx2n073n0（3分）1发散。（5分）0）（6分）1x-（1cos2x）,所以xsin2xdx=1020x（1cos2x）dx（2分）1=一（xxcos2x）dx201,1c,xdx—xcos2xdx20200xdsin2x（3分）xsin2x4sin2xdx（5分）1cos2x8（6分）2、12.计算微分方程dyx(1y2)满足初始条件y(0)1的特解.dxy(1x2)解：分离变量得g当(2分)1y1x2两边积分*2y1xTOC\o"1-5"\h\z22于是有1d(1y)1d(1x)1y221x2即11n(1y2)11n(1x2)1c(4分)222或1n(1y2)1n(1x2)C将初始条件y(0)1代入得C1n2(5分)所求特解是y22x21(6分).计算函数ysin(1nx)的二阶导数y.解：ycosCnx)©分)xsin(1nx)cos(1nx)sin(1nx)cos(1nx)“八TOC\o"1-5"\h\zy22(6分xx.将函数y1nx展成(x1)的幕级数并指出收敛区间解：因为y1nx1n[1(x1)](1分)n(Dn1-L,n1x1(2分)23根据号级数展开式1n(1x)x——L23于是23ninx(x1)4JL(1『jl(5分)23n收敛区间是x(0,2](6分)四、综合题nn.设0ab,证明不等式an1-——bn1(n2,3,L)n(ba)证明：设f(x)xn,n2,(2分)则f(x)在闭区间［a,b］上满足Lagrange定理条件，于是存在一点(a,b),使f(b)f(a)f()(3分)bann即b_qnn1(4分)ba因为n2且ab,所以an1n1bn1,(5分)nnnn因此nan1nbn1,从而an1babn1.(7分)ban(ba)TOC\o"1-5"\h\z…c24、…一.设函数f(x)x2°f(x)dx,求f(x)在区间［0,2］上的最大值与最小值22解：由于定积分0f(x)dx是一确定的实数，设0f(x)dxk(1分)对f(x)的等式两边积分有28于是kf(x)dx-2k(2分)03由上式解得k89f(x)x28(3分)9令f(x)2x0得驻点x0(4分)当x(0,2)时，包有f(x)0,表明f(x)在区间(0,2)内严格增加，(5分)所以f(0)8是函数“*)在［0,2］的最小值(6分)9f(2)28是函数f(x)在［0,2］的最大值.(7分)913.设f(x)xsinx,x0,(为实数)试问在什么范围时0,x0f(x)在点x0连续；f(x)在点x0可导.1一,一、一解：(1)当0时，x是x0时的无穷小量，而sin1是有界变量，(2分)x1一八所以当0时，limf(x)limxsin—0f(0)(3分)x0x0即当0时，f(x)在点x0连续。(4分)（2）当1时，由导数定义及有界变量乘无穷小量是无穷小量，得xsin一TOC\o"1-5"\h\zf(0)limf(x)f(0)limx(6分)X0xx0x11…=limxsin-0(7分)x0x所以当1时，f(x)在点x0可导.(8分)x4.若函数f(x)t)f(t)dte,求f(x).xx解：f(x)xof(t)dt°tf(t)dtex上式两边关于x求导数xxf(x)0f(t)dtxf(x)xf(x)ex,f(x)0f(t)dtex(1分)xf(x)f(x)e(2分)记yf（x）,则上式是二阶常系数非齐次微分方程，即yyex（I）*VV…yy0的通解是yGeC?e,Ci,C2为任意常数。（3分）由于1是yy0的特征方程r210的单根，所以设％axex是方程（I）的一个特解,于是有%aexaxex与%2aexaxex将它们代入方程（I）得a1（4分）2于是方程（I）的通解为yC1exC2ex-xex,（II）2这里Ci,C2为任意常数.从已知条件可求得，f（0）1,f（0）1并代入方程（II）（5分）f(0)C1C211f(0)C1C2-12解得Ci3,C21(7分)44所求函数f(x)3ex—ex工xex(8分)4422007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷一、填空题.设y1ln（x1）,其反函数为。.设y-一,函数y的可去间断点为。x23x2.设y(x)、/xex,则曲线y(x)与直线x1及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为。.级数Un收敛的必要条件为。n12.确定曲线yL的垂直渐近线为；斜渐近线为。x1.广义积分一12—dx。exlnx.对于y(x)2y(x)2y(x)xexsinx,其特解可以假设为。二、选择题.曲线yVx1的拐点为()(A)(Q1)(B)(1,0)(C)(1,2)(D)无拐点.当x0时，(1cosx)2是sin2x的().(A)同阶但不是等价无穷小(B)等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小.若f(1)2,则limf(1x)-f^()x0sinx(A)2(B)2(C)1(D)0.对于幕级数(1)n工，下列说法中正确的为()pn1n(A)当p1时，发散(B)当p1时，条件收敛(C)当p1时，条件收敛(D)当p1时，绝对收敛.若yxsinx,ysinx分别为非齐次线性方程ypyqyf(x)的解，则y(x1)sinx为下列方程中()的解：(A)ypyqy0(B)ypyqy2f(x)(C)ypyqyf(x)(D)ypyqyxf(x)三、计算题1.求曲线y2xex1在点(0,1)的切线方程和法线方程。2.3.求微分方程y2y5y2e’的通解。4.设函数yy(x)由方程xy2yt20e出2确止，求微分dy。5.11求极限lim(F-cotx)ox0x2x3Q6.确定级数I-的收敛性。n1n!7.计算定积分x2.4x2dx.08.确定幕级数」vxn1收敛半径及收敛域，其中a为正常数。n1na9.x(x21)dx。.求解微分方程yycosxesinx四、综合题1.将函数yarctanx展开为麦克劳林级数.2.计算lim[nn22\n23.设f(x)(x)c0sxx0x,x0,其中(x)具有二阶导数，且(0)1,(0)0,(0)1,xea,x0(1)确定a的值，使f(x)在x0处连续;x4.设f(x)在[1,)具有连续导数，且满足万程x2f(x)](1t2)f(t)dt1,求f(x)。2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷(A)参考答案及评分标准一、填空题：(只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每空格5分，共40分)设y1ln(x1),其反函数为yex11.设y-一,函数y的可去间断点为X1.X二、选择题1、A2、C3A4D5B三、计算题11.求曲线y2xex1在点(0,1)的切线方程和法线方程.解：y（x）2ex2xex,（1分）y（0）2（1分）切线方程：y2x1（2分）法线方程：y-x1（2分）212.yLei,求y（x）.,x2112解：lnyxln（x213.求微分方程y2y5y2ex的通解.解：1）y2y5y0特征方程为r22r50,解为r12i(2分)3x2.设y(x)VXex,则曲线y(x)与直线x1及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为12、(1e).411.级数Un收敛的必要条件为limUn0.，n2.确定曲线yL的垂直渐近线为x1,斜渐近线为yx1.x1.广义积分^Vdx1.exlnx.对于y(x)2y(x)2y(x)xexsinx,其特解可以假设为*x1）（3分）（3分）ye[(AxB)cosx(CxD)sinx].通解为yex（CiC0s2xC2sin2x）（2分）2）设特解为y*Aex,代入求得A1（1分）41.八故原方程通解为ye（C1cos2xC2sin2x）-e（1分）4yJ.设函数yy（x）由方程xy0e出2确定，求微分dy.2解：y2xyyyey0（4分）2dy—2ydx（2分）ey2xy1.、—cotx）.x1.求极限lim（-2x0x—11.、解：lim（—cotx）x0xxsinxxcosx八、lim2（2分）x0xsinxsinxxcosxlimx0lxm03xxsinx3x2（2分）3Q16.确定级数Unn的收敛性.n1n!n3sinnn3解：———,（1分）|n!n!3由比值判别法判断，级数L收敛（3分）n1n!由比较判别法判断原级数绝对收敛（2分）17.计算定积分x244~x2dx.0解：设x2sint,dx2costdt（1分）2x2sint_x2v4x2dx24sin2t22cos2tdt（1分）0024sin22tdt（2分）022（1cos4t）dt（2分）18.确定幕级数々xn1收敛半径及收敛域，其中a为正常数.n1nax[1,1]（1分）解：limnan1an1,—（2分）a收敛半径为Ra（1分）当xa时,当x级数发散（1分）故收敛域为a时，级数收敛（1分）a,a）（1分）219.求—x3.dx.x（x21）解:2xx3x（x21）2x1x21（3分）2xx（x-dx21）C,Iz23lnxln（x1）arctanxC（3分）20.求解微分方程yycosxsinxe解：1）yycosxdyycosxdx（1分）1ny〜sinxC（1分）Cesinx（1分）2）yu（x）esinx（1分）ycosxu（x）esinxesinx,解得，u（x）xC（1分）故y（x四、综合题sinxC）e（1分）4.将函数yarctanx展开为麦克劳林级数.-1斛：y21x（1）nx2n（3分）0yarctanxn02n1止x2n1（3分）15.计算lim[—==n*21n=]2n解：2n——,n2n11..n22,n24=(3分)2由lim二n.n22n..nlim——十n.n21(3分)可得lim[n.n221n2—41n22n]1(1分)0,其中（x）具有二阶导数,且(0)1,(0)0,(0)1,(x)cosx6.设f(x)xxea,（3）确定a的值，使(4)求f(x).解：(1)limx0f(x)1a(1分)lim(x)(0)3s^(0)00,(1分)x0xx于是，当a1时,"*）在乂0处连续，且f（0）0（1分）(2)当x0时,f'(x)((x)sinx)x((x)cosx)，（1分）当x0时，f'(x)ex(1分)当x0时，已知（x）具有二阶导数，且（0）1,(0)0,(0)1,由f(0)M(x)cosx2xlimx0(x)sinx2xlimx02xsinx(0)2x21,,—=1(1分)2f(0)((x)sinx)x((x)cosx)02,x0x由此得f（x）1,x0(1分)x1(1t2)f(t)dt1,求f(x).ex,x04.设f（x）在［1,）具有连续导数，且满足方程x2f（x）解：2xf（x）x2f（x）（1x2）f（x）0（1分）记yf（x）,易见y（1）1（1分）2dyx2x1,公八、-2——dx（2分）yx1lnyx2lnx一C（1分）x…1_1x2ln|x_Cx-yCexrx（1分）x由y（1）1可知，C1（1分）x1综合可得y 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 1〃dydtdxdt一.22tsint2-2t0sint方法（2）因为dxsint2dt,dy一2・2tsintdt故dx2t。arctan6、解：由条件推得f0,1,limnf2-2n-27、解：方法（1）分离变量,得到dy两边积分得ln3lnsinx代入初始条件y0,得到C3。于是特解为：y3sinx3。cotxdx,上3。sinxpxdxpxdx方法（2）由yeqxeC其中px——,qx—3—,得至Uy—C—3tanxtanxsinx代入初始条件y-0,得到C3。2于是特解为：y—3osinxlimn10、解：由limn12n12n1X312n13nx3x2,可知，收敛半径R而又当x73时，对应数项级数的一般项为级数均发放故该级数的收敛域为、.3,3四、综合题TOC\o"1-5"\h\z1、解：定义域,00,2x34，令y0,得驻点x12;令y0,得x2300TOC\o"1-5"\h\z函数的单调增加区间为2,0,单调减少区间为，2及0,，在x12处，有极小值工。其图形的凹区间为3,0及0,,凸区间为，342、证明：由于fx不包等于x,故存在x00,1,使得fx0x0如果fx。％,根据拉格朗日中值定理，存在0,%,使得fx°f0x0国x01;若fx°x0,根据拉格朗日中值定理，存在%,1,使得f1fX01XoIo1Xo1Xo3、解：P点处该曲线的切线方程为yx2,且与x轴的交点A2,0。曲线与x轴的交点B1,0和C2,0,因此区域由直线PA和AB及曲线弧?B所围成。该区域绕X轴旋转生成的旋转体的体积02c"29xx2dx——o1302009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷、选择题1、设fX的定义域为0,1,则函数f1一、…1的定义域是（）。41(A)0,1(B)1455(O4(D)2、下列极限存在的是(A)Xlim(B)xsinx1lim2XX(C)limnn2(D)1lim——x02X13、d1cosx。(A)1cosx(B)xsinxC(OCOSXC(D)4、下列积分中不能直接使用牛顿-莱布尼茨公式的是sinxC()°11(A)4cotxdx(B)——001—dxe(C)04tanxdx(D)101x―2dxx5、下列级数中发散的是（）(A)1n1n11(B)nn1(C)1、、填空题若limannk（k为常数）lima2n。n3、曲线yarctanx在横坐标为1的点处连续，则6、若2X为fx的一个原函数，则fx10、微分方程yycotx2xsinx的通解为。三、计算题1、计算limeX04、设yyx是由方程"x2y2arctane?确定的隐函数，求a。dxx1ftdt在1,1上的表达式ex1x08、设fxe,1x0,求xx1,0x1四、综合题x2、已知xtftdt1cosx,证明：2fxdx1。0'0答案一、选择题1、D2、B&C4ASD二、填空题三、计算题TOC\o"1-5"\h\zxxxx1、解：原式lim-———lim-———1x02xx024、解：取对数2、limxsin一。1nx2y2arctan—,2x两边求导数，12x22yy—J吟」,2xy1yxx整理得yx8、解：当1x0时，xedteex;TOC\o"1-5"\h\z71?0+x123当0x1时，xedt1tdt—x1e—。10221,23-x1e,0x122eex,1x0四、综合题2、证明：两边对x求导，得xnftdtSinx，再对x求导，得fxcosx,从而证得2fxdx2cosxdx1o002010年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷一、选择题1、设fx在内单调增加，则下列函数中必